Bài giảng Toán cho tin học - Chương 5: Chuỗi số và chuỗi lũy thừa - Huỳnh Văn Kha

Chương 5
CHUỖI SỐ VÀ CHUỖI LŨY THỪA
ThS. Huỳnh Văn Kha
TÓM TẮT NỘI DUNG
1. Dãy số và sự hội tụ.
2. Chuỗi số.
3. Các tiêu chuẩn hội tụ của chuỗi số.
4. Chuỗi lũy thừa.
24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 2
1. DÃY SỐ VÀ SỰ HỘI TỤ
• Dãy số (sequence) là danh sách các con số được sắp 
theo một thứ tự nào đó

, 
, 
,  , 
, 
• Ví dụ, dãy
2,4,6,8,  , 2, 
có phần tử thứ nhất là 
 = 2, phần tử thứ hai là 

 = 4,  phần tử thứ  là 
 = 2, 
• Có thể coi dãy số như một hàm số, biến 1 thành 
, 
biến 2 thành 
,  biến  thành 
, 
• Dãy số được mô tả bằng công thức 
 =   .
24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 3
Ví dụ dãy số
• Dãy số 
 =  có các phần tử là

 = 1, 2, 3, 4,  , , 
24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 4
• Dãy số 
 =  có các phần tử là

 = 1,
1
2 ,
1
3 ,
1
4 ,  ,
1
 , 
24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 5
• Dãy số 
 = 

 có các phần tử là

 = 1,−
1
2 ,
1
3 , −
1
4 , ,
−1 
 ,
24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 6
Dãy số hội tụ
• Nếu các phần tử trong dãy số tiến về một giá trị thực
nào đó khi  lớn, thì ta nói dãy số là hội tụ (converge).
• Các phần tử của dãy 
 =  tiến về 0 khi  lớn.
• Các phần tử của dãy 
 =  tiến về 1 khi  lớn.
• Nếu các phần tử trong dãy số không tiến về giá trị 
thực nào cả, hoặc chúng tiến ra vô cùng, thì ta nói dãy 
số là phân kỳ (diverge).
• Các phần tử của dãy số 
 =  có thể lớn tùy ý khi 
 đủ lớn, nên dãy số này phân kỳ.
24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 7
• Các phần tử của dãy số 
 = −1  nhận giá trị 
xen kẽ giữa −1 và 1 nên nó không hội tụ về con số 
thực nào cả. Dãy này phân kỳ.
24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 8
Định nghĩa 1. Dãy số hội tụ
Dãy số 
 được nói là hội tụ (converge) về  nếu
∀ > 0, ∃ ∈ ℕ, ∀ > , 
 −  < 
Nếu không số  nào như vậy, ta nói dãy 
 phân kỳ
(diverge).
Nếu 
 hội tụ về  ta viết lim→% 
 =  hay 
 → . Và
khi đó ta nói  là giới hạn (limit) của dãy số 
 .
24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 9
Một số tính chất
24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 10
24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 11
24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 12
Một số giới hạn cơ bản
24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 13
Ví dụ 1. Tính các giới hạn dãy số sau đây.
1. lim→%
ln 
 2. lim→% 

3. lim→% 3
 4. lim→% −
1
2

5. lim→%
 − 2

 6. lim→%
100
!
24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 14
2. CHUỖI SỐ
• Chuỗi số (series) là tổng tất cả con số trong một dãy 
số, tổng đó có dạng

 + 
 + 
 +⋯+ 
 +⋯
• Tổng vô hạn các con số là gì? Cách tính nó?
• Để tính tổng vô hạn các con số, ta tính tổng riêng 
phần (partial sum) thứ 
- = 
 + 
 + 
 +⋯+ 

và sau đó cho  → ∞.
• Ví dụ, tính tổng của chuỗi số
1 + 12 +
1
4 +
1
16 +⋯+
1
2 +⋯
24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 15
24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 16
Sự hội tụ, phân kỳ của chuỗi số
24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 17
Định nghĩa 2. Chuỗi số hội tụ, phân kỳ.
Cho chuỗi số 
 + 
 + 
 +⋯+ 
 +⋯
Dãy - được định nghĩa bởi
- = 

- = 
 + 

- = 
 + 
 +⋯+ 
 = /
0

01
được gọi là dãy tổng riêng phần (sequence of partial 
sums) của chuỗi số.
24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 18
Định nghĩa 2 (tt). Chuỗi số hội tụ, phân kỳ.
Nếu dãy tổng riêng phần nói trên hội tụ về  thì ta nói 
chuỗi số là hội tụ và có tổng bằng , ta viết

 + 
 +⋯+ 
 +⋯ = /

%
1
= 
Nếu dãy tổng riêng phần không hội tụ thì ta nói chuỗi 
số là phân kỳ.
Chuỗi hình học
• Chuỗi hình học (geometric series) là chuỗi có dạng

 + 
2 + 
2 +⋯+ 
2 +⋯ = /
2
%
1
≡ /
2
%
14
trong đó 
 và 2 là các số thực cho trước (
 ≠ 0). 
• Các chuỗi sau là chuỗi hình học
1 + 12 +
1
4 +⋯+
1
2 +⋯ = /
1
2
%
1
2 − 23 +
2
9 −⋯+ 2 −
1
3

+⋯ = /2 −13
%
14
24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 19
24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 20
Định lý 1. Sự hội tụ của chuỗi hình học.
Xét chuỗi hình học

 + 
2 + 
2 +⋯+ 
2 +⋯ = /
2
%
1
≡ /
2
%
14
Nếu 2 < 1 thì chuỗi hình học hội tụ và
/
2
%
1
= 
1 − 2 , 2 < 1
Nếu 2 ≥ 1 thì chuỗi hình học phân kỳ.
Ví dụ 2.
1. Các chuỗi hình học sau có hội tụ không? Nếu có hãy 
tính tổng của chúng.

) / 13
%
1
 9) / 5 −1

4
%
14
2. Biểu diễn các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau 
dưới dạng phân số

) 5.232323 9) 0.999999 .
24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 21
Một số tính chất
• Các chuỗi số sau có hội tụ không?
/1
%
1
 /  + 1
%
1
• Nếu chuỗi ∑
 hội tụ thì 
 → 0.
• Nhưng ngược lại không đúng, có những chuỗi phân 
kỳ nhưng dãy số tương ứng hội tụ về 0.
24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 22
Kiểm tra chuỗi số phân kỳ dựa vào dãy
Nếu dãy 
 không có giới hạn hoặc lim→% 
 ≠ 0 thì
chuỗi ∑
 phân kỳ.
Ví dụ 3. Các chuỗi số sau hội tụ hay phân kỳ?
1./ 
%
1
2./ −2 + 5
%
1
3./ −1 
%
1
24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 23
24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 24
Ví dụ 4. Tính tổng các chuỗi số sau đây
1./ 3
 − 1
6
%
1
 2./ 42
%
14
Chú ý
/

%
1
= 
 + 
 +⋯+ 
0 +/ 

%
10
Nên nếu ∑ 
%1 hội tụ thì ∑ 
%10 cũng hội tụ với mọi 
; ≥ 1 và ngược lại.
Ví dụ 5. Tính tổng chuỗi số
1./ 15
%
1<
 2./ 2 + 3

7
%
1
24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 25
3. CÁC TIÊU CHUẨN HỘI TỤ CỦA 
CHUỖI SỐ
24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 26
Tiêu chuẩn tích phân (integral test).
Cho 
 là dãy số dương (nghĩa là 
 > 0, ∀). Giả sử 

 =   với  là hàm số liên tục, dương, giảm với 
mọi > ≥  ( là số nguyên dương). Thì chuỗi ∑ 
%1?
và tích phân @  > A>%? cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.
Chuỗi ∑ B (C – series)
Ví dụ 6. Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi số
1./ 1
%
1
 2./ 11 + 
%
14
 3./ 1 ln 
%
1
Ví dụ 7. Với giá trị nào của C thì chuỗi sau hội tụ?
/ 1D
%
1
24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 27
E – series
Chuỗi ∑ B%1 hội tụ khi C > 1 và phân kỳ khi C ≤ 1.
Tiêu chuẩn so sánh 1
24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 28
Tiêu chuẩn so sánh 1 (comparison test)
Cho các chuỗi số không âm ∑
, ∑G, ∑A. Giả sử có 
số nguyên dương  sao cho
A ≤ 
 ≤ G, ∀ > 
Nếu ∑G hội tụ thì ∑
 hội tụ.
Nếu ∑A phân kỳ thì ∑
 phân kỳ.
24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 29
Ví dụ 8. Xét sự hội tụ của các chuỗi số.
1./ 55 − 1
%
1
 2./ 1 + 1
%
1
3./ 12 + 
%
14
 4./ ln 
%
1
24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 30
Tiêu chuẩn so sánh 2
24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 31
Tiêu chuẩn so sánh 2 (limit comparison test)
Giả sử 
 ≥ 0, 9 > 0, ∀ ≥  (với  là số nguyên 
dương).
1. Nếu lim→%
H
I = G ∈ 0,∞ thì chuỗi ∑
 và chuỗi ∑9 cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.
2. Nếu lim→%
H
I = 0 và ∑9 hội tụ thì ∑
 hội tụ.
3. Nếu lim→%
H
I = ∞ và ∑9 phân kỳ thì ∑
 phân kỳ.
Ví dụ 9. Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi số sau đây.
1./ 2 + 1 + 1 
%
1
 2./ 2
 − 1
3 + 1
%
1
3./  + 1  + 1
%
1
 4./ 3
 + 2
2 + 3
%
1
5./  ln  + 5
%
1
 6./ ln/
%
1
24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 32
Chuỗi đan dấu (Alternating series)
• Chuỗi đan dấu là chuỗi mà các hạng tử mang dấu 
dương và âm xen kẽ, ví dụ
1 − 12 +
1
3 −
1
4 +⋯+
−1 
 +⋯
−2 + 1 − 12 +
1
4 −
1
8 +⋯+
−1 4
2 +⋯
1 − 2 + 3 − 4 + 5 −⋯+ −1  +⋯
• Tổng quát, chuỗi đan dấu là chuỗi ∑
, trong đó

 = −1 K hoặc 
 = −1 K
với K ≥ 0, ∀.
24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 33
Tiêu chuẩn Leibniz
24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 34
Tiêu chuẩn Leibniz (Leibniz’s test)
Chuỗi đan dấu
/ −1 K
%
1
= K − K + K − K< + KP −⋯
hội tụ nếu có  ∈ ℕ để các điều kiện sau đây là đúng
1. K > 0, ∀ > 
2. K Q? là dãy giảm, nghĩa là K ≥ K, ∀ ≥ 
3. K → 0.
24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 35
Ví dụ 12. Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi số.
1./ −1

%
1
 2./ −1

 + 1
%
14
 3./ −1

2 + 1
%
14
Hội tụ tuyệt đối
• Chuỗi ∑
 được nói là hội tụ tuyệt đối (absolutely 
convergent) nếu chuỗi ∑ 
 hội tụ.
• Chuỗi hội tụ nhưng không hội tụ tuyệt đối được gọi 
là hội tụ có điều kiện (conditionally convergent).
24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 36
Tiêu chuẩn hội tụ tuyệt đối (The absolute convergence 
test)
Nếu chuỗi ∑ 
 hội tụ thì chuỗi ∑
 hội tụ.
Ví dụ 13. Các chuỗi số sau có hội tụ, có hội tụ tuyệt đối 
không?
1./ −1

%
1
 2./ −1


%
1
 3./ 1
%
1
• Nếu ta sắp xếp lại thứ tự lấy tổng cho một chuỗi hội 
tụ có điều kiện thì tổng thu được có thể khác nhau.
• Với chuỗi hội tụ tuyệt đối, mọi cách sắp xếp lại thứ tự 
lấy tổng đều cho kết quả như nhau.
24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 37
Tiêu chuẩn tỉ số (của d’Alembert)
24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 38
Tiêu chuẩn tỉ số (ratio test)
Xét chuỗi số ∑
, giả sử rằng
lim→%



 = R
Nếu R < 1 thì chuỗi hội tụ tuyệt đối.
Nếu R > 1 hoặc R = ∞ thì chuỗi phân kỳ.
(Nếu R = 1 thì không có kết luận tổng quát.)
Ví dụ 10. Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi số sau đây.
1./ 2
 + 5
3
%
1
 2./ !
%
1
3./ 2 !! 
%
1
 4./ 

2 !
%
1
5./ 4
 ! 
2 !
%
1
24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 39
Tiêu chuẩn căn số (của Cauchy)
24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 40
Tiêu chuẩn căn số (root test)
Xét chuỗi số ∑
, giả sử rằng
lim→% 

 = R
Nếu R < 1 thì chuỗi hội tụ tuyệt đối.
Nếu R > 1 hoặc R = ∞ thì chuỗi phân kỳ.
(Nếu R = 1 thì không có kết luận tổng quát.)
Ví dụ 11. Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi số sau đây.
1./ 

2
%
1
 2./ 11 + 
%
1
3./ 2
 + 3
3 + 2
%
1
 4./  + 1
S%
1
5./ 10 1 − 2
S%
1
 6./ 15
S
 + 3 S
%
1
24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 41
Tóm tắt các tiêu chuẩn hội tụ
24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 42
24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 43
Bài tập
Ví dụ 12. Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi số sau đây.
1./  − 12 + 1
%
1
 2./ 
 + 1
3 + 4 + 2
%
1
3./ TS
%
1
 4./ −1  

< + 1
%
1
5./ 2
0
;!
%
01
 6./ 12 + 3
%
1
24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 44
4. CHUỖI LŨY THỪA
24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 45
Định nghĩa 3. Chuỗi lũy thừa (power series)
Chuỗi lũy thừa tâm tại 
 là chuỗi có dạng
/G > − 
 
%
14
= G4 + G > − 
 + G > − 
  +⋯
trong đó tâm 
 và các hệ số G4, G, G,  là các hằng số 
cho trước.
Có thể coi chuỗi lũy thừa là đa thức có bậc vô cùng.
Ví dụ 13. Với giá trị nào của > thì các chuỗi lũy thừa sau 
hội tụ? Tính tổng của chúng.
1./ >
%
14
= 1 + > + > + > +⋯
2./ −1

2 > − 2

%
14
= 1 − 12 > − 2 +
1
4 > − 2
 − 18 > − 2
 +⋯
24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 46
24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 47
24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 48
Ví dụ 14. Với giá trị nào của > thì các chuỗi lũy thừa sau 
đây hội tụ?
1./ ! >
%
14
 2./ > − 3

%
1
3./ −1
>
2 ! 
%
14
24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 49
Định lý về sự hội tụ
24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 50
Định lý 2. Về sự hội tụ của chuỗi lũy thừa.
Xét chuỗi lũy thừa ∑ G>%14 = G4 + G> + G> +
G> +⋯
1. Nếu nó hội tụ tại > = G ≠ 0 thì nó hội tụ tại mọi >
thỏa > < G .
2. Nếu nó phân kỳ tại > = A thì nó phân kỳ tại mọi >
thỏa > > A .
Bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa
The Radius of Convergence of a Power Series
24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 51
Bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa.
Chuỗi lũy thừa ∑G > − 
  chỉ có thể xảy ra một 
trong ba trường hợp sau.
1. Có số U > 0 sao cho chuỗi phân kỳ với > − 
 > U
và hội tụ (tuyệt đối) với > − 
 < U. Còn tại các đầu 
mút > = 
 − U, > = 
 + U chuỗi có thể hội tụ, có thể 
phân kỳ.
2. Chuỗi hội tụ tuyệt đối với mọi > (U = ∞).
3. Chuỗi chỉ hội tụ tại > = 
 và phân kỳ tại mọi > ≠ 

(U = 0).
• Giá trị U nói trên gọi là bán kính hội tụ của chuỗi lũy 
thừa.
• Khoảng hội tụ (hay miền hội tụ) là khoảng chứa tất 
cả các giá trị của > để chuỗi lũy thừa hội tụ.
• Tìm bán kính hội tụ và khoảng hội tụ cho các chuỗi 
lũy thừa trong Ví dụ 14.
24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 52
24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 53
24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 54
Bài tập
Ví dụ 15. Tìm bán kính hội tụ và khoảng hội tụ.
1./ −3
>
 + 1
%
14
 2./  > + 2

3
%
14
3./  2> − 1 
%
1
 4./ 3> + 2

 + 1
%
14
5./ 1 − 2>5
%
14
 6./ −1
>
!
%
14
7./ −1
>
 + 
%
1
24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 55
Vi phân chuỗi lũy thừa
24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 56
Tích phân chuỗi lũy thừa
24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 57
Chuỗi Taylor
24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 58
24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 59
24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 60
Đa thức Taylor
24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 61
24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 62
24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 63
24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 64
24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 65
24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 66
24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 67
24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 68
24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 69
Sự hội tụ của chuỗi Taylor
24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 70
24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 71
24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 72
24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 73
24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 74
24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 75
24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 76