Bài giảng Toán cao cấp - Chương 5: Ánh xạ tuyến tính

1CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 
Ánh xạ tuyến tính (phép biến đổi tuyến tính) từ một không gian
véc tơ vào không gian véc tơ là ánh xạ bảo toàn phép cộng véc
tơ và phép nhân một số với véc tơ
Nhà toán học Peano (Italia) là người đầu tiên đưa ra khái niệm
ánh xạ tuyến tính (1888)
Tương ứng giữa ánh xạ tuyến tính và ma trận của nó là một đẳng
cấu bảo toàn phép cộng, phép nhân một số với ma trận và phép
nhân hai ma trận
Chính vì lý do này nên một bài toán về ma trận, hệ phương trình
tuyến tính có thể giải quyết bằng phương pháp ánh xạ tuyến tính
và ngược lại
Hạng của ánh xạ tuyến tính bằng hạng của ma trận của nó
10/07/2017 1
CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 
5.1 KHÁI NIỆM ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
5.1.1 Định nghĩa và ví dụ
Ánh xạ f từ không gian véc tơ V vào không gian véc tơ W thoả
mãn với mọi u, v V, R:
 ( ) ( ) ( )( ) ( )f u v f u f vf u f u 
được gọi là ánh xạ tuyến tính (đồng cấu tuyến tính hay gọi tắt là
đồng cấu) từ V vào W
Khi V W thì f được gọi là tự đồng cấu
10/07/2017 2
CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 
Ví dụ 5.1 
2) Ánh xạ đồng nhất Id :V V V 
 Id ( )Vu u u 
1) Ánh xạ không :V W 0 
 ( ) 0u u 0 
Ánh xạ 1), 2), 3) là ánh xạ tuyến tính; 2), 3) là tự đồng cấu;
10/07/2017 3
3) Phép vị tự tỉ số k VVf :
kuufu )(a
CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 
6) Cho ma trận ij m n
A a
Do đó ánh xạ : n mT  
),...,(),...,(),...,( 111 mnn yyxxTxx a
1 1
ij
m n
y x
a
y x
  là một ánh xạ tuyến tính
Ngược lại ta có thể chứng minh được mọi ánh xạ tuyến tính từ Rn
vào Rm đều có dạng như trên
1 1 1 1' '
' 'n n n n
x x x x
A A A
x x x x
  
   
Ta có thể kiểm tra được đẳng thức
Xác định bới
10/07/2017 4
CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 
7) Phép quay góc 
2 2:f 
( , ) ( , ) ( , )x y f x y X Y 

( , )v x y 
( ) ( , )f v X Y 
( ) (cos sin )( )iX iY e x iy i x iy   
( cos sin ) ( sin cos )X iY x y i x y    
( , ) ( cos sin , sin cos )f x y x y x y    
Vậy phép quay góc  là một ánh xạ tuyến tính
10/07/2017 5
CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 
5.1.2. Tính chất
Định lý 5.1 Nếu f : V W là một ánh xạ tuyến tính thì
(i) 00 )(f 
(ii) với mọi Vv : )()( vfvf 
(iii) 
1 1
( )
n n
i i i i
i i
f x v x f v
  , 1 1,..., , ,...,n nx x v v V   . 
Định lý 5.2
Ánh xạ f : V W là một ánh xạ tuyến tính khi và chỉ khi
với mọi u, v V, R:
( ) ( ) ( )f u v f u f v   
10/07/2017 6
2CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 
Định lý 5.3 Mỗi ánh xạ tuyến tính V vào W hoàn toàn được xác
định bởi ảnh một cơ sở của V.
Tồn tại duy nhất ánh xạ tuyến tính f : V W sao cho
niuef ii ,...,1,)( 
Nghĩa là với cơ sở B {e1,  , en} cho trước của V
khi đó với mỗi hệ véc tơ u1,  , un W
 Tồn tại:
Với mọi ,Vv giả sử ),...,( 1 nxx là tọa độ của v trong cơ sở B , nghĩa 
là nnexexv ...11 . Đặt Wuxuxvf nn ...)( 11 
f là ánh xạ tuyến tính thỏa mãn ,)( ii uef với mọi ni ,...,1 
 Duy nhất: Giả sử WVg : là ánh xạ tuyến tính sao cho ,)( ii ueg với mọi 
ni ,...,1 khi đó với bất kỳ nnexexvVv ..., 11 
1 1 1 1 1 1( ) ( ... ) ( ) ... ( ) ... ( )n n n n n ng v g x e x e x g e x g e x u x u f v 
Vậy fg 
10/07/2017 7
CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 
Hệ quả 5.4 f , g : V W là hai ánh xạ tuyến tính
B {e1,  , en} là một cơ sở của V
Khi đó ( ) ( ); 1,...,i if g f e g e i n  
Giả sử f : V W là đồng cấu tuyến tínhVí dụ 5.2
Chứng minh rằng f toàn cấu khi và chỉ khi tồn tại đồng cấu 
g : W V sao cho f g(v) v, v W
Giả sử f toàn cấu, 1,..., ne e B là một cơ sở của W 
Tồn tại 1,..., nu u V sao cho ( )i if u e 
Xét ánh xạ tuyến tính VWg : xác định bởi ( )i ig e u 
Vì ( ) ;i i if g e e e  B do đó IdWf g 
10/07/2017 8
CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 
5.1.3 Các phép toán trên các ánh xạ tuyến tính
Ta định nghĩa phép cộng hai ánh xạ tuyến tính bởi công thức
( )( ) ( ) ( )f g v f v g v 
( )( ) ( )kf v kf v 
Và phép nhân một số với ánh xạ tuyến tính bởi công thức
10/07/2017 9
CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 
Ví dụ 5.3: 
Cho hai ánh xạ tuyến tính f, g: R3 R2 có công thức xác định ảnh
( , , ) (3 5 2 ,4 6 )f x y z x y z x y z 
( , , ) (2 6 7 , 5 )g x y z x y z x z 
3 ( , , ) (9 15 6 ,12 3 18 )f x y z x y z x y z 
2 ( , , ) (4 12 14 ,2 10 )g x y z x y z x z 
(3 2 )( , , ) (5 27 20 ,10 3 8 )f g x y z x y z x y z 
10/07/2017 10
CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 
Cho f và đa thức bậc n 0( )
n
np t a a t 
ta ký hiệu
0( ) Id
n
V np f a a f 
Trong đó
n
n
f f f  
 lÇn
0 IdVf 
1f f 
Ví dụ 5.4: 
Cho ánh xạ tuyến tính f : R2 R2 có công thức xác định ảnh
( , ) (3 5 ,4 )f x y x y x y 
 2( , ) 3(3 5 ) 5(4 ),4(3 5 ) (4 ) ( 11 20 ,16 19 )f x y x y x y x y x y x y x y 
Cho đa thức
2( ) 50 9 2p t t t 
 2( )( , ) 50Id 9 2 ( , ) ( 5 , 4 3 )Vp f x y f f x y x y x y 
10/07/2017 11
CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 
10/07/2017 12
5.2 NHÂN VÀ ẢNH CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
Giả sử f : V W là một ánh xạ tuyến tính
Nhân của f  1Ker ( )f f v V f v V 0 0
: Ker ( )v V v f f v 0
Ảnh của f Im ( ) ( )f f V f v v V W 
: Im : ( )u W u f v V u f v  
Hạng của f ( ) dimImr f f 
Định lý 5.5 
Kerf là không gian con của V, Im f là kg con của W
3CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 
Với mọi ánh xạ tuyến tính f : V W ta cóĐịnh lý 5.6
dim ( ) dimKerV r f f 
Giả sử 1,..., me e là một cơ sở của Ker f (khi Ker f 0 thì m = 0) 
Ta có thể bổ sung để 1 1,..., , ,...,m m m ke e e e là một cơ sở của V 
Ta sẽ chứng minh 1( ),..., ( )m m kf e f e là một hệ sinh, độc lập tuyến 
tính của Im f (do đó là một cơ sở) 
1 1 1 1Im , : ( ); ... ...m m m m m k m ku f v V u f v v x e x e x e x e   
1 1 1 1( ) ( ) ... ( ) ( ) ... ( )m m m m m k m ku f v x f e x f e x f e x f e 
1 1( ) ... ( )m m m k m ku x f e x f e 
1 1 1 1( ) ... ( ) ... Kerm k m k m k m ky f e y f e y e y e f 0
1 1 1 1... ...m k m k m my e y e z e z e 
1 1 1 1 1... ... ... 0m k m k m m ky e y e z e z e y y 0
10/07/2017 13
CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 
S là một hệ sinh của V thì f (S) là một hệ sinh của Im f
Do đó mọi hệ con độc lập tuyến tính tối đại của 1( ),..., ( )nf e f e là cơ 
sở của Im f 
Đặc biệt nếu 1,..., ne e B là một cơ sở của V thì 1( ),..., ( )nf e f e 
là một hệ sinh của Im f 
10/07/2017 14
CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 
Ví dụ 5.5 
Xét ánh xạ tuyến tính f : R4 R3 có công thức xác định ảnh:
 ( , , , ) 2 3 5 ,3 2 3 4 , 3 6f x y z t x y z t x y z t x z t 
Tìm một cơ sở của Im f, Ker f. 
Giải: 4( , , ) Im ( , , , ) : ( , , ) ( , , , )a b c f x y z t a b c f x y z t  
Nói cách khác khi và chỉ khi hệ phương trình sau có
nghiệm
( , , ) Ima b c f 
2 3 5
3 2 3 4
3 6
x y z t a
x y z t b
x z t c
Từ đó suy ra hạng r ( f )
10/07/2017 15
CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 
Sử dụng phương pháp khử Gauss ta được
2 1 3 5 1 0 3 6 1 0 3 6
3 2 3 4 0 1 3 7 2 0 1 3 7 2
1 0 3 6 0 1 3 7 0 0 0 0 2
a c c
b a c a c
c b a c b a c
   
Hệ phương trình có nghiệm khi 2 0b a c 
( , , ) Im ( ,2 , ) (1,2,0) (0, 1,1)u a b c f u a a c c a c 
Vậy Im f có một cơ sở là (1,2,0), (0, 1,1) 
( , , , ) Kerv x y z t f khi và chỉ khi (x,y,z,t) là nghiệm của hệ
2 3 5 0
3 2 3 4 0
3 6 0
x y z t
x y z t
x z t
 ( 3, 3,1,0), ( 6, 7,0,1) 
Vậy Ker f có một cơ sở là
Hạng r ( f ) 2
3 6
3 7
x z t
y z t
( 3 6 , 3 7 , , ) ( 3, 3,1,0) ( 6, 7,0,1)v z t z t z t z t 
10/07/2017 16
CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 
Nhận xét 5.1 Giả sử f : V W là một ánh xạ tuyến tính
B {e1,  , en} là một cơ sở của V
Có thể chứng minh được { f(e1),  , f(en)} là một hệ sinh
của Im f
do đó mọi hệ con độc lập tuyến tính tối đại của { f(e1),  , f(en)}
là cơ sở của Im f
Ví dụ trên có hạng r ( f ) 2 Vì vậy ngoài cơ sở (1,2,0), (0, 1,1) 
hai véc tơ cột bất kỳ của ma trận
2 1 3 5
3 2 3 4
1 0 3 6
 đều là cơ sở của Im f
10/07/2017 17
CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 
5.3. TOÀN CẤU, ĐƠN CẤU, ĐẲNG CẤU
5.3.1Toàn cấu
Ánh xạ tuyến tính và toàn ánh được gọi là toàn cấu.
Giả sử f : V W là một ánh xạ tuyến tính
Ba mệnh đề sau tương đương
(i) f toàn cấu
(iii) r( f ) dimW
(ii) Ảnh của hệ sinh của V là hệ sinh của W
(i) (ii): S là hệ sinh của V thì f(S) là một hệ sinh của f(V) và f(V) = W do đó 
f(S) là một hệ sinh của W
(ii) (i): Giả sử 1,..., ne e là một cơ sở của V thì 1( ),..., ( )nf e f e là 
hệ sinh của 1span ( ),..., ( ) ( )nW W f e f e f V f toàn cấu 
( ) ( ) : ( ) dim ( ) dim ( ) dimi iii f V W f V W r f W 
10/07/2017 18
4CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 
Ánh xạ tuyến tính đơn ánh được gọi là đơn cấu
5.3.2 Đơn cấu
Giả sử f : V W là một ánh xạ tuyến tính
Bốn mệnh đề sau tương đương
(i) f đơn cấu
(iv) r( f ) dimV
(ii) Ker f {0}
(iii) Ảnh của hệ độc lập tuyến tính của V là hệ độc lập
tuyến tính của W
10/07/2017 19
CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 
(i) (ii): Hiển nhiên
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ): ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ii i f v f v f v f v f v v v v v v 0 0
( ) ( )ii iii : Giả sử 1,..., mv v độc lập 
 1 1 1 1 1,..., : ( ) ... ( ) ... Kerm m m m mx x x f v x f v x v x v f 0 03
1 1 1... ... 0m m mx v x v x x 0
Do đó 1( ),..., ( )mf v f v độc lập 
( ) ( )iii iv : Giả sử 1,..., ne e là một cơ sở của V thì 1( ),..., ( )nf e f e là 
hệ sinh độc lập tuyến tính của ( )f V . Do đó dim( )r f V 
 
( ) Ker
Ker 0 Ker
( )
dim dim
dim
dim
( ) ( ) :
V r f f
f f
V r f
iv ii
 
 
 
 0
10/07/2017 20
CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 
5.3.3 Đẳng cấu
Ánh xạ tuyến tính vừa đơn cấu vừa toàn cấu được gọi là đẳng cấu
Hai không gian V, W được gọi là đẳng cấu nếu có ánh xạ tuyến
tính đẳng cấu f : V W
Định lý 5.8 
Hai không gian V, W là đẳng cấu khi và chỉ khi dimV dimW
Định lý 5.9 
Giả sử f : V W là ánh xạ tuyến tính và dimV dimW
Khi đó
f đơn cấu khi và chỉ khi f toàn cấu, do đó đẳng cấu
10/07/2017 21
CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 
Ví dụ 5.6 Ánh xạ tuyến tính
2 2:f xác định bởi
 ( , ) 2 ,f x y x y x y 
là một đơn cấu vì
 ( , ) (0,0) 2 , (0,0) , (0,0)f x y x y x y x y 
do đó f là một đẳng cấu
Ví dụ 5.7 Ánh xạ tuyến tính xác định bởi
3
2:f P 
2( , , ) ( 2 3 ) (2 5 6 ) ( 8 )f x y z x y z x y z t x z t 
Hệ phương trình
2 3 0
2 5 3 0
8 0
x y z
x y z
x z
chỉ có nghiệm tầm thường
do đó f là một đẳng cấu
10/07/2017 22
CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 
5.4 ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH VÀ MA TRẬN
5.4.1 Ma trận của ánh xạ tuyến tính
Giả sử f : V W là một ánh xạ tuyến tính
B {e1,  , en} là một cơ sở của V
B’ {1,  ,  m} là một cơ sở của W
Ma trận của hệ véc tơ { f (e1),  , f (en)} trong cơ sở B’
Được gọi là ma trận của f trong cơ sở B và B’
Ký hiệu  
'
A f 
B
B
ij m n
A a
1
( ) ; 1,...,
m
j ij i
i
f e a j n
  Xác định như sau
10/07/2017 23
CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 
Trường hợp tự đồng cấu f của không gian véc tơ V
Ma trận của f trong cùng một cơ sở B {e1,  , en} của V
được ký hiệu
 A f 
B
Ma trận của ánh xạ tuyến tính trong cơ sở chính tắc được gọi là 
ma trận chính tắc
Ví dụ 5.8 Xét ánh xạ tuyến tính f : R3 R2 xác định bởi
( , , ) (2 4 ,3 5 )f x y z x y z x z 
(1,0,0) (2,3) 2(1,0) 3(0,1)f 
(0,1,0) (1,0) 1(1,0) 0(0,1)f 
(0,0,1) ( 4,5) 4(1,0) 5(0,1)f 
2 1 4
3 0 5
A
10/07/2017 24
5CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 
Nhận xét 5.2 
Bằng cách tính toán như ví dụ trên ta có thể kiểm tra được rằng
: m nf Ánh xạ tuyến tính với công thức xác định ảnh
1 11 1 1 1 1( ,..., ) ( ,..., )m m m n nm mf x x a x a x a x a x  
Có ma trận chính tắc 11 1
1
m
n nm
a a
A
a a

  

Ví dụ 5.9 
Ánh xạ tuyến tính f : R3 R3 xác định bởi
( , , ) ( 2 2 ,3 5 , )f x y z x y z x y z x y z 
ma trận chính tắc
1 2 2
3 1 5
1 1 1
A
10/07/2017 25
CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 
B {e1,  , en} là một cơ sở của không gian véc tơ V
B’ {1,  ,  n} là một cơ sở của không gian véc tơ W
Định lý 5.10 Với
   
' '
,A f B g 
B B
B B
ta có các tính chất sau:
     
' ' '
f g f g 
B B B
B B B
   
' '
: f f    B B
B B
( ) ( )r f r A 
10/07/2017 26
CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 
B {e1,  , en}, B ’ {e’1,  , e’m}, B” {e”1,  , e”l} lần
lượt là các cơ sở của không gian véc tơ V, V’, V”
Cho hai ánh xạ tuyến tính f, g : ' "
f g
V V V  
Giả sử  
'
A f 
B
B
 
"
'
B g 
B
B
ij m n
A a
1
( ) ' ; 1,...,
m
j ij i
i
f e a e j n
 
 ki l mB b 
1
( ' ) " ; 1,...,
l
i ki k
k
g e b e i m
 
     
" " '
'
g f BA g f B B B
B B B
Vậy
1 1 1 1 1 1
( ) ' ( ' ) " "
m m m l l m
j ij i ij i ij ki k ki ij k
i i i k k i
g f e g a e a g e a b e b a e
      
10/07/2017 27
CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 
Khi V V’ V” và ta chọn cố định một cơ sở của V thì có tương 
ứng 1-1 giữa các tự đồng cấu của V và các ma trận vuông cấp n
Định lý 5.11 
 A f B
có các tính chất:
     f g f g B B B
   : f f   B B
 ( ) ( )r f r f B
     f g f g B B B
10/07/2017 28
CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 
Hệ quả 5.12 
Cho f End(V), B là một cơ sở của V. Đăt A [ f ]B
f là tự đẳng cấu khi và chỉ khi A khả nghịch
Ma trận của f 1 trong cơ sở B có dạng [f 1]B A
 1
Hệ quả 5.13 
Giả sử 0( )
n
np t a a t  là một đa thức bậc n
Ma trận của 0( ) Id
n
V np f a a f  trong cơ sở B là
0( )
n
np A a I a A 
10/07/2017 29
CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 
Ví dụ 5.13 Xét ánh xạ tuyến tính
3 3:f xác định bởi
( , , ) ( 2 2 ,3 5 , )f x y z x y z x y z x y z 
Ma trận chính tắc của f là
1 2 2
3 1 5
1 1 1
A
có
1
6 4 8
1
2 1 1
2
4 3 5
A 
Do đó f là một đẳng cấu và ánh xạ ngược xác định như sau
1 1( , , ) (6 4 8 ,2 , 4 3 5 )
2
f x y z x y z x y z x y z 
Cho đa thức
2( ) 2 4 3p t t t 
Ma trận chính 
tắc của p( f ) là
2
25 2 34
( ) 2 4 3 21 4 28
7 4 8
p A I A A
10/07/2017 30
6CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 
5.4.2 Ma trận của ánh xạ tuyến tính trong các cơ sở khác nhau
Giả sử f : V W là một ánh xạ tuyến tính
1
1'
ijT t 
B
B
là ma 
trận 
chuyển 
cơ sở
 1 1,..., ne e B sang nee ',...,'' 11 B của V
  2
2'
kiP p 
B
B 2 1,..., m  B m',...,'' 12  B của W
  2
1
A f 
B
B là ma trận 
của f
trong cơ sở  2
1
'
'
'A f 
B
B
1 2,B B
1 2' , 'B B
1'A P AT 
Hoặc 'PA AT 
10/07/2017 31
CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 
  2
2'
1
'
m
ki i ki k
i
P p p
  
B
B
1
1'
1
'
n
ij j ij i
i
T t e t e
 
B
B
  
 
  
m
i
m
k
k
m
i
ijki
m
k
kkiij
m
i
iijj appaaef
1 1 111
'''')'(
1 1 1 1 1 1
( ' ) ( )
n n n m m n
j ij i ij i ij ki k ki ij k
i i i k k i
f e f t e t f e t a a t
   
     
suy ra
1 1
' ; 1,..., ; 1,...,
m n
ki ij ki ij
i i
p a a t j n k m
    'PA AT 
   2
1
1
( )
m
ki i ki km n
i
A f a f e a
 
B
B
  2
1
'
'
1
' ' ( ' ) ' '
m
ij j ij im n
i
A f a f e a
  
B
B
10/07/2017 32
CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 
Đặc biệt nếu f là tự đồng cấu của không gian véc tơ V
Gọi A, A’ là ma trận của f trong hai cơ sở B, B ’ và T là ma trận
chuyển từ cơ sở B sang B ’ thì ATTA 1' 
     
1
'
' ' ' 'ij ij ij ij
f t f t t f t
B B B B
B B BB B B B
Hai ma trận A, B được gọi là đồng dạng nếu tồn tại ma trận không 
suy biến T sao cho B T 1AT
Hai ma trận của một tự đồng cấu bất kỳ trong hai cơ sở khác nhau
là đồng dạng
Nếu A, B đồng dạng thì detA det B . Vì vậy ta có thể định nghĩa 
định thức của một tự đồng cấu f là 
 det detf f B
10/07/2017 33
CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 
Ví dụ 5.14 
Tự đồng cấu tuyến tính f có ma trận 
trong cơ sở B { ...  x y ( , , ) ( 2 5 ,3 4 )g x y z x y z x y 
Ma trận chính tắc của f và g:
1 2
1 0
3 4
A
1 2 5
3 4 0
B
Ma trận chính tắc của g◦ f :
14 22
7 6
BA
Định thức
14 22
det( ) 70
7 6
g f
10/07/2017 36
7CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 
5.4.3 Biểu thức tọa độ của ánh xạ tuyến tính
Giả sử f : V W là một ánh xạ tuyến tính
B {e1,  , en} là một cơ sở của V
B’ {1,  ,  m} là một cơ sở của W
(x1,  , xn) (v)B là tọa độ của v V trong cơ sở B
(y1,  , ym) ( f (v))B ’ là tọa độ của f (v) W trong cơ sở B’
1
n
i i
i
v x e
 
1
( )
m
k k
k
f v y
 
1
( )
m
i ki k
k
f e a
 
 
'
ij m n
f a
B
B là ma trận của f trong cơ sở B , B’
10/07/2017 37
CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 
Biểu thức tọa độ của ánh xạ tuyến tính f trong cơ sở B và B’
     
'
'
( ) ( )f v f v f v Av 
B
B B B
1 1
ij m n
m n
y x
a
y x
 
1
n
i i
i
v x e
 
1
( )
m
k k
k
f v y
 
1
( )
m
i ki k
k
f e a
 
1 1 1 1 1
( ) ( )
n n m m n
i i i ki k ki i k
i i k k i
f v x f e x a a x
   
    
1
n
k ki i
i
y a x
 
10/07/2017 38
CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 
5.4.4 Ánh xạ tuyến tính và hệ phƣơng trình tuyến tính
Đẳng thức
1 1
ij m n
m n
y x
a
y x
 
có thể viết dưới dạng hệ 
phương trình tuyến tính
1 11 1 1
1 1
...
....................................
...
n n
m m mn n
y a x a x
y a x a x
Điều này cho phép giải quyết các bài toán về ánh xạ tuyến tính
thông qua hệ phương trình tuyến tính
10/07/2017 39
CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 
Giả sử f : V W là một ánh xạ tuyến tính
B {e1,  , en} là một cơ sở của V
B’ {1,  ,  m} là một cơ sở của W
Tìm Im f : 1 1, m mb W b b b  
11 1 1 1
1 1
...
Im ..................................
...
n n
m mn n m
a x a x b
b f
a x a x b
có nghiệm
Tìm Ker f : 1 1 n nv x e x e V 
11 1 1
1 1
... 0
Ker .................................
... 0
n n
m mn n
a x a x
v f
a x a x
Hệ phương trình
10/07/2017 40
CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 
Nhận xét 5.3: 
Từ hai định lý 6.11, 6.12, hệ quả và các ví dụ trên ta thấy rằng
một bài toán về ánh xạ tuyến tính có thể chuyển sang bài toán
ma trận, bài toán hệ phương trình tuyến tính và ngược lại
Chẳng hạn để chứng minh định thức của ma trận A khác 0 ta
chỉ cần chứng minh tự đồng cấu tuyến tính f với A [ f ]B là đơn
cấu hoặc toàn cấu, hoặc hệ phương trình tuyến tính tương ứng
có duy nhất nghiệm
dimKer f là chiều của không gian nghiệm của hệ phương trình
thuần nhất có hạng của ma trận hệ số bằng hạng của f
dim ( ) dimKerV r f f 
Áp dụng định lý chiều của không gian nghiệm hệ phương trình
thuần nhất ta nhận được đẳng thức đã biết
10/07/2017 41
CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 
5.5 CHÉO HOÁ MA TRẬN
Trong phần này ta giải quyết bài toán:
Với tự đồng cấu tuyến tính f của không gian V, hãy tìm một cơ
sở của V để ma trận của f trong cơ sở này có dạng chéo
1
n



Bài toán trên cũng tương đương với bài toán: Cho ma trận A tìm
ma trận không suy biến T sao cho T 1AT có dạng chéo
10/07/2017 42
8CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 
5.5.2 Véc tơ riêng, giá trị riêng
 được gọi là giá trị riêng của ma trận A [aij]n n nếu tồn tại 
x1,  , xn không đồng thời bằng 0 sao cho
1 1
n n
x x
A
x x

  hay
Khi đó v (x1,  , xn) Rn được gọi là véc tơ riêng ứng với giá trị 
riêng  của ma trận A
1 0
0n
x
A I
x
  
  (6.30) 
Như vậy các véc tơ riêng ứng với giá trị riêng  là các nghiệm khác 
không của phương trình thuần nhất (6.30). Không gian nghiệm của 
(6.30) được gọi là không gian riêng ứng với giá trị riêng 
10/07/2017 43
CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 
 được gọi là một giá trị riêng của tự đồng cấu f nếu tồn tại
véc tơ v V, v 0 sao cho f (v) v
v là véc tơ riêng ứng với giá trị riêng 
Ví dụ 5.17 
a) Xét ánh xạ đồng nhất IdV: V V. Với mọi v V, IdV(v) v
Vậy 1 là một giá trị riêng của IdV
b) f : R2 R2 xác định bởi: f (x,y) (3x y, 2x 4y)
Dễ dàng thấy f (x,x) 2(x,x)
Vậy 2 là một giá trị riêng và mọi véc tơ v (x,x); x 0 là véc 
tơ riêng tương ứng
10/07/2017 44
CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 
c) Phép quay góc 
2 2:f  
( , ) ( , ) ( cos sin , sin cos )x y f x y x y x y     
v
( )f v

 Khi 0 , f là ánh xạ đồng nhất 2Id 3 : chỉ có giá trị riêng là 1. 
 Khi  , f: chỉ có giá trị riêng là 1 . 
 Khi 0, , f không có giá trị riêng. 
10/07/2017 45
CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 
Cho tự đồng cấu f của V. Với mỗi  R, ký hiệu
  ( ) Ker IdVV v V f v v f   
Định lý 5.14 
1)  là giá trị riêng của f khi và chỉ khi V {0}
2) Nếu  là giá trị riêng của f thì mọi véc tơ v 0 của V
đều là véc tơ riêng ứng với giá trị riêng 
10/07/2017 46
CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 
Nhận xét 5.4
Cho f End(V), B là một cơ sở của V. Đăt A [ f ]B
Khi đó v V là véc tơ riêng ứng với giá trị riêng  của f khi và 
chỉ khi ( v )B là véc tơ riêng ứng với giá trị riêng  của A
Nghĩa là
1
1
0
; ( ,..., ), : ( )
0
n
n
x
v V v x x v f v v A I
x
   
0  
B
10/07/2017 47
CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 
5.5.3 Đa thức đặc trƣng
 A là một ma trận vuông cấp n. Định thức
( ) det( )A I  P
là một đa thức bậc n của  được gọi là đa thức đặc trưng của A
 Cho f End(V), B là một cơ sở của V. Đăt A [ f ]B
Khi đó định thức
 ( ) det Id det( )Vf A I   P
không phụ thuộc vào cơ sở của V, cũng được gọi là đa thức
đặc trưng của f
10/07/2017 48
9CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 
Định lý 5.15
0 là giá trị riêng của A (tương ứng của f ) khi và chỉ khi 0 là
nghiệm của đa thức đặc trưng của A (tương ứng của f )
0 là giá trị riêng khi và chỉ khi 0V 0 
Điều này tương đương với các điều sau:
a) Ánh xạ 0 IdVf  không đơn cấu 
b) Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất 
1
0
0
0n
x
A I
x

  có nghiệm 
không tầm thường
Vậy 0 là giá trị riêng khi và chỉ khi 0 IdVr f n 
do đó 0det Id 0Vf  hoặc 0det 0A I 
Nghĩa là
0( ) 0 P
10/07/2017 49
CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 
Ví dụ 5.18 
Tìm véc tơ riêng và giá trị riêng của tự đồng cấu của không
gian R2 (ví dụ 6.13)
Đa thức đặc trưng
3 1 2 1 2 1
( ) (2 )(5 )
2 4 2 4 0 5
    
  
    
P
có ma trận chính tắc 
3 1
2 4
A
f : R2 R2 xác định bởi: f (x,y) (3x y, 2x 4y)
10/07/2017 50
CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 
 Véc tơ riêng v (x,y) ứng với giá trị riêng 1 2 là nghiệm của hệ
 1
0
0
x
A I
y

hay
3 2 1 0
2 4 2 0
x
y
Hệ phương trình tương đương với phương trình 0x y y x 
Vậy v (x,x) x (1,1) , x 0
 Véc tơ riêng v (x,y) ứng với giá trị riêng 2 5 là nghiệm của hệ
 2
0
0
x
A I
y

hay
2 1 0
2 1 0
x
y
Hệ phương trình tương đương với phương trình
Vậy v (x, 2x) x (1, 2) , x 0
2 0 2x y y x 
10/07/2017 51
CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 
Ví dụ 5.19 Phép quay góc  có công thức xác định ảnh 
( , ) ( cos sin , sin cos )f x y x y x y     
Đa thức đặc trưng
 2 2
cos sin
( ) det Id (cos ) sin
sin cos
Vf
  
    
  
P
Do đó f chỉ có giá trị riêng khi
2
0
cos 1
sin 0
1

  
 

10/07/2017 52
CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 
5.5.4 Tự đồng cấu chéo hoá đƣợc
Tự đồng cấu f của không gian véc tơ V chéo hoá được nếu
tồn tại một cơ sở của V để ma trận của f trong cơ sở này có
dạng chéo
Như vậy f chéo hoá được khi và chỉ khi tồn tại một cơ sở của
V gồm các véc tơ riêng của f
Ma trận vuông A chéo hoá được nếu tồn tại ma trận không
suy biến T sao cho T 1AT là ma trận chéo
10/07/2017 53
CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 
Định lý 5.16 
Giả sử v1,  , vm là các véc tơ riêng ứng với các giá trị riêng
phân biệt 1,  , m của tự đồng cấu f (hoặc ma trận A) thì hệ
véc tơ {v1,  , vm} độc lập tuyến tính
Ta chứng minh quy nạp theo k rằng hệ 1,..., kv v độc lập tuyến tính với 1 k m 
Giả sử hệ 1,..., kv v với 1 1k m độc lập tuyến tính 
 1 1 1 1... k k k kx v x v x v 0 (*) 
1 1 1 1 1 1 1 ! 1 1( ... ) ...k k k k k k k k k kf x v x v x v x v x v x v    0 0 (**) 
Nhân 1k  vào (*) rồi trừ cho (**) ta được 
1 1 1 1 1( ) ... ( )k k k k kx v x v     0
Vì 1,..., kv v độc lập và các 1,..., m  khác nhau từng đôi một suy ra 
1 1... 0 0k kx x x 
10/07/2017 54
10
CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 
Hệ quả 5.17
Nếu đa thức đặc trưng của tự đồng cấu f trong không gian n
chiều V (hoặc ma trận A vuông cấp n) có đúng n nghiệm thực
phân biệt thì f (tương ứng ma trận A) chéo hoá được
Hệ quả 5.18 Giả sử 11( ) ( 1) ( ) ...( )
kmmn
k     P
m1  mk n và các giá trị 1,  , k khác nhau từng đôi một
Khi đó f (tương ứng ma trận A) chéo hoá được khi và chỉ khi
dim ; 1,...,
i i
V m i k  
Vì đa thức đặc trưng có đủ n nghiệm thực phân biệt nên n véc tơ riêng tương
ứng với n giá trị riêng này là một hệ độc lập, do đó là một cơ sở của V gồm
các véc tơ riêng của f. Vậy f chéo hoá được
10/07/2017 55
CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 
( ) : Trong mỗi 
i
V ta chọn một cơ sở gồm im véc tơ 
Hệ n véc tơ gộp lại từ các véc tơ của các cơ sở vừa chọn là một hệ độc lập
tuyến tính, do đó hệ này là một cơ sở của V gồm các véc tơ riêng của f
Vậy f chéo hoá được
( ) : Giả sử f chéo hoá được, khi đó tồn tại cơ sở gồm các véc tơ 
riêng để ma trận f có dạng chéo 
1
n



1( ) ( 1) ( )...( )
n
n     P
Do đó các giá trị riêng 1,..., n  phải trùng với 1,..., k  
Vì vậy trong các giá trị riêng 1,..., n  có đúng im giá trị bằng i , với 
1,...,i k và có đúng im véc tơ riêng độc lập ứng với giá trị riêng i 
Nói cách khác dim
i i
V m 
10/07/2017 56
CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 
5.5.5 Thuật toán chéo hoá
Bƣớc 1: Viết đa thức đặc trưng dạng
1
1( ) ( ) ...( ) ( )
kmm
k Q      P
trong đó Q() là đa thức không có nghiệm thực
 Nếu 1 km m n  (khi bậc của ( )Q  2 ): không chéo hóa 
được 
 Nếu 1 km m n  thì chéo hóa được. 1,..., k  là các giá 
trị riêng; tiếp tục bước 2 
10/07/2017 57
CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 
Bƣớc 2: Với mỗi giá trị riêng i tìm một cơ sở của không gian
riêng Vi
là nghiệm của hệ phương trình thuần nhất
Các véc tơ riêng có1 1 ... n nv x e x e 1 ,..., nx x
 
1 0
0
i
n
x
A I
x

  dim
i i i
V d n r A I  
 Nếu ii md với i nào đó, ki 1 thì f không hoá chéo được 
 Nếu ii md , :1i i k . Tiếp tục bước 3 
10/07/2017 58
CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 
Bƣớc 3: Với mỗi giá trị riêng i ; i 1,  , k ta đã chọn được
mi véc tơ riêng độc lập tuyến tính
Gộp tất cả các véc tơ này ta được hệ gồm m1  mk n véc
tơ riêng độc lập, đó là cơ sở B’ cần tìm
Ma trận T có các cột là tọa độ của hệ véc tơ B’
Ví dụ 5.21
Chéo hóa ma trận
2 1 0
9 4 6
8 0 3
A
10/07/2017 59
CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 
2 1 0 3 3 3
( ) 9 4 6 9 4 6
8 0 3 8 0 3
   
  
 
P
1 0 0
5 3
 (3 ) 9 5 3 (3 )
8 5
8 8 5

  


Đa thức đặc trưng của A
Do đó A có các giá trị riêng 1 2 31, 1, 3   
 2(3 ) ( 25) 24 ( 1)( 1)(3 )     
10/07/2017 60
11
CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 
Giá trị riêng  1 có véc tơ riêng v (x,y,z) là nghiệm của
hệ phương trình
3 1 0 0
9 5 6 0
8 0 2 0
x
y
z
Ta có
3 1 0 3 1 0 3 1 0
9 5 6 0 0 0 0 0 0
8 0 2 8 0 2 4 0 1
  
Vậy hệ phương 
trình trên tương 
đương với hệ
3 0 3
4 0 4
x y y x
x z z x
 )4,3,1(4,3, xxxxv
chọn )4,3,1('1 e
10/07/2017 61
CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 
Giá trị riêng  1 có véc tơ riêng v (x,y,z) là nghiệm của hệ
phương trình
Ta có
Vậy hệ phương 
trình trên tương 
đương với hệ
1 1 0 0
9 3 6 0
8 0 4 0
x
y
z
1 1 0 1 1 0 1 1 0
9 3 6 9 3 6 0 0 0
8 0 4 2 0 1 2 0 1
  
 0
2 0 2
x y x y
x z z x
 )2,1,1(2,, xxxxv
chọn )2,1,1('2 e
10/07/2017 62
CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 
Giá trị riêng  3 có véc tơ riêng v (x,y,z) là nghiệm của hệ
phương trình
Ta có
Vậy hệ phương trình trên 
tương đương với hệ
1 1 0 0
9 1 6 0
8 0 6 0
x
y
z
1 1 0 1 1 0
9 1 6 0 0 0
8 0 6 4 0 3
 
 0
 4
4 3 0
3
x y
x y
x z z x
4
, , (3, 3, 4)
3 3
x
v x x x
chọn 3' (3, 3, 4)e 
10/07/2017 63
CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 
Cơ sở mới gồm các véc tơ riêng 1 2 3' , ' , '' e e e B
Ma trận chuyển cơ sở
1 1 3
3 1 3
4 2 4
T
Ma trận chéo 1
1 0 0
0 1 0
0 0 3
T AT 
)4,3,1('1 e )2,1,1('2 e 3' (3, 3, 4)e 
10/07/2017 64
CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 
Ví dụ 5.22 Xét tự đồng cấu
3 3:f 3 3 xác định bởi
 ( , , ) 3 2 , 2 3 ,f x y z x y x y z 
Ma trận chính tắc 3 2 0
2 3 0
0 0 1
A
 Đa thức đặc trưng
3 2 0 1 2 0
( ) 2 3 0 1 3 0
0 0 1 0 0 1
 
   
 
P
2
1 2 0
0 5 0 (5 )( 1)
0 0 1

  

10/07/2017 65
CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 
Giá trị riêng  5 có véc tơ riêng v (x,y,z) là nghiệm của hệ
phương trình
Vậy hệ phương trình trên tương đương với hệ
2 2 0 0
2 2 0 0
0 0 4 0
x
y
z
 0
 0 0
x y x y
z z
 )0,1,1(0,, yyyv chọn )0,1,1('1 e
10/07/2017 66
12
CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 
Giá trị riêng  1 có véc tơ riêng v (x,y,z) là nghiệm của hệ
phương trình
Vậy hệ phương trình 
trên tương đương với 
phương trình 
2 2 0 0
2 2 0 0
0 0 0 0
x
y
z
0;x y 
z tuỳ ý
 , , (1,1,0) (0,0,1)v x x z x z 
chọn 2' (1,1,0)e 3' (0,0,1)e Chọn cơ sở 1 2 3' ' , ' , 'e e e B
1 1 2 2 3 3( ' ) 5 ' , ( ' ) ' , ( ' ) 'f e e f e e f e e 
Ma trận của f trong cơ sở B ’ có dạng  
'
5 0 0
' 0 1 0
0 0 1
A f
B
10/07/2017 67
CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 
Ví dụ 5.23 Cho tự đồng cấu 2 2:f P P có công thức xác định ảnh
2 2
0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2( ) ( ) ( ) ( )f a a t a t a a a a a a t a a a t 
Ma trận chính tắc
1 1 1
1 1 1
1 1 1
A
Đa thức đặc trưng
2
1 1 1
1 1 1 (1 )( 2)
1 1 1

  

 Véc tơ riêng 
2
0 1 2p a a t a t 0 ứng với giá trị riêng 1 1 là 
nghiệm khác không của hệ phương trình thuần nhất 
0
1
2
2 1 1 0
1 2 1 0
1 0 2 0
a
a
a
2 1 1 2 1 1 1 0 1
1 2 1 3 3 0 1 1 0
1 1 2 0 0 0 0 0 0
 
10/07/2017 68
CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 
Vậy hệ phương trình trên tương đương với
0 2 0 2
0 1 0 1
0
0
a a a a
a a a a
1
2 2
0 0 0 0(1 )p V p a a t a t a t t chọn
2
1' 1p t t 
 Véc tơ riêng 
2
0 1 2p a a t a t 0 ứng với giá trị riêng 2 2 là 
nghiệm khác không của hệ phương trình thuần nhất 
0
1
2
1 1 1 0
1 1 1 0
1 1 1 0
a
a
a
Hệ phương trình trên tương đương với phương trình: 0 1 2 0a a a 
2
2 2
1 2 1 2 1 2( 1 ) ( 1 )p V p a a a t a t a t a t 
chọn
2
2 3' 1 , ' 1p t p t 
10/07/2017 69
CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 
Gồm các véc tơ riêng
2
1' 1p t t 2' 1p t 
2
3' 1p t 
Xét cơ sở 1 2 3' ' , ' , 'p p p B
1 1( ' ) 'f p p 
 
'
1 0 0
' 0 2 0
0 0 2
A f
B
Thỏa mãn
2 2( ' ) 2 'f p p 3 3( ' ) 2 'f p p 
Ma trận của f trong cơ sở B ’ có dạng
10/07/2017 70
CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 
Ví dụ 5.24
Xét ma trận
1 3 4
4 7 8
6 7 7
A
Đa thức đặc trưng
Đa thức đặc trưng có nghiệm 1 1 (kép) và 2 3
1 3 4 1 3 4 5 3 4
( ) 4 7 8 2 2 1 0 (1 ) 0 1 0
6 7 7 6 7 7 8 7 7
  
    
  
P
2
1 3 4 1 3 4
(1 ) 0 1 0 (1 ) 0 1 0 (3 )( 1)
1 7 7 0 4 3
 
   
  
10/07/2017 71
CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 
Đa thức đặc trưng có nghiệm 1 1 (kép) và 2 3
Giá trị riêng  1 có véc tơ riêng v (x,y,z) là nghiệm của hệ
phương trình
2 3 4 0
4 6 8 0
6 7 8 0
x
y
z
 ,2 , (1,2,1)v z z z z 
Không gian riêng 
1 1
(1,2,1) , dim 1 2V z z V  
Vì vậy ma trận không chéo hoá được
BÀI TẬP
hệ có nghiệm
2y z
x z
2 3 4 2 3 4 2 0 2
4 6 8 0 0 0 0 0 0
6 7 8 0 2 4 0 1 2
  
10/07/2017 72