Bài giảng Toán cao cấp - Chương 2: Không gian véc tơ

1CHƢƠNG 2: KHÔNG GIAN VÉC TƠ
u
( , )u x y 
x
y
z
( , , )u x y z 
Không gian véc tơ
Khái niệm không gian véc tơ có nguồn
gốc từ vật lý. Ban đầu các véc tơ là
những đoạn thẳng có định hướng, với
khái niệm này người ta đã sử dụng để
biểu diễn các đại lượng vật lý như: véc
tơ vận tốc, lực tác động, lực điện từ ....
Cuối thế kỷ 17 Descartes đã đề xuất
phương pháp tọa độ để giải quyết các
bài toán hình học. Với phương pháp
này mỗi véc tơ trong mặt phẳng được
đồng nhất với một cặp số là hoành độ
và tung độ còn véc tơ trong không
gian được đồng nhất với bộ ba số
Khái niệm không gian véc tơ 4 chiều
được Einstein (Anh-xtanh) sử dụng
trong thuyết tương đối
x
y u
u
10/7/2017 1
CHƢƠNG 2: KHÔNG GIAN VÉC TƠ
u
v
 u v 
 
u
 
ku
( ) ( )u v w u v w 
    
u u u 0 0
   
( ) ( )u u u u 0
    
u v v u 
    
( )k h u ku hu 
( )k u v ku kv 
( ) ( )kh u k hu 
1u u 
2.1 KHÁI NIỆM KHÔNG GIAN VÉC TƠ
10/7/2017 2
CHƢƠNG 2: KHÔNG GIAN VÉC TƠ
2.1.1. Định nghĩa và các ví dụ
Giả sử V là tập khác , K là tập các số thực hoặc số phức.
V được gọi là không gian véc tơ trên K nếu có hai phép toán:
 Phép toán trong
( , )
:
u v u v
V V V
 Phép toán ngoài
( , )u u
K V V
thoả mãn các tiên đề sau với mọi u, v, w V và , K
10/7/2017 3
CHƢƠNG 2: KHÔNG GIAN VÉC TƠ
V1 ( ) ( )u v w u v w 
V2 Có V 0 sao cho u u u 0 0 
V3 Với mỗi u V có u V sao cho ( ) ( )u u u u 0 
V4 u v v u 
V5 ( )u u u   
V6 ( )u v u v 
V7 ( ) ( )u u   
V8 1u u , trong đó 1 là phần tử đơn vị của K . 
Khi K  thì V được gọi là không gian véc tơ thực
Khi K  thì V thì được gọi là không gian véc tơ phức
Các phần tử của V được gọi là các véc tơ
10/7/2017 4
CHƢƠNG 2: KHÔNG GIAN VÉC TƠ
x’
u
 v
 u v 
 
u
 
ku
( , , )u x y z 
 
 ( ', ', ')v x y z 
 
 ( ', ', ')u v x x y y z z 
  
( , , )ku kx ky kz 
 
( , , ) ( ', ', ') ( ', ', ')x y z x y z x x y y z z 
( , , ) ( , , )k x y z kx ky kz 
Vậy
v
u
x
y
y’
10/7/2017 5
CHƢƠNG 2: KHÔNG GIAN VÉC TƠ
Ví dụ 2.1 Giả sử  là trường số thực,
xét 1( ,..., ) , 1,n n ix x x x i n 
Ta định nghĩa: 1 1 1 1( ,..., ) ( ,..., ) ( ,..., )n n n nx x y y x y x y 
1 1( ,..., ) ( ,..., ),n nx x x x  
Dễ dàng kiểm chứng lại hai phép toán này thoả mãn 8 tiên đề 
của không gian véc tơ có véc tơ không là
(0,...,0)
n
 0 
 phÇn tö
ta có không gian véc tơ thực n
phần tử đối của x (x1,  , xn) là x ( x1, , xn)
10/7/2017 6
2CHƢƠNG 2: KHÔNG GIAN VÉC TƠ
1 1 1( ,..., ); ( ,..., ); ( ,..., )
n
n n nx x x y y y z z z K , K  
 1 1 1( ,..., ) ( ,..., ) ( ,..., ) ( )n n nx x y y z z x y z 
 1 1 1( ) ( ,..., ) ( ,..., ) ( ,..., )n n nx y z x x y y z z v1
v4 1 1 1 1( ,..., ) ( ,..., )n n n nx y x y x y y x y x y x 
v2 1 1( ,..., ) (0,...,0) ( ,..., )n nx x x x x x 0
v3 1 1( ,..., ) ( ,..., ) (0,...,0)n nx x x x 0
v5 1 1( ) ( )( ,..., ) ( ) ,...,( )n nx x x x x x x      
v6 1 1 1 1( ) ( ,..., ) ( ,..., )n n n nx y x y x y x y x y x y 
v7 1 1 1( ) ( )( ,..., ) ( ) ,...,( ) ,..., ( )n n nx x x x x x x x        
v8 1 11 1( ,..., ) ( ,..., )n nx x x x x x 
 1 1 1 1 1 1( ),..., ( ) ( ) ,..., ( )n n n n n nx y z x y z x y z x y z 
10/7/2017 7
CHƢƠNG 2: KHÔNG GIAN VÉC TƠ
Ví dụ 2.2 
Ký hiệu X là tập các hàm số xác định trên tập con X, X 
Ta định nghĩa phép toán cộng và nhân với số thực như sau:
( )( ) ( ) ( ), ( )( ) ( ),f g t f t g t f t f t t X  
Với hai phép toán này X có cấu trúc không gian véc tơ thực với
véc tơ không là 0(t) 0,  t 
Ví dụ 2.3 
Gọi Pn là tập các đa thức bậc n, n là số nguyên dương cho trước:
 0 1 0 1... ; , ,...,nn n np p a a t a t a a a P 
Ta định nghĩa phép cộng hai đa thức và phép nhân một số với một
đa thức như phép cộng hàm số và phép nhân một số với hàm số
trong Ví dụ 2.2 thì Pn là không gian véc tơ với véc tơ không là đa
thức 0
10/7/2017 8
CHƢƠNG 2: KHÔNG GIAN VÉC TƠ
Ví dụ 2.4 
Gọi P là tập các đa thức
 0 1 0 1... ; , ,..., ,nn n n
n
p p a a t a t a a a nP P

Ta định nghĩa phép cộng là phép cộng hai đa thức và phép nhân
với một số với đa thức theo nghĩa thông thường ở Ví dụ 2.3 thì
P là không gian véc tơ và Pn  P với mọi n .
10/7/2017 9
CHƢƠNG 2: KHÔNG GIAN VÉC TƠ
Tính chất 
2) Có luật giản ước: wvwuvu . 
3) Với mọi Vu , 0 u0 , uu )1( . 
4) Với mọi K , 00 . 
5) Nếu 0 u thì 0 hoặc 0 u . 
1) Véc tơ 0 là duy nhất
véc tơ đối u của u với mọi u V là duy nhất
10/7/2017 10
CHƢƠNG 2: KHÔNG GIAN VÉC TƠ
Từ định nghĩa của không gian véc tơ ta có thể mở rộng các phép 
toán sau
1) Ta có thể định nghĩa phép trừ hai véc tơ
)(: vuvu 
w u v u w v 
2) Do tính kết hợp của phép cộng nên ta có thể định nghĩa theo 
qui nạp:
nnn
n
k
k uuuuuu 
 )...(... 111
1
Tương tự
nnnnnn
n
k
kk uuuuuu 
 )...(... 111111
1
biểu thức này được gọi là một tổ hợp tuyến tính của các véc tơ
nuu ,...,1
10/7/2017 11
CHƢƠNG 2: KHÔNG GIAN VÉC TƠ
2.2. KHÔNG GIAN VÉC TƠ CON
2.2.1. Định nghĩa và ví dụ
Giả sử tập con W  của V thỏa mãn tính chất:
Khi đó có thể xác định 2 phép toán từ không gian V thu hẹp vào W
( , )
:
u v u v
W W W
 ( , )
:
u u
W W

Hai phép toán này thỏa mãn các điều kiện V1, V4, V5, V6, V7, V8
của không gian véc tơ. Ngoài ra vì W  do đó tồn tại ít nhất véc 
tơ u W, suy ra 0u W 0 và u W : ( 1)u u W . 
, :u v W u v W (2.1)
, :u W u W  (2.2)
10/7/2017 12
3CHƢƠNG 2: KHÔNG GIAN VÉC TƠ
V1 ( ) ( )u v w u v w 
V4 u v v u 
V5 ( )u u u   
V6 ( )u v u v 
V7 ( ) ( )u u   
V8 :1u W u u 
Hai phép toán này thỏa mãn các 
điều kiện V1, V4, V5, V6, V7, V8
của không gian véc tơ.
Ngoài ra vì W  do đó tồn tại ít nhất véc tơ u W, vậy 0 0u W
V2 :u W u u 0
V3 Với mọi u W; u ( 1)u W: u +( u) 0
Vậy W thỏa mãn các tiên đề V1 – V8 của không gian véc tơ
10/7/2017 13
CHƢƠNG 2: KHÔNG GIAN VÉC TƠ
Tập con W  của V thỏa mãn thỏa mãn điều kiện (2.1)-(2.2)
được gọi là không gian véc tơ con của V (hay nói tắt: không gian
con của V )
Định lý 2.2: 
Giả sử tập con W  của V , khi đó W không gian véc tơ con
của V khi và chỉ khi:
, , , :u v W u v W    
Tập {0} chỉ gồm véc tơ không là không gian véc tơ con nhỏ
nhất của V
V là không gian véc tơ con lớn nhất của V
Định nghĩa 
10/7/2017 14
CHƢƠNG 2: KHÔNG GIAN VÉC TƠ
Ví dụ 2.6 
  31 ( , ,0) ,W u x y x y  
 32 ( , , ) 2 3 4 0W u x y z x y z 
là hai không gian véc tơ con của 3
  33 ( , ,1) ,W u x y x y  
không là không gian véc tơ con của 3
10/7/2017 15
CHƢƠNG 2: KHÔNG GIAN VÉC TƠ
2.2.2. Không gian con sinh bởi một hệ véc tơ
Định lý 2.3: 
Nếu i i IW là họ các không gian con của V thì i
i I
W
 cũng là không 
gian con của V . 
Từ Định lý 2.3 suy ra rằng với mọi tập con S bất kỳ của V luôn tồn 
tại không gian con W bé nhất của V chứa S . 
Không gian W bé nhất chứa S được gọi là không gian sinh bởi hệ S , 
ký hiệu spanW S , và S được gọi là hệ sinh của W 
Khi S hữu hạn thì W được gọi là không gian véc tơ hữu hạn sinh 
W là giao của tất cả các không gian con của V chứa S 
Định nghĩa 
10/7/2017 16
CHƢƠNG 2: KHÔNG GIAN VÉC TƠ
Định lý 2.4 
spanW S bằng tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính của S . 
1) Trường hợp S hữu hạn: 1,..., nS v v 
 1 1 1... ,...,n n nW v v 
1 1 1,..., : ...n n nu W u v v  Vậy
Ta chứng minh W là không gian con bé nhất chứa S
1; 0 ... 1 ... 0i i i nv S v v v v W S W 
1 1 1 1, ; , : ... , ...n n n nu v W u v v v v v     
1 1 1 1 1 1 1( ... ) ( ... ) ( ) ... ( )n n n n n n nu v v v v v v v W          
Giả sử W’ là không gian con của V chứa S
1 1: ... ' 'n nu W u v v W W W  
10/7/2017 17
CHƢƠNG 2: KHÔNG GIAN VÉC TƠ
10/7/2017 18
2) Trường hợp S vô hạn tập W có dạng 
 
1 11 1
... ,..., ; ,..., ; 1,2,...
n ni n i n i i
W v v v v S n 
1 11 1
,..., ; ,..., : ...
n nn i i i n i
u W v v S u v v  
Ví dụ 2.11 
Trong không gian vec tơ con 
  31 ( , ,0) | ,W x y x y 
1 1 2( , ,0) (1,0,0) (0,1,0)u W u x y x y xe ye 
Vậy 1 1 2span ,W e e 
4CHƢƠNG 2: KHÔNG GIAN VÉC TƠ
Ví dụ 2.11 
2
3
( , , ) 2 , , (3,2,0) ( 2,0,1)
2 2
y
u x y z W u y z y z z
Không gian véc tơ con 32 ( , , ) 2 3 4 0W u x y z x y z 3 có 
tính chất 2( , , ) 2 3 4 0 3/ 2 2u x y z W x y z x y z 
Xét 1 (3,2,0)v , 2 2( 2,0,1)v W , ta được 2 1 2span ,W v v . 
2
3 3
( , , ) 2 , , ,1,0 (2,0, 1)
2 2
u x y z W u y z y z y z
Ta cũng có
Do đó 2 1 2 1 2
3
span ' , ' ; ' ,1,0 , ' (2,0, 1)
2
W v v v v
Như vậy một không gian véc tơ có thể được sinh bởi nhiều hệ
sinh khác nhau
10/7/2017 19
CHƢƠNG 2: KHÔNG GIAN VÉC TƠ
2.3. ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH, PHỤ THUỘC TUYẾN TÍNH 
Khái niệm phụ thuộc tuyến tính khái quát hóa từ khái niệm 2 véc
tơ cùng phương và 3 véc tơ đồng phẳng
Cho hệ n véc tơ S {u1, ... , un} của V (các véc tơ này có thể
trùng nhau)
Hệ không phụ thuộc tuyến tính được gọi hệ là độc lập tuyến tính
Hệ S {u1, ... , un} phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi ta có thể
tìm được 1, ... , n  không đồng thời bằng 0 sao cho
1 1 n nu u 0
thì1 1 1, ,...,n n nu u 0 1 ... 0n 
Vậy hệ S độc lập tuyến tính nếu
10/7/2017 20
CHƢƠNG 2: KHÔNG GIAN VÉC TƠ
Ví dụ 2.13 
3
1 2 3(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)e e e 
Hệ 1 2 3, ,e e e là độc lập, vì nếu 
1 2 3 1 2 3(1,0,0) (0,1,0) (0,0,1) ( , , ) (0,0,0) 
Ví dụ 2.14 
 Hệ chứa véc tơ 0 là hệ phụ thuộc tuyến tính 
 Hệ hai véc tơ 1 2,u u là hệ phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi 
chúng tỷ lệ, nghĩa là 1 2u u hoặc 2 1u u 
 Xét các véc tơ 1 (4, 2,8)u , 2 ( 6,3, 12)u , 3 (3, 2,5)u 
Hệ hai véc tơ 1 2,u u phụ thuộc tuyến tính ( 2 13/ 2u u ) 
và hệ 1 3,u u độc lập tuyến tính 
thì
1 2 3 0 
1 1 2 2 3 3e e e 0
10/7/2017 21
CHƢƠNG 2: KHÔNG GIAN VÉC TƠ
1) Nếu nvv ,...,1 độc lập tuyến tính và 1 1 ... n nu v v thì cách 
viết này là duy nhất. 
2) Hệ véc tơ chứa hệ con phụ thuộc tuyến tính là hệ phụ thuộc
tuyến tính. Vì vậy, mọi hệ con của hệ độc lập tuyến tính là hệ độc
lập tuyến tính
Định lý 2.6 
1 1
1 1
...
...
n n
n n
u v v
u v v
 
1 1 1( ) ... ( )n n nu u v v   0
1 1 ... 0n n   1 1,..., n n   
Giả sử hệ 1,..., mS u u chứa hệ con 1,..., nu u phụ thuộc 
Khi đó tồn tại 1,..., n  không đồng thời bằng 0 sao cho 1 1 ... n nu u 0
Chọn 1 ... 0n m ta được 1 1,..., , ,...,n n m 
không đồng thời bằng 0 thỏa mãn
1 1 1 1... ...n n n n m mu u u u 0
10/7/2017 22
CHƢƠNG 2: KHÔNG GIAN VÉC TƠ
3) Một hệ véc tơ là phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi có một véc
tơ là tổ hợp tuyến tính của các véc tơ còn lại
4) Giả sử hệ 1,..., nv v độc lập tuyến tính. Khi đó hệ 1,..., ,nv v u 
phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi u là tổ hợp tuyến tính của các véc 
tơ 1,..., nv v , khi đó ta có thể biểu diễn duy nhất 1 1 ... n nu v v  
Hạng
Giả sử hệ 1,..., nS u u phụ thuộc tuyến tính, khi đó tồn tại 1,..., n  
không đồng thời bằng 0 sao cho 1 1 ... n nu u 0 
Giả sử 1 0 ta được 1 2 1 2 1( / ) ... ( / )n nu u u 
(): suy từ 3)
( ): Giả sử 1,..., ,nv v u phụ thuộc khi đó tồn tại các số 1,..., ,n   
không đồng thời bằng 0 sao cho 1 1 ... n nv v u  0 
Vì hệ nvv ,...,1 độc lập nên 0 , do đó 1 1 ... n nu v v

Cách viết duy nhất suy từ tính chất 1)
10/7/2017 23
CHƢƠNG 2: KHÔNG GIAN VÉC TƠ
2.4. HẠNG CỦA MỘT HỆ HỮU HẠN CÁC VÉC TƠ
2.4.1. Hệ con độc lập tuyến tính tối đại
Cho hệ S các véc tơ của không gian véc tơ V. Hệ con S của hệ
S được gọi là độc lập tuyến tính tối đại của S nếu thỏa mãn hai
điều kiện sau:
1) S là hệ độc lập tuyến tính
2) Nếu thêm bất kỳ véc tơ nào của S vào S thì ta có hệ phụ 
thuộc tuyến tính (tối đại)
Nói riêng hệ {v1,  , vn} là hệ con độc lập tuyến tính tối đại của V
nếu hệ {v1,  , vn} độc lập và nếu thêm bất kỳ véc tơ khác của V
ta có hệ mới là phụ thuộc
10/7/2017 24
5CHƢƠNG 2: KHÔNG GIAN VÉC TƠ
Định lý 2.7 
1) Nếu S là hệ con độc lập tuyến tính tối đại của hệ S thì mọi véc
tơ của S là tổ hợp tuyến tính các véc tơ của S và cách biểu
diễn thành tổ hợp tuyến tính là duy nhất
Đlý 2.6 
Giả sử 1' ,..., kS u u là hệ con độc lập tuyến tính tối đại của hệ 
 1 1,..., , ,...,k k nS u u u u 
1 1 21 0 ... 0 ku u u u 2 1 20 1 ... 0 ku u u u  1 20 0 ... 1k ku u u u 
1,...,j k n hệ 1,..., ,k ju u u phụ thuộc và hệ 1,..., ku u độc lập 
Do đó 1 1 ...j k ku u u 
10/7/2017 25
CHƢƠNG 2: KHÔNG GIAN VÉC TƠ
Định lý 2.7 
2) Giả sử {v1,  , vn} là hệ con độc lập tuyến tính của một hệ
hữu hạn S. Khi đó ta có thể bổ sung thêm để được một hệ con
độc lập tuyến tính tối đại của S chứa {v1,  , vn}
Thật vậy, nếu 1,..., nv v không tối đại thì tồn tại một véc tơ của S , ta ký 
hiệu 1nv , sao cho hệ 1 1,..., ,n nv v v độc lập tuyến tính 
Lập luận tương tự và vì hệ S hữu hạn nên quá trình bổ sung thêm này 
sẽ dừng lại, cuối cùng ta được hệ 1 1,..., , ,...,n n n kv v v v độc lập tuyến 
tính tối đại của S 
10/7/2017 26
CHƢƠNG 2: KHÔNG GIAN VÉC TƠ
Ví dụ 2.15 Tìm hệ con độc lập tuyến tính tối đại hệ véc tơ
1 2 3 4(3,1,4), (2, 3,5), (5, 2,9), (1,4, 1)u u u u 
 Hai véc tơ 1 2,u u độc lập vì không tỉ lệ 
 Có thể kiểm tra được: 3 1 2u u u ; 4 1 2u u u 
Vậy 1 2,u u là hệ con độc lập tuyến tính tối đại của S 
Tương tự có thể kiểm tra được 1 3,u u , 1 4,u u , 2 3,u u , 2 4,u u 
cũng là các hệ con độc lập tuyến tính tối đại của S 
3 1 2
3 2 5
1
3 2
1
4 5 9
x y
x
u xu yu x y
y
x y
4 1 2
3 2 1
1
3 4
1
4 5 1
x y
x
u xu yu x y
y
x y
10/7/2017 27
CHƢƠNG 2: KHÔNG GIAN VÉC TƠ
10/7/2017 28
2.4.2. Hạng của một hệ hữu hạn các véc tơ
Định lý 2.9: 
Mọi hệ con độc lập tuyến tính tối đại của hệ hữu hạn S đều có
số phần tử bằng nhau
Định nghĩa
Số các véc tơ của một hệ con độc lập tuyến tính tối đại của hệ S
được gọi là hạng (rank) của S, ký hiệu r(S).
Qui ước hệ chỉ có véc tơ {0} có hạng là 0
CHƢƠNG 2: KHÔNG GIAN VÉC TƠ
Hệ véc tơ
1 2 3 4(3,1,4), (2, 3,5), (5, 2,9), (1,4, 1)u u u u 
Các hệ con độc lập tuyến tính tối đại
 1 2,u u 1 3,u u 1 4,u u
 2 3,u u 2 4,u u
Vậy có hạng bằng 2
Ví dụ 2.12
 3 4,u u
Các hệ con độc lập tuyến tính tối đại đều có 2 phần tử
10/7/2017 29
CHƢƠNG 2: KHÔNG GIAN VÉC TƠ
2.5. CƠ SỞ, SỐ CHIỀU CỦA KHÔNG GIAN VÉC TƠ
Mỗi hệ sinh độc lập tuyến tính của V được gọi là 
một cơ sở của V
Định lý 2.10 
Giả sử {e1,  , en} là một hệ các véc tơ của V. Các mệnh đề
sau là tương đương
(i) Hệ nee ,...,1 là một cơ sở của V 
(ii) Hệ nee ,...,1 là hệ độc lập tuyến tính tối đại của V 
(iii) Mọi véc tơ Vu tồn tại một cách viết duy nhất 
1 1 1... , ,...,n n nu x e x e x x 
(x1,  , xn) được gọi là toạ độ của véc tơ u trong cơ sở {e1,  , en}
Ký hiệu 1( ,..., )nu x x 
B
 nee ,...,1 B
Định nghĩa 
10/7/2017 30
6CHƢƠNG 2: KHÔNG GIAN VÉC TƠ
Ví dụ 2.16 
là hai cơ sở của không gian véc tơ 2
Hai hệ véc tơ B {e1, e2}, B {e 1, e 2}
với e1 (1,0) , e2 (0, 1) và e 1 (1,1) , e 2 (4,3)
2( , )u x y 
 ( , ); (4 3 , )'u x y u y x x y B BVậy
B {e1, e2} được gọi là cơ sở chính tắc của không gian véc tơ 2
1 2( , ) ( ,0) (0, ) (1,0) (0,1)u x y x y x y xe ye 
1 2( , ) ' ' ' ' '(1,1) '(4,3) ( ' 4 ', ' 3 ')u x y x e y e x y x y x y 
' 4 ' ' 4 3
' 3 ' '
x y x x y x
x y y y x y
Chẳng hạn (3,1); ( 5,2)'u u B
10/7/2017 31
CHƢƠNG 2: KHÔNG GIAN VÉC TƠ
Định lý 2.11 
Giả sử V là không gian hữu hạn sinh và {v1,  , vk} là hệ độc lập
tuyến tính các véc tơ của V. Khi đó có thể bổ sung thêm để có
được hệ {v1,  , vk, vk 1, vk m} là một cơ sở của V
Mọi không gian hữu hạn sinh đều tồn tại cơ sở
Số phần tử của mọi cơ sở của đều bằng nhau
Số véc tơ của một cơ sở của V được gọi là số chiều của V
Quy ước dim{0} 0Ký hiệu dim V
Giả sử V có một hệ sinh có n véc tơ
Nếu 1,..., kS v v không phải là cơ sở thì S không phải là hệ sinh, do đó tồn tại véc tơ, 
ta ký hiệu 1kv , sao cho hệ 1 1,..., ,k kv v v độc lập tuyến tính 
Tiếp tục quá trình này cuối cùng ta có hệ 1 1,..., , ,...,k k k mv v v v độc lập tuyến tính và là hệ 
sinh, k m n . Vậy 1 1,..., , ,...,k k k mv v v v là một cơ sở cần tìm 
10/7/2017 32
CHƢƠNG 2: KHÔNG GIAN VÉC TƠ
Ví dụ 2.12 
là một cơ sở của n gọi là cơ sở chính tắc
Ví dụ 2.13 
Hệ B {1, t,  , t n} là một cơ sở củaPn
Vậy dimn n
Vậy dim Pn n 1
Trong không gian n
1 2(1,0,...,0), (0,1,...,0),..., (0,0,...,1)ne e e 
 1,..., ne e Bhệ véc tơ
được gọi là cơ sở chính tắc
10/7/2017 33
CHƢƠNG 2: KHÔNG GIAN VÉC TƠ
Chú ý 2.14: 
Thật vậy, hệ 21, , ,....t t có vô hạn véc tơ và độc lập tuyến tính nên 
không thể là hữu hạn sinh 
Định lý 2.14 
Giả sử nV dim và mvvS ,...,1 là hệ m véc tơ của V . Khi đó: 
(i) Nếu hệ S độc lập tuyến tính thì nm 
(ii) Nếu hệ S là hệ sinh của thì nm 
(iii) Nếu nm thì hệ S độc lập tuyến tính khi và chỉ khi S là hệ 
sinh 
Không gian 
1
n
n
 P P là một ví dụ về không gian véc tơ không hữu 
hạn sinh 
10/7/2017 34
CHƢƠNG 2: KHÔNG GIAN VÉC TƠ
Định lý 2.16 
Giả sử S là hệ hữu hạn các véc tơ của V, S0 là một hệ con của S.
Đặt W spanS. Khi đó:
1) Hệ S0 là một con độc lập tuyến tính tối đại của S khi và chỉ
khi S0 là một cơ sở của W, do đó r(S) dimW.
Giả sử S0 là hệ con độc lập tuyến tính tối đại của S
Mọi véc tơ của W biểu diễn được thành tổ hợp tuyến tính các véc tơ của S
và đồng thời mọi véc tơ của S có thể biểu diễn thành tổ hợp tuyến tính các véc tơ S0
Do đó S0 là một hệ sinh của W, vậy S0 là một cơ sở của W
Ngược lại nếu S0 là một cơ sở của W thì S0 là hệ con độc lập tuyến tính tối đại
của W, do đó cũng là hệ con độc lập tuyến tính tối đại của S
 )(Sr số véc tơ của 0 dimS W 
10/7/2017 35
CHƢƠNG 2: KHÔNG GIAN VÉC TƠ
2) Khi thực hiện một số hữu hạn các phép biến đổi sơ cấp sau
lên hệ S:
 Nhân một số khác 0 với một véc tơ của hệ S
 Cộng vào một véc tơ của hệ S một tổ hợp tuyến tính các
véc tơ khác của S; thì hệ S biến thành hệ S 
Đặt W spanS thì W W , do đó r(S) r(S ) dimW.
Vì S  W do đó mọi tổ hợp tuyến tính các véc tơ của S cũng thuộc W, 
vậy S’  W do đó W’  W
Tương tự cũng có W  W’
Vậy W W’
( ) dim ( ')r S W r S 
10/7/2017 36