Bài giảng Toán cao cấp - Chương 4: Ánh xạ tuyến tính

➢ Chương 4. Ánh xạ tuyến tính
 1.1. Khái niệm ánh xạ tuyến tính tổng quát 
 a) Định nghĩa 
 Cho X , Y là 2 kgvt trên ¡ . Ánh xạ :T X Y® được 
gọi là ánh xạ tuyến tính (hay toán tử tuyến tính) nếu 
thỏa mãn 2 điều kiện sau: 
 1) ( ) ( ), ,T x T x x Xa a a= " Î " Î ¡ ; 
 2) ( ) ( ) ( ), ,T x y T x T y x y X+ = + " Î . 
▪ Chú ý 
• Đối với ánh xạ tuyến tính (viết tắt là AXTT), 
 ký hiệu ( )T x còn được viết là Tx . 
• Hai điều kiện của định nghĩa tương đương với: 
( ) , , ,T x y T x T y x y Xa a a+ = + " Î " Î ¡ . 
• ( )
X Y
T q q= . Trong đó ,
X Y
q q lần lượt là vector không 
 của X và Y . 
➢ Chương 4. Ánh xạ tuyến tính
 Trong 
3¡ , xét 
1 2 3 1 2 3
( ; ; ), ( ; ; )x x x x y y y y= = . 
 VD 1. Cho ánh xạ 3 2:T ®¡ ¡ được định nghĩa: 
1 2 3 1 2 3 1 2
( ; ; ) ( ; 2 3 )T x x x x x x x x= - + + . 
 Với a Î ¡ tùy ý, ta có: 
1 1 2 2 3 3
( ) ( ; ; )T x y T x y x y x ya a a a+ = + + + 
1 1 2 2 3 3
1 1 2 2
( ;
2 2 3 3 )
x y x y x y
x y x y
a a a
a a
= + - - + +
+ + +
1 2 3 1 2
1 2 3 1 2
( ; 2 3 )
( ; 2 3 ) .
x x x x x
y y y y y T x T ya a
= - + +
+ - + + = +
 Vậy ánh xạ T là ánh xạ tuyến tính từ 3¡ vào 2¡ . 
➢ Chương 4. Ánh xạ tuyến tính
 VD 2. Cho ánh xạ 2 2:f ®¡ ¡ xác định như sau: 
( ; ) ( ; 2 3 )f x y x y y= - + . 
 Xét (1; 2), (0; 1)u v= = - ta có: 
( ) (1; 1) (1 1; 2 3.1) (0; 5)
( ) ( ) ( 1; 8) (1; 1) (0; 7)
f u v f
f u f v
ìï + = = - + =ï
í
ï + = - + - =ïî
 ( ) ( ) ( )f u v f u f vÞ + ¹ + . 
 Vậy ánh xạ f không phải là AXTT từ 2¡ vào 2¡ . 
➢ Chương 4. Ánh xạ tuyến tính
 VD 3. Các AXTT thường gặp trong mặt phẳng: 
• Phép chiếu vuông góc xuống trục Ox , Oy : 
( ; ) ( ; 0)T x y x= , ( ; ) (0; )T x y y= . 
• Phép đối xứng qua trục Ox , Oy : 
( ; ) ( ; )T x y x y= - , ( ; ) ( ; )T x y x y= - . 
• Phép quay 1 góc j quanh gốc tọa độ O : 
( ; ) ( cos sin ; sin cos )T x y x y x yj j j j= - + . 
O x
y
M•
a
b
j
•M
¢
cos sina bj j-
sin cosa bj j+
➢ Chương 4. Ánh xạ tuyến tính
 VD 4. Gọi [ ; ]C a b là tập hợp các hàm một biến số liên 
tục trên [ ; ]a b . Trên [ ; ]C a b , xác định phép toán cộng 
hai hàm số và nhân vô hướng thì [ ; ]C a b là 1 kgvt. 
 Các phép lấy tích phân sau là ánh xạ tuyến tính: 
: [ ; ] [ ; ], ( )
a
a
T C a b C a b T f f x dx® = ò ; 
: [ ; ] [ ; ], ( ) , [ ; ]
x
a
S C a b C a b Sf f t dt x a b® = Îò . 
 VD 5. Cho 
,
( )
m n
A MÎ ¡ , ta có: 
: ,n m
A A
T T x Ax® =¡ ¡ là ánh xạ tuyến tính. 
➢ Chương 4. Ánh xạ tuyến tính
 b) Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính 
▪ Định nghĩa 
 Cho ánh xạ tuyến tính :T X Y® . 
• Tập { : }
Y
x X T x qÎ = được gọi là nhân của T . 
 Ký hiệu là KerT . 
 Vậy { : }.
Y
KerT x X T x q= Î = 
• Tập ( ) { : }T X T x x X= Î được gọi là ảnh của T . 
 Ký hiệu là RangeT hoặc ImT . 
 Vậy Im { : }.T T x x X= Î 
➢ Chương 4. Ánh xạ tuyến tính
▪ Tính chất 
 Cho ánh xạ tuyến tính :T X Y® , khi đó: 
• KerT là không gian con của X ; 
• ImT là không gian con của Y ; 
• Nếu S là tập sinh của X thì ( )T S là tập sinh của ImT ; 
• T là đơn ánh khi và chỉ khi { }
X
KerT q= . 
▪ Định lý 
 Cho ánh xạ tuyến tính :T X Y® , khi đó: 
dim( ) dim(Im ) dim .KerT T X+ = 
➢ Chương 4. Ánh xạ tuyến tính
➢ Chú ý 
• Từ đây về sau, ta chỉ xét loại AXTT : n mf ®¡ ¡ . 
• Khi n m= , ta gọi : n nf ®¡ ¡ là phép biến đổi 
tuyến tính (viết tắt là PBĐTT). 
➢ Chương 4. Ánh xạ tuyến tính
 1.2. Ma trận của ánh xạ tuyến tính 
 a) Định nghĩa 
 Cho ánh xạ tuyến tính : n mf ®¡ ¡ và hai cơ sở của 
,n m¡ ¡ lần lượt là: 
1 1 2
{ , , , }
n
B u u u= ¼ và 
2 1 2
{ , , , }
m
B v v v= ¼ . 
 Ma trận 
,
( )
m n
A MÎ ¡ : ( )
2 2 2
1 2
( ) ( ) ... ( )
nB B B
f u f u f ué ù é ù é ùê ú ê ú ê úë û ë û ë û
 được gọi là ma trận của AXTT f trong cặp cơ sở 
1 2
,B B . 
 Ký hiệu là: 2
1
[ ]
B
B
f hoặc viết đơn giản là A . 
➢ Chương 4. Ánh xạ tuyến tính
 Cụ thể là, nếu: 
1 11 1 21 2 31 3 1
2 1 212 22 32 2
1 3
3
1 2 32
( ) ...
( ) ...
...........................................................
( ) ...
m m
m
n nn n m
m
n m
a a a
f u a v a v a v a v
f u v v v v
f u v v v va
a a a a
ìï = + + + +ïïï = + + + +ïï
í
ïïïï = + + + +ïïî
thì 2
1
1
2
3
1211
21
31
2
32
21
2
...
...
...[ ]
...
n
n
n
mn
B
B
m m
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a a
f
a
æ ö
÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷= ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷çè ø
MMMM
. 
➢ Chương 4. Ánh xạ tuyến tính
▪ Trường hợp đặc biệt 
 Cho PBĐTT : n nf ®¡ ¡ và cơ sở 
1
{ , , }
n
B u u= ¼ . 
 Ma trận vuông A cấp n : ( )1 2( ) ( ) ... ( )nB B Bf u f u f ué ù é ù é ùê ú ê ú ê úë û ë û ë û 
 được gọi là ma trận của PBĐTT f trong cơ sở B . 
 Ký hiệu là: [ ]
B
f hoặc [ ]f hoặc viết đơn giản là A . 
 Chú ý 
 Nếu A là ma trận của AXTT : n mf ®¡ ¡ trong cặp 
 cơ sở chính tắc ,
n m
E E thì ( ) , nf x Ax x= Î ¡ . 
➢ Chương 4. Ánh xạ tuyến tính
 VD 6. Cho AXTT 4 3:f ®¡ ¡ xác định như sau: 
( ; ; ; ) (3 ; 2 ; 3 2 )f x y z t x y z x y t y z t= + - - + + - . 
Tìm ma trận 3
4
[ ]
E
E
A f= ? Kiểm tra 4( ) ,f v Av v= Î ¡ ? 
 Giải. Ta có: 
1
2
3
4
( ) (1; 0; 0; 0) (3; 1; 0)
( ) (0; 1; 0; 0) (1; 2; 1)
( ) (0; 0; 1; 0) ( 1; 0; 3)
( ) (0; 0; 0; 1) (0; 1; 2)
f e f
f e f
f e f
f e f
ìï = =ïïï = = -ïï
í
ï = = -ïïï = = -ïïî
. 
➢ Chương 4. Ánh xạ tuyến tính
Vậy 3
4
3 1 1 0
[ ] 1 2 0 1
0 1 3 2
E
E
A f
æ ö- ÷ç ÷ç ÷ç ÷= = -ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷- ÷çè ø
. 
x y z t
• Sinh viên tự kiểm tra 4( ) ,f v Av v= Î ¡ . 
➢ Chương 4. Ánh xạ tuyến tính
 VD 7. Cho AXTT 2 3:f ®¡ ¡ xác định như sau: 
( ; ) (3 ; 2 ; 5 )f x y x x y y= - - . 
 Tìm ma trận 3
2
[ ]
E
E
f ? 
A. 
3 0
1 2
0 5
æ ö
÷ç ÷ç ÷ç ÷-ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷- ÷çè ø
; B. 
3 0
1 2
1 5
æ ö
÷ç ÷ç ÷ç ÷-ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷- ÷çè ø
; 
C. 
3 1 0
0 2 5
æ ö
÷ç ÷ç ÷ç ÷- - ÷çè ø
; D. 
3 1 1
0 2 5
æ ö
÷ç ÷ç ÷ç ÷- - ÷çè ø
. 
➢ Chương 4. Ánh xạ tuyến tính
 VD 8. Cho PBĐTT 3 3:f ®¡ ¡ xác định như sau: 
( ; ; ) (3 ; 2 ; 3 )f x y z x y z x y y z= + - - + . 
 Tìm ma trận 
3
[ ]
E
f ? 
A. 
3 1 1
1 2 0
1 1 3
æ ö- ÷ç ÷ç ÷ç ÷-ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷- ÷çè ø
; B. 
3 1 1
1 2 1
1 0 3
æ ö- ÷ç ÷ç ÷ç ÷-ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷- ÷çè ø
; 
 C. 
3 1 1
1 2 0
0 1 3
æ ö- ÷ç ÷ç ÷ç ÷-ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷çè ø
; D. 
3 1 0
1 2 1
1 0 3
æ ö
÷ç ÷ç ÷ç ÷-ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷- ÷çè ø
. 
➢ Chương 4. Ánh xạ tuyến tính
➢ Chương 4. Ánh xạ tuyến tính
 VD 9. Cho PBĐTT 2 2:f ®¡ ¡ có biểu thức: 
( ; ) (2 ; 3 )f x y x y y= - . 
Hãy tìm ma trận của f trong cặp cơ sở chính tắc E và 
 cơ sở 
1 2
{ (1; 2), ( 1; 3)}B u u= = = - ? 
 Giải. Ta có: 
1
2
( ) (1; 0) (2; 0)
( ) (0; 1) ( 1; 3)
f e f
f e f
ìï = =ï
í
ï = = -ïî
. 
 Gọi 
1 2
[ ( )] ( ; ), [ ( )] ( ; )
B B
f e a b f e c d= = ta được: 
(2; 0) (1; 2) ( 1; 3)
( 1; 3) (1; 2) ( 1; 3)
a b
c d
ìï = + -ï
í
ï - = + -ïî
➢ Chương 4. Ánh xạ tuyến tính
6 4
, , 0, 1
5 5
a b c dÞ = = - = = . 
Vậy 
6
0
5
4
1
5
B
E
f
æ ö
÷ç ÷ç ÷ç ÷é ù ç= ÷ê ú ç ÷ë û ç ÷ç ÷- ÷çè ø
. 
➢ Chương 4. Ánh xạ tuyến tính
 VD 10. Cho PBĐTT 2 2:f ®¡ ¡ có ma trận của f 
 đối với cơ sở 
1 2
{ (1; 0), (1; 1)}F u u= = = là 
1 2
3 4
A
æ ö
÷ç ÷ç= ÷ç ÷÷çè ø
. Hãy tìm biểu thức của f ? 
 Giải. Gọi biểu thức của f là: 
( ; ) ( ; )f x y ax by cx dy= + + . 
 Ta có: 1
2
( ) (1; 0) ( ; ),
( ) (1; 1) ( ; ).
f u f a c
f u f a b c d
ìï = =ï
í
ï = = + +ïî
➢ Chương 4. Ánh xạ tuyến tính
 Do ( )1 2[ ( )] [ ( )]F Ff u f u A= nên: 
( ; ) 1(1; 0) 3(1; 1)
( ; ) 2(1; 0) 4(1; 1)
a c
a b c d
ìï = +ï
í
ï + + = +ïî
 4, 2, 3, 1a b c dÞ = = = = . 
Vậy ( ; ) (4 2 ; 3 )f x y x y x y= + + . 
➢ Chương 4. Ánh xạ tuyến tính
 VD 11. Cho PBĐTT 2 2:f ®¡ ¡ . Biết rằng: 
(1; 2) ( 4; 3)f = - và (3; 4) ( 6; 7)f = - . Hãy tìm [ ]
E
f ? 
 Giải. Gọi biểu thức của f là: 
( ; ) ( ; )f x y ax by cx dy= + + . 
 Ta có: 
(1; 2) ( 2 ; 2 )
(3; 4) (3 4 ; 3 4 )
f a b c d
f a b c d
ìï = + +ï
í
ï = + +ïî
( 2 ; 2 ) ( 4; 3)
(3 4 ; 3 4 ) ( 6; 7)
a b c d
a b c d
ìï + + = -ïÞ í
ï + + = -ïî
➢ Chương 4. Ánh xạ tuyến tính
2 4 2
3 4 6 3
2 3 1
3 4 7 1
a b a
a b b
c d c
c d d
ì ìï ï+ = - =ï ïï ïï ï+ = - = -ï ïï ïÞ Þí í
ï ï+ = =ï ïï ïï ï+ = =ï ïï ïî î
. 
Vậy 
2 3
[ ]
1 1E
f
æ ö- ÷ç ÷ç= ÷ç ÷÷çè ø
. 
 Tìm ma trận 
2
1
B
B
fé ùê úë û
, biết hai cơ sở: 
1 1 2
{ (1; 1), (1; 2)}B u u= = = và 
2 1 2 3
{ (1; 0; 1), (1; 1; 1), (1; 0; 0)}B v v v= = = = . 
➢ Chương 4. Ánh xạ tuyến tính
 VD 12. Cho AXTT 2 3:f ®¡ ¡ có 
3
2
1 3
0 2
4 3
E
E
f
æ ö- ÷ç ÷ç ÷çé ù ÷= ç ÷ê ú çë û ÷ç ÷ç ÷÷çè ø
. 
 Giải. Đặt 
3
2
E
E
A fé ù= ê úë û
, ta có: 
( )1
1 3 2
1 1
= 0 2 = 2
1 1
4 3 7
f u A
æ ö æ ö- -÷ ÷ç çæö æö÷ ÷ç ç÷ ÷÷ ÷ç çç ç÷ ÷÷ ÷ç ç= ç ç÷ ÷÷ ÷ç çç ç÷ ÷÷ ÷÷ ÷ç çç ç÷ ÷è ø è øç ç÷ ÷÷ ÷ç çè ø è ø
, 
 ( )2
5
1
= 4
2
10
f u A
æ ö- ÷çæ ö ÷ç ÷÷ç ç ÷÷ç= ç ÷÷ç ç ÷÷÷ç ç ÷è ø ç ÷÷çè ø
. 
 Suy ra: 
2
1
5
( ) 2
9
B
f u
æ ö
÷ç ÷ç ÷çé ù ÷= ç ÷ê ú çë û ÷ç ÷ç ÷- ÷çè ø
, 
2
2
6
( ) 4
15
B
f u
æ ö
÷ç ÷ç ÷çé ù ÷= ç ÷ê ú çë û ÷ç ÷ç ÷- ÷çè ø
. 
 Vậy 
2
1
5 6
2 4
9 15
B
B
f
æ ö
÷ç ÷ç ÷çé ù ÷= ç ÷ê ú çë û ÷ç ÷ç ÷- - ÷çè ø
. 
➢ Chương 4. Ánh xạ tuyến tính
➢ Chương 4. Ánh xạ tuyến tính
 c) Thuật toán tìm ma trận của AXTT 
 Cho AXTT : n mf ®¡ ¡ và hai cơ sở lần lượt là: 
1 1 2
{ , , , }
n
B u u u= ¼ và 
2 1 2
{ , , , }
m
B v v v= ¼ . 
• Bước 1. Tìm các ma trận: 
( )1 2[ ] [ ] ...[ ]
m m m
E E m E
S v v v= 
 (ma trận cột các vector của 
2
B ), 
( )1 2[ ( )] [ ( )] ...[ ( )]
n n n
E E n E
Q f u f u f u= . 
• Bước 2. Dùng PBĐSC dòng đưa ma trận ( )S Q 
 về dạng ( )2
1
[ ]
B
B
I f . 
➢ Chương 4. Ánh xạ tuyến tính
 VD 16. Cho PBĐTT ( ; ) ( ; 2 )f x y x y x y= + - . 
Dùng thuật toán tìm [ ]
B
f , với {(2; 1), (1; 1)}B = - ? 
 Giải. Ta có: 
1 2
B B B= = và 
2 1
1 1
S
æ ö
÷ç ÷ç= ÷ç ÷- ÷çè ø
; 
3 0 3 0
[ (2; 1)] , [ (1; 1)]
0 3 0 3
f f Q
æ ö æ ö æ ö
÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç= - = Þ =÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷÷ ÷ ÷ç ç çè ø è ø è ø
. 
 Suy ra: ( )
2 1 3 0
1 1 0 3
S Q
æ ö
÷ç ÷ç= ÷ç ÷-ç ÷çè ø
➢ Chương 4. Ánh xạ tuyến tính
1 1
1 2
2 1 3 0 1 0 1 1
3 0 3 3 13 0 01
1
2
0æ ö æ ö æ ö÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç® ® ®÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç çè ø ø è ø-è
. 
Vậy 
1 1
[ ]
1 2B
f
æ ö
÷ç ÷ç= ÷ç ÷- ÷çè ø
. 
➢ Chương 4. Ánh xạ tuyến tính
 VD 17. Cho AXTT 3 2:f ®¡ ¡ có biểu thức: 
( ; ; ) ( ; )f x y z x y z x y z= + - - + . 
 Dùng thuật toán tìm ma trận của f trong cặp cơ sở: 
 {(1; 1; 0), (0; 1; 1), (1; 0; 1)}B = 
 và {(2; 1), (1; 1)}B ¢= ? 
 Giải. Ta có: 
(1; 1; 0) (2; 0)
(0; 1; 1) (0; 0)
(1; 0; 1) (0; 2)
f
f
f
ìï =ïïï =í
ïï =ïïî
2 0 0 2 1
,
0 0 2 1 1
Q S
æ ö æ ö
÷ ÷ç ç÷ ÷ç çÞ = =÷ ÷ç ç÷ ÷÷ ÷ç çè ø è ø
. 
➢ Chương 4. Ánh xạ tuyến tính
 Suy ra: ( )
2 1 2 0 0
1 1 0 0 2
S Q
æ ö
÷ç ÷ç= ÷ç ÷ç ÷çè ø
2 0 4 0 4 1 0 2 0 2
0 1 2 0 4 0 1 2 0 4
æ ö æ ö- -÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç® ®÷ ÷ç ç÷ ÷- - -ç ç÷ ÷ç çè ø è ø
. 
Vậy 
2 0 2
[ ]
2 0 4
B
B
f
¢
æ ö- ÷ç ÷ç= ÷ç ÷- ÷çè ø
. 
➢ Chương 4. Ánh xạ tuyến tính
 VD 18. Cho AXTT ( ; ) ( ; ; )f x y x y y x x= + - và 
 cặp cơ sở: {(1; 0; 0), (1; 1; 0), (1; 1; 1)}A = , 
{(1; 2), (3; 4)}B = - . Dùng thuật toán, tìm [ ]A
B
f ? 
 Giải. Ta có: 
1 1 1
0 1 1
0 0 1
S
æ ö
÷ç ÷ç ÷ç ÷= ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷çè ø
; 
1 7
(1; 2) ( 1; 3; 1)
3 1
(3; 4) (7; 1; 3)
1 3
f
Q
f
æ ö- ÷çì ÷ï ç- = - - ÷ï ç ÷Þ = -çí ÷ç ÷ï = ç ÷ïî ç ÷÷çè ø
. 
➢ Chương 4. Ánh xạ tuyến tính
 Suy ra: ( )
1 1 1 1 7
0 1 1 3 1
0 0 1 1 3
S Q
æ ö- ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç= - ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷çè ø
1 0 0 2 6
0 1 0 4 2
0 0 1 1 3
æ ö
÷ç ÷ç ÷ç ÷ç® - - ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷çè ø
. 
 Vậy 
2 6
[ ] 4 2
1 3
A
B
f
æ ö
÷ç ÷ç ÷ç ÷= - -ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷çè ø
. 
➢ Chương 4. Ánh xạ tuyến tính
 d) Hạng của ánh xạ tuyến tính 
▪ Định nghĩa 
 Hạng của AXTT : n mf ®¡ ¡ là số chiều của 
không gian ảnh của nó. 
 Nghĩa là: 
( ) dim(Im ).r f f= 
▪ Định lý 
Hạng của AXTT bằng hạng ma trận của nó. 
➢ Chương 4. Ánh xạ tuyến tính
 VD 19. Cho PBĐTT 2 2:f ®¡ ¡ có ma trận trong 
 cơ sở F là 
1 2
2 4
A
æ ö
÷ç ÷ç= ÷ç ÷÷çè ø
. 
 Vậy ( ) ( ) 1r f r A= = . 
 VD 20. Cho AXTT 3 2:f ®¡ ¡ có ma trận trong cặp 
 cơ sở ,B B ¢ là 
1 1 0
[ ]
2 0 1
B
B
f
¢
æ ö
÷ç ÷ç= ÷ç ÷÷çè ø
. 
 Vậy ( )( ) [ ] 2BBr f r f
¢
= = .