Bài giảng Toán cao cấp - Chương 2: Hệ phương trình tuyến tính

➢ Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính
§1. Hệ phương trình tổng quát 
§2. Hệ phương trình thuần nhất 
§1. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT 
 1.1. Định nghĩa 
 Hệ gồm n ẩn 
i
x ( 1, 2, ..., )i n= và m phương trình: 
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
...
...
( )
..........................................
...
n n
n n
m m mn n m
a x a x a x b
a x a x a x b
I
a x a x a x b
ìï + + + =ïïï + + + =ïï
í
ïïïï + + + =ïïî
 trong đó, hệ số , ( 1, ..., ; 1, ..., )
ij j
a b i n j mÎ = =¡ , 
 được gọi là hệ phương trình tuyến tính tổng quát. 1
 Đặt: ( )
11 1
1
...
... ... ...
...
n
ij m n
m mn
a a
A a
a a
´
æ ö
÷ç ÷ç ÷ç ÷= =ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷çè ø
, 
( )1 ...
T
m
B b b= và ( )1 ...
T
n
X x x= 
 lần lượt là ma trận hệ số, ma trận cột hệ số tự do và 
ma trận cột ẩn. 
 Khi đó, hệ ( )I trở thành AX B= . 
• Bộ số ( )1 ...
T
n
a a a= hoặc ( )1; ...; na a a= 
được gọi là nghiệm của ( )I nếu A Ba = . 
➢ Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính
2
 VD 1. Cho hệ phương trình: 
1 2 3 4
1 2 3
2 3
2 4 4
2 4 3
2 7 5.
x x x x
x x x
x x
ìï - + + =ïïï + + = -í
ïï - =ïïî
 Hệ phương trình được viết lại dưới dạng ma trận: 
1
2
3
4
1 1 2 4 4
2 1 4 0 3
0 2 7 0 5
x
x
x
x
æ ö
÷çæ ö æ ö÷ç- ÷ ÷÷ç çç÷ ÷÷ç çç÷ ÷÷ç çç÷ ÷÷= -ç çç÷ ÷÷ç ç÷ ÷ç ÷ç ç÷ ÷÷çç ç÷ ÷÷ç- ÷ ÷ç ç÷è ø è øç ÷çè ø
 và (1; 1; 1; 1)a = - - là 1 nghiệm của hệ. 
➢ Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính
3
➢ Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính
 1.2. Định lý Crocneker – Capelli 
 Cho hệ phương trình tuyến tính AX B= . Gọi ma trận 
mở rộng là ( )
11 12 1 1
1 2
...
... ... ... ... ...
...
n
m m mn m
a a a b
A A B
a a a b
æ ö
÷ç ÷ç ÷ç ÷ç= = ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷çè ø
. 
 Định lý 
Hệ AX B= có nghiệm khi và chỉ khi ( ) ( ).r A r A= 
 Trong trường hợp hệ AX B= có nghiệm thì: 
▪ Nếu ( ) :r A n= kết luận hệ có nghiệm duy nhất; 
▪ Nếu ( ) :r A n< kết luận hệ có vô số nghiệm 
 phụ thuộc vào n r- tham số. 4
 VD 2. Tùy theo điều kiện tham số m , hãy biện luận số 
nghiệm của hệ phương trình: 
2
3 0
(1 ) 1.
x my z
m z m
ìï + - =ï
í
ï - = -ïî
 Giải. Hệ đã cho có 3 ẩn, ta có: 
2
1 3
0 0 1
m
A
m
æ ö- ÷ç ÷ç= ÷ç ÷-ç ÷è ø
, 
2
1 3 0
10 0 1
m
A
mm
æ ö- ÷ç ÷ç= ÷ç ÷-ç - ÷çè ø
. 
• Nếu 1m = thì ( ) ( ) 1 3r A r A= = < . 
 Ta suy ra hệ có vô số nghiệm phụ thuộc 2 tham số. 
➢ Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính
5
• Nếu 1m = - thì ( ) 1 2 ( )r A r A= < = . 
 Ta suy ra hệ vô nghiệm. 
• Nếu 1m ¹ ± thì ( ) ( ) 2 3r A r A= = < . 
 Ta suy ra hệ có vô số nghiệm phụ thuộc 1 tham số. 
➢ Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính
6
 VD 3. Điều kiện của tham số m để hệ phương trình: 
2
 8 7 1
3 2 4
 5 1
 5 2 2
mx z t m
x my z t m
mz t m
z mt m
ìï + - = -ïïï + + + =ïï
í
ï + = -ïïï - = +ïïî
 có nghiệm duy nhất là: 
A. 0m ¹ ; B. 1m ¹ ; C. 1m ¹ ± ; D. 5m ¹ ± . 
➢ Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính
7
 Giải. Hệ có 4 ẩn và ma trận hệ số là: 
0 8 7
3 2 4
0 0 5
0 0 5
m
m
A
m
m
æ ö- ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷= ç ÷ç ÷÷ç ÷ç ÷ç ÷-çè ø
. 
 Hệ có nghiệm duy nhất ( ) 4r AÛ = 
0 5
det 0 0
3 5
m m
A
m m
Û ¹ Û ¹
-
 2 2( 25) 0 0m m m AÛ + ¹ Û ¹ Þ . 
➢ Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính
8
➢ Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính
 1.3. Phương pháp giải hệ phương trình tổng quát 
 a) Phương pháp ma trận (tham khảo) 
 Cho hệ phương trình tuyến tính AX B= , với A là 
 ma trận vuông cấp n khả nghịch. 
 Ta có: 
1 .AX B X A B-= Û = 
 VD 4. Giải hệ phương trình tuyến tính sau bằng 
phương pháp ma trận: 
2 1
 3 3
2 1.
x y z
y z
x y z
ìï + - =ïïï + =í
ïï + + = -ïïî
9
 Giải. 1
2 1 1 1 1 2
1
0 1 3 3 2 3
2
2 1 1 1 0 1
A A -
æ ö æ ö- - -÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷= Þ = -ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷-÷ ÷ç çè ø è ø
. 
 Hệ phương trình 1X A B-Û = 
1 1 2 1 3
1
3 2 3 3 6
2
1 0 1 1 1
x x
y y
z z
æ ö æ öæ ö æ ö æ ö- - -÷ ÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ ÷Û = - Û =ç ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ ÷- - -÷ ÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç çè ø è øè ø è ø è ø
. 
 Vậy hệ đã cho có nghiệm 
3,
6,
1.
x
y
z
ìï = -ïïï =í
ïï = -ïïî
➢ Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính
10
Cho hệ AX B= , với A là ma trận vuông cấp n . 
• Bước 1. Tính các định thức: 
11 1 1
1
... ...
det ... ... ... ... ...
... ...
j n
n nj nn
a a a
A
a a a
D = = , 
1 1
1
11
... ...
... ... ... ... , 1,
..
...
. ...
n
n
j
n nn
a a
j
ba
b
n
a
D = = 
 (thay cột thứ j trong D bởi cột tự do). 
 b) Phương pháp định thức (hệ Cramer) 
➢ Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính
11
• Bước 2. Kết luận: 
▪ Nếu 0D ¹ thì hệ có nghiệm duy nhất: 
, 1, .
j
j
x j n
D
= " =
D
➢ Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính
▪ Nếu 0D = thì chưa có kết luận. Khi đó, ta giải tìm 
tham số và thay vào hệ để giải trực tiếp. 
 Chú ý 
 Khi 1m = thì hệ 
( 7) 12 6
10 ( 19) 10 2
12 24 ( 13) 0
m x y z m
x m y z m
x y m z
ìï - + - =ïïï - + + - =í
ïï - + + - =ïïî
 có 
1 2 3
0D = D = D = D = nhưng hệ vô nghiệm. 
12
 VD 5. Giải hệ phương trình sau bằng định thức: 
2 1
 3 3
2 1.
x y z
y z
x y z
ìï + - =ïïï + =í
ïï + + = -ïïî
 Giải. Ta có: 
2 1 1
0 1 3 4
2 1 1
-
D = = , 
1
1 1
1 3
1
3
1
12
1 1
-
= = -
-
D , 
➢ Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính
13
2
1
3
2 1
0 3 24
2 1 1
D
-
-
= = , 
3
1
3
2 1
0 1 4
2 11
D
-
= = - . 
 Vậy 1 2 33, 6, 1.x y z
D D D
= = - = = = = -
D D D
➢ Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính
14
 VD 6. Hệ phương trình 
( 1) 2
( 1) 0
m x y m
x m y
ìï + + = +ï
í
ï + + =ïî
 có nghiệm khi và chỉ khi: 
 A. 2m = - ; B. 2 0m m¹ - Ù ¹ ; 
 C. 0m ¹ ; D. 2m ¹ - . 
 Giải. Ta có: 
1 1
( 2)
1 1
m
m m
m
+
D = = +
+
 0 2 0m mÞ D = Û = - Ú = . 
➢ Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính
15
 • 2 :m = - Hệ 0x yÛ - = Þ hệ có vô số nghiệm. 
 • 0 :m = Hệ 
2
0
x y
x y
ìï + =ïÛ Þí
ï + =ïî
 hệ vô nghiệm. 
 Vậy với 0m ¹ thì hệ có nghiệm CÞ . 
➢ Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính
16
 c) Phương pháp ma trận bậc thang 
 (phương pháp Gauss) 
 Xét hệ phương trình tuyến tính AX B= . 
 • Bước 1. Đưa ma trận mở rộng ( )A B về dạng bậc 
 thang bởi PBĐSC trên dòng. 
 • Bước 2. Giải ngược từ dòng cuối cùng lên trên. 
 Chú ý. Trong quá trình thực hiện bước 1, nếu: 
▪ có 2 dòng tỉ lệ thì xóa đi 1 dòng; 
▪ có dòng nào bằng 0 thì xóa dòng đó; 
▪ có 1 dòng dạng ( )0...0 , 0b b ¹ thì hệ vô nghiệm. 
➢ Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính
17
 VD 7. Giải hệ sau bằng phương pháp Gauss: 
2 1
 3 3
2 1.
x y z
y z
x y z
ìï + - =ïïï + =í
ïï + + = -ïïî
 Giải. Ta có: 
( )
2 1 1 1
0 1 3 3
2 1 1 1
A B
æ ö- ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç= ÷ç ÷ç ÷ç ÷- ÷çè ø
3 3 1
2 1 1 1
0 1 3 3 .
0 0 2 2
d d d® -
æ ö- ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç¾ ¾ ¾ ¾® ÷ç ÷ç ÷ç ÷- ÷çè ø
Hệ 
2 1 3
 3 3 6
2 2 1
x y z x
y z y
z z
ì ìï ï+ - = = -ï ïï ïï ïÛ + = Û =í í
ï ïï ï= - = -ï ïï ïî î
. 
➢ Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính
18
 Giải. Ta có: ( )
5 2 5 3 3
4 1 3 2 1
2 7 1 0 1
A B
æ ö- - ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç= - ÷ç ÷ç ÷ç ÷- - ÷çè ø
 VD 8. Giải hệ phương trình tuyến tính: 
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3
5 2 5 3 3
4 3 2 1
2 7 = 1.
x x x x
x x x x
x x x
ìï - + - =ïïï + + - =í
ïï + - -ïïî
➢ Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính
19
 2 2 1
3 3 1
5 4
5 2
5 2 5 3 3
0 13 5 2 7
0 39 15 6 11
d d d
d d d
® -
® -
æ ö- - ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç¾ ¾ ¾ ¾ ¾® - - ÷ç ÷ç ÷ç ÷- - ÷çè ø
 3 3 2
3
5 2 5 3 3
0 13 5 2 7
0 0 0 100
d d d® -
æ ö- - ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç¾ ¾ ¾ ¾¾® - - ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷çè ø
. 
 Vậy hệ phương trình vô nghiệm. 
➢ Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính
20
 VD 9. Tìm nghiệm của hệ 
x 4 5 1
2 7 11 2
3 11 6 1
y z
x y z
x y z
ìï + + = -ïïï + - =í
ïï + - =ïïî
. 
 A. 15, 4, 0x y z= = - = ; B. Hệ có vô số nghiệm; 
 C. 
15 79
4 21
x
y
z
a
a
a
ìï = -ïïï = - -í
ïï = Îïïî
¡
; D. 
15 79
4 21
x
y
z
a
a
a
ìï = +ïïï = - -í
ïï = Îïïî
¡
. 
➢ Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính
21
 Giải. Ta có: 
1 4 5 1 1 4 5 1
2 7 11 2 0 1 21 4
3 11 6 1 0 1 21 4
æ ö æ ö- -÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç- ® - -÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷- - -÷ ÷ç çè ø è ø
. 
Hệ 
15 79
4 5 1
4 21
21 4
x
x y z
y D
y z
z
a
a
a
ìï = +ïìï + + = - ïï ïÛ Û = - - Þí í
ï ï- - =ï ïî = Îïïî
¡
. 
➢ Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính
22
 Giải. Ta có: 
3 1 2 3 3 1 2 3
2 1 2 7 0 5 10 15
æ ö æ ö- -÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç®÷ ÷ç ç÷ ÷- -ç ç÷ ÷ç çè ø è ø
. 
 VD 10. Tìm nghiệm của hệ 
3 2 3
2 2 7
x y z
x y z
ìï - + =ï
í
ï + - =ïî
. 
A. 
2
7 2
x
y
z
a
a
ìï =ïïï = -í
ïï = Îïïî
¡
; B. 
2
3 2
x
y
z
a
a
ìï =ïïï = +í
ïï = Îïïî
¡
C. Hệ có vô số nghiệm; D. Hệ vô nghiệm. 
➢ Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính
23
Hệ 
2
3 2 3
3 2
2 3
x
x y z
y B
y z
z
a
a
ìï =ïìï - + = ïï ïÛ Û = + Þí í
ï ï- =ï ïî = Îïïî
¡
. 
➢ Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính
24
 VD 11. Giá trị của tham số m để hệ phương trình 
 tuyến tính 
2 (7 ) 2
2 4 5 1
3 6 3
x y m z
x y z
x y mz
ìï + + - =ïïï + - =í
ïï + + =ïïî
 có vô số nghiệm là: 
A. 1m = ± ; B. 1m = ; C. 7m = - ; D. 7m = . 
➢ Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính
 Giải. Ta có: ( )
1 2 7 2
2 4 5 1
3 6 3
m
A B
m
æ ö- ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç= - ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷çè ø
25
➢ Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính
1 2 7 2 1 2 7 2
0 0 2 19 3 0 0 2 19 3
0 0 4 21 3 0 0 2 2 0
m m
m m
m m
æ ö æ ö- -÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç® - - ® - -÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷- - -÷ ÷ç çè ø è ø
. 
Hệ có vô số nghiệm ( ) ( ) 3 1r A r A mÛ = < Û = . 
26
 Chú ý 
• Khi hệ phương trình tuyến tính có vô số nghiệm, ta 
gọi nghiệm phụ thuộc tham số là nghiệm tổng quát. 
• Muốn tìm điều kiện tham số để 2 hệ phương trình có 
nghiệm chung, ta ghép chúng thành 1 hệ rồi tìm điều 
kiện tham số để hệ chung đó có nghiệm. 
➢ Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính
27
 VD 12. Tìm điều kiện của tham số m để 2 hệ phương 
trình sau có nghiệm chung: 
2 + 1
+ 7 5 =
x y z t m
x y z t m
ìï + - + =ï
í
ï - - -ïî
, 
2 + 5 2 + 2 2 + 1
3 + 7 3 + 3 1
x y z t m
x y z t
ìï - =ï
í
ï - =ïî
. 
 Giải. Hai hệ có nghiệm chung khi và chỉ khi hệ: 
2 1
7 5
2 5 2 2 2 1
3 7 3 3 1
x y z t m
x y z t m
x y z t m
x y z t
ìï + - + = +ïïï + - - = -ïï
í
ï + - + = +ïïï + - + =ïïî
 có ngiệm. 
➢ Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính
28
 Ta có: 
( )
1 1 1 1 2 1
1 7 5 1
2 5 2 2 2 1
3 7 3 3 1
m
m
A B
m
æ ö- + ÷ç ÷ç ÷ç ÷- - -ç ÷ç ÷= ç ÷ç ÷- + ÷ç ÷ç ÷ç ÷-ç ÷è ø
1 1 1 1 2 1
0 6 4 2 3 1
0 3 0 0 2 1
0 4 0 0 6 2
m
m
m
m
æ ö- + ÷ç ÷ç ÷ç ÷- - - -ç ÷ç ÷® ç ÷ç ÷- - ÷ç ÷ç ÷ç ÷- -ç ÷è ø
➢ Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính
29
1 1 1 1 2 1
0 6 4 2 3 1
0 0 4 2 1
0 0 0 0 10 2
m
m
m
m
æ ö- + ÷ç ÷ç ÷ç ÷- - - -ç ÷ç ÷® ç ÷ç ÷- - ÷ç ÷ç ÷ç ÷- -ç ÷è ø
( )
1
( ) 10 2 0
5
r A B r A m mÞ = Û - - = Û = - . 
Vậy 2 hệ đã cho có nghiệm chung 
1
5
mÛ = - . 
➢ Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính
30
➢ Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính
§2. HỆ PHƯƠNG TRÌNH THUẦN NHẤT 
 2.1. Định nghĩa 
 Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất là trường hợp 
đặc biệt của hệ phương trình tổng quát, có dạng: 
11 1 12 2 1
21 1 22 2 2
1 1 2 2
... 0
... 0
( )
.........................................
... 0
n n
n n
m m mn n
a x a x a x
a x a x a x
II
a x a x a x
ìï + + + =ïïï + + + =ïï
í
ïïïï + + + =ïïî
. 
 Hệ ( )II tương đương với 
1
(0 )
ij m
AX
´
= . 
31
➢ Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính
 Chú ý 
• Do ( ) ( )r A r A= nên hệ thuần nhất luôn có nghiệm. 
• Nghiệm (0; 0;; 0) được gọi là nghiệm tầm thường. 
 2.2. Định lý 1 
Hệ ( )II chỉ có nghiệm tầm thường khi và chỉ khi: 
det 0.A ¹ 
32
➢ Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính
 VD 1. Tìm điều kiện tham số m để hệ phương trình 
tuyến tính thuần nhất sau chỉ có nghiệm tầm thường: 
23 ( 5) 0
( 2) 0
4 ( 2) 0.
x m y m z
m y z
y m z
ìï + + - =ïïï + + =í
ïï + + =ïïî
 Giải. Hệ chỉ có nghiệm tầm thường det 0AÛ ¹ 
23 5
0 2 1 0
0 4 2
m m
m
m
-
Û + ¹
+
33
 2
0
3( 4 ) 0
4
m
m m
m
ìï ¹ïÛ + ¹ Û í
ï ¹ -ïî
. 
➢ Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính
34
➢ Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính
 2.3. Định lý 2 
 Xét hệ phương trình tuyến tính tổng quát AX B= (I) 
 và hệ phương trình thuần nhất AX O= (II). 
 Khi đó: 
• Hiệu 2 nghiệm bất kỳ của (I) là 1 nghiệm của (II); 
• Tổng 1 nghiệm bất kỳ của (I) và 1 nghiệm bất kỳ của 
(II) là 1 nghiệm của (I). 
35
➢ Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính
 VD 2. Cho 2 hệ phương trình tuyến tính: 
4 5 1
2 7 11 2
3 11 6 1
x y z
x y z
x y z
ìï + + = -ïïï + - =í
ïï + - =ïïî
 (I) và 
4 5 0
2 7 11 0
3 11 6 0
x y z
x y z
x y z
ìï + + =ïïï + - =í
ïï + - =ïïî
 (II). 
 Xét 2 nghiệm của (I) và 1 nghiệm của (II) lần lượt là: 
1
(15; 4; 0)a = - , 
2
( 64; 17; 1)a = - - 
 và ( 158; 42; 2)b = - - , ta có: 
• 
1 2
(79; 21; 1)a a- = - là 1 nghiệm của (II); 
• 
1
( 143; 38; 2)a b+ = - - là 1 nghiệm của (I). 
36