Bài giảng Toán cho tin học - Chương 4: Tích phân và ứng dụng - Huỳnh Văn Kha

Chương 4
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
ThS. Huỳnh Văn Kha
TÓM TẮT NỘI DUNG
1. Một số bài toán mở đầu.
2. Định nghĩa tích phân xác định.
3. Định lý cơ bản của phép tính vi tích phân.
4. Các phương pháp tính tích phân.
5. Một số ứng dụng của tích phân.
6. Phương pháp số.
7. Tích phân suy rộng.
24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 2
1. MỘT SỐ BÀI TOÁN MỞ ĐẦU
• Tính diện tích hình phẳng 
 nằm trên trục , dưới 
đường  =   = 1 − 	 và giữa  = 0,  = 1.
24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 3
• Xấp xỉ bằng tổng trên (upper sum).
24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 4
• Xấp xỉ tốt hơn khi tăng số khoảng chia.
24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 5
24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 6
• Có thể xấp xỉ bằng tổng dưới (lower sum).
24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 7
24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 8
• Có thể xấp xỉ bằng các hình chữ nhật có chiều cao 
bằng giá trị của  tại điểm giữa các khoảng chia.
24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 9
• Khoảng xác định , 
 của hàm số  có thể được 
chia thành  khoảng con có độ dài bằng nhau
Δ = 
 − 
• Chiều cao của mỗi hình chữ nhật có thể được tính 
bằng giá trị của  tại một điểm tùy ý nào đó trong 
mỗi khoảng con.
• Tổng như vậy có dạng   +  	  +    +⋯+   
• Chú ý là tổng này vẫn chưa phải là giá trị chính xác 
của diện tích cần tìm.
24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 10
24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 11
Tính khoảng cách di chuyển
• Nếu một vật di chuyển với vận tốc   thì trong 
khoảng thời gian từ  =  đến  = 
 vật đó đi được 
bao xa?
• Nếu biết một nguyên hàm của   là   thì vị trí 
của vật đó ở thời điểm  là   =   + .
• Quãng đường đi được là  
 −   =  
 −   .
• Trong nhiều trường hợp ta không biết nguyên hàm 
của   hoặc thậm chí chỉ biết vận tốc tại một vài 
thời điểm nhất định. Có cách nào xấp xỉ khoảng cách 
di chuyển của vật đó hay không?
24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 12
• Chia khoảng , 
 thành n khoảng thời gian đều 
nhau có độ dài Δ.
– Trên khoảng thời gian thứ 1, chọn tùy ý.
– Trên khoảng thời gian thứ 2, chọn 	 tùy ý.
– 
– Trên khoảng thời gian thứ , chọn  tùy ý.
24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 13
• Xấp xỉ quãng đường đi được như sau
– Quãng đường đi được trên khoảng thời gian thứ 1 xấp xỉ 
bằng   Δ.
– Quãng đường đi được trên khoảng thời gian thứ 2 xấp xỉ 
bằng  	 Δ.
– 
– Quãng đường đi được trên khoảng thời gian thứ  xấp xỉ 
bằng   Δ.
24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 14
2. ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
• Nhiều biểu thức tổng (như các tổng xấp xỉ nói trên) 
có thể được viết gọn bằng ký hiệu sigma



=  + 	 +  +⋯+  + 
• Ví dụ
1	 + 2	 + 3	 +⋯+ 10	 = "	
#

 1 +  2 +⋯+  100 = $
##
%
24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 15
24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 16
24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 17
24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 18
Ví dụ 1. Xét bài toán tính diện tích hình phẳng giới hạn 
bởi trục , đường cong  =   = 1 − 	 và hai 
đường thẳng đứng  = 0,  = 1.
Chia khoảng 0,1 thành  khoảng con có độ dài bằng 
nhau Δ = 1/.
a) Viết lại tổng dưới ' bằng ký hiệu sigma và tínhlim→, '
b) Viết lại tổng trên - bằng ký hiệu sigma và tínhlim→,-
Lặp lại yêu cầu trên, thay hàm số   bằng .  = .
24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 19
Tổng Riemann
• Tổng quát, xét hàm số  xác định trên khoảng , 
 .
• Chia , 
 thành  khoảng (không nhất thiết có độ 
dài bằng nhau) bằng cách chọn  − 1 điểm , 	,  ,  nằm trong khoảng , 
 thỏa <  < 	 < ⋯ <  < 

• Để tiện lợi, đặt # =  và  = 
.
• Tập hợp 1 = #, , 	,  , 
gọi là một phân hoạch (partition) của khoảng , 
 .
• Đặt Δ =  −  (nếu cách khoảng chia đều 
nhau thì Δ = 
 −  / với mọi ").
24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 20
24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 21
• Trên khoảng con thứ " chọn số  tùy ý.
• Tổng sau đây gọi là tổng Riemann của  trên , 

23 =   Δ


• Chú ý, nếu các khoảng chia là đều và  được chọn 
tại đầu mút bên phải tại mỗi khoảng con thì
2 =   + " 
 − 

 − 



24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 22
24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 23
Định nghĩa tích phân
• Chuẩn (norm) của phân hoạch 1, ký hiệu 1 , được 
định nghĩa là độ rộng lớn nhất của các khoảng con1 = max66Δ
• Nếu với mọi phân hoạch 1 để cho 1 đủ nhỏ, tổng 
Riemann 23 đủ gần giá trị 7 nào đó (bất chấp cách 
chọn  trong mỗi khoảng con) thì ta nói 7 là tích 
phân xác định của  trên khoảng , 
 .
• Nói cách khác, nếu tổng Riemann 23 tiến về giá trị 7
nào đó khi 1 → 0 thì ta nói tích phân xác định của  trên , 
 là 7.
24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 24
24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 25
Định nghĩa 1. Tích phân xác định – definite integral
Cho hàm số  xác định trên khoảng , 
 . Ta nói 7 là 
tích phân xác định của  trên , 
 nếu 7 là giới hạn 
của tổng Riemann 23 = ∑   Δ khi 1 → 0
theo nghĩa
Với mọi 9 > 0, tồn tại ; > 0 sao cho với mọi phân 
hoạch 1 của , 
 thỏa 1 < ; và với mọi sự lựa 
chọn  ∈ ,  ta có
23 − 7 =   Δ


− 7 < 9
• Tích phân xác định 7 của  trên , 
 được ký hiệu là
=   >?
@
24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 26
• Nếu điều kiện trong định nghĩa trên được thỏa mãn, 
thì ta nói tổng Riemann hội tụ về tích phân xác định 
7 = A   >?@ và hàm  là khả tích trên , 
 . Khi 
đó ta có thể viết
lim3 →#  Δ


= 7 = =   >?
@
• Chú ý, tích phân xác định chỉ phụ thuộc vào hàm số, 
không phụ thuộc vào cách gọi tên biến số, cho nên
=   >?
@
= =   >?
@
= =  B >B?
@
= ⋯
24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 27
Tính khả tích của hàm liên tục
• Không phải mọi hàm số đều khả tích, ví dụ hàm số 
  = C1, nếu  hữu tỉ0, nếu  vô tỉ là không khả tích.
• Hàm số   được gọi là có bước nhảy (jump 
discontinuity) tại  nếu giới hạn trái và phải khi 
tiến về  đều tồn tại hữu hạn nhưng khác nhau.
24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 28
Định lý 1. Tính khả tích của hàm liên tục
Nếu hàm số  liên tục trên , 
 hoặc nếu  chỉ có hữu 
hạn bước nhảy trên , 
 thì A   >?@ tồn tại và 
khả tích trên , 
 .
Một số tính chất
24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 29
24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 30
24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 31
24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 32
24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 33
Ví dụ 2.
1. Tính tích phân
= >?
#
, với 
 > 0
2. Tính tích phân
= >?
@
, với 
 > 
3. Tính tích phân
= 	>?
@
, với 
 > 
24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 34
3. ĐỊNH LÝ CƠ BẢN CỦA PHÉP TÍNH 
VI TÍCH PHÂN
• Nếu   khả tích trên , 
 thì với  ∈ , 
 đặt
  = =   >O
@
24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 35
  + ℎ −   ≈   ℎ
R  = limS→#
  + ℎ −  
ℎ =  
24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 36
24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 37
Định lý 2. Định lý cơ bản của vi tích phân – phần 1
Nếu  liên tục trên , 
 thì   = A   >O@ liên tục 
trên , 
 , khả vi trên , 
 và R  =  
R  = >>=   >
O
@
= R 
Ví dụ 3. Dùng định lý trên tính 
TU
TO biết
1.  = = 1 +  >O
@
 2.  = = cos 1 + 	 >O
Z

3.  = = [\]^ _>`
aOZ
Công thức Newton-Leibnitz
24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 38
Định lý 2 (tt). Định lý cơ bản của vi tích phân – phần 1
Nếu  liên tục trên , 
 và  là một nguyên hàm của 
trên , 
 thì
=   >?
@
=  
 −   ≡   c@
?
Ví dụ 4. Tính các tích phân.
1.= sin  >d
#
 2. = 32  −
4
	 >
`

3.= >1 + 

#
 4. = >1 + 	 >

#
4. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH 
PHÂN
24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 39
Định lý 3. Quy tắc đổi biến (substitution rule) cho tích 
phân bất định
Nếu B = .  là hàm số khả vimà giá trị thuộc khoảng f và nếu  liên tục trên f thì
= .  .R  > = = B >B
Ví dụ 5. Tính các tích phân bất định.
1.=	[Og> 2. = >h[i + [i
3.= 2 + 1> 4. = 2j>jj	 + 1g
24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 40
Định lý 4. Quy tắc đổi biến cho tích phân xác định
Nếu .R liên tục trên , 
 và  liên tục trên miền giá trị 
của B = .  thì
=  .  .R  >?
@
= =  B >Bk ?
k @
Ví dụ 6. Tính các tích phân xác định.
1.= 3	  + 1>

 2. = cos hsin h >h
d/	
d/`
3.= tan  >d/`
d/`
 4. = 4> 1 + ln	 
lm/n

Tích phân của hàm đối xứng 
(symmetric function)
• Cho hàm số  xác định trên khoảng đối xứng −,  .
•  được nói là chẵn nếu  − =   , ∀ ∈ −,  .
•  được nói là lẻ nếu  − = −  , ∀ ∈ −,  .
24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 41
Định lý 7. Tích phân hàm đối xứng
Cho  liên tục trên khoảng đối xứng −,  .
a) Nếu  chẵn (even) thì A   >@@ = 2A   >@# .
b) Nếu  lẻ (odd) thì A   >@@ = 0.
24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 42
24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 43
Tích phân từng phần –
integration by parts
24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 44
Định lý 5. Tích phân từng phần cho tích phân bất định
=  .R  > =   .  − =R  .  >
hoặc viết gọn AB> = B − A>B.
Ví dụ 7. Tính các tích phân bất định.
1.= cos 2 > 2. =ln  >
3.=arctan  >
24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 45
Định lý 6. Tích phân từng phần cho tích phân xác định
=   .R  >?
@
=   .  c@
? −= R  .  >?
@
hoặc viết gọn A B>?@ = B|@? − A >B?@ .
Ví dụ 8. Tính các tích phân.
1.= [O>`
#
 2. = arcsin  >
#
3.=	[O> 4. = sin 3 >
5. MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH 
PHÂN
• Một thiết diện (cross-section) của khối 2 là một miền 
phẳng tạo thành từ việc cắt 2 bằng một mặt phẳng.
24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 46
Tính thể tích
• Thể tích khối trụ bằng diện tích đáy nhân chiều caoThể tích = diện tích đáy × chiều cao
24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 47
24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 48
24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 49
24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 50
• Một cái nêm được cắt ra từ một khối trụ tròn có bán 
kính đáy bằng 3 bằng hai mặt phẳng. Mặt phẳng thứ 
nhất vuông góc với trục của khối trụ. Mặt thứ hai cắt 
mặt thứ nhất theo một góc 45# tại tâm của khối trụ. 
Tính thể tích cái nêm này.
24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 51
24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 52
24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 53
24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 54
Tính độ dài đường cong
• Đường cong  =   gọi là trơn (smooth) nếu  là 
hàm số khả vi và đạo hàm của nó liên tục.
24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 55
24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 56
24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 57
• Tính độ dài của đồ thị hàm số
  = 12 +
1
 ,  ∈ 1,4
24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 58
Tính công của lực
• Một vật chịu tác động của một lực (force)  có độ 
lớn không đổi theo hướng chuyển động, nếu nó di 
chuyển một khoảng > thì công (work) của lực  được 
định nghĩa là } = >.
• Nếu lực  =   (không phải là hằng số), tác động 
làm vật di chuyển từ  =  đến  = 
 thì công của 
lực là bao nhiêu?
• Chia khoảng , 
 thành  khoảng con ,  . 
Lấy  ∈ ,  thì công được xấp xỉ bằng
Work ≈   Δ


24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 59
24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 60
• Định luật Hooke (Hooke’s Law) nói rằng lực cần thiết 
để giữ một lò xo ở trạng thái nén hay giãn  đơn vị
so với chiều dài tự nhiên của nó tỷ lệ thuận với  = "
với " là hằng số.
• Tìm công cần thiết để nén một lò xo có chiều dài tự 
nhiên 1  xuống còn 0.75 , biết " = 16 ‚
/
24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 61
24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 62
6. PHƯƠNG PHÁP SỐ
• Xấp xỉ hình thang (trapezoidal approximation)
24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 63
Quy tắc hình thang
24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 64
Quy tắc Simpson – Simpson’s Rule
• Quy tắc Simpson xấp xỉ hàm số bằng các đường 
parabola.
24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 65
24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 66
24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 67
7. TÍCH PHÂN SUY RỘNG
• Nếu các cận lấy tích phân bằng vô cùng thì ta nói tích 
phân là suy rộng loại I (improper integral of Type I).
24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 68
Định nghĩa 2. Tích phân suy rộng loại I
Nếu  liên tục trên ,∞ thì
=   >,
@
= lim?→,=   >
?
@
Nếu  liên tục trên −∞, 
 thì
=   >?
,
= lim@→,=   >
?
@
• Trong các định nghĩa trên, nếu giới hạn bên phải tồn 
tại và hữu hạn, ta nói tích phân là hội tụ (converge).
• Ngược lại, nếu giới hạn không tồn tại hoặc bằng vô 
cùng thì ta nói tích phân là phân kỳ (diverge).
• Nếu cả hai cận bằng vô cùng, ta cũng có tích phân 
suy rộng loại I
=   >,
,
= =   >„
,
+=   >,
„
với  liên tục trên −∞,∞ và  là hằng số tùy ý.
• Tích phân này được nói là hội tụ nếu cả hai tích phân 
vế phải hội tụ, ngược lại gọi là phân kỳ.
24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 69
Ví dụ 9. Tính các tích phân suy rộng.
1.= [O/	>,
#
24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 70
2.= 12 − 3>

,
3.= 1 + 1>
,
#
4.= 11 + 	
,
,
24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 71
5.= [	O>#
,
6.= 13 + 5  >
,

7.= ln 	 >
,

24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 72
8.= 2 + 1[O >
,
#
9.= [
O
1 + [	O >
,
,
Ví dụ 10. Với giá trị nào của ‡ thì tích phân sau hội tụ?
f = = 1ˆ >
,

24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 73
Tích phân suy rộng loại II
• Nếu hàm số lấy tích phân tiến ra vô cùng trong 
khoảng lấy tích phân (hữu hạn), ta nói tích phân là 
suy rộng loại II (improper integral of Type II).
24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 74
Định nghĩa 3. Tích phân suy rộng loại II
Nếu  liên tục trên , 
 và gián đoạn tại  thì
=   >?
@
= lim„→@‰=   >
?
„
Nếu  liên tục trên , 
 và gián đoạn tại 
 thì
=   >?
@
= lim„→?Š=   >
„
@
• Trong các định nghĩa trên, nếu giới hạn bên phải tồn 
tại và hữu hạn, ta nói tích phân là hội tụ (converge).
• Ngược lại, nếu giới hạn không tồn tại hoặc bằng vô 
cùng thì ta nói tích phân là phân kỳ (diverge).
• Nếu  liên tục trên ,  ∪ , 
 và gián đoạn tại  ∈ , 
 thì ta cũng có tích phân suy rộng loại II
=   >?
@
= =   >„
@
+=   >?
„
• Tích phân này được nói là hội tụ nếu cả hai tích phân 
vế phải hội tụ, ngược lại gọi là phân kỳ.
24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 75
Ví dụ 11. Tính các tích phân
suy rộng.
1.= >

#
24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 76
2.= 11 −  >

#
24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 77
3.= > − 1 	/

#
24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 78
4.= >cos 
d/	
#
5.= ln  >
#
Ví dụ 12. Với giá trị nào của ‡ thì tích phân sau hội tụ?
= 1ˆ >

#
24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 79