Bài giảng Toán cho tin học - Chương 2: Đạo hàm và ứng dụng - Huỳnh Văn Kha

Chương 2
ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG
ThS. Huỳnh Văn Kha
TÓM TẮT NỘI DUNG
1. Định nghĩa đạo hàm.
2. Một số quy tắc tính đạo hàm.
3. Xấp xỉ tuyến tính và vi phân.
4. Cực trị và giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.
5. Quy tắc L’Hospital.
6. Phương pháp Newton xấp xỉ nghiệm phương trình 
  = 0.
7. Nguyên hàm.
24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 2
1. ĐỊNH NGHĨA ĐẠO HÀM
• Hàm đo khoảng cách di chuyển của một chất điểm là  = 
  thì vận tốc tức thời tại thời điểm  là
  = lim→

  + ℎ − 
 ℎ
• Vận tốc   còn được gọi là đạo hàm của 
 tại thời 
điểm  và ký hiệu   = 
  .
• Độ dốc của đường cong  = 
  tại  , 
  là
  = lim→

  + ℎ − 
 ℎ
• Độ dốc   còn được gọi là đạo hàm của 
 tại 
và ký hiệu   = 
  .
24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 3
24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 4
Ví dụ 1.
1. Tính vận tốc tức thời tại thời điểm  = 1 của vật rơi 
tự do, biết hàm đo khoảng cách rơi tự do là = 16
2. Cho đường cong  = 1/
a) Tính độ dốc của nó tại  = −1.
b) Những điểm nào trên đường cong này có độ dốc 
bằng −1/4?
24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 5
24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 6
24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 7
Định nghĩa 1. Đạo hàm – derivative
Cho  ∈ ,  và hàm số 
  xác định trên khoảng ,  . Ta nói đạo hàm của 
  tại  là giá trị

  = lim→

  + ℎ − 
 ℎ
(nếu giới hạn này tồn tại).
Hàm số đạo hàm
• Nếu 
 có đạo hàm tại  ta nói 
 khả vi
(differentiable) tại đó.
• Ta có thể xem 
 là hàm số theo  xác định bởi

  = lim→

  + ℎ − 
 
ℎ
• Nếu hàm số này có đạo hàm thì đạo hàm của nó 
được gọi là đạo hàm cấp hai của 
 và ký hiệu 
.
• Tổng quát, nếu 
 có đạo hàm cấp  là 
  thì đạo 
hàm cấp  + 1 được định nghĩa là

   = 
   
24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 8
• Đạo hàm của 
  còn được ký hiệu là

 = !
! =
!
! 

• Ta có thể ký hiệu đạo hàm tại  =  bằng

  = 
  "#$% =
!

!&#$% =
!
! 
  &#$%
• Các đạo hàm cấp cao cũng được ký hiệu là

 = !
! =
!
! 


  = !
! =
!
! 

24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 9
24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 10
Định lý 1. (Có đạo hàm thì liên tục)
Nếu 
 khả vi tại  = ' thì 
 liên tục tại  = '.
Đạo hàm các hàm số sơ cấp
(  = )(* + = 0, với + là hằng số
#  = # ln  -#  = -#
log%   = 1 ln  ln   =
1
sin   = cos  cos   = −sin 
tan   = 1 + tan 
= 1cos 
cot   = − 1 + cot 
= − 1sin 
arcsin   = 11 −  arctan   =
1
1 + 
24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 11
2. MỘT SỐ QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM
5 ±   = 5 ± 
75  = 75, với 7 là hằng số.
5  = 5 + 5
5

 = 5 − 5
24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 12
Ví dụ 2.
a) Tính đạo hàm của hàm số

  = 1 + ln 
b) Tính đạo hàm cấp hai của hàm số
  = 29 − 2 + 1
Đạo hàm hàm hợp
24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 13
Định lý 2. Đạo hàm hàm hợp
Nếu 
 5 khả vi tại 5 = :  và :  khả vi tại  thì
hàm hợp 
 ∘ :  = 
 :  cũng khả vi tại  và

 ∘ :   = 
 :   = 
 :  · : 
24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 14
5(  = )55(* 15

= − 55
=  = 5= ln  -=  = 5-=
log% 5  = 5

5 ln  ln 5  =
5
5sin 5  = 5 cos 5 cos 5  = −5 sin 5
tan 5  = 5 1 + tan 5
= 5cos 5
cot 5  = −5 1 + cot 5
= − 5sin 5
arcsin 5  = 51 − 5 arctan 5  =
5
1 + 5
Ví dụ 3.
a) Tính đạo hàm của các hàm số

  =  − 3 + 1:  = ln9 
b) Tính đạo hàm cấp hai của hàm sốℎ  = sin -#
24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 15
3. XẤP XỈ TUYẾN TÍNH VÀ VI PHÂN
• Trong một số trường hợp, ta cần xấp xỉ một hàm 
phức tạp bằng hàm đơn giản hơn.
24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 16
Định nghĩa 2. Xấp xỉ tuyến tính – linear approximation
Nếu 
 khả vi tại  thì hàm số?  = 
  + 
   − 
được gọi là tuyến tính hóa (linearization) của 
 tại .
Và xấp xỉ 
  ≈ ? 
được gọi là xấp xỉ tuyến tính của 
 tại .
24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 17
Ví dụ 5.
1. Xấp xỉ tuyến tính hàm số

  = 1 + 
tại điểm  = 3 và tính xấp xỉ giá trị 4.1.
2. Xấp xỉ tuyến tính hàm số

  = cos 
tại  = B/4 và tính xấp xỉ giá trị cos 44 .
3. Xấp xỉ tuyến tính hàm số 

  = 1 +  C
(với 7 là hằng số) tại  = 0.
24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 18
Vi phân
• Trong cách ký hiệu  = !/!, ! được gọi là vi 
phân của biến số  và ! là vi phân của hàm số .
24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 19
Định nghĩa 3. Vi phân - differential
Nếu  = 
() khả vi thì vi phân của hàm số này là! = 
  !
Ví dụ 6. Cho hàm số  = F + 3 + 
a) Tìm vi phân !.
b) Tìm ! 1 .
24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 20
4. CỰC TRỊ VÀ GTLN, GTNN
24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 21
Định nghĩa 4. GTLN, GTNN – global extremum
Hàm số 
  đạt giá trị lớn nhất (hay cực đại toàn cục 
– global maximum – absolute maximum) tại điểm '
thuộc miền xác định G của 
 nếu 
  ≤ 
 ' với mọi  ∈ G.
Hàm số 
  đạt giá trị nhỏ nhất (hay cực tiểu toàn cục 
– global minimum – absolute minimum) tại điểm '
thuộc miền xác định G của 
 nếu 
  ≥ 
 ' với mọi  ∈ G.
24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 22
24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 23
24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 24
24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 25
24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 26
Định lý 3. (về GTLN, GTNN – extreme value theorem)
Nếu 
 liên tục trên khoảng đóng ,  thì 
 đạt giá trị 
lớn nhấtJ và giá trị nhỏ nhấtK trên khoảng đó.
Nghĩa là có hai số  ,  thuộc ,  sao cho 
  =K, 
  = J vàK ≤ 
  ≤ J với mọi  ∈ ,  .
24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 27
24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 28
Cực trị địa phương
24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 29
Định nghĩa 5. Cực trị địa phương - local extremum
Hàm số 
  đạt cực đại địa phương (local maximum) 
tại điểm ' thuộc miền xác định G của 
 nếu có L > 0
sao cho 
  ≤ 
 ' với mọi  ∈ G ∩ ' − L, ' + L .
Hàm số 
  đạt cực tiểu địa phương (local minimum) 
tại điểm ' thuộc miền xác định G của 
 nếu có L > 0
sao cho 
  ≥ 
 ' với mọi  ∈ G ∩ ' − L, ' + L .
Hàm số 
  được nói là đạt cực trị địa phương (local 
extremum) tại ' nếu nó đạt cực đại hay cực tiểu địa 
phương tại đó.
24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 30
24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 31
Định lý 4. Định lý Fermat
Nếu 
 đạt cực trị địa phương tại điểm trong ' của miền 
xác định và nếu 
 ' tồn tại thì
 ' = 0
24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 32
Tìm GTLN, GTNN
• Cực trị (địa phương hay toàn cục) của 
 chỉ có thể 
xảy ra tại một trong các loại điểm sau đây
– Điểm trong của miền xác định và 
 = 0
– Điểm trong của miền xác định và 
 không xác định
– Điểm biên của miền xác định.
• Nếu ' là điểm trong của miền xác định và 
 ' = 0
hoặc 
 ' không tồn tại thì ta nói ' là điểm tới hạn
(critical point) của 
.
• Để tìm GTLN, GTNN của 
 ta làm như sau
– Tình giá trị của 
 tại các điểm tới hạn và các điểm biên.
– Lấy giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trong các giá trị nói trên.
24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 33
Ví dụ 7.
a) Tìm GTLN, GTNN của hàm số 
  = 10 2 − ln 
trên khoảng 1, - .
b) Tìm GTLN, GTNN của hàm số 
  = 
O
trên 
khoảng −2,3 .
24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 34
24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 35
24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 36
Định lý Rolle
24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 37
Định lý 4. Định lý Rolle
Cho  = 
  là hàm số liên tục trên khoảng đóng ,  và khả vi trên khoảng mở ,  . Nếu 
  =
  thì có ít nhất một ' ∈ ,  sao cho 
 ' = 0.
24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 38
Định lý Lagrange
24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 39
Định lý 5. Định lý Lagrange
Cho  = 
  là hàm số liên tục trên khoảng đóng ,  và khả vi trên khoảng mở ,  . Khi đó có ít nhất 
một số ' ∈ ,  sao cho

 ' = 
  − 
  − 
24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 40
• Định lý Lagrange là định lý cơ bản của phép tính vi 
phân. Nhiều kết quả quan trọng được suy ra từ đây.
24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 41
Hệ quả 1. 
Nếu 
  = 0 với mọi  ∈ ,  thì 
  = +, với + là
hằng số.
Hệ quả 2. 
Nếu 
  = :  với mọi  ∈ ,  thì tồn tại hằng 
số + sao cho 
  = :  + +. Nghĩa là 
 − : là hàm 
hằng trên ,  .
Sự đơn điệu của hàm số
• Ngoài ra ta còn hệ quả quan trọng sau đây về sự đơn 
điệu (tăng, giảm) của hàm số.
24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 42
Hệ quả 3. 
Cho hàm số 
 liên tục trên ,  và khả vi trên ,  .
- Nếu 
  > 0, ∀ ∈ ,  thì 
 tăng trên ,  .
- Nếu 
  < 0, ∀ ∈ ,  thì 
 giảm trên ,  .
Tìm cực trị địa phương
• Cho ' là điểm tới hạn của hàm số liên tục 
 và giả sử 
 khả vi trên một khoảng mở chứa ' (có thể ngoại 
trừ tại '). 
• Khi di chuyển từ trái sang phải
– Nếu 
 đổi dấu từ âm sang dương thì ' là cực tiểu địa 
phương.
– Nếu 
 đổi dấu từ dương sang âm thì ' là cực đại địa 
phương.
– Nếu 
 không đổi dấu (nghĩa là 
 dương cả hai bên hoặc âm 
cả hai bên điểm ') thì ' không phải là cực trị địa phương.
24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 43
24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 44
Ví dụ 8.
a) Tìm cực trị địa phương của 
  =  − 3 -#
b) Tìm cực trị địa phương của 
  = O  − 4
24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 45
24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 46
24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 47
Một số bài toán ứng dụng
• Một cái hộp không nắp đậy được làm bằng cách cắt 
bỏ 4 hình vuông nhỏ kích thước  ×  ở 4 góc của 
một tấm bìa 12 × 12 cm (xem hình vẽ). Tìm giá trị 
của  để thể tích hộp nói trên lớn nhất.
24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 48
• Bạn được yêu cầu thiết kế một cái hộp hình trụ tròn 
đứng có thể tích 1 lít. Bán kính và chiều cao của hình 
trụ bằng bao nhiêu để ít tốn nguyên liệu nhất?
24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 49
• Ký hiệu
– T  là doanh thu khi bán được  sản phẩm,
– '  là chi phí để sản xuất  sản phẩm,
– U  = T  − '  là lợi nhuận thu được.
• Trong kinh tế người ta gọi
– T  là doanh thu biên (marginal revenue),
– '  là chi phí biên (marginal cost),
– U  là lợi nhuận biên (marginal profit).
• Khi đạt được lợi nhuận tối đa thì doanh thu biên sẽ 
bằng chi phí biên.
24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 50
24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 51
• Giả sử T  = 9 và '  = 9 − 6 + 15, với 
là số triệu máy nghe nhạc MP3 được sản xuất. Tìm 
để lợi nhuận thu được là tối đa và mức lợi nhuận tối 
đa đó là bao nhiêu?
24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 52
24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 53
5. QUY TẮC L’HOSPITAL
24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 54
Định lý 6. Quy tắc L’Hospital. 
Cho các hàm 
, : khả vi và :  ≠ 0 trên một khoảng 
mở chứa  (có thể ngoại trừ tại ). Giả sử một trong 
hai điều sau đây là đúng
a) lim#→% 
  = lim#→%:  = 0 hoặc
b) lim#→% 
  = lim#→%:  = ±∞.
Thì khi đó
lim#→%

 
:  = lim#→%

 
: 
miễn là giới hạn vế phải tồn tại (có thể bằng ±∞).
• Chú ý, nếu thay  →  bằng  → ,  → *,  → ∞
hay  → −∞ thì quy tắc trên vẫn đúng.
Ví dụ 9. Tính các giới hạn
) lim#→ 
ln 
1 − 
) lim#→Z
ln 

') lim#→[/
sin 
1 − 2 cos 
!) lim#→ 
-#

24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 55
-) lim#→
3 − sin 


) lim#→
1 +  − 1

:) lim#→
2 1 +  −  − 2

ℎ) lim#→ 

 − 1 −
1
ln 
\) lim#→Z  sin
1

24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 56
6. PHƯƠNG PHÁP NEWTON
• Trong nhiều trường hợp, ta không thể tính được 
nghiệm chính xác của phương trình 
  = 0.
• Một phương pháp có thể tính gần đúng nghiệm 
phương trình được đề xuất bởi Newton.
24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 57
Phương pháp Newton 
1. Chọn nghiệm xấp xỉ ban đầu .
2. Tính các xấp xỉ tiếp theo bằng công thức
 =  − 
 
  , ∀ ∈ ℕ
24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 58
24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 59
• Tính gần đúng 2 bằng cách giải phương trình − 2 = 0
24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 60
• Tìm hoành độ giao điểm của đường  = 9 −  và 
đường thẳng  = 1.
24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 61
24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 62
7. NGUYÊN HÀM
24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 63
Định nghĩa 6. Nguyên hàm - antiderivative
Hàm số ^ được gọi là nguyên hàm của 
 trên khoảng _
nếu ^  = 
  , ∀ ∈ _.
Tìm một nguyên hàm cho các hàm số
cos  2 1 + 2-#
Định lý 7.
Nếu ^ là một nguyên hàm của 
 thì nguyên hàm tổng 
quát của 
 có dạng ^  + + với + là hằng số.
Ví dụ 10
a) Tìm nguyên hàm ^ của 
  = 3 biết ^ 1 = −1.
b) Tìm nguyên hàm của 
  = F.
c) Tìm nguyên hàm của 
  = #.
d) Tìm nguyên hàm của 
  = sin #.
e) Tìm nguyên hàm của 
  = -*9#.
f) Tìm nguyên hàm của 
  = 2#.
24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 64
24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 65
Bảng các nguyên hàm
24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 66
24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 67
• Từ các tính chất của đạo hàm, dễ dàng suy ra các tính 
chất sau đây của nguyên hàm.
24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 68
Ví dụ 11.
a) Tìm nguyên hàm của 
  = 9# + sin 2.
b) Tìm nguyên hàm của 
  = `ab cd .
24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 69
Tích phân bất định
24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 70
Định nghĩa 7. Tích phân bất định – indefinite integral.
Tập hợp tất cả các nguyên hàm của 
 được gọi là tích 
phân bất định và ký hiệu là
e
  !
Ví dụ 12. Tính các tích phân bất định.
) e 9 − 2 + 1 !
) e   +  !
') e 21 −  −
1
 c
!
!) e 2 cos 2 − 3 sin 3 !
-) e -9# + 5-*# !
24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 71