Bài giảng Toán cao cấp - Chương 5: Chéo hóa ma trận-Dạng toàn phương

➢ Chương 5. Chéo hóa matrận – Dạng toàn phương
§2. TRỊ RIÊNG – VECTOR RIÊNG 
 2.1. Ma trận đồng dạng 
▪ Định nghĩa 
 Hai ma trận vuông ,A B cấp n được gọi là đồng dạng 
với nhau nếu tồn tại ma trận khả nghịch P thỏa: 
–1 .B P AP= 
 VD 1. 
1 0
6 1
A
æ ö
÷ç ÷ç= ÷ç ÷- ÷çè ø
 và 
1 0
0 1
B
æ ö- ÷ç ÷ç= ÷ç ÷÷çè ø
 là đồng dạng với 
nhau vì có 
0 1
1 3
P
æ ö
÷ç ÷ç= ÷ç ÷÷çè ø
 khả nghịch thỏa 1B P AP-= . 
1
➢ Chương 5. Chéo hóa matrận – Dạng toàn phương
▪ Định lý 
 Hai ma trận vuông cùng biểu diễn một PBĐTT (trong 
hai cơ sở tương ứng) thì đồng dạng với nhau. 
 2.2. Đa thức đặc trưng 
▪ Định nghĩa 
• Cho ( )
n
A MÎ ¡ . Đa thức bậc n của l : 
 ( ) det ( )
A n
P A Il l= - 
 được gọi là đa thức đặc trưng (characteristic 
polynomial) của A và phương trình ( ) 0
A
P l = được 
gọi là phương trình đặc trưng của A . 
2
➢ Chương 5. Chéo hóa matrận – Dạng toàn phương
• Cho PBĐTT : n nf ®¡ ¡ . Đa thức bậc n của l : 
 ( ) det ( )
f n
P A Il l= - 
 được gọi là đa thức đặc trưng của f (A là ma trận 
biểu diễn f trong một cơ sở nào đó) và ( ) 0
f
P l = 
được gọi là phương trình đặc trưng của f . 
 VD 2. Cho ma trận 
1 2
3 4
A
æ ö
÷ç ÷ç= ÷ç ÷÷çè ø
, ta có: 
2
1 2
( ) 5 2
3 4A
P
l
l l l
l
-
= = - -
-
. 
3
➢ Chương 5. Chéo hóa matrận – Dạng toàn phương
▪ Định lý 
Hai ma trận đồng dạng thì có cùng đa thức đặc trưng. 
 VD 3. Cho PBĐTT ( ; ; ) ( ; ; )f x y z x y y z z x= - - - . 
Hãy tìm phương trình đặc trưng của f ? 
 Giải. Gọi [ ]
E
A f= , ta có: 
1 1 0
0 1 1
1 0 1
A
æ ö- ÷ç ÷ç ÷ç ÷= -ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷- ÷çè ø
. 
4
➢ Chương 5. Chéo hóa matrận – Dạng toàn phương
1 1 0
( ) 0 0 1 1 0
1 0 1
f
P
l
l l
l
- -
= Û - - =
- -
 3 23 3 0l l lÛ - + - = . 
 Chú ý 
 Từ đây về sau, ta gọi đa thức (phương trình) đặc 
trưng chung cho PBĐTT f và ma trận A biểu diễn f . 
5
➢ Chương 5. Chéo hóa ma trận- Dạng toàn phương
 2.3. Trị riêng, vector riêng 
 a) Trị riêng, vector riêng của PBĐTT 
▪ Định nghĩa 
 Cho PBĐTT : n nf ®¡ ¡ . 
• Số l Î ¡ được gọi là trị riêng (eigenvalue) của f 
nếu tồn tại vector , : ( )n f xx x xlqÎ ¹ =¡ (1). 
• Vector x q¹ thỏa (1) được gọi là vector riêng 
(eigenvector) của f ứng với trị riêng l . 
6
➢Chương 5. Chéo hóa ma trận- Dạng toàn phương
 VD 4. Cho PBĐTT 
1 2 1 2 1 2
( ; ) (4 2 ; )f x x x x x x= - + . 
 Xét số 3l = và vector (2; 1)x = , ta có: 
( ) (2; 1) (6; 3) 3(2; 1)f x f xl= = = = . 
 Vậy (2; 1)x = là vector riêng ứng với trị riêng 3l = . 
7
➢ Chương 5. Chéo hóa ma trận- Dạng toàn phương
 b) Trị riêng, vector riêng của ma trận 
▪ Định nghĩa 
 Cho ma trận vuông ( )
n
A MÎ ¡ . 
• Số l Î ¡ được gọi là trị riêng của A nếu tồn tại 
vector : [ [ ], ]n Ax x x xlq =Î ¹¡ (2). 
• Vector x q¹ thỏa (2) được gọi là vector riêng của A 
ứng với trị riêng l . 
8
➢ Chương 5. Chéo hóa matrận – Dạng toàn phương
▪ Định lý 
• Số thực l là trị riêng của PBĐTT f khi và chỉ khi l 
là trị riêng của ma trận A biểu diễn f trong một cơ 
sở B nào đó. 
• Vector \ { }nx qÎ ¡ là vector riêng của f ứng với l 
khi và chỉ khi [ ]
B
x là vector riêng của A ứng với l . 
• Các vector riêng của f (hay A ) ứng với trị riêng khác 
nhau thì độc lập tuyến tính. 
9
➢ Chương 5. Chéo hóa ma trận- Dạng toàn phương
 Nhận xét 
[ ] [ ] ( )[ ] [ ]
n
A x x A I xl l q= Û - = (3). 
 Để x q¹ là vector riêng của A thì (3) phải có 
nghiệm không tầm thường. Suy ra det ( ) 0
n
A Il- = . 
 Vậy l là nghiệm của phương trình đặc trưng. 
▪ Phương pháp tìm trị riêng và vector riêng 
• Bước 1. Giải phương trình đặc trưng 0A Il- = để 
tìm giá trị riêng l . 
• Bước 2. Giải hệ phương trình ( )[ ] [ ]A I xl q- = , 
 nghiệm không tầm thường là vector riêng. 10
➢Chương 5. Chéo hóa ma trận- Dạng toàn phương
 VD 5. Cho PBĐTT 2 2:f ®¡ ¡ có ma trận biểu diễn 
là 
4 2
1 1
A
æ ö- ÷ç ÷ç= ÷ç ÷÷çè ø
. Tìm trị riêng và vector riêng của f ? 
 Giải. Phương trình đặc trưng 0A Il- = 
 2
4 2
0 5 6 0
1 1
l
l l
l
- -
Û = Û - + =
-
1 2
2, 3l lÞ = = là hai trị riêng của f (hay A ). 
11
➢ Chương 5. Chéo hóa ma trận- Dạng toàn phương
• Ứng với 
1
2l = , ta có: 
1
1
2
2 2 0
( )[ ] [ ]
1 1 0
x
A I x
x
l q
æ öæ ö æ ö- ÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç- = Û =÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷- ÷ ÷ ÷ç ç çè øè ø è ø
 1 2 1
1 2 2
2 2 0
, 0
0
x x x
x x x
a
a
a
ì ìï ï- = =ï ïÛ Þ ¹í í
ï ï- = =ï ïî î
. 
 Suy ra vector riêng có dạng (1; 1) ( 0)a a ¹ . 
12
➢ Chương 5. Chéo hóa matrận – Dạng toàn phương
• Ứng với 
2
3l = , ta có: 
2
1 2 1 2
1 2 0 0
A Il
æ ö æ ö- -÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç- = ®÷ ÷ç ç÷ ÷- ÷ ÷ç çè ø è ø
2 1 2
( )[ ] [ ] 2 0A I x x xl qÞ - = Û - = . 
 Suy ra vector riêng có dạng (2; 1) ( 0)b b ¹ . 
13
➢ Chương 5. Chéo hóa matrận – Dạng toàn phương
 VD 6. Cho ma trận 
0 0 1
0 1 0
1 0 0
A
æ ö
÷ç ÷ç ÷ç ÷= ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷çè ø
. 
 Tìm trị riêng và vector riêng của A ? 
 Giải. Phương trình đặc trưng: 
2
0 1
0 1 0 0 (1 )( 1) 0
1 0
l
l l l
l
-
- = Û - - =
-
1 2
1, 1l lÞ = - = là hai trị riêng của A . 
14
➢ Chương 5. Chéo hóa matrận – Dạng toàn phương
• 
1
1 :l = - 
1
1 0 1 1 0 1
0 2 0 0 1 0
1 0 1 0 0 0
A Il
æ ö æ ö
÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷- = ®ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷÷ ÷ç çè ø è ø
 1 3
1
2
0
( )[ ] [ ]
0
x x
A I x
x
l q
ìï + =ïÞ - = Û í
ï =ïî
 Suy ra vector riêng có dạng (1; 0; 1) ( 0)a a- ¹ . 
15
➢ Chương 5. Chéo hóa matrận – Dạng toàn phương
• 
2
1 :l = 
2
1 0 1 1 0 1
0 0 0 0 0 0
1 0 1 0 0 0
A Il
æ ö æ ö- -÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷- = ®ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷- ÷ ÷ç çè ø è ø
2 1 3
( )[ ] [ ] 0A I x x xl qÞ - = Û - = . 
 Suy ra vector riêng có dạng 2 2( ; ; ) ( 0)b g b b g+ > . 
 Ta có: ( ; ; ) (1; 0; 1) (0; 1; 0)b g b b g= + . 
 Vậy ma trận A có các vector riêng dạng: 
 (1; 0; 1)a - ( 0)a ¹ ứng với 
1
1l = - ; 
 (1; 0; 1)b và (0; 1; 0)g ( , 0)b l ¹ ứng với 
2
1l = . 
16
➢Chương 5. Chéo hóa matrận – Dạng toàn phương
 2.4. Không gian con riêng 
▪ Định lý 
 Cho PBĐTT : n nf ®¡ ¡ . Tập hợp tất cả các vector 
nx Î ¡ thỏa ( ) ,f x xl l= Î ¡ (kể cả vector không) 
là một không gian con của n¡ . Ký hiệu là ( )E l . 
▪ Định nghĩa 
 Không gian con { }( ) ( )nE x f x xl l= Î =¡ được 
gọi là không gian con riêng (eigenvector space) của 
n¡ ứng với trị riêng l . 
17
➢ Chương 5. Chéo hóa matrận – Dạng toàn phương
 Chú ý 
 • Nếu l là nghiệm bội k của phương trình đặc trưng 
 thì: 
dim ( ) .E kl £ 
 • Các nghiệm cơ bản đltt của hệ phương trình thuần 
 nhất ( )[ ] [ ]A I xl q- = tạo thành 1 cơ sở của ( )E l . 
 • Số chiều của không gian con riêng là: 
dim ( ) ( ).E n r A Il l= - - 
18
➢ Chương 5. Chéo hóa matrận – Dạng toàn phương
 VD 7. Xét tiếp VD 6, ta có: 
• Nghiệm cơ bản của 
1
( )[ ] [ ]A I xl q- = là (1; 0; 1)- 
nên ( 1) (1; 0; 1)E - = - và dim ( 1) 1E - = . 
• (1) (1; 0; 1), (0; 1; 0)E = và dim (1) 2E = . 
19
➢ Chương 5. Chéo hóa matrận – Dạng toàn phương
 VD 8. Cho ma trận 
2 4 3
4 6 3
3 3 1
B
æ ö
÷ç ÷ç ÷ç ÷= - - -ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷çè ø
. 
 Tìm số chiều của các không gian con riêng ứng với 
 các giá trị riêng của B ? 
 Giải. Phương trình đặc trưng: 
2 4 3
0 4 6 3 0
3 3 1
B I
l
l l
l
-
- = Û - - - - =
-
20
➢ Chương 5. Chéo hóa matrận – Dạng toàn phương
 3 2 23 4 0 ( 1)( 2) 0l l l lÛ - - + = Û - + = 
1 2
1, 2l lÛ = = - . 
• 
1
1 :l = 
1
1 4 3 1 4 3
4 7 3 0 9 9
3 3 0 1 1 0
B Il
æ ö æ ö
÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷- = - - - ®ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷÷ ÷ç çè ø è ø
1 4 3 1 4 3
0 9 9 0 1 1 ( ) 2
0 3 3 0 0 0
r B Il
æ ö æ ö
÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷® ® Þ - =ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷÷ ÷ç çè ø è ø
. 
 Vậy 
1 1
dim ( ) 3 ( ) 1E r B Il l= - - = . 
21
➢ Chương 5. Chéo hóa matrận – Dạng toàn phương
• 
2
2 :l = - 
2
4 4 3 1 1 0
4 4 3 0 0 0
3 3 3 1 1 1
B Il
æ ö æ ö
÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷- = - - - ®ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷÷ ÷ç çè ø è ø
. 
 Vậy 
2 2
( ) 2 dim ( ) 1r B I El l- = Þ = . 
22
➢ Chương 5. Chéo hóa matrận – Dạng toàn phương
 VD 9. Cho ma trận 
3 1 1
2 2 1
2 2 0
C
æ ö- ÷ç ÷ç ÷ç ÷= -ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷çè ø
. 
 Tìm một cơ sở của các không gian con riêng ứng với 
 các giá trị riêng của C ? 
 Giải. Ta có: 
3 1 1
0 2 2 1 0
2 2
C I
l
l l
l
- -
- = Û - - =
-
23
➢ Chương 5. Chéo hóa matrận – Dạng toàn phương
1 1 0
2 2 1 0
2 2
l l
l
l
- - +
Û - - =
-
1 1 0
(1 ) 2 2 1 0
2 2
l l
l
-
Û - - - =
-
1 1 0
(1 ) 0 4 1 0
0 4
l l
l
-
Û - - - =
-
24
➢Chương 5. Chéo hóa matrận – Dạng toàn phương
 2
1 2
(1 )( 2) 0 1, 2l l l lÛ - - = Û = = . 
• 
1
1 :l = 
1
2 1 1 2 1 1
2 1 1 0 0 0
2 2 1 0 1 0
C Il
æ ö æ ö- -÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷- = - ®ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷- ÷ ÷ç çè ø è ø
1 3
2
2 0 1
2 0
0 0 0
0
0 1 0
x x
x
æ ö- ÷ç ì÷ ïç - =÷ ïç ÷® Þç í÷ç ÷ ï =ç ÷ ïîç ÷÷çè ø
. 
 Chọn 
1
1x = , ta được 
1
(1; 0; 2)u = . 
 Vậy cơ sở của (1)E là 
1
{ (1; 0; 2)}u = . 
25
• 
2
2 :l = 
2
1 1 1 1 1 1
2 0 1 0 2 1
2 2 2 0 0 0
C Il
æ ö æ ö- -÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷- = - ® -ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷- ÷ ÷ç çè ø è ø
1 2 3
2
2 3
0
(1; 1; 2)
2 0
x x x
u
x x
ìï + - =ïÞ Þ =í
ï - + =ïî
. 
 Vậy cơ sở của (2)E là 
2
{ (1; 1; 2)}u = . 
26
➢Chương 5. Chéo hóa matrận – Dạng toàn phương
 VD 10. Cho ma trận 
1 3 3
3 5 3
3 3 1
D
æ ö
÷ç ÷ç ÷ç ÷= - - -ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷çè ø
. 
 Tìm trị riêng, dạng vector riêng tương ứng và cơ sở 
 của các không gian con riêng của D ? 
 Giải. Ta có: 
1 3 3
3 5 3
3 3 1
D I
l
l l
l
-
- = - - - -
-
27
➢ Chương 5. Chéo hóa matrận – Dạng toàn phương
1 1 1
3 5 3
3 3 1
l l l
l
l
- - -
= - - - -
-
1 1 1
(1 ) 3 5 3
3 3 1
l l
l
= - - - - -
-
28
➢ Chương 5. Chéo hóa matrận – Dạng toàn phương
1 1 1
(1 ) 0 2 0
0 0 2
l l
l
= - - -
- -
 2(1 )( 2 )l l= - - - 
1 2
2, 1l lÞ = - = là hai trị riêng của D . 
29
➢ Chương 5. Chéo hóa matrận – Dạng toàn phương
• 
1
2 :l = - 
1
3 3 3 1 1 1
3 3 3 0 0 0
3 3 3 0 0 0
D Il
æ ö æ ö
÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷- = - - - ®ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷÷ ÷ç çè ø è ø
1 2 3
0x x xÞ + + = . 
 Đặt 
1 2 3
,x x xa b a b= = Þ = - - 
( ; ; ) ( ; 0; ) (0; ; )u a b a b a a b bÞ = - - = - + - . 
 Vậy (1; 0; 1)a - và (0; 1; 1) ( , 0)b a b- ¹ là dạng 
 vector riêng ứng với 
1
2l = - . 
30
➢ Chương 5. Chéo hóa matrận – Dạng toàn phương
 Một cơ sở của ( 2)E - là: 
1 2
{ (1; 0; 1), (0; 1; 1)}u u= - = - . 
• 
2
1 :l = 
0 3 3 0 1 1
3 6 3 1 2 1
3 3 0 0 0 0
D Il
æ ö æ ö
÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷- = - - - ®ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷÷ ÷ç çè ø è ø
2 3
1 2
0 1 1
0
1 1 0
0
0 0 0
x x
x x
æ ö
÷ç ì÷ ïç + =÷ ïç ÷® Þç í÷ç ÷ ï + =ç ÷ ïîç ÷÷çè ø
. 
 Vậy (1; 1; 1) ( 0)g g- ¹ là dạng vector riêng ứng với 
2
1l = . Một cơ sở của (1)E là 
3
{ (1; 1; 1)}u = - . 31
➢ Chương 5. Chéo hóa matrận – Dạng toàn phương
 2.5. Định lý Cayley – Hamilton 
 Nếu PBĐTT : n nf ®¡ ¡ có ma trận biểu diễn là A 
và đa thức đặc trưng là ( )
f
P l thì: 
( ) (0 ) .
f ij n
P A = 
 VD 11. Cho PBĐTT 2 2:f ®¡ ¡ có ma trận biểu 
diễn là 
4 2
1 1
A
æ ö- ÷ç ÷ç= ÷ç ÷÷çè ø
 và 2( ) 5 6
f
P l l l= - + . 
Ta có: 
2
2
4 2 4 2 0 0
( ) 5 6
1 1 1 1 0 0f
P A I
æ ö æ ö æ ö- -÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç= - + =÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷÷ ÷ ÷ç ç çè ø è ø è ø
. 
32
➢ Chương 5 Chéo hóa matrận – Dạng toàn phương
 VD 12. Cho ma trận 
7 0 3
0 2 0
3 0 1
A
æ ö
÷ç ÷ç ÷ç ÷= ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷çè ø
. Tính detB ? 
Trong đó, 7 6 5 4
3
10 14 4 8B A A A A I= - + + + . 
 Giải. Đa thức đặc trưng: 
7 0 3
( ) 0 2 0
3 0 1
P
l
l l
l
-
= -
-
33
➢ Chương 5. Chéo hóa matrận – Dạng toàn phương
 3 210 14 4l l l= - + + 
 3 2
3 3
10 14 4 (0 )
ij
A A A IÞ - + + = 
 7 6 5 4
3
10 14 4 (0 )
ij
A A A AÞ - + + = 
3
8 0 0
8 0 8 0
0 0 8
B I
æ ö
÷ç ÷ç ÷ç ÷Þ = = ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷çè ø
. 
 Vậy 3det 8 512B = = . 
34
➢ Chương 5. Chéo hóa matrận – Dạng toàn phương
§3. CHÉO HÓA MA TRẬN VUÔNG 
 Trong bài này, ta xét ( )
n
A MÎ ¡ là ma trận biểu diễn 
PBĐTT : n nf ®¡ ¡ trong cơ sở B nào đó của n¡ . 
 3.1. Ma trận chéo hóa được 
▪ Định nghĩa 
 Ma trận ( )
n
A MÎ ¡ được gọi là chéo hóa được nếu 
A đồng dạng với ma trận đường chéo D . 
 Nghĩa là tồn tại ma trận P khả nghịch, thỏa: 
1 .P AP D- = 
35
➢ Chương 5. Chéo hóa matrận – Dạng toàn phương
 VD 1. Ma trận 
0 0 0
0 1 0
1 0 1
A
æ ö
÷ç ÷ç ÷ç ÷= ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷çè ø
 là chéo hóa được, vì: 
có 
1 0 0
0 1 0
1 0 1
P
æ ö
÷ç ÷ç ÷ç ÷= ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷- ÷çè ø
 thỏa: 1
0 0 0
0 1 0
0 0 1
P AP-
æ ö
÷ç ÷ç ÷ç ÷= ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷çè ø
. 
36
➢Chương 5 Chéo hóa matrận – Dạng toàn phương
 3.2. Điều kiện ma trận chéo hóa được 
▪ Định lý 1 
 Ma trận ( )
n
A MÎ ¡ là chéo hóa được khi và chỉ khi 
n¡ có một cơ sở gồm n vector riêng của A . 
▪ Hệ quả 
 Nếu ma trận ( )
n
A MÎ ¡ có n trị riêng phân biệt thì 
 chéo hóa được. 
37
➢ Chương 5. Chéo hóa matrận – Dạng toàn phương
▪ Định lý 2 
 Cho ma trận ( )
n
A MÎ ¡ có k trị riêng ( )1,i i kl = 
 phân biệt và dim ( )
i i
n E l= . 
 Khi đó, ba điều sau đây là tương đương: 
 1) Ma trận A chéo hóa được; 
 2) Đa thức đặc trưng của A có dạng: 
 1 2
1 2
( ) ( ) ( ) ...( ) k
n n n
A k
P l l l l l l l= - - - ; 
 3) 
1 2
...
k
n n n n+ + + = . 
38
➢ Chương 5. Chéo hóa matrận – Dạng toàn phương
 3.3. Ma trận làm chéo hóa 
• Cho ma trận ( )
n
A MÎ ¡ chéo hóa được. Khi đó, tồn 
tại ma trận P khả nghịch thỏa 1P AP D- = . 
 Trong đó, 
1
2
1 2
0 ... 0
0 ... 0
( , , ..., )
0 0 ...
n
n
D diag
l
l
l l l
l
æ ö
÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷= =ç ÷ç ÷÷ç ÷ç ÷ç ÷çè ø
M M M M
. 
39
➢ Chương 5. Chéo hóa matrận – Dạng toàn phương
• Xét ma trận 
1 2
([ ] [ ]...[ ])
n
P u u u= , ta có: 
 1P AP D AP PD- = Þ = 
 [ ] [ ] [ ] [ ] ( 1,2,..., )
i i i i i
A u u D A u u i nlÞ = Þ = = . 
 Suy ra 
i
l là trị riêng và 
i
u là vector riêng của A . 
• Vậy P là ma trận có các cột là các vector riêng đltt 
của A . Ma trận chéo D gồm các trị riêng tương ứng 
với các vector riêng trong ma trận P . 
40
➢ Chương 5. Chéo hóa matrận – Dạng toàn phương
 VD 2. Ma trận 
1 3 3
3 5 3
3 3 1
A
æ ö
÷ç ÷ç ÷ç ÷= - - -ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷çè ø
 có 2 trị riêng là: 
1
2l = - , 
2
1l = . 
• Ứng với 
1
2l = - có 2 vector riêng đltt là: 
1
(1; 0; 1)u = - , 
2
(0; 1; 1)u = - . 
• Ứng với 
2
1l = có 1 vector riêng là 
3
(1; 1; 1)u = - . 
Vậy 
1 0 1
0 1 1
1 1 1
P
æ ö
÷ç ÷ç ÷ç ÷= -ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷- - ÷çè ø
 và 
2 0 0
0 2 0
0 0 1
D
æ ö- ÷ç ÷ç ÷ç ÷= -ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷çè ø
. 
41
➢ Chương 5 Chéo hóa matrận – Dạng toàn phương
 Nhận xét 
 1 1P AP D A PDP- -= Þ = 
 2 1 1 2 1( )( )A PDP PDP PD P- - -Þ = = 
 1 1
1
.[ ( , ..., )] .k k k
n
A PD P P diag Pl l- -Þ = = . 
 Vậy 
1
1
. ( , ..., ). .k k k
n
A P diag Pl l -= 
 VD 3. Tiếp VD 2, ta có: 
10
10 10
2 0 01 0 1 0 1 1
0 1 1 0 2 0 1 2 1
1 1 1 0 0 1 1 1 1
A
æ öæ ö æ ö- -÷÷ ÷çç ç÷÷ ÷çç ç÷÷ ÷çç ç÷÷ ÷= - çç ç÷÷ ÷çç ç÷÷ ÷çç ç÷÷ ÷çç ÷ç÷ ÷- - ÷ ÷÷ç ççè ø è øè ø
42
➢ Chương 5. Chéo hóa matrận – Dạng toàn phương
1 1023 1023
1023 2047 1023
1023 1023 1
æ ö- - ÷ç ÷ç ÷ç ÷= ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷- - ÷çè ø
. 
43
➢ Chương 5. Chéo hóa matrận – Dạng toàn phương
 3.4. Thuật toán chéo hóa ma trận vuông A cấp n 
 Bước 1. Giải 0A Il- = tìm trị riêng thực của A . 
 • Trường hợp A không có trị riêng thực nào thì ta kết 
 luận A không chéo hóa được. 
 • Trường hợp A có n trị riêng phân b ... ççè ø
 và đổi biến [ ] [ ]x P y= 
 ta có dạng chính tắc là 2 2 2
1 2 3
( ) 7 7 2Q y y y y= + - . 69
➢Chương 5. Chéo hóa matrận – Dạng toàn phương
 2.2.2. Thuật toán Lagrange 
 Xét dạng toàn phương: 
2
1 1
( ) 2
n
ii i ij i j
i i j n
Q x a x a x x
= £ < £
= +å å . 
 a) Trường hợp 1 (có 1 hệ số 0
ii
a ¹ ) 
• Bước 1. Giả sử 
11
0a ¹ , ta tách tất cả các số hạng 
chứa 
1
x trong ( )Q x và thêm hoặc bớt để có dạng: 
( )
2
11 1 1 1 2
11
1
( ) ... ( , ..., )
n n n
Q x a x a x Q x x
a
= + + + , 
 với 
1 2
( , ..., )
n
Q x x chứa tối đa 1n - biến. 
70
➢ Chương 5. Chéo hóa matrận – Dạng toàn phương
 Đổi biến: 
1 11 1 12 2 1
...
n n
y a x a x a x= + + + , ( )2,i iy x i n= = . 
 Đổi biến ngược: 
( )1 1 12 2 1
11
1
...
n n
x y a y a y
a
= - - - , ( ) 2,i ix y i n= = . 
 Ta có ma trận 
12 1
11 11
1
1 ...
0 1 ... 0
... ... ... ...
0 0 ... 1
n
a a
a a
P
æ ö
÷ç ÷- -ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷= ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷çè ø
. 
71
➢ Chương 5. Chéo hóa matrận – Dạng toàn phương
 Với biến mới thì 2
1 1 2
11
1
( , ..., )
n
Q y Q y y
a
= + . 
• Bước 2. Tiếp tục làm như bước 1 cho 
1 2
( , ..., )
n
Q y y , 
  Sau k bước thì Q có dạng chính tắc. 
 Ma trận đổi biến 
1
...
k
P P P= và [ ] [ ]x P y= . 
 b) Trường hợp 2 (hệ số 0, 1,...,
ii
a i n= = ) 
 Giả sử 
12
0a ¹ , ta đổi biến: 
1 1 2 2 1 2
, , ( 3, ..., )
i i
x y y x y y x y i n= + = - = = . 
 Khi đó, 2 2
12 1 12 2
2 2 ...Q a y a y= - + có hệ số của 2
1
y là 
12
2 0a ¹ . Ta trở lại trường hợp 1. 72
➢ Chương 5. Chéo hóa matrận – Dạng toàn phương
 VD 9. Trong 3¡ , cho dạng toàn phương: 
2 2 2
1 2 3 1 2 3 1 2 2 3
( , , ) 2 2 2 2Q x x x x x x x x x x= + + + - . 
 Dùng thuật toán Lagrange đưa ( )Q x về dạng chính tắc 
ta đặt 
1 1 2 2 2 3 3 3
, ,y x x y x x y x= + = - = . 
 Ma trận đổi biến P là: 
A. 
1 1 0
0 1 1
0 0 1
æ ö
÷ç ÷ç ÷ç ÷-ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷çè ø
; B. 
1 0 0
1 1 0
0 1 1
æ ö
÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷- ÷çè ø
; 
C. 
1 0 0
1 1 0
1 1 1
æ ö
÷ç ÷ç ÷ç ÷-ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷- ÷çè ø
; D. 
1 1 1
0 1 1
0 0 1
æ ö- - ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷çè ø
. 
73
➢ Chương 5. Chéo hóa matrận – Dạng toàn phương
 Giải. Ta có: 
1 1 2 1 1 2 3
2 2 3 2 2 3
3 3 3 3
y x x x y y y
y x x x y y
y x x y
ì ìï ï= + = - -ï ïï ïï ï= - Þ = +í í
ï ïï ï= =ï ïï ïî î
. 
 Vậy ta chọn D . 
74
➢ Chương 5. Chéo hóa matrận – Dạng toàn phương
 VD 10. Trong 2¡ , cho dạng toàn phương: 
2 2
1 2 1 2 1 2
( , ) 7 2 8f x x x x x x= - - - . 
 Dùng thuật toán Lagrange với ma trận đổi biến 
1 0
2 1
P
æ ö
÷ç ÷ç= ÷ç ÷- ÷çè ø
, ta đưa f về dạng chính tắc là: 
A. 2 2
1 2 1 2
( , ) 2f y y y y= - ; B. 2 2
1 2 1 2
( , ) 2f y y y y= - + ; 
C. 2 2
1 2 1 2
( , ) 2f y y y y= - ; D. 2 2
1 2 1 2
( , ) 2f y y y y= - + . 
 Giải. Ta có công thức đổi biến: 
1 1
2 1 2
[ ] [ ]
2
x y
x P y
x y y
ìï =ï= Þ í
ï = - +ïî
. 
75
➢ Chương 5. Chéo hóa matrận – Dạng toàn phương
 Suy ra: 
2 2
1 2 1 1 2 1 1 2
( , ) 7 2( 2 ) 8 ( 2 )f y y y y y y y y= - - - + - - + 
 2 2
1 2
2y y= - . 
 Vậy ta chọn C . 
 VD 11. Dùng thuật toán Lagrange đưa DTP sau về 
dạng chính tắc và tìm ma trận đổi biến P : 
2 2
2 3 1 2 1 3
( ) 4 2 4Q x x x x x x x= - + + + . 
 Giải. Biến đổi: 
2 2 2 2
1 1 2 2 2 3 2 3
( 2 ) 4 4Q x x x x x x x x= - - + + + + 
 2 2 2
1 2 2 3 2 3
( ) 4 4x x x x x x= - - + + + . 
76
➢ Chương 5. Chéo hóa matrận – Dạng toàn phương
 Đổi biến: 
1 1 2 1 1 2
2 2 2 2 1
3 3 3 3
1 1 0
0 1 0
0 0 1
y x x x y y
y x x y P
y x x y
ì ì æ öï ï= - = + ÷çï ï ÷çï ï ÷çï ï ÷= Þ = Þ = çí í ÷ç ÷ï ï ç ÷ï ï ç ÷= =ï ï ÷çè øï ïî î
. 
 Dạng toàn phương Q đối với biến y là: 
2 2 2 2 2
1 2 2 3 3 1 2 3
4 4 ( 2 )Q y y y y y y y y= - + + + = - + + . 
 Đổi biến: 
1 1 1 1
2 2 3 2 2 3
3 3 3 3
2 2
z y y z
z y y y z z
z y y z
ì ìï ï= =ï ïï ïï ï= + Þ = -í í
ï ïï ï= =ï ïï ïî î
77
➢ Chương 5. Chéo hóa matrận – Dạng toàn phương
2
1 0 0
0 1 2
0 0 1
P
æ ö
÷ç ÷ç ÷ç ÷Þ = -ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷çè ø
. 
 Vậy dạng chính tắc của Q là 2 2
1 2
( )Q z z z= - + . 
 Ma trận đổi biến là 
1 2
1 1 2
0 1 2
0 0 1
P P P
æ ö- ÷ç ÷ç ÷ç ÷= = -ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷çè ø
. 
78
➢ Chương 5. Chéo hóa matrận – Dạng toàn phương
 VD 12. Dùng thuật toán Lagrange đưa DTP sau về 
dạng chính tắc và tìm ma trận đổi biến P : 
1 2 1 3 2 3
( ) 2 2 6f x x x x x x x= + - . 
 Giải. Đổi biến: 
1 1 2
2 1 2 1
3 3
1 1 0
1 1 0
0 0 1
x y y
x y y P
x y
ì æ öï = + ÷çï ÷çï ÷çï ÷= - Þ = -çí ÷ç ÷ï ç ÷ï ç ÷=ï ÷çè øïî
. 
 Dạng toàn phương f đối với biến y là: 
1 2 1 2 1 2 3 1 2 3
2( + )( )+ 2( + ) 6( )f y y y y y y y y y y= - - - 
 2 2 2 2
1 1 3 3 2 2 3 3
2( 2 ) 2 8 2y y y y y y y y= - + - + - 
 2 2 2
1 3 2 2 3 3
2( ) 2 8 2y y y y y y= - - + - . 
79
➢ Chương 5. Chéo hóa matrận – Dạng toàn phương
 Đổi biến: 
1 1 3
2 2 2
3 3
1 0 1
0 1 0
0 0 1
z y y
z y P
z y
ì æ öï = - ÷çï ÷çï ÷çï ÷= Þ = çí ÷ç ÷ï ç ÷ï ç ÷=ï ÷çè øïî
. 
 Dạng toàn phương f đối với biến z là: 
 2 2 2
1 2 2 3 3
2 2 8 2f z z z z z= - + - 
 2 2 2 2
1 2 2 3 3 3
2 2( 4 4 ) 6z z z z z z= - - + + 
 2 2 2
1 2 3 3
2 2( 2 ) 6z z z z= - - + . 
 Đổi biến: 
1 1
2 2 3 3
3 3
1 0 0
2 0 1 2
0 0 1
u z
u z z P
u z
ì æ öï = ÷çï ÷çï ÷çï ÷= - Þ = çí ÷ç ÷ï ç ÷ï ç ÷=ï ÷çè øïî
. 
80
➢ Chương 5. Chéo hóa matrận – Dạng toàn phương
 Vậy dạng chính tắc của Q là: 
2 2 2
1 2 3
( ) 2 2 6Q u u u u= - + . 
 Ma trận đổi biến là: 
1 2 3
1 1 3
1 1 1
0 0 1
P P P P
æ ö
÷ç ÷ç ÷ç ÷= = - -ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷çè ø
. 
▪ Nhận xét 
 Do cách đổi biến trong thuật toán Lagrange có thể 
khác nhau nên dạng chính tắc là không duy nhất. 
81
➢ Chương 5. Chéo hóa matrận – Dạng toàn phương
 2.2.3. Thuật toán Jacobi (tham khảo) 
▪ Định thức con chính 
 Cho ma trận vuông ( )
ij n
A a= . 
 Định thức: 
11 1
1
...
... ... ...
...
k
k
k kk
a a
D
a a
= (1 )k n£ £ 
 được gọi là định thức con chính của A . 
▪ Thuật toán 
• Cho dạng toàn phương ( )Q x có ma trận ( )
ij n
A a= 
 thỏa các định thức con 0, 1,...,
k
D k n¹ = . 82
➢Chương 5. Chéo hóa matrận – Dạng toàn phương
• Với j i> , ta đặt 
1,j i
D
-
 là định thức của ma trận có 
các phần tử nằm trên giao các dòng 1,2, , 1j¼ - và 
các cột 1,2, , 1, 1, ,i i j¼ - + ¼ (bỏ cột i ) của A . 
• Đổi biến theo công thức: 
1 1 21 2 31 3 41 4 1
2 2 32 3 42 4 2
... ,
 ... ,
............................................................,
 .
n n
n n
n n
x y b y b y b y b y
x y b y b y b y
x y
ìï = + + + + +ïïï = + + + +ïï
í
ïïïï =ïïî
Trong đó, 
1,
1
( 1)
j ii j
ji
j
D
b
D
-+
-
= - . 
83
➢Chương 5. Chéo hóa matrận – Dạng toàn phương
 Khi đó, 
21 1
2
1 ...
0 1 ...
... ... ... ...
0 0 ... 1
n
n
b b
b
P
æ ö
÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷= ç ÷ç ÷÷ç ÷ç ÷ç ÷çè ø
 và 
2 2 2 22 3
1 1 2 3
1 2 1
... n
n
n
D D D
Q D y y y y
D D D
-
= + + + + . 
 VD 13. Dùng thuật toán Jacobi đưa DTP sau về dạng 
chính tắc: 2 2 2
1 2 3 1 2 1 3
( ) 2 3 4Q x x x x x x x x= + + + + . 
84
➢ Chương 5. Chéo hóa matrận – Dạng toàn phương
 Giải. Ma trận của ( )Q x là 
2 3 / 2 2
3 / 2 1 0
2 0 1
A
æ ö
÷ç ÷ç ÷ç ÷= ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷çè ø
. 
 Ta có: 
1 2
2 3 / 2 1
2,
3 / 2 1 4
D D= = = - , 
3
17
4
D = - . 
 Đổi biến 
1 1 21 2 31 3
2 2 32 3
3 3
x y b y b y
x y b y
x y
ìï = + +ïïï = +í
ïï =ïïî
, trong đó: 
2 1, 11 2
21
1
3 / 2 3
( 1)
2 4
D
b
D
-+= - = - = - , 
85
➢Chương 5. Chéo hóa matrận – Dạng toàn phương
3 1, 11 3
31
2
3 / 2 2
1 0
( 1) 8
1 / 4
D
b
D
-+= - = =
-
, 
3 1, 22 3
32
2
2 2
3 / 2 0
( 1) 12
1 / 4
D
b
D
-+= - = = -
-
. 
 Vậy với ma trận đổi biến 
1 3 / 4 8
0 1 12
0 0 1
P
æ ö- ÷ç ÷ç ÷ç ÷= -ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷çè ø
 thì 
2 2 2 2 2 22 3
1 1 2 3 1 2 3
1 2
1
( ) 2 17
8
D D
Q y D y y y y y y
D D
= + + = - + . 
86
➢ Chương 5. Chéo hóa matrận – Dạng toàn phương
 2.2.4. Thuật toán biến đổi sơ cấp ma trận đối xứng 
 (tham khảo) 
• Bước 1. Biến đổi sơ cấp dòng của ma trận ( )nA I và 
 đồng thời lặp lại các biến đổi cùng kiểu trên các cột 
của ( )nA I để đưa A về dạng chéo 1( , ..., )ndiag l l . 
 Khi đó, 
n
I sẽ trở thành TP . 
• Bước 2. Đổi biến [ ] [ ]x P y= , ta được: 
2 2 2
1 1 2 2
( ) ...
n n
Q y y y yl l l= + + + . 
 VD 14. Dùng thuật toán biến đổi sơ cấp, đưa DTP 
1 2 1 3 2 3
( ) 2 4 6Q x x x x x x x= - + về dạng chính tắc. 87
➢Chương 5. Chéo hóa matrận – Dạng toàn phương
 Giải. Ma trận của Q là 
0 1 2
1 0 3
2 3 0
A
æ ö- ÷ç ÷ç ÷ç ÷= ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷- ÷çè ø
. 
 Ta có: ( )3
0 1 2 1 0 0
1 0 3 0 1 0
2 3 0 0 0 1
A I
æ ö- ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç= ÷ç ÷ç ÷ç ÷- ÷çè ø
 1 1 2
1 1 1 1 1 0
1 0 3 0 1 0
2 3 0 0 0 1
d d d® +
æ ö
÷ç ÷ç ÷ç ÷ç¾ ¾ ¾ ¾® ÷ç ÷ç ÷ç ÷- ÷çè ø
88
➢ Chương 5. Chéo hóa matrận – Dạng toàn phương
 1 1 2
2 1 1 1 1 0
1 0 3 0 1 0
1 3 0 0 0 1
c c c® +
æ ö
÷ç ÷ç ÷ç ÷ç¾ ¾ ¾ ¾® ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷çè ø
 2 2 1
3 3 1
2
2
2 1 1 1 1 0
0 1 5 1 1 0
0 5 1 1 1 2
d d d
d d d
® -
® -
æ ö
÷ç ÷ç ÷ç ÷ç¾ ¾ ¾ ¾¾® - - ÷ç ÷ç ÷ç ÷- - - ÷çè ø
 2 2 1
3 3 1
2
2
2 0 0 1 1 0
0 2 10 1 1 0
0 10 2 1 1 2
c c c
c c c
® -
® -
æ ö
÷ç ÷ç ÷ç ÷ç¾ ¾ ¾ ¾ ® - - ÷ç ÷ç ÷ç ÷- - - ÷çè ø
89
➢ Chương 5. Chéo hóa matrận – Dạng toàn phương
 3 3 2
5
2 0 0 1 1 0
0 2 10 1 1 0
0 0 48 6 4 2
d d d® +
æ ö
÷ç ÷ç ÷ç ÷ç¾ ¾ ¾ ¾¾® - - ÷ç ÷ç ÷ç ÷- ÷çè ø
 3 3 2
5
2 0 0 1 1 0
0 2 0 1 1 0
0 0 48 6 4 2
c c c® +
æ ö
÷ç ÷ç ÷ç ÷ç¾ ¾ ¾ ¾¾® - - ÷ç ÷ç ÷ç ÷- ÷çè ø
. 
Vậy 
1 1 0 1 1 6
1 1 0 1 1 4
6 4 2 0 0 2
TP P
æ ö æ ö- -÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷= - Þ =ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷- ÷ ÷ç çè ø è ø
 và 2 2 2
1 2 3
( ) 2 2 48Q y y y y= - + . 
 90
➢ Chương 5. Chéo hóa matrận – Dạng toàn phương
§3. LUẬT QUÁN TÍNH 
XÁC ĐỊNH DẤU CỦA DẠNG TOÀN PHƯƠNG 
 3.1. Luật quán tính 
 a) Dạng chuẩn tắc 
• Trong n¡ , mọi dạng toàn phương bất kỳ đều có thể 
đưa về dạng chính tắc trong một cơ sở chính tắc: 
2 2 2
1 1 2 2 1 2
... ( ... 0)
r r r
Q x x xl l l l l l= + + + ¹ (1). 
• Dạng chính tắc (1) được gọi là dạng chuẩn tắc nếu: 
1, 1,2,...,
i
i rl = " = . 
91
➢ Chương 5. Chéo hóa matrận – Dạng toàn phương
• Không làm mất tính tổng quát, giả sử: 
1 2
, , ..., 0
s
l l l > và 
1 2
, , ..., 0
s s r
l l l
+ +
< . 
 Để đưa (1) về dạng chuẩn tắc, ta đổi biến: 
1
, 1,2, ...,
1
, 1, 2, ...,
, 1, 2, ..., .
i i
i
j j
j
k k
x y i s
x y j s s r
x y k r r n
l
l
ìïï = =ïïïïïïï = = + +í
ï -ïïïï = = + +ïïïïî
 Khi đó, 2 2 2 2 2
1 2 1
... ...
s s r
Q x x x x x
+
= + + + - - - . 
92
➢Chương 5. Chéo hóa matrận – Dạng toàn phương
 VD 1. Trong 4¡ , cho dạng chính tắc: 
2 2 2
1 2 3
( ) 2 3 4Q x x x x= - + . 
 Đổi biến: 
1 1
2 2 2
3 3 3
4 4
1
,
2
1 1
,
( 3) 3
1 1
,
24
.
x y
x y y
x y y
x y
ìïï =ïïïïïï = =ïï
- - -í
ïïïï = =ïïïï =ïïî
. 
 Trong cơ sở mới, ta được dạng chuẩn tắc: 
2 2 2
1 2 3
( )Q y y y y= - + . 93
➢ Chương 5. Chéo hóa matrận – Dạng toàn phương
 b) Định lý (Luật quán tính Sylvester) 
 Số s các số hạng mang dấu “ + ” và số p các số hạng 
mang dấu “ – ” trong dạng chính tắc là những đại 
lượng bất biến, không phụ thuộc vào phép biến đổi 
tuyến tính không suy biến đưa dạng toàn phương về 
dạng chính tắc. 
▪ Chú ý 
• Số s được gọi là chỉ số dương quán tính của DTP. 
• Số p được gọi là chỉ số âm quán tính của DTP. 
• Số s p- được gọi là chỉ số (hay ký số) của DTP. 
94
➢ Chương 5 Chéo hóa matrận – Dạng toàn phương
 VD 2. Trong 2¡ , cho dạng toàn phương: 
2 2
1 2 1 2
( ) 3 2Q x x x x x= - - . 
• Cách 1. Biến đổi: 2 2
1 2 2
( ) ( ) 4Q x x x x= - - . 
 Đổi biến 
1 1 2 2 2
,y x x y x= - = , ta được: 
2 2
1 2
( ) 4Q y y y= - . 
• Cách 2. Biến đổi: 2 2
1 2 1
1 4
( ) ( 3 )
3 3
Q x x x x= - + + . 
 Đổi biến 
1 1 2 2 1
3 ,z x x z x= + = , ta được: 
2 2
1 2
1 4
( )
3 3
Q z z z= - + . 
95
➢Chương 5. Chéo hóa matrận – Dạng toàn phương
 3.2. Tính xác định dấu của dạng toàn phương 
▪ Định nghĩa 
 Trong 
n¡ , cho dạng toàn phương ( )Q x . 
• ( )Q x được gọi là xác định dương nếu: 
( ) 0, \ { }nQ x x q> " Î ¡ . 
• ( )Q x được gọi là xác định âm nếu: 
( ) 0, \ { }nQ x x q< " Î ¡ . 
• ( )Q x được gọi là nửa xác định dương (âm) nếu: 
( ) 0, ( ( ) 0, )n nQ x x Q x x³ " Î £ " Ρ ¡ . 
• ( )Q x được gọi là không xác định dấu nếu nó nhận 
cả giá trị dương lẫn âm. 96
➢ Chương 5. Chéo hóa matrận – Dạng toàn phương
 VD 3. Trong 2¡ , ta có: 
• 2 2
1 2 1 2
( ) 3 2Q x x x x x= + - là xác định dương vì 
2 2 2
1 2 2
( ) ( ) 2 0, \ { }Q x x x x x q= - + > " Î ¡ . 
• 2 2
1 2 1 2
( ) 4 4f x x x x x= - - + là nửa xác định âm vì 
2 2
1 2
( ) (2 ) 0,f x x x x= - - £ " Î ¡ . 
• 2 2
1 2 1 2
( )g x x x x x= - + là không xác định dấu vì 
(1, 1) 1 0g - = - . 
97
➢ Chương 5. Chéo hóa matrận – Dạng toàn phương
 3.3. Các tiêu chuẩn xác định dấu 
 a) Định lý 1 
• DTP trong n¡ là xác định dương khi và chỉ khi tất cả 
các hệ số ở dạng chính tắc của nó đều dương. 
• DTP trong n¡ là xác định âm khi và chỉ khi tất cả 
các hệ số ở dạng chính tắc của nó đều âm. 
▪ Hệ quả 
• Dạng toàn phương ( )Q x là xác định dương khi và chỉ 
khi ma trận của nó có tất cả các trị riêng dương. 
• Dạng toàn phương ( )Q x là xác định âm khi và chỉ 
khi ma trận của nó có tất cả các trị riêng âm. 98
➢ Chương 5. Chéo hóa matrận – Dạng toàn phương
 VD 4. Trong 3¡ , xét tính xác định dấu của DTP sau: 
2 2 2
1 2 3 1 2 1 3
( ) 4 5 2 6Q x x x x x x x x= + + - + . 
 Giải. ( )Q x có ma trận 
4 1 3
1 1 0
3 0 5
A
æ ö- ÷ç ÷ç ÷ç ÷= -ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷çè ø
 2det( ) 0 ( 2)( 8 3) 0A Il l l lÞ - = Û - - + = 
 2( 0) 4 13( 0)l lÛ = > Ú = ± > . 
 Vậy ( )Q x xác định dương. 
99
➢ Chương 5. Chéo hóa matrận – Dạng toàn phương
 VD 5. Trong 3¡ , xét tính xác định dấu của DTP sau: 
2 2 2
1 2 3 1 3
( ) 7 2 5f x x x x x x= + - + . 
 Giải. ( )f x có ma trận 
7 0 3
0 2 0
3 0 1
A
æ ö
÷ç ÷ç ÷ç ÷= ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷- ÷çè ø
 2det( ) 0 ( 8)( 4) 0A Il l lÞ - = Û - - = 
2 0
2 0 ( )
8 0
f x
l
l
l
é = - <ê
êÛ = > Þê
ê = >êë
 không xác định dấu. 
100
➢ Chương 5. Chéo hóa matrận – Dạng toàn phương
 b) Định lý 2 (Định lý Sylvester) 
• Trong n¡ , dạng toàn phương là xác định dương khi 
và chỉ khi ma trận của nó có tất cả các định thức con 
chính đều dương. 
 Nghĩa là: 0, 1,
k
D k n> = . 
• Trong n¡ , dạng toàn phương là xác định âm khi và 
chỉ khi ma trận của nó có các định thức con chính 
cấp chẵn dương, cấp lẻ âm. 
 Nghĩa là: ( 1) 0, 1,k
k
D k n- > = . 
101
➢ Chương 5. Chéo hóa matrận – Dạng toàn phương
 VD 6. Trong 3¡ , dùng định lý Sylvester xét tính xác 
 định dấu của dạng toàn phương sau: 
2 2 2
1 2 3 1 2
( ) 2 4 3 4Q x x x x x x= - - - + . 
 Giải. ( )Q x có ma trận 
2 2 0
2 4 0
0 0 3
A
æ ö- ÷ç ÷ç ÷ç ÷= -ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷- ÷çè ø
. 
 Ta có: 
1 2
2 2
2 0, 4 0
2 4
D D
-
= - 
-
 và 
3
det 12 0 ( )D A Q x= = - < Þ xác định âm. 
102
➢ Chương 5. Chéo hóa matrận – Dạng toàn phương
 VD 7. Trong 3¡ , dùng định lý Sylvester xét tính xác 
 định dấu của dạng toàn phương sau: 
2 2 2
1 2 3 1 3
( ) 7 2 5f x x x x x x= + - + . 
 Giải. ( )f x có ma trận 
7 0 3
0 2 0
3 0 1
A
æ ö
÷ç ÷ç ÷ç ÷= ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷- ÷çè ø
. 
 Ta có: 
1 2 3
7 0, 14 0, 32 0D D D= > = > = - < . 
Vậy ( )f x không xác định dấu. 
103