Bài giảng Toán cao cấp - Chương 3: Không gian vector

➢ Chương 3. Không gian vector
 §1. Khái niệm không gian vector 
 §2. Sự độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính 
 §3. Cơ sở, số chiều của kgvt – Tọa độ của vector 
 §4. Không gian sinh bởi hệ vector 
 §5. Không gian Euclide 
§1. KHÁI NIỆM KHÔNG GIAN VECTOR 
(Vector space) 
 1.1. Định nghĩa 
• Cho tập V khác rỗng, mỗi phần tử thuộc V được gọi 
là một vector. Xét hai phép toán sau: 
( , ) ; ( , ) .
V V V V V
x y x y x xl l
´ ® ´ ®
+
¡
a a
1
➢ Chương 3. Không gian vector
• Ta nói V cùng với hai phép toán trên là một không 
gian vector (viết tắt là kgvt) trên ¡ , hay ¡ – không 
gian vector, nếu thỏa 8 tính chất sau: 
1) ( ) ( ), , ,x y z x y z x y z V+ + = + + " Î ; 
2) : ,V x x x x Vq q q$ Î + = + = " Î ; 
3) , ( ) : ( ) ( )x V x V x x x x q" Î $ - Î - + = + - = ; 
4) , ,x y y x x y V+ = + " Î ; 
5) ( ) , , ,x y x y x y Vl l l l+ = + " Î " Î ¡ ; 
6) ( ) , , ,x x x x Vl m l m l m+ = + " Î " Î ¡ ; 
7) ( ) ( ), , ,x x x Vl m l m l m= " Î " Î ¡ ; 
8) 1. ,x x x V= " Î . 
Trong đó, Vq Î được gọi là vector không. 2
➢ Chương 3. Không gian vector
 VD 1. 
• Tập { }1 2( , , ..., ) , 1,n n ix x x x i n= Î =¡ ¡ các bộ số 
thực là một không gian vector. 
• Tập nghiệm V của hệ phương trình tuyến tính thuần 
nhất là một không gian vector. 
• Tập 
,
( )
m n
V M= ¡ với hai phép toán cộng ma trận và 
nhân vô hướng là một không gian vector. 
• Tập [ ]
n
P x các đa thức có bậc không quá n : 
1 0
{ ( ) ... , , 0, ..., }n
n i
p x a x a x a a i n= + + + Î =¡ 
 với phép cộng đa thức và nhân số thực với đa thức là 
một không gian vector. 3
➢ Chương 3. Không gian vector
 1.2. Không gian vector con (Vectorial subspace) 
▪ Định nghĩa 
 Cho kgvt V , tập W VÌ được gọi là không gian 
vector con của V nếu W cũng là một kgvt. 
▪ Định lý 
 Cho kgvt V , tập W VÌ là kgvt con của V nếu: 
, ,x y W l" Î " Î ¡ thì ( )x y Wl+ Î . 
 VD 2. 
• Tập { }W q= là kgvt con của mọi kgvt V . 
• Tập { }( , 0, ..., 0)W a a= Î ¡ là kgvt con của n¡ . 
 4
➢ Chương 3. Không gian vector
§2. SỰ ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH 
 PHỤ THUỘC TUYẾN TÍNH 
 2.1. Định nghĩa 
 Trong kgvt V , xét n vector 
i
u ( 1,...,i n= ). 
 Khi đó: 
• Tổng 
1 1 2 2
1
... ,
n
n n i i i
i
u u u ul l l l l
=
+ + + = Îå ¡ , 
 được gọi là một tổ hợp tuyến tính của n vector 
i
u . 
• Hệ gồm n vector 
1 2
{ , , ..., }
n
u u u được gọi là độc lập 
tuyến tính (viết tắt là đltt) nếu: 
1
n
i i
i
ul q
=
=å thì 0, 1, ...,i i nl = " = . 
5
➢ Chương 3. Không gian vector
• Hệ 
1 2
{ , , ..., }
n
u u u không là độc lập tuyến tính thì 
được gọi là phụ thuộc tuyến tính (viết tắt là pttt). 
 VD 1. Trong 2¡ , xét sự đltt hay pttt của hệ 2 vector: 
1 2
{ (1; 1), (2; 3)}A u u= = - = . 
 Giải. Ta có: 
1 1 2 2 1 2
(1; 1) (2; 3) (0; 0)u ul l q l l+ = Û - + = 
1 2 1
1 2 2
2 0 0
3 0 0
l l l
l l l
ì ìï ï+ = =ï ïÛ Ûí í
ï ï- + = =ï ïî î
. 
 Vậy hệ A là độc lập tuyến tính. 
6
➢ Chương 3. Không gian vector
 VD 2. Trong 3¡ , xét sự đltt hay pttt của hệ 3 vector: 
1 2 3
{ ( 1; 3; 2), (2; 0; 1), (0; 6; 5)}B u u u= = - = = . 
 Giải. Ta có: 
1 23
1 3
1
1 2 3
2 0
3 6 0
2 5 0
i i
i
u
l l
l q l l
l l l
=
ìï - + =ïïï= Û + =í
ïï + + =ïïî
å (I). 
 Hệ (I) có ma trận hệ số 
1 2 0
3 0 6
2 1 5
A
æ ö- ÷ç ÷ç ÷ç ÷= ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷çè ø
. 
7
➢ Chương 3. Không gian vector
 Do 
1 2 0 1 2 0
0 6 6 0 1 1 ( ) 3
0 5 5 0 0 0
A r A
æ ö æ ö- -÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷® ® Þ <ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷÷ ÷ç çè ø è ø
, 
 nên hệ phương trình (I) có nghiệm không tầm thường. 
 Vậy hệ B là phụ thuộc tuyến tính. 
8
➢ Chương 3. Không gian vector
 VD 3. Trong 
2,3
( )M ¡ , xét sự đltt hay pttt của hệ: 
1 2 0 2 3 0 0 1 0
, ,
3 0 1 4 0 1 2 0 1
A B C
ì üæ ö æ ö æ öï ï÷ ÷ ÷ï ïç ç çï ï÷ ÷ ÷ç ç ç= = =í ý÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ï ï÷ ÷ ÷ç ç çè ø è ø è øï ïï ïî þ
. 
 Giải. Ta có: 
2 3
(0)aA bB cC
´
+ + = ( , , )a b c Î ¡ 
2 0
2 3 0
3 4 2 0
0
a b
a b c
a b c
a b c
ìï + =ïïï + + =ïïÛ í
ï + + =ïïï + + =ïïî
 (II). 
9
➢ Chương 3. Không gian vector
 Hệ (II) có nghiệm không tầm thường. 
 Vậy hệ vector đã cho là phụ thuộc tuyến tính. 
 Cách khác 
Do 
2,3
2A B C O- - = nên hệ đã cho pttt. 
10
➢ Chương 3. Không gian vector
 VD 4. Trong [ ]
n
P x , xét sự đltt hay pttt của hệ: 
2 1
1 2 3 1
{ 1, , , ..., , }n n
n n
u u x u x u x u x-
+
= = = = = . 
 Giải. Ta có: 
1
1
n
i i
i
ul q
+
=
=å 
2 1
1 2 3 1
... 0n n
n n
x x x xl l l l l-
+
Û + + + + + = 
1 2 3 1
... 0
n n
l l l l l
+
Û = = = = = = . 
 Vậy hệ vector đã cho là độc lập tuyến tính. 
11
➢ Chương 3. Không gian vector
 2.2. Định lý 
 Hệ gồm n vector là pttt khi và chỉ khi tồn tại một 
vector là tổ hợp tuyến tính của 1n - vector còn lại. 
 Nghĩa là: 
1 1 1 1 1 1
... ... .
j j j j j n n
u u u u ul l l l
- - + +
= + + + + + 
▪ Hệ quả 
• Hệ có vector không thì phụ thuộc tuyến tính. 
• Nếu có một bộ phận của hệ pttt thì hệ pttt. 
 VD 5. Hệ 2 2 3 4
1 2 3 4
{ , 3 , ( 1) , }v x v x v x v x= = - = - = 
là pttt vì bộ phận 2 2
1 2
{ , 3 }v x v x= = - pttt. 
12
➢ Chương 3. Không gian vector
 2.3. Hệ vector trong n¡ 
 Xét m vector 
1 2
( , , ..., )
i i i in
u a a a= , 1,i m= trong 
n¡ . 
 Ma trận ( )ij m nA a ´= được gọi là ma trận dòng của hệ 
m vector 
1 2
{ , , ..., }
m
u u u . 
 VD 6. Hệ 
1 2
{ (1; 1; 2), (4; 2; 3)}u u= - - = - 
 có ma trận dòng là 
1 1 2
4 2 3
A
æ ö- - ÷ç ÷ç= ÷ç ÷- ÷çè ø
. 
13
➢ Chương 3. Không gian vector
▪ Định lý 
 Trong n¡ , cho hệ gồm m vector 
1 2
{ , , ..., }
m
u u u có 
ma trận dòng là A . 
 Khi đó: 
• Hệ độc lập tuyến tính khi và chỉ khi ( ) .r A m= 
• Hệ phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi ( ) .r A m< 
▪ Hệ quả 
• Trong n¡ , hệ có nhiều hơn n vector thì pttt. 
• Trong n¡ , hệ n vector đltt Û det 0.A ¹ 
14
➢ Chương 3. Không gian vector
 VD 7. Xét sự đltt hay pttt của các hệ vector: 
a) 
1
{( 1; 2; 0), (2; 1; 1)}B = - ; 
 b) 
2
{( 1; 2; 0), (1; 5; 3), (2; 3; 3)}B = - . 
Giải 
 a) Ta có: 
1 2 0 1 2 0
( ) 2
2 1 1 0 5 1
A r A
æ ö æ ö- -÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç= ® Þ =÷ ÷ç ç÷ ÷÷ ÷ç çè ø è ø
. 
Vậy hệ 
1
B độc lập tuyến tính. 
15
➢ Chương 3. Không gian vector
 b) Ta có: 
1 2 0 1 2 0
1 5 3 0 7 3 ( ) 2 3
2 3 3 0 7 3
A r A
æ ö æ ö- -÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷= ® Þ = <ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷÷ ÷ç çè ø è ø
. 
Vậy hệ 
2
B phụ thuộc tuyến tính. 
16
➢ Chương 3. Không gian vector
 VD 8. Trong 3¡ , tìm điều kiện m để hệ sau là pttt: 
{( ; 1; 1), (1 4 ; 3; 2)}m m m- - + . 
 Giải. Ta có: 
1 1
1 4 3 2
m
A
m m
æ ö- ÷ç ÷ç= ÷ç ÷- + ÷çè ø
. 
1 1 1 1
3 1 4 2 0 1 1
m m
A
m m m m
æ ö æ ö- -÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç® ®÷ ÷ç ç÷ ÷- + - -÷ ÷ç çè ø è ø
. 
 Vậy hệ pttt ( ) 2 1r A mÛ < Û = . 
17
➢ Chương 3. Không gian vector
 VD 9. Trong 3¡ , tìm điều kiện m để hệ sau là đltt: 
{( ; 1; 1), (1; ; 1), (1; 1; )}m m m . 
 Giải. Ta có: 
1 1
1 1
1 1
m
A m
m
æ ö
÷ç ÷ç ÷ç ÷= ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷çè ø
. 
 Hệ đltt det 0AÛ ¹ 
1 1
2
1 1 0
1
1 1
m
m
m
m
m
ìï ¹ -ïÛ ¹ Û í
ï ¹ïî
. 
18
➢ Chương 3. Không gian vector
 VD 10. Trong 4¡ , cho 4 vector: 
1 2
(1; 1; 0; 1), ( ; ; 1; 2)u u m m= - = - , 
3 4
(0; 2; 0; ), (2; 2; ; 4)u m u m= = - . 
Điều kiện m để 
1
u là tổ hợp tuyến tính của 
2 3 4
, ,u u u ? 
 Giải. Do 
1
u là tổ hợp tuyến tính của 
2 3 4
, ,u u u nên 
, ,a b c$ Î ¡ không đồng thời bằng 0 thỏa: 
1 2 3 4
u au bu cu= + + . 
19
➢ Chương 3. Không gian vector
 Suy ra hệ: 
2 1
2 2 1
0
2 4 1
ma c
ma b c
a mc
a mb c
ìï + =ïïï + + = -ïï
í
ï - - =ïïï + + =ïïî
 có nghiệm không tầm thường. 
20
➢ Chương 3. Không gian vector
0 2 1 1 0 0
0 2 0 2 0 1 0 1
1 0 0 0 2 1
0 4 2 1 0 4 2 1
m m
m m
m m m m
æ ö æ ö
÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷- -ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷® ®ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷- - ÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷- -ç ç÷ ÷è ø è ø
 Ta có: ( )
0 2 1
2 2 1
1 0 0
2 4 1
m
m
A B
m
m
æ ö
÷ç ÷ç ÷ç ÷-ç ÷ç ÷= ç ÷ç ÷- - ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷è ø
21
➢ Chương 3. Không gian vector
2
3 2
1 0 0
0 1 0 1
10 0 2
0 0 0 4 2
m
m
m m m
æ ö
÷ç ÷ç ÷ç ÷-ç ÷ç ÷® ç ÷ç ÷- ÷ç ÷ç ÷ç ÷+ - +ç ÷çè ø
. 
2
1 0 0
0 1 0 1
10 0 2
10 0 4 2
m
m
mm
æ ö
÷ç ÷ç ÷ç ÷-ç ÷ç ÷® ç ÷ç ÷- ÷ç ÷ç ÷ç ÷+-ç ÷çè ø
22
➢ Chương 3. Không gian vector
 Vậy để 
1
u là tổ hợp tuyến tính của 
2 3 4
, ,u u u thì: 
( )
3 2
2
2 2 8 4 0
( )
2 0
m m m
r A r A B
m
ìï + - + =ï= Û í
ï - ¹ïî
 1 1 3m mÛ = Ú = - ± . 
23
➢ Chương 3. Không gian vector
§3. CƠ SỞ, SỐ CHIỀU CỦA KGVT 
TỌA ĐỘ CỦA VECTOR 
 3.1. Cơ sở của không gian vector 
▪ Định nghĩa 
 Trong kgvt V , hệ n vector 
1 2
{ , , , }
n
F u u u= ¼ được 
gọi là một cơ sở (basic) của V nếu hệ F là đltt và mọi 
vector của V đều được biểu diễn tuyến tính qua F . 
24
➢ Chương 3. Không gian vector
 VD 1. Trong 2¡ , xét hệ 
1 2
{ = (1; 1), = (0; 1)}F u u= - . 
 Ta có: hệ F là độc lập tuyến tính. 
 Mặt khác, xét vector tùy ý 2( ; )x a b= Î ¡ ta có: 
1 2
( )x au a b u= + + . 
 Vậy hệ F là 1 cơ sở của 2¡ . 
 VD 2. Trong 3¡ , xét hệ 2 vector: 
1 2
{ (1; 0; 0), (0; 1; 0)}B u u= = = . 
 Ta có: 
1 2
(1; 1; 1), ,u ua b a b+ ¹ " Î ¡ . 
 Vậy hệ B không phải là cơ sở của 3¡ . 
25
➢ Chương 3. Không gian vector
 VD 3. 
• Trong n¡ , hệ n vector: 
1 2
{ ( ; ;...; ), 1,2, ..., }
i i i in
E e a a a i n= = = 
trong đó: 1
ij
a = nếu i j= , 0
ij
a = nếu i j¹ 
 được gọi là cơ sở chính tắc. 
• Không gian vector 
4
[ ]P x có 1 cơ sở là: 
2 3 4{1; 1; ( 1) ; ( 1) ; ( 1) }x x x x- - - - . 
▪ Chú ý 
 Một không gian vector có thể có nhiều cơ sở và số 
vector (hữu hạn) trong các cơ sở là không đổi. 
26
➢ Chương 3. Không gian vector
 3.2. Số chiều của không gian vector 
▪ Định nghĩa 
 Số vector có trong 1 cơ sở bất kỳ của không gian 
vector V được gọi là số chiều (dimension) của V . 
 Ký hiệu là: dimV . 
 VD 4. Ta có: dim n n=¡ , 
4
dim [ ] 5P x = . 
▪ Chú ý 
• Trong n¡ , mọi hệ gồm n vector đltt đều là cơ sở. 
• Số chiều của kgvt có thể vô hạn. Trong chương trình, 
ta chỉ xét những kgvt hữu hạn chiều. 
27
➢ Chương 3. Không gian vector
 3.3. Tọa độ của vector 
 a) Định nghĩa 
 Trong kgvt V , cho cơ sở 
1 2
{ , , , }
n
F u u u= ¼ . 
 Vector x VÎ tùy ý có biểu diễn tuyến tính một cách 
duy nhất qua cơ sở F là 
1
,
n
i i i
i
x ua a
=
= Îå ¡ . 
 Ta nói x có tọa độ đối với cơ sở F là 
1 2
( ; ; ; )
n
a a a¼ . 
 Ký hiệu là: 
1
2
1 2
[ ] ( ... )T
F n
n
x
a
a
a a a
a
æ ö
÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷= =ç ÷ç ÷÷ç ÷ç ÷ç ÷çè ø
M
. 
28
➢ Chương 3. Không gian vector
▪ Quy ước 
 Ta viết tọa độ của vector x đối với cơ sở chính tắc E 
trong 
n¡ là [ ]x hoặc viết dưới dạng 
1
( ;...; )
n
x a a= . 
 VD 5. Trong 2¡ , cho (3; 5)x = - và 1 cơ sở: 
1 2
{ (2; 1), (1; 1)}B u u= = - = . Tìm [ ]
B
x ? 
 Giải. Gọi [ ]
B
a
x
b
æ ö
÷ç ÷ç= ÷ç ÷÷çè ø
, ta có: 
1 2
3 2 1
5 1 1
x au bu a b
æ ö æ ö æö
÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç= + Û = +÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷- -÷ ÷ ÷ç ç çè ø è ø è ø
29
➢ Chương 3. Không gian vector
8
2 3
3
5 7
3
aa b
a b
b
ìïï =ì ïï + = ïïÛ Ûí í
ï ï- + = -ï ïî = -ïïî
. 
 Vậy [ ]
B
x là 
8 7
;
3 3
æ ö
÷ç - ÷ç ÷ç ÷è ø
. 
30
➢ Chương 3. Không gian vector
 VD 6. Trong 
4
[ ]P x , cho vector 4 3( )p x x x= + và một 
cơ sở: 
{
}
2
1 2 3
3 4
4 5
1; 1; ( 1) ;
( 1) ; ( 1) .
A u u x u x
u x u x
= = = - = -
= - = -
 Hãy tìm [ ( )]
A
p x ? 
 Giải. Gọi [ ( )]
A
p x là 
1 2 3 4 5
( ; ; ; ; )a a a a a , ta có: 
1 1 2 2 3 3 4 4 5 5
( )p x u u u u ua a a a a= + + + + 
4 3 2
1 2 3
3 4
4 5
( 1) ( 1)
( 1) ( 1) .
x x x x
x x
a a a
a a
Û + = + - + -
+ - + -
31
➢ Chương 3. Không gian vector
 Đồng nhất các hệ số, ta được: 
1 2 3 4 5 1
2 3 4 5 2
3 4 5 3
4 5 4
5 5
0 2
2 3 4 0 7
3 6 0 9
4 1 5
1 1.
a a a a a a
a a a a a
a a a a
a a a
a a
ì ìï ï- + - + = =ï ïï ïï ï- + - = =ï ïï ïï ï- + = Û =í í
ï ïï ï- = =ï ïï ïï ïï ï= =ï ïî î
 Vậy [ ( )]
A
p x là (2; 7; 9; 5; 1) . 
32
➢ Chương 3. Không gian vector
 VD 7. Trong 2¡ , cho 2 cơ sở: 
1 1 2
{ (1; 0), (0; 1)}B u u= = = - , 
2 1 2
{ (2; 1), (1; 1)}B v v= = - = . 
 Cho biết 
2
[ ]
B
x là (1; 2). Hãy tìm 
1
[ ]
B
x ? 
 Giải. Gọi 
1
( ; ), [ ]
B
x a b x
a
b
æ ö
÷ç ÷ç= = ÷ç ÷÷çè ø
 ta có: 
• 
2
1 2
1
2
2B
x x v v
æ ö
÷çé ù ÷ç= Û = +÷ê ú çë û ÷÷çè ø
2 1
2 (4; 1)
1 1
a
x
b
æ ö æ ö æö
÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç çÛ = + Û =÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷-÷ ÷ ÷ç ç çè ø è ø è ø
. 
33
➢ Chương 3. Không gian vector
• 
1
1 2
[ ]
B
x x u u
a
a b
b
æ ö
÷ç ÷ç= Û = +÷ç ÷÷çè ø
4 1 0 4
1 0 1 1
a
a b
b
æ ö æ ö æ ö ìï =÷ ÷ ÷ç ç ç ï÷ ÷ ÷ç ç çÛ = + Û í÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ ï- = -÷ ÷ ÷ç ç çè ø è ø è ø ïî
. 
 Vậy 
1
[ ]
B
x là (4; 1)- . 
34
➢ Chương 3. Không gian vector
 b) Tọa độ của vector trong các cơ sở khác nhau 
▪ Ma trận chuyển cơ sở 
 Trong kgvt V , cho 2 cơ sở: 
1 2
{ }, { }, 1,2,...,
i i
B u B v i n= = = . 
 Ký hiệu là: 
1 2
B B
P
®
. 
35
➢ Chương 3. Không gian vector
36
➢ Chương 3. Không gian vector
 VD 8. Trong 3¡ , cho hai cơ sở 
1
B và 
2
B . 
 Cho biết 
2 1
1 1 2
0 1 3
0 0 2
B B
P
®
æ ö- ÷ç ÷ç ÷ç ÷= ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷- ÷çè ø
 và 
1
1
2
3
B
v
æ ö
÷ç ÷ç ÷çé ù ÷= ç ÷ê ú çë û ÷ç ÷ç ÷÷çè ø
. 
 Tìm tọa độ của vector v trong cơ sở 
2
B ? 
 Giải. Ta có: 
2 1
2 1
1 1 2 1 5
0 1 3 2 11
0 0 2 3 6
B BB B
v P v
®
æ öæ ö æ ö- ÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç çé ù é ù ÷ ÷ ÷= = =ç ç ç÷ ÷ ÷ê ú ê ú ç ç çë û ë û ÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷- -÷ ÷ ÷ç ç çè øè ø è ø
. 
 Vậy 
2
[ ]
B
v là (5; 11; 6)- . 
37
➢ Chương 3. Không gian vector
 Giải. Gọi 
1 1
1 2
[ ] , [ ]
B B
a c
v v
b d
æ ö æ ö
÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç= =÷ ÷ç ç÷ ÷÷ ÷ç çè ø è ø
 ta có: 
• 
1
1
2 1 0 2 2
[ ]
1 0 1 1 1B
a
a b v
b
æ ö æ ö æ ö ì æ öï =÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç çï÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç= + Þ Þ =í÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ï- - =÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç çè ø è ø è ø è øïî
. 
• 
1
2
1 1 0 1 1
[ ]
1 0 1 1 1B
c
c d v
d
æö æ ö æ ö ì æ öï =÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç çï÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç= + Þ Þ =í÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ï- = - -÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç çè ø è ø è ø è øïî
. 
38
➢ Chương 3. Không gian vector
§4. KHÔNG GIAN SINH BỞI HỆ VECTOR 
 4.1. Định nghĩa 
 Trong kgvt V cho hệ gồm m vector 
1
{ , , }
m
S u u= ¼ . 
Tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính của S được gọi 
là không gian con sinh bởi S . 
 Ký hiệu là: S hoặc spanS . 
39
➢ Chương 3. Không gian vector
 4.2. Hệ vector trong n¡ 
 Trong kgvt n¡ , xét hệ 
1
{ , , }
m
S u u= ¼ ta có: 
1
,
m
n
i i i
i
S x x ul l
=
ì üï ïï ï = Î = Îí ý
ï ïï ïî þ
å¡ ¡ . 
 Gọi A là ma trận dòng m vector của S . 
 Khi đó: 
• dim ( )S r A = và dim .S n £ 
• Nếu dim S k = thì mọi hệ con gồm k vector 
 đltt của S đều là cơ sở của S . 
40
➢ Chương 3. Không gian vector
 VD 1. Trong 3¡ , cho hệ vector: 
1 2
{ (1; 0; 1), (0; 1; 1)}S u u= = - = - . 
Hãy tìm dạng tọa độ của vector v Î S ? 
 Giải. Ta có v Î S , nên: 
1 2
( ; ; ) ( , )v u ua b a b a b a b= + = - - Î ¡ . 
41
➢ Chương 3. Không gian vector
 Giải. Ta có: 
1 2 3 4 1 2 3 4
2 4 9 6 0 0 3 2
dim
1 2 5 3 0 0 2 1
1 2 6 3 0 0 3 1
S r r
æ ö æ ö
÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷-ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ = =ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷-÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷-ç çè ø è ø
 VD 2. Trong 4¡ , cho hệ vector: 
{(1;2;3;4), (2;4;9;6), (1;2;5;3), (1;2;6;3)}S = . 
Tìm số chiều của không gian sinh S ? 
42
➢ Chương 3. Không gian vector
1 2 3 4
0 0 3 2
dim 3
0 0 0 1
0 0 0 0
r S
æ ö
÷ç ÷ç ÷ç ÷-ç ÷ç ÷= Þ =ç ÷ç ÷÷ç ÷ç ÷ç ÷çè ø
. 
43
➢ Chương 3. Không gian vector
 VD 3. Trong 4¡ , cho hệ vector S : 
1 2 3
{ = ( 2;4; 2; 4), = (2; 5; 3;1), = ( 1;3;4;1)}u u u- - - - - - . 
Hãy tìm dim S và 1 cơ sở của S ? 
 Giải. Ta có: 
2 4 2 4 1 2 1 2
2 5 3 1 0 1 5 3
1 3 4 1 0 1 5 3
æ ö æ ö- - - -÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷- - ® - - -ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷- ÷ ÷ç çè ø è ø
44
➢ Chương 3. Không gian vector
1 2 1 2
0 1 5 3 ( ) 2
0 0 0 0
r A
æ ö- ÷ç ÷ç ÷ç ÷® - - - Þ =ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷çè ø
. 
 Do hệ 
1 2
{ , }u u là độc lập tuyến tính nên: 
dim 2S = và 1 cơ sở của S là 
1 2
{ , }u u . 
45
Không gian nghiệm
• Định nghĩa: Cho ma trận A cấp m n, tập hợp các
nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất
Ax= 0, kí hiệu là Nul A, được gọi là không gian
nghiệm của A.
• Định lý: Cho ma trận A cấp m n với rank A = r. Khi
đó dim NulA = n – r .
• Hệ nghiệm cơ bản của hệ phương trình tuyến tính
thuần nhất Ax = 0 là một cơ sở của NulA.
46
➢ Chương 3. Không gian vector
§5. KHÔNG GIAN EUCLIDE 
 5.1. Định nghĩa 
• Cho không gian vector V trên ¡ . Một quy luật cho 
tương ứng cặp vector ,x y bất kỳ thuộc V với số 
 thực duy nhất, ký hiệu x y (hay ( , )x y ), thỏa mãn: 
 1) 0x x ³ và 0x x x q= Û = ; 
 2) x y y x= ; 
 3) ( ) ,x y z x z y z z V+ = + " Î ; 
 4) ,x y x yl l l= " Î ¡ 
 được gọi là tích vô hướng của x và y . 47
➢ Chương 3. Không gian vector
• Không gian vector V hữu hạn chiều trên ¡ có tích 
vô hướng như trên được gọi là không gian Euclide. 
 VD 1. Kgvt n¡ có tích vô hướng thông thường: 
1 1 1 1
( , ..., ) ( , ..., ) ...
n n n n
x y x x y y x y x y= = + + 
 là một không gian Euclide. 
 VD 2. Trong [ ; ]C a b – không gian các hàm số thực 
 liên tục trên [ ; ]a b , ta xác định được tích vô hướng: 
( ) ( )
b
a
f g f x g x dx= ò . 
Vậy [ ; ]C a b có tích vô hướng như trên là kg Euclide. 48
➢ Chương 3. Không gian vector
 5.2. Chuẩn của vector 
 a) Định nghĩa 
• Trong không gian Euclide V , số thực u u 
 được gọi là chuẩn (hay độ dài) của vector u . 
 Ký hiệu là u . 
 Vậy, u u u= . 
• Vector u được gọi là vector đơn vị nếu 1u = . 
• ( , )d u v u v= - được gọi là khoảng cách giữa u , v . 
49
➢ Chương 3. Không gian vector
 VD 3. Trong n¡ cho vector 
1 2
( , , ..., )
n
u u u u= , ta có: 
2 2 2 2
1 2
1
...
n
n i
i
u u u u u u u
=
= = + + + = å . 
 VD 4. Trong không gian Euclide [ ; ]C a b , ta có: 
2( )
b
a
f f f f x dx= = ò . 
50
➢ Chương 3. Không gian vector
 b) Định lý 
 Trong kg Euclide V cho 2 vector ,u v bất kỳ. Ta có: 
• Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz 
.u v u v£ ; 
• Bất đẳng thức tam giác 
u v u v u v- £ + £ + . 
51
➢ Chương 3. Không gian vector
 VD 5. Trong 
n¡ , bất đẳng thức Cauchy – Schwarz là: 
2 2
1 1 1
.
n n n
i i i i
i i i
x y x y
= = =
£å å å . 
 VD 6. Trong [ ; ]C a b , bất đẳng thức Cauchy–Schwarz: 
2 2( ) ( ) ( ) . ( )
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx£ò ò ò . 
52
➢ Chương 3. Không gian vector
 5.3. Cơ sở trực chuẩn 
 a) Định nghĩa 
 Trong không gian Euclide n chiều V , ta định nghĩa: 
• Hai vector ,u v được gọi là trực giao nếu 0u v = ; 
• Cơ sở 
1 2
{ , , ..., }
n
u u u được gọi là cơ sở trực giao nếu 
 các vector của cơ sở là trực giao từng đôi một; 
• Cơ sở 
1 2
{ , , ..., }
n
u u u được gọi là cơ sở trực chuẩn 
 nếu cơ sở là trực giao và 1, ( 1,..., )
i
u i n= = . 
53
Chương 3. Không gian vector
• Tập hợp các vectơ vuông góc với mọi vectơ của tập
M, kí hiệu M⊥, được gọi là phần bù vuông góc của
tập M.
• Nhận xét:
- M⊥ là không gian con của V
- Nếu M là không gian con của V thì x trực giao với M 
khi và chỉ khi x trực giao với một cơ sở của M.
54
➢ Chương 3. Không gian vector
 VD 7. Trong 
2¡ , ta có: 
• Hệ {(2; 1), ( 3; 6)}- - - là cơ sở trực giao; 
• Hệ 
2 2 2 2
; , ;
2 2 2 2
ì üæ ö æ öï ï÷ ÷ï ïç çï ï÷ ÷ç ç- - -í ý÷ ÷ç ç÷ ÷ï ïç ç÷ ÷è ø è øï ïï ïî þ
 là cơ sở trực chuẩn. 
 b) Định lý 
Mọi kg Euclide n chiều đều tồn tại cơ sở trực chuẩn. 
55
➢ Chương 3. Không gian vector
▪ Thuật toán trực chuẩn hóa Gram – Schmidt 
• Bước 1. Trong không gian Euclide n chiều V , chọn 
cơ sở 
1 2
{ , , ..., }
n
u u u bất kỳ. 
• Bước 2. Xây dựng cơ sở trực giao 
1 2
{ , , ..., }
n
v v v : 
 Đặt 
1 1
v u= ; 
2
2 122
1
1
v
v
u
v
v
u= - ; 
3 2
3 1
1 2
2
3
23
2
1
v
v
v v
uv
v
v
u u
= - - ; 
             56
➢ Chương 3. Không gian vector
1
2
1
i
i
i
n
n
n
n
i
u
u vv
v
v
-
=
= - å . 
• Bước 3. Xây dựng cơ sở trực chuẩn 
1 2
{ , , ..., }
n
w w w 
 bằng việc chuẩn hóa các vector ở bước 2: 
1 2 3
1 2 3
1 2 3
; ; ;...; n
n
n
v v v v
w w w w
v v v v
= = = = . 
57
➢ Chương 3. Không gian vector
 VD 8. Trong 3¡ , hãy trực chuẩn hóa cơ sở: 
1 2 3
{ (1; 0; 0), (0; 1; 1), (0; 1; 1)}F u u u= = = = - . 
 Giải. Cơ sở F là trực giao, nên ta thực hiện bước 3: 
 1
1
1
(1; 0; 0)
u
w
u
= = ; 
 2
2
2
1 1 1
(0; 1; 1) 0; ;
2 2 2
u
w
u
æ ö
÷ç ÷= = = ç ÷ç ÷çè ø
; 
 3
3
3
1 1 1
(0; 1; 1) 0; ;
2 2 2
u
w
u
æ ö
÷ç ÷= = - = -ç ÷ç ÷çè ø
. 
 Vậy cơ sở trực chuẩn là 
1 2 3
{ , , }w w w . 58
➢ Chương 3. Không gian vector
▪ Định lý 
 Nếu 
1
{ , ..., }
n
u u là một cơ sở trực chuẩn của kg Euclide 
 n chiều V và u VÎ thì: 
1
.
i i
n
i
uu uu
=
= å 
 VD 9. Trong 3¡ , hãy trực chuẩn hóa cơ sở: 
1 2 3
{ (1; 1; 0), (0; 1; 1), (1; 1; 1)}u u u= - = - = - . 
Tìm tọa độ của (1; 2; 3)u = trong cơ sở trực chuẩn đó. 
Giải 
• Xây dựng cơ sở trực giao 
1 2 3
{ , , }v v v : 
1 1
(1; 1; 0)v u= = - ; 59
➢ Chương 3. Không gian vector
2 1
2 2 12
1
u v
v u v
v
= - 
2
(0; 1; 1) (1; 1; 0)
(0; 1; 1) (1; 1; 0)
(1; 1; 0)
- -
= - - -
-
1 1 1
(0; 1; 1) (1; 1; 0) ; ; 1
2 2 2
æ ö- ÷ç= - - - = - ÷ç ÷ç ÷è ø
; 
60
➢ Chương 3. Không gian vector
3
0 4 1 1
(1; 1; 1) (1; 1; 0) ; ; 1
2 3 2 2
v
æ ö
÷ç= - - - - - ÷ç ÷ç ÷è ø
1 1 1
; ;
3 3 3
æ ö
÷ç= ÷ç ÷ç ÷è ø
. 
 Xây dựng cơ sở trực chuẩn 
1 2 3
{ , , }w w w : 
 1
1
1
1 1 1
(1; 1; 0) ; ; 0
2 2 2
v
w
v
æ ö
÷ç ÷= = - = -ç ÷ç ÷çè ø
; 
 2
2
2
2 1 1 1 1 2
; ; 1 ; ;
3 2 2 6 6 6
v
w
v
æ öæ ö ÷÷ çç ÷= = - = -÷ çç ÷÷ çç ÷ ÷çè ø è ø
; 
61
➢ Chương 3. Không gian vector
 3
3
3
1 1 1 3 3 3
3 ; ; ; ;
3 3 3 3 3 3
v
w
v
æ öæ ö ÷ç÷ç ÷ç= = =÷ç ÷ç÷ ÷ç ÷ ç ÷è ø è ø
. 
 Vậy cơ sở trực chuẩn là 
1 2 3
{ , , }W w w w= . 
• Tọa độ của vector u trong cơ sở W là: 
( )1 2 3
1 3
, , ; ; 2 3
2 6
u w u w u w
æ ö
÷ç ÷= - -ç ÷ç ÷çè ø
. 
62
➢ Chương 3. Không gian vector
 VD 10. Trong 4¡ , cho hệ S gồm 3 vector: 
1 2 3
{ = (1; 1; 0; 0), = (1; 0; 1; 0), = ( 1; 0; 0; 1)}u u u - . 
Hãy tìm một cơ sở trực chuẩn của không gian S . 
 Giải. Nhận thấy hệ đã cho là độc lập tuyến tính. 
• Xây dựng cơ sở trực giao 
1 2 3
{ , , }v v v : 
1 1
(1; 1; 0; 0)v u= = ; 
2
1 1 1
(1; 0; 1; 0) (1; 1; 0; 0) ; ; 1; 0
2 2 2
v
æ ö
÷ç= - = - ÷ç ÷ç ÷è ø
; 
63
➢ Chương 3. Không gian vector
3
1 1 1 1
( 1; 0; 0; 1) (1; 1; 0; 0) ; ; 1; 0
2 3 2 2
v
æ ö
÷ç= - + + - ÷ç ÷ç ÷è ø
1 1 1
; ; ; 1
3 3 3
æ ö
÷ç= - ÷ç ÷ç ÷è ø
. 
• Xây dựng cơ sở trực chuẩn 
1 2 3
{ , , }w w w : 
 1
1
1
1 1 1
(1; 1; 0; 0) ; ; 0; 0
2 2 2
v
w
v
æ ö
÷ç ÷= = = ç ÷ç ÷çè ø
; 
64
➢ Chương 3. Không gian vector
 2
2
2
1 1 2
; ; ; 0
6 6 6
v
w
v
æ ö
÷ç ÷= = -ç ÷ç ÷çè ø
; 
 3
3
3
3 3 3 3
; ; ;
6 6 6 2
v
w
v
æ ö
÷ç ÷ç= = - ÷ç ÷ç ÷è ø
. 
 Vậy cơ sở trực chuẩn là 
1 2 3
{ , , }W w w w= . 
65