Bài giảng Toán cao cấp - Chương 3: Ma trận và định thức

1CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
Lý thuyết ma trận thực sự ra đời từ đầu thế kỷ 19, mặc dù
nhiều loại bảng số có tính chất đặc biệt đã được biết đến từ
hàng trăm năm nay
Các ma trận vuông xuất hiện đầu tiên ở đầu thế kỷ 19 trong các
công trình về dạng toàn phương và về các phép thế tuyến tính
Phép nhân hai ma trận vuông cấp 3 được Gauss (Gau-xơ) đưa
ra vào năm 1801
Tên gọi ma trận (Matrix) được nhà toán học Anh Sylvester
(Synvét) đưa ra năm 1850
Cayley (Kê-li) là người đầu tiên mô tả một cách tổng quát các
phép tính với các ma trận bất kỳ và ma trận nghịch đảo (1858)
Peano là người đầu tiên đưa ra cách biểu diễn một ánh xạ tuyến
tính qua các ma trận. Còn Gauss là người đầu tiên sử dụng ma
trận để nghiên cứu các dạng toàn phương
10/07/2017 1
3.1 MA TRẬN
CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
3.1.1 KHÁI NIỆM MA TRẬN
Một bảng số có m hàng n cột
11 12 1
21 22 2
1 2
...
...
...
n
n
m m mn
a a a
a a a
A
a a a
   
được gọi là một ma trận cỡ m n
Ma trận A được gọi là ma trận nguyên (thực, phức) nếu các
phần tử aij là các số nguyên (số thực, số phức)
Nếu không chỉ rõ cụ thể thì ta xem A là ma trận thực
aij là phần tử ở hàng thứ i và cột j
10/07/2017 2
CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
Ma trận A cỡ m n có thể được viết tắt dạng
ij m n
A a
Khi m n ta nói A là ma trận vuông cấp n
Tập hợp tất cả các ma trận cỡ m n được ký hiệu Mm n
Tập hợp tất cả các ma trận vuông cấp n được ký hiệu M n
Ví dụ 3.1 
523
10
là một ma trận cỡ 2 3
10/07/2017 3
CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
' '
'
'
, 1, ; 1,
ij ijm n m n
ij ij
m m
a b n n
a b i m j n
  
Hai ma trận bằng nhau khi cùng cỡ và có các phần tử tương ứng
đều bằng nhau
3 3 4 6
3 3 1 2 3
x y x x y
z w z w w
Ví dụ 3.2 
3 4 2 4 2
3 6 2 6 4
3 1 2 1 1
3 2 3 3 3
x x x x
y x y y x y
z z w z w z
w w w w
10/07/2017 4
CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
3.1.2 CÁC PHÉP TOÁN MA TRẬN 
3.1.2.1. Phép cộng ma trận 
, ; 1, ; 1,ij ij ij ij ij ijm n m n m n
a b c c a b i m j n
  
Ví dụ 3.3 
3.1.2.2. Phép nhân một số với ma trận
ij ijm n m n
k a ka
Ví dụ 3.4 
5423
02141
1083
0121
2
1
656
552
713
580
149
032
10/07/2017 5
CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
Ví dụ 3.5 Tìm x, y, z và w thỏa mãn
6 4
3
1 2 3
x y x x y
z w w z w
Thực hiện phép cộng ma trận và nhân một số với ma trận ta được
3 3 4 6
3 3 1 2 3
x y x x y
z w z w w
3 4 2 4 2
3 6 2 6 4
3 1 2 1 1
3 2 3 3 3
x x x x
y x y y x y
z z w z w z
w w w w
10/07/2017 6
2CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
Tính chất 3.1 
Các tính chất sau đây đúng đối với các ma trận cùng cỡ m n
1) CBACBA )()(
2) Ma trận có các phần tử đều bằng 0 gọi là ma trận không và ký
hiệu 0 thỏa mãn
AAA 00
0 )( AA  
nmij
aA
 3) , trong đó 
4) ABBA 
10/07/2017 7
CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
Ta cũng kiểm chứng được các tính chất sau đúng với mọi số thực
k, h với mọi ma trận cỡ m n
5) kBkABAk )(
6) hAkAAhk )(
7) AkhhAk )()( 
8) AA 1
Với 8 tính chất này tập Mm n là một không gian véc tơ 
Ký hiệu Eij là ma trận cỡ m n có các phần tử đều bằng 0 ngoại
trừ phần tử ở hàng i cột j bằng 1
Hệ các ma trận 1, ; 1,ijE i m j n là một cơ sở của Mm n
10/07/2017 8
CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
Ví dụ 3.6 
Ma trận cỡ 2 3 bất kỳ có thể biểu diễn duy nhất thành tổ hợp tuyến 
tính các ma trận Eij
11 11 12 12 13 13 21 21 22 22 23 23a E a E a E a E a E a E 
11 12 13 11 12 13
21 22 23
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
a a a a a a
a a a
2321 22
0 0 00 0 0 0 0 0
0 00 0 0 0 aa a
21 22 23
0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 1 0 0 0 1
a a a
11 12 13
1 0 0 0 1 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0 0 0 0
a a a
10/07/2017 9
CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
3.1.2.3 Phép nhân ma trận
Tích hai ma trận ij m p
A a
 và ij p n
B b
là ma trận cỡ m n được ký hiệu và định nghĩa bởi ij m n
AB c
Tồn tại ma trận tích AB khi số cột của ma trận A bằng số hàng
của ma trận B
1
1, ; 1,
p
ij ik kj
k
c a b i m j n
  víimäi
Phần tử ở hàng thứ i cột thứ j của ma trận tích AB bằng tổng
của tích các phần tử hàng thứ i của ma trận A với các phần tử
tương ứng cột thứ j của ma trận B
10/07/2017 10
CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
Vậy phần tử ở hàng thứ i cột thứ j của AB bằng tổng của tích
các phần tử hàng thứ i của A với các phần tử tương ứng cột
thứ j của B
j
i
pj
j
j
ipiiij
b
b
b
aaac
2
1
21
10/07/2017 11
CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
Ví dụ 3.7 
10/07/2017 12
1 3
1 0
2 4
x y
z w
177
159
42
01
31
521
321
 
2
1 4 2
3
2 8 4
3 12 6
3 3
2 4 2 4
x z y w
x y
x z y w
3CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
Ta thấy rằng tích của hai ma trận A và B định nghĩa được khi số
cột của A bằng số hàng của B
Vì vậy có thể định nghĩa AB nhưng không định nghĩa được BA
nếu số cột của B không bằng số hàng của A
Khi A, B là hai ma trận vuông cùng cấp thì ta có đồng thời AB và
BA. Mặc dầu vậy chưa chắc có đẳng thức AB BA
Nói cách khác tích ma trận không có tính giao hoán 
10/07/2017 13
CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
Chẳng hạn, xét 
1 0 0 0 1 2 0 0
2 3 0 0 3 0 0 0
 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
A B
 
 
 
         
1 2 0 0 3 6 0 0
11 4 0 0 3 0 0 0
 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
AB BA
 
 
 
         
10/07/2017 14
CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
Tính chất 3.2
Giả sử A, B, C là các ma trận với số cột số hàng thích hợp để
các phép toán sau xác định được, khi đó ta có các đẳng thức:
1) A(BC) (AB)C tính kết hợp
2) A(B C) AB AC tính phân phối bên trái phép nhân ma
trận với phép cộng
3) (B C)A BA CA tính phân phối bên phải phép nhân
ma trận với phép cộng
4) Với mọi k , k(AB) (kA)B A(kB)
10/07/2017 15
CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
5) Với mọi số tự nhiên dương n ta xét ma trận In vuông cấp n
có các phần tử trên đường chéo bằng 1 và các phần tử ở vị
trí khác đều bằng 0
Khi đó với mọi ma trận A cỡ m n ta có
m nI A A AI 
Ma trận In được gọi là ma trận đơn vị cấp n
10/07/2017 16
CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
Xét ma trận A cỡ 2 3
Chẳng hạn
11 12 13
21 22 23
a a a
A
a a a
11 12 13 11 12 13
3
21 22 23 21 22 23
1 0 0
0 1 0
0 0 1
a a a a a a
AI A
a a a a a a
11 12 13 11 12 13
2
21 22 23 21 22 23
1 0
0 1
a a a a a a
I A A
a a a a a a
10/07/2017 17
CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
Khác với phép nhân các số: tích hai số khác 0 là một số khác 0.
Ta có thể tìm được hai ma trận khác 0 có tích là ma trận 0
1 2 0 0 2 6 0 0
2 4 0 0 1 3 0 0
 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
A B
 
 
 
         
Chẳng hạn
,A B 0 nhưng AB 0
10/07/2017 18
4CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
3.1.2.4 Đa thức ma trận
Giả sử p(t) a0 a1t  ak t
k là một đa thức bậc k
Với mọi ma trận A vuông cấp n, ta định nghĩa đa thức của ma
trận A như sau:
0 1( )
k
kp A a I a A a A 
Ví dụ 3.8
1 2
4 3
A
3( ) 5 4 2p t t t Cho ma trận và đa thức
3
1 0 1 2 1 2 13 52
( ) 5 4 2
0 1 4 3 4 3 104 117
p A
10/07/2017 19
CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
3.1.2.5 Ma trận chuyển vị
Cho ma trận A cỡ m n, nếu ta đổi các hàng của ma trận A
thành các cột (và do đó các cột thành các hàng) thì ta được ma
trận mới cỡ n m, gọi là ma trận chuyển vị của ma trận trên A,
ký hiệu A t
, ; 1, 1,t ij ij jin m
A c c a i n j m
Ví dụ 3.9
4 1
2 0
5 9
A
4 2 5
1 0 9
tA
10/07/2017 20
CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
Tính chất 3.3
1) 
ttt BABA )(
2) 
tt kAkA )(
3) 
ttt ABAB )(
Nếu A At thì A được gọi là ma trận đối xứng (A là ma trận
vuông có các phần tử đối xứng nhau qua đường chéo thứ nhất)
A At thì A được gọi là phản đối xứng (A là ma trận vuông có
các phần tử đối xứng và trái dấu qua đường chéo thứ nhất, các
phần tử trên đường chéo thứ nhất bằng 0)
ij
ij
t
a
a
A A
 



10/07/2017 21
CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
3.1.3 MA TRẬN CỦA MỘT HỆ VÉC TƠ
3.1.3.1 Định nghĩa ma trận của một hệ véc tơ
Giả sử V là không gian n chiều với một cơ sở B {e1,  , en}
{v1,  , vm} là một hệ véc tơ của V có tọa độ trong cơ sở B:
1
 , 1,...,
n
j ij i
i
v a e j m
 
Khi đó ma trận 
ij n m
A a
có các cột là tọa độ của các véc tơ {v1,  , vm} trong cơ sở B
gọi là ma trận của hệ véc tơ {v1,  , vm} trong cơ sở B.
Ngược lại, với ma trận A cỡ n m cho trước thì ta có hệ m véc tơ 
mà toạ độ của nó trong cơ sở B là các cột của A
10/07/2017 22
CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
Nói riêng, nếu 1 1 ... n nu x e x e 
ta ký hiệu 
 1( ,..., )nu x x B  
1
n
x
u
x

B
Ví dụ 3.10
Xét hệ véc tơ 1 2 3(4,1,3, 2), (1,2, 3,2), ( , , , )v v v x y z t 
Có ma trận trong cơ sở chính tắc 
4 1
1 2
3 3
2 2
x
y
z
t
10/07/2017 23
CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
3.1.3.2 Ma trận chuyển cơ sở
Giả sử B {e1,  , en}, B
 {e 1,  , e n} là hai cơ sở của V
Ma trận của hệ véc tơ B trong cơ sở B được gọi là ma trận
chuyển từ cơ sở B sang cơ sở B 
Nghĩa là nếu 
1
' , 1,...,
n
j ij i
i
e t e j n
  thì 
'ij
T t 
B
B
là ma trận chuyển từ cơ sở B sang cơ sở B 
 
1 1
'i ij jn n n n
x t x
     ''ij
u t u 
B
B BB
Ta có công thức đổi tọa độ
1 1 1 1 1 1
: ' ' ' '
n n n n n n
i i j j j ij i ij j i
i j j i i j
u V u x e x e x t e t x e
  
     
10/07/2017 24
5CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
Nếu A, A lần lượt là ma trận của {v1,  , vn} trong cơ sở B và
B thì
'
'ij
A t A 
B
B
Ví dụ 3.11
là hai cơ sở của không gian véc tơ 2 (Xem ví dụ 2.16 Chương 2)
1 2 1 2( , ) (4 3 ) ' ( ) 'u x y xe ye y x e x y e 
 ( , ); (4 3 , )'u x y u y x x y B B
Hai hệ véc tơ B e1, e2, B ’ e’1, e’2
với e1 (1,0) , e2 (0, 1) và e 1 (1,1) , e 2 (4,3)
10/07/2017 25
CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
Ma trận chuyển từ cơ sở B sang cơ sở B là
1 4
1 3
T
do đó
1 4 4 3
1 3
x y x
y x y
Ma trận chuyển từ cơ sở B sang cơ sở B là
3 4
'
1 1
T
do đó 4 3 3 4
1 1
y x x
x y y
B e1 (1,0), e2 (0, 1) B’ e 1 (1,1), e 2 (4,3)}
10/07/2017 26
 1 2(4 3 , ) ( 3,1); (4, 1)' ' 'u y x x y e e B B B
 (4 3 , )'u y x x y B
CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
3.1.4 HẠNG CỦA MA TRẬN
3.1.4.1 Tìm hạng của ma trận bằng phép biến đổi sơ cấp
Ta gọi hạng của hệ các véc tơ cột của A là hạng của ma trận A
ký hiệu r(A)
Hạng r(S) của một hệ véc tơ S của không gian V là số véc tơ của
một hệ con độc lập tuyến tính tối đại của S hay là chiều của spanS
(xem Định lý 2.16).
Vì vậy khi ta thực hiện liên tiếp các phép biến đổi sau, gọi là các
phép biến đổi sơ cấp, thì spanS không đổi do đó hạng của hệ
không thay đổi:
1) Đổi chỗ cho nhau hai véc tơ của hệ
2) Nhân vào một véc tơ của hệ một số khác 0
3) Cộng vào một véc tơ của hệ một tổ hợp tuyến tính các véc tơ 
khác của hệ
10/07/2017 27
CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
Vì vậy để tìm hạng của một ma trận ta thực hiện các biến đổi sơ
cấp lên các cột hoặc các hàng để đưa ma trận về dạng hình bậc
thang, từ đó suy ra hạng của ma trận. Ví dụ về tính theo cột:
Ví dụ 3.12
Vậy r(A) 2
1 3 4 2
2 1 1 4
1 2 1 2
A
3 1 2 2
4 1 3 3
2 1 4 4
c c c
c c c
c c c
1 0 0 0
2 7 7 0
1 5 5 0
1 0 0 0
2 7 0 0
1 5 0 0
c c1 1
2 2
2 3 3
c c
c c c
10/07/2017 28
CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
Ví dụ về biến đổi sơ cấp theo hàng:
Ví dụ 3.12
Vậy r(A) 2
1 3 4 2
2 1 1 4
1 2 1 2
A
2 1 2 2
1 3 3
h h h
h h h
1 3 4 2
0 7 7 0
0 5 5 0
1 3 4 2
0 7 7 0
0 0 0 0
2 3 3
5
7
h h h 
10/07/2017 29
CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
1 4
1 1
52 1 2 2
3 1 1 3 3
1 4 44 2 2 5 515 3
1 2 1 1 1 1 1 1 1 2
1 1 1 1 1 1 1 1
1 0 1 1 0 1 1 1
1 2 2 1 1 2 1 1 1 2
c c
c c
c c c c c
c c c c c
c c cc c
c c cc c
a a
B
a a
1 1
2 3
3 2
( 3) ( 1) 22 3 4 4
(3 2 ) 3 22 3 5 5
1 0 0 0 0 1 0 0 0 0
1 0 2 1 3 1 2 0 0 0
0 1 1 1 0 1 1 0 0
2 1 1 3 2 2 1 1 2 2 2 2
c c
c c
c c
a c a c c c
a c c c c
a
a
a a
Vậy 
13
14
)(
a
a
Br
nÕu
nÕu
10/07/2017 30
1 0 0 0 0
1 2 0 0 0
0 1 1 0 0
2 1 1 2 2 0a
6CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
 Khái niệm định thức lần đầu tiên được Leibniz (Lépnít) đưa ra
vào năm 1693 khi bàn đến việc giải hệ phương trình tuyến tính
 Định thức của ma trận vuông cấp 2 bằng tích đường chéo
thứ nhất trừ tích đường chéo thứ hai
11 12
11 22 12 21
21 22
a a
a a a a
a a
 Ma trận và định thức ngày nay luôn đi liền với nhau và hầu
như mọi người đều cho rằng khái niệm định thức phải ra đời sau
khái niệm ma trận, nhưng sự thực ngược lại
 Định thức của ma trận vuông cấp n tổng quát được xét trong
chương này
 Định thức hình thành là nhằm để giải các hệ phương trình
tuyến tính mà việc làm này đã có một lịch sử lâu đời trước đó
10/07/2017 31
3.2 ĐỊNH THỨC
CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
 Định thức được tiếp tục phát triển và nghiên cứu qua các
công trình của Cramer (Cờrame) (Thụy sĩ), Jacobi (ia-cô-bi)
(Đức), Laplace (Pháp), Vandermonde (Vănđécmông) (Hà Lan) ...
 Cauchy (Cô-si) (Pháp) là người đầu tiên nghiên cứu khái niệm
định thức một cách hệ thống
 Ngoài ứng dụng để giải hệ phương trình tuyến tính, định thức
còn được sử dụng để nghiên cứu những vấn đề của ma trận
như: ma trận nghịch đảo, hạng của ma trận, tìm giá trị riêng...
 Định thức Jacobi được sử dụng trong phép đổi biến số của
tích phân nhiều lớp
 Định thức Wronsky (vrông-xki) dùng để kiểm tra tính chất độc
lập tuyến tính của các nghiệm của phương trình vi phân tuyến
tính thuần nhất
 Khảo sát tính chất độc lập của một hệ véc tơ
10/07/2017 32
CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
3.2.1 ĐỊNH NGHĨA ĐỊNH THỨC
Khi giải hệ phương trình tuyến tính
''' cybxa
cbyax
ta tính các định thức
''
''
baab
ba
ba
D ''
''
bccb
bc
bc
Dx ''
''
caac
ca
ca
Dy 
2221
1211
aa
aa
ANhư vậy định thức của ma trận vuông cấp 2:
21122211
2221
1211
aaaa
aa
aa
A 
10/07/2017 33
CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
Đó là định thức của ma trận vuông cấp n
10/07/2017 34
CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
10/07/2017 35
CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
10/07/2017 36
3.2.2 MỘT SỐ VÍ DỤ VỀ ĐỊNH THỨC
Ví dụ 3.14 
2 5
3 4
1 6
x
y
z
2. .6 5.4. .3.1 . . 5.3.6 2.4.1y z x x y z 
12 20 3 90 8y z x xyz 
3 12 20 98x y z xyz 
7CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
Tính định thức
11...n nnD a a 
Ví dụ 3.15 
nn
n
n
n
n
a
aa
aaa
aaaa
D

333
22322
1131211
...
...
...
10/07/2017 37
CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
Tương tự
Ví dụ 3.16 
2
0 7
2 ( 7) ( 1) 3 42
0 0 1
0 0 0 3
a b c
d e
f
    
11
21 22
31 32 33 11
1 2 3
' ...
...
n nn
n n n nn
a
a a
a a aD a a
a a a a
   
10/07/2017 38
CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
11 12 1 1 1
21 22 2 1
( 1) 2
1 , 1
1
...
...
"' ( 1) ... ...
n n
n
n n
n n k n k n
n
a a a a
a a a
D a a a
a
   
 
Ví dụ 3.18 
3 2
2
4 2
3 0 ( 1)
0 0
x
y xyz xyz
z
10/07/2017 39
CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
Định thức của ma trận A [ aij ]n n của hệ véc tơ {v1,  , vn}
trong cơ sở B của không gian véc tơ V cũng được gọi là định
thức của hệ véc tơ {v1,  , vn} và ký hiệu DB{v1,  , vn}. Vậy
 1,..., detnD v v A B
Ví dụ 3.19 
Hệ véc tơ 1 2 3(2,4,1), (3,6, 2), ( 1,5,2)v v v 
có ma trận trong cơ sở chính tắc B cùa 3 là
2 3 1
4 6 5
1 2 2
A
 1 2 3, , det 49D v v v A BVậy
10/07/2017 40
CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
3.2.3 CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA ĐỊNH THỨC
1) Nếu đổi chỗ hai hàng của ma trận thì định thức đổi dấu
,
, ' ' , '
ij
ij ij ij kjn n n n
mj
i k m
i m
i k
a
A a A a a a
a
nÕu 
nÕu 
nÕu 
thì det ' detA A 
Ví dụ 3.20 
' ' '
" " "
" "
' '
"
'
a b c
a b c
a b c
a b
a
c
a b c b c 
Đổi chỗ 
hai hàng 
m và k
cho nhau
10/07/2017 41
CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
2) Định thức có tính chất tuyến tính đối với mỗi hàng
Ma trận
ij n n
C c
có hàng thứ k là tổ hợp tuyến tính của 
ij n n
A a
 và ij n n
B b
Nghĩa là
.1,...,
ij ij ij
kj kj kj
i k
j n
c a b
c a b 
nÕu
víi mäi
 ; 
hàng thứ k của
thì det det detC A B  
Ví dụ 3.21
2 2 2 21 1 1 1 1 21 2
' ' ' ' ' ' ' ' '
a b c a
aa b c a b cb c a b
b c a b c
a b c a c a b c
c
b  
   
10/07/2017 42
8CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
3) Từ 1) và 2) suy ra rằng trong một ma trận có hai hàng tỷ lệ thì
định thức bằng 0
4) Nếu ta cộng vào một hàng một tổ hợp tuyến tính các hàng
khác thì định thức không thay đổi
Ví dụ 3.22
' ' ' ' ' ' ' ' 'a b c a b
a b c a b c a b c
a b c a b c
c ak k
k k bk
b
c
c
a
10/07/2017 43
' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' '
" " " " " "' ' ' ' ' '
a b c a b c a b c a b c
a b c a b c
a ba
a b c a b c
a b c ab c a bc ac b cb c

  
CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
5) Định thức của ma trận chuyển vị bằng định thức của ma trận đó
det dettA A 
Ví dụ 3.23
'
' ' ' '
'
"
"
" " " "
a b c a
b
a
a
a
b
a
b c b
c c cb c
6) Từ 5) suy ra rằng các tính chất của định thức đúng với hàng
thì cũng đúng với cột và ngược lại. Vì vậy ta chỉ cần chứng
minh các định lý về định thức đúng với hàng. Chẳng hạn, từ 4)
suy ra nếu ta cộng vào một cột một tổ hợp tuyến tính các cột
khác thì định thức không thay đổi
10/07/2017 44
CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
7) Định thức của mọi hệ n véc tơ phụ thuộc tuyến tính của không
gian véc tơ n chiều đều bằng 0
10/07/2017 45
Nếu hệ véc tơ 1,..., nv v phụ thuộc tuyến tính thì có một véc tơ là tổ hợp tuyến tính của 
các véc tơ còn lại. Chẳng hạn 1 1 2 2 1 1n n nv v v v  
  1 1 1 1 1 1 2 2 1 1det ,..., , ,..., ,n n n n nA D v v v D v v v v v B B
Tách cột cuối thành tổng của n 1 định thức ta được
  1 1 1 1 1 1 1 1det ,..., , ,..., , 0 0 0n n n nA D v v v D v v v  B B
BAAB detdetdet 
8) Định thức của một tích bằng tích các định thức
CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
3.2.4 CÁC CÁCH TÍNH ĐỊNH THỨC
3.2.4.1 Khai triển theo hàng, theo cột
Cho ma trận A [ aij ]n n
Ký hiệu Mij là định thức của ma trận cấp n 1 có được bằng
cách xoá hàng i cột j của ma trận A
11 12 1 1
1 2
1 2
...
...
...
j n
i i ij in
n n nj nn
a a a a
a a a a
a a a a
    
    
Hàng i
Cột j
( 1)i jij ijA M
được gọi là phần bù đại số của aij
10/07/2017 46
CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
Công thức khai triển định thức của A theo cột thứ j 
1 1det ...j j nj njA a A a A 
11 12 1 1
1 2
1 2
...
...
...
j n
i i ij in
n n nj nn
a a a a
a a a a
a a a a
    
    
... 
10/07/2017 47
11 12 1 1
1
( 1) 1 21
1 2
...
...
...
j n
j
i i ij inj
n n nj nn
a a a a
a a a aa
a a a a
    
    
11 12 1 1
( 1) 1 2
1 2
...
...
...
j n
n j
i i ij innj
n n nj nn
a a a a
a a a aa
a a a a
    
    
CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
Công thức khai triển định thức của A theo hàng thứ i 
1 1det ...i i in inA a A a A 
Nhận xét 3.5 
Công thức khai triển theo cột thứ j và công thức khai triển theo
hàng thứ i (trong đó việc chọn hàng thứ i và cột thứ j là tùy ý) cho
phép tính định thức cấp n theo tổng các số hạng dạng aijAij. Nếu
ở hàng thứ i hoặc cột j có số hạng aij 0 thì aijAij 0. Vì vậy để
tính định thức ta thức hiện các bước sau:
Chọn hàng i hoặc cột j có nhiều phần tử bằng 0 hoặc dễ triệt tiêu
Thực hiện các phép biến đổi để triệt tiêu các phần tử trên hàng
(hoặc cột) đã chọn, cuối cùng trên hàng hoặc cột này chỉ có một
phần tử khác 0
Khai triển theo hàng hoặc cột đã triệt tiêu
10/07/2017 48
9CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
Ví dụ 3.26 
Khai triển theo hàng thứ 2 ta được
2 1
2 2 2
( 1) 1 1 4 6
2 1 7
D   
Tiếp tục triệt tiêu hàng thứ nhất của định thức trên ta có
2 0 0
3 5 1 5
1 3 5 2 ( 2)( 3) 6( 9 5) 24
3 9 1 9
2 3 9
D



   
1 2 3 4
1 0 1 2
3 1 1 0
1 2 0 5
D 
1 3 3
2 1 4 4
1 2 2 2
1 0 0 0
3 1 4 6
1 2 1 7
c c c
c c c
10/07/2017 49
CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
3.2.5 ỨNG DỤNG ĐỊNH THỨC ĐỂ TÌM MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO
Ma trận vuông A được gọi là khả nghịch nếu tồn tại ma trận
vuông cùng cấp B sao cho AB BA I
Phép nhân ma trận có tính kết hợp nên ma trận B ở định nghĩa
trên nếu tồn tại thì duy nhất, ta gọi ma trận này là ma trận
nghịch đảo của A, ký hiệu A 1
Điều kiện cần và đủ để ma trận A tồn tại ma trận nghịch đảo là
det A 0
1 1det det det det 1A A AA I det 0A 
Ma trận nghịch đảo A 1 của ma trận A có dạng
ij n n
B A
 được gọi là ma trận phụ hợp của A
1 1
det
tA B
A
Aij là phần bù đại số của phần tử aij của ma trận A [aij]n n
10/07/2017 50
CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
1 1 ...k k kn kna A a A 
1 2
11 12 1
2
1 2
1k k kn
i
n
n n
n
nn
i i
a a a
a a a
a a a
a a a
 
 
    
 
 
Khai triển theo hàng thứ k
Hàng k
Hàng i
1 1 ...i ik kn na A a A 
1 2
1 2
11 12 1
1 2
i i in
i
n
n n
n
nn
i i
a a a
a a a
a a a
a a a
 
 
    
 
 
Khai triển theo hàng thứ k
Hàng k
Hàng i
0 
det A 
10/07/2017 51
CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
Ma trận 
a b
A
c d
 vuông cấp 2 với định thức - 0A ad bc có 
ma trận nghịch đảo là 
1 1 1
t
d c d b
A
b a c aad bc ad bc
Ví dụ 3.31 
5 7
3 9
A
có ma trận nghịch đảo 1
9 71
3 524
A 
1 1
det
... (det )
0
t
i k in kn
A i k
a A a A AB A I
i k
 nÕu 
 nÕu 
11 1
det det
t tA B I A B
A A
10/07/2017 52
CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
Ví dụ 3.32
801
352
321
A có 1det A
40
80
35
)1( 1111 
 A 13
81
32
)1( 2112 
 A 5
01
52
)1( 3113 
 A
16
80
32
)1( 1221 
 A 5
81
31
)1( 2222 
 A 2
01
21
)1( 3223 
 A
9
35
32
)1( 1331 
 A 3
32
31
)1( 2332 
 A 1
52
21
)1( 3333 
 A
1
40 13 5
1
16 5 2
1
9 3 1
t
A 
40 16 9
13 5 3
5 2 1
40 16 9
13 5 3
5 2 1
10/07/2017 53
CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
Ví dụ 3.33
2 5 1
7 3 2
4 1 3
A
có det 56A 
3 1 3 2 3 3
31 32 33
5 1 2 1 2 5
( 1) 7, ( 1) 3, ( 1) 29
3 2 7 2 7 3
A A A 
1 1 1 2 1 3
11 12 13
3 2 7 2 7 3
( 1) 7, ( 1) 13, ( 1) 5
1 3 4 3 4 1
A A A 
2 1 2 2 2 3
21 22 23
5 1 2 1 2 5
( 1) 14, ( 1) 2, ( 1) 18
1 3 4 3 4 1
A A A 
1
7 13 5 7 14 7
1 1
14 2 18 13 2 3
56 56
7 3 29 5 18 29
t
A 
10/07/2017 54
10
CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
Tìm ma trận nghịch đảo theo phƣơng pháp Gauss-Jordan 
Để tìm ma trận nghịch đảo A 1 ta thực hiện các bước sau:
1) Viết ma trận đơn vị I bên phải ma trận A: A | I
2) Thực hiện các phép biến đổi sơ cấp đồng thời lên các hàng
của A | I để đưa ma trận A ở vế trái về ma trận đơn vị
3) Khi vế trái trở thành ma trận đơn vị thì vế phải là ma trận A 1
1..........A I I A 
10/07/2017 55
CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
Ví dụ 3.34
Tìm A 1 với
1 2 3
2 5 3
1 0 8
A
1 2 3 1 0 0
2 5 3 0 1 0
1 0 8 0 0 1
1 1
2 2
2 2 3 3
1 2 3 1 0 0
0 1 3 2 1 0
0 0 1 5 2 1
h h
h h
h h h
3 3 2 2
3 3
3 3 1 1
1 2 0 14 6 3
0 1 0 13 5 3
0 0 1 5 2 1
h h h
h h
h h h
1 1
1 2 2
1 3 3
2
h h
h h h
h h h
1 2 3 1 0 0
 0 1 3 2 1 0
0 2 5 1 0 1
1 1
2 2
3 3
1 2 3 1 0 0
 0 1 3 2 1 0
0 0 1 5 2 1
h h
h h
h h
2
2 1 1
2 2
3 3
1 0 0 40 16 9
 0 1 0 13 5 3
0 0 1 5 2 1
h h h
h h
h h
10/07/2017 56
CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
3.2.6 TÌM HẠNG CỦA MA TRẬN BẰNG ĐỊNH THỨC
Định thức của một hệ phụ thuộc tuyến tính bằng 0. Do đó nếu
định thức DB{v1, ... , vn} 0 thì hệ {v1, ... , vn} độc lập tuyến tính
Ngược lại, giả sử hệ {v1, ... , vn} độc lập tuyến tính, ta chứng
minh DB{v1, ... , vn} 0
Vậy hệ {v1, ... , vn} trong không gian véc tơ n chiều là độc lập
tuyến tính khi và chỉ khi DB{v1, ... , vn} 0
Ta cũng chứng minh được nếu 
'
ijT t 
B
B
 là ma trận chuyển từ cơ 
sở B sang 'B thì ma trận chuyển từ cơ sở 'B sang B là 1T 
1' '
'ij ij
T t t T 
B B
B B
10/07/2017 57
CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
Định lý 3.12 
Giả sử A [ aij ] là một ma trận cỡ m n. Nếu có định thức con
cấp p khác 0 và mọi định thức con cấp p 1 bao quanh nó đều
bằng 0 thì r(A) p
Hệ quả 3.13 Giả sử A là một ma trận cỡ m n thì
r ( A ) r (At ) min(m , n)
Ví dụ 3.35
2 1
20
2 9
Vậy 2)( Ar
2 1 2 3
2 9 4 7
4 3 1 1
A
2 1 2 2 1 3
2 9 4 2 9 7 0
4 3 1 4 3 1
10/07/2017 58
CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
Ví dụ 3.36 2 1 0 4
4 2 1 7
3 1 1 4
1 4 3 4
B
2 1
0
4 2
nhưng
1 0
1
2 1
Bao định thức này bởi định thức cấp 3
2 1 0
4 2 1 1
3 1 1
Định thức cấp 4 duy nhất |B | 0
Vậy r(B) 3
10/07/2017 59
CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
Ví dụ 3.37
Tìm hạng của ma trận
1 1 1
1 1 1
1 1 1
1 1 1
a
a
A
a
a
 3)1)(3( aaA
 Khi 1,3 aa thì 4)( Ar ; 
BÀI TẬP
 Khi a 3,
3 1 1 1 1 1 1 0 0
1 3 1 1 3 1 1 4 0 16
1 1 3 1 1 3 1 0 4
( ) 3r A 
1 1 1
1 1 1
1 1 1
1 1 1 1
10/07/2017 60
3 1 1 1
3 1 1
1 3 1
1 1 3
A
 Khi a 1 r(A) 1