Bài giảng Toán cho tin học - Chương 3: Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến - Huỳnh Văn Kha

Chương 3
ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN 
HÀM NHIỀU BIẾN
ThS. Huỳnh Văn Kha
TÓM TẮT NỘI DUNG
1. Giới hạn và liên tục của hàm nhiều biến.
2. Đạo hàm riêng.
3. Xấp xỉ tuyến tính và vi phân.
4. Đạo hàm hàm hợp, hàm ẩn.
5. Cực trị địa phương.
24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 2
1. GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC CỦA HÀM 
NHIỀU BIẾN
• Thể tích của khối trụ là
 = ℎ
• Thể tích 
 = 
 , ℎ là hàm số theo 2 biến  và ℎ.
24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 3
Định nghĩa 1. Hàm nhiều biến – function of several variables
Cho  là tập hợp các bộ 	 con số có dạng 
, 
,  , 

 . 
Một hàm số (function)  trên  là một quy tắc mà ứng với 
mỗi phần tử của  cho tương ứng duy nhất một con số 
thực  =  
, 
,  , 

 .
Miền  được gọi là tập xác định (domain) của .
Tập các giá trị có thể của  gọi là miền giá trị (range).
24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 4
Ví dụ hàm hai biến
24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 5
Ví dụ hàm ba biến
24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 6
Đồ thị hàm hai biến
• Tập hợp các điểm 
, ,  
,  với 
,  thuộc tập 
xác định của  được gọi là đồ thị (graph) của .
24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 7
24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 8
24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 9
Giới hạn hàm hai biến
• Nếu giá trị của  
,  có thể gần  tùy ý với mọi 
,  đủ gần 
,  thì ta nói  có giới hạn bằng 
khi 
,  tiến về 
,  .
24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 10
Định nghĩa 2. Giới hạn - limit
Ta nói  
,  có giới hạn bằng  khi 
,  tiến về 
,  và viết lim, → ,  
,  = 
nếu với mọi  > 0 đều tồn tại  > 0 sao cho với mọi 
,  thuộc miền xác định của 
0 < 
 − 
  +  −   <  ⇒  
,  −  < 
24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 11
Sự liên tục của hàm hai biến
24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 12
Định nghĩa 3. Liên tục – continuous
Ta nói  
,  liên tục tại điểm 
,  nếu
1.  xác định tại 
,  ,
2. lim, → ,  
,  tồn tại,
3. lim, → ,  
,  =  
,  .
Một hàm số được nói là liên tục nếu nó liên tục tại mọi 
điểm thuộc tập xác định của nó.
2. ĐẠO HÀM RIÊNG
• Cho hàm hai biến  
,  . Cố định  =  ta được 
hàm một biến " 
 =  
,  .
• Đạo hàm của hàm số này tại 
 gọi là đạo hàm riêng 
(viết tắt là ĐHR) theo biến 
 của  tại điểm (
, ).
24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 13
Định nghĩa 4. Đạo hàm riêng – partial derivative
Đạo hàm riêng theo biến 
 của hàm số  
,  tại điểm 
,  được định nghĩa là%
%
& ,
= lim'→
 
 + ℎ,  −  
, ℎ
24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 14
• Một cách tương đương, ta có thể định nghĩa%
%
& ,
= ((
  
,  &
• ĐHR theo biến 
 của ) =  
,  tại điểm 
, 
được ký hiệu theo nhiều cách%
%
& ,
,  
,  , hoặc %)%
& ,
, ) 
, 
• ĐHR theo biến 
 của ) =  
,  cũng là hàm số hai 
biến và được ký hiệu%
%
  hoặc 
%)
%
 )
24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 15
• Tương tự ta có định nghĩa%
%& ,
= ((  
,  &
= lim'→
 
,  + ℎ −  
, ℎ
• Đạo hàm riêng theo biến  của ) =  
,  tại điểm 
,  được ký hiệu theo nhiều cách%
%& ,
,  
,  , hoặc %)%& ,
, ) 
, 
• ĐHR theo biến  của ) =  
,  cũng là hàm số hai 
biến và được ký hiệu%
%  hoặc 
%)
% )
24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 16
24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 17
Véc-tơ gradient – Tính ĐHR
• Để tính ĐHR theo 
, ta coi  là hằng số.
• Để tính ĐHR theo , ta coi 
 là hằng số.
• Nếu các ĐHR đều tồn tại, ta đn véc-tơ gradient là
/ =  , 
Ví dụ 1.
a) Tính 
01
0, 
01
0 và / tại điểm 4,−5 biết 
,  = 
 + 3
 +  − 1
b) Tính 
01
0, 
01
0 và / trong các trường hợp sau
 
,  =  sin 
 ,  
,  = 2 + cos 
24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 18
ĐHR hàm nhiều biến hơn
• Định nghĩa ĐHR cho hàm nhiều biến hơn hoàn toàn 
tương tự.
• Véc-tơ gradient là véc-tơ mà thành phần thứ 9 là đạo 
hàm riêng theo biến thứ 9
/ = : , ; ,  , <
• Để tính ĐHR theo một biến, ta coi tất cả các biến còn 
lại là hằng số.
Ví dụ 2.
Tính , , = và / biết 
, , ) = 
 sin  + 3)
24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 19
ĐHR cấp cao
• Các ĐHR  và  của hàm hai biến  
,  cũng là 
những hàm hai biến.
• Các ĐHR của  và  được gọi là các ĐHR cấp hai của . Chúng được ký hiệu lần lượt là
 = %%
%
%
 =
%
%
 ,  =
%
%
%
%
 =
%
%%
 = %%
%
% =
%
%
% ,  =
%
%
%
% =
%
%
• Các ĐHR cấp cao hơn thì tương tự.
24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 20
Ví dụ 3. Tính tất cả các ĐHR cấp hai của
a)  
,  = 
 cos  + >
b)  
,  = 

24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 21
Định lý 1. Định lý Clairaut.
Nếu  
,  và các ĐHR của nó , , ,  tồn tại 
trên một miền mở chứa điểm ?, @ và tất cả chúng 
đều liên tục tại ?, @ thì ?, @ =  ?, @
• Định lý trên nói rằng, nếu tất cả các ĐHR đều liên tục
thì thứ tự lấy đạo hàm không quan trọng.
• Với hàm nhiều biến hơn thì các định nghĩa và ký hiệu 
cũng tương tự, ví dụ%A
%
% =  
%B
%
%%) = =
Ví dụ 4. Tính = biết 
, , ) = 1 − 2
) + 

24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 22
Tính khả vi - differentiability
• Hàm một biến  =  
 khả vi tại 
 khi nó có đạo 
hàm tại đó, nghĩa là giới hạn sau tồn tại
C 
 = lim'→
Δ
Δ
 = lim'→
 
 + ℎ −  
ℎ
• Nếu đặt
 = ΔΔ
 − C 

thì Δ = C 
 Δ
 + Δ
 và limE→  = 0.
24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 23
24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 24
Định nghĩa 5. Khả vi - differentiable
Cho hàm số ) =  
,  và đặtΔ) =  
 + Δ
,  + Δ −  
, 
Hàm số nói trên được gọi là khả vi tại 
,  nếu  
,  và  
,  tồn tại, đồng thời Δ) thỏa mãn 
một phương trình có dạngΔ) =  
,  Δ
 +  
,  Δ + Δ
 + Δ
Trong đó mỗi  và  đều tiến về 0 khi cả Δ
, Δ → 0.
Ta nói  khả vi nếu nó khả vi tại mọi điểm thuộc miền 
xác định.
24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 25
Định lý 2.
Nếu các ĐHR ,  của  
,  đều liên tục trên một 
miền mở F thì  khả vi tại mọi điểm thuộc F.
Định lý 3.
Nếu  
,  khả vi tại 
,  thì nó liên tục tại 
,  .
3. XẤP XỈ TUYẾN TÍNH VÀ VI PHÂN
• Nếu  
,  , đặt Δ
 = 
 − 
 và Δ =  −  thì 
,  −  
, =  
,  Δ
 +  
,  Δ + Δ
 + Δ
với ,  → 0 khi Δ
, Δ → 0
24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 26
Định nghĩa 6. Xấp xỉ tuyến tính – linear approximation
Nếu  
,  khả vi tại 
,  thì tuyến tính hóa
(linearization) của  tại đó là hàm 
, =  
,  +  
,  
 − 
 +  
,   − 
Và xấp xỉ  
,  ≈  
,  được gọi là xấp xỉ tuyến tính
(linear approximation) của  tại 
,  .
24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 27
• Nếu  có các ĐHR cấp một và cấp hai liên tục trên 
một hình chữ nhật mở F có tâm tại 
,  ,
• và gọi H là một chận trên của  ,  ,  trên F thì sai số I 
,  =  
,  −  
,  thỏa
I 
,  ≤ 1
2
H 
 − 
 +  − 

Ví dụ 5. Xấp xỉ tuyến tính  
,  = 
 − 
 +

 + 3
tại 3,2 . Dùng nó tính xấp xỉ giá trị  3.1,2.1 và đánh 
giá sai số của xấp xỉ này.
24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 28
Vi phân – differential
• Trong xấp xỉ nói trênΔ ≈  
,  Δ
 +  
,  Δ
Nếu ta thay Δ
 = (
, Δ = ( thì vế phải chính là vi 
phân toàn phần của  tại 
,  .
24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 29
Định nghĩa 7. Vi phân toàn phần – total differential
Vi phân toàn phần của  
,  tại 
,  được định 
nghĩa là( 
,  =  
,  (
 +  
,  (
Hay viết gọn ( = (
 + (
• Tương tự cho hàm nhiều biến hơn.
• XXTT của  
, , ) tại L 
, , ) là 
, , ) ≈  
, , )=  L +  L 
 − 
 +  L  −  + = L ) − )
• Sai số I =  
, , ) −  
, , ) thỏa
I ≤ 1
2
H 
 − 
 +  −  + ) − )

• Vi phân toàn phần của hàm ba biến là
( = (
 + ( + =()
24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 30
Ví dụ 6.
a) Cho hàm số  
,  = 
A + >
- Tính ( 2,0 .
- Xấp xỉ tuyến tính cho  tại 2,0 . Dùng nó tính xấp xỉ 
giá trị  1.94, −0.09 và đánh giá sai số của xấp xỉ này.
b) Cho hàm số  
, , ) = 
 − 
 + 3 sin )
- Tính ( 2,1,0 .
- Xấp xỉ tuyến tính cho  tại 2,1,0 . Dùng nó tính xấp xỉ 
giá trị  2.01,0.98,0.01 và đánh giá sai số của xấp xỉ 
này.
24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 31
4. ĐẠO HÀM HÀM HỢP, HÀM ẨN
• Trường hợp 1 biến, nếu  =  
 và 
 = " O thì(
(O =
(
(
(
(O
24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 32
Định lý 4. Đạo hàm hàm hợp 1.
Nếu  =  
,  khả vi và 
 = 
 O ,  =  O cũng là
những hàm khả vi thì hàm hợp  =  
 O ,  O khả
vi theo O và(
(O =  
 O ,  O 
C O +  
 O ,  O C O
Hay 
PQ
PR = 010 PPR + 010 PPR .
24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 33
• Trường hợp nhiều biến hơn, ta có công thức tương 
tự.
24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 34
Định lý 5. Đạo hàm hàm hợp 2.
Nếu  =  
, , ) khả vi và 
 = 
 O ,  =  O , ) =) O cũng là những hàm khả vi thì hàm hợp  =
 
 O ,  O , ) O khả vi theo O và
(
(O =
%
%
(
(O +
%
%
(
(O +
%
%)
()
(O
24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 35
Ví dụ 7.
a) Dùng công thức đạo hàm hàm hợp tính đạo hàm của = 

theo biến O, biết 
 = cos O và  = sin O. Tính giá trị của 
đạo hàm này tại O = /2.
b) Tính (/(O biết
 = 
 + ), 
 = cos O ,  = sin O , ) = O
Tính 
PQ
PR
0 .
24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 36
24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 37
Định lý 6. Đạo hàm hàm hợp 3.
Nếu  =  
, , ) khả vi và 
 = " , T ,  = ℎ , T , ) = U , T cũng là những hàm khả vi thì hàm hợp  = " , T , ℎ , T , U , T khả vi và
%
% =
%
%
%
% +
%
%
%
% +
%
%)
%)
%
%
%T =
%
%
%
%T +
%
%
%
%T +
%
%)
%)
%T
24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 38
24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 39
24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 40
• Trường hợp  =  
,  và 
 = " , T ,  = ℎ , T
ta cũng có công thức tương tự
24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 41
%
% =
%
%
%
% +
%
%
%
%%
%T =
%
%
%
%T +
%
%
%
%T
• Tổng quát,  =  
, 
,  , 

 và mỗi 
V là một 
hàm theo U biến O, O,  , OW thì với mỗi X = 1, U%
%OY =
%
%
%
%OY +
%
%

%
%OY +⋯+
%
%
%

%OY
Ví dụ 8.
a) Tính %/% và %/%T biết = 
 + 2 + )

 = T ,  =  + ln T , ) = 2
b) Tính %/% và %/%T biết = 
 + , 
 =  − T,  =  + T
24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 42
Đạo hàm hàm ẩn
• Các phương trình
A + A − 9
 = 0 và 
 +  − 25 = 0
thể hiện mối liên hệ ẩn của  theo 
.
• Nếu từ ] 
,  = 0 ta có thể suy ra  =  
 ( là 
hàm số theo 
) thì khi đó ta nói  là một hàm ẩn 
(implicit function).
• Một số trường hợp ta có thể suy ra công thức tường 
minh cho hàm ẩn  =  
 .
• Tuy nhiên trong nhiều trường hợp ta không có được 
công thức tường minh. 
24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 43
24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 44
• Giả sử rằng
– Hàm số ] 
,  khả vi,
– Phương trình ] 
,  = 0 xác định được hàm ẩn khả vi = ℎ 
 .
• Khi đó hàm hợp  
 = ] 
, ℎ 
 khả vi và do  
 = 0 nên
0 = ((
 =
%]
%
(
(
 +
%]
%
(
(
 = ] + ]
(
(
• Nếu ] ≠ 0 thì (
(
 = −
]]
24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 45
24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 46
24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 47
Định lý 7. Đạo hàm ẩn.
Nếu ] 
,  khả vi và phương trình ] 
,  = 0 xác
định được  là hàm ẩn khả vi theo 
 thì tại những điểm ] ≠ 0 (
(
 = −
]]
Ví dụ 9.
a) Tính C biết  = 
.
b) Tính C biết  = 
 + sin 

c) Tính độ dốc đường tròn 
 +  = 25 tại 3,−4 .
24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 48
• Nếu
– Hàm số ] 
, , ) khả vi,
– Phương trình ] 
, , ) = 0 xác định được ) =  
,  là 
hàm ẩn khả vi
• Thì hàm hợp  = ] 
, ,  
,  khả vi và
0 = %%
 = ]
%
%
 + ]
%
%
 + ]=
%)
%
 = ] + ]=
%)
%
0 = %% = ]
%
% + ]
%
% + ]=
%)
% = ] + ]=
%)
%
24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 49
• Suy ra, nếu ]= ≠ 0 thì%)
%
 = −
]]= 
%)
% = −
]]=
Ví dụ 10.
Tính %)/%
 và %)/% tại điểm 0,0,0 biết
A + ) + >= + ) cos  = 0
24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 50
5. CỰC TRỊ ĐỊA PHƯƠNG
24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 51
Định nghĩa 8. Cực trị địa phương – Local extremum
Cho  
,  là hàm số xác định trên F chứa điểm ?, @ .
Điểm ?, @ được gọi là một điểm cực đại địa phương
(local maximum) của  nếu tồn tại đĩa tròn mở _ có tâm 
tại ?, @ sao cho ?, @ ≥  
,  , ∀ 
,  ∈ _ ∩ F
Điểm ?, @ được gọi là một điểm cực tiểu địa phương
(local minimum) của  nếu tồn tại đĩa tròn mở _ có tâm 
tại ?, @ sao cho ?, @ ≤  
,  , ∀ 
,  ∈ _ ∩ F
24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 52
24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 53
24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 54
• Nếu  đạt cực đại hoặc cực tiểu địa phương tại ?, @ thì ta nói ?, @ là một điểm cực trị (địa 
phương) của .
24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 55
Định lý 8. Kiểm tra cực trị bằng đạo hàm riêng cấp 1.
Nếu  
,  đạt cực trị tại điểm trong ?, @ của miền 
xác định và nếu các đạo hàm riêng của  tại đó đều tồn 
tại thì khi đó  ?, @ =  ?, @ = 0
24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 56
• Điểm trong của miền xác định, mà tại đó  và  đều 
bằng 0 hoặc ít nhất một trong chúng không tồn tại, 
thì ta nói điểm đó là điểm tới hạn (critical point).
• Định lý 8 nói rằng một điểm là cực trị (địa phương) thì 
bắt buộc phải là điểm tới hạn hoặc điểm biên.
• Tuy nhiên không phải mọi điểm tới hạn đều là cực trị.
• Điểm tới hạn ?, @ của hàm số khả vi  được nói là 
điểm yên ngựa (saddle point) nếu nó không phải là 
cực trị.
24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 57
24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 58
24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 59
24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 60
24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 61
Định lý 9. Kiểm tra cực trị bằng đạo hàm riêng cấp 2.
Cho  
,  là hàm số có đạo hàm riêng cấp 1 và 2 liên 
tục trên đĩa tròn tâm ?, @ . Giả sử  ?, @ = ?, @ = 0 (tức là ?, @ là điểm tới hạn), khi đó đặt
Δ = Δ ?, @ =  ?, @  ?, @ −  ?, @ 
ta sẽ có các kết luận sau
a) Nếu Δ > 0 và  ?, @ > 0 thì ?, @ là cực tiểu.
b) Nếu Δ > 0 và  ?, @ < 0 thì ?, @ là cực đại.
c) Nếu Δ < 0 thì ?, @ là điểm yên ngựa.
Ví dụ 11. Tìm cực trị địa phương của các hàm số sau.
1.  
,  = 
 − 
 −  − 2
 − 2 + 4.
2.  
,  = 3 − 2A − 3
 + 6
.
3.  
,  = 1 + 
 
 +  .
4.  
,  = 
 +

+

.
5.  
,  = 
B + B − 4
 + 1.
24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 62