Bài giảng Toán cao cấp - Chương 1: Ma trận-Định thức

➢ Chương 1. Ma trận – Định thức
§1. Ma trận 
§2. Định thức 
§1. MA TRẬN 
 (Matrix) 
 1.1. Các định nghĩa 
 a) Định nghĩa ma trận 
 • Ma trận A cấp m n´ trên ¡ là 1 hệ thống gồm 
m n´ số 
ij
a Î ¡ ( 1, ; 1, )i m j n= = và được sắp 
thành bảng gồm m dòng và n cột: 
1
11 12 1
21 22 2
1 2
...
...
.
... ... ... ...
...
n
n
m m mn
a a a
a a a
A
a a a
æ ö
÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷= ç ÷ç ÷÷ç ÷ç ÷ç ÷çè ø
• Các số 
ij
a được gọi là các phần tử của A ở dòng thứ i 
và cột thứ j . 
• Cặp số ( , )m n được gọi là kích thước của A . 
• Khi 1m = , ta gọi: 
11 12 1
( ... )
n
A a a a= là ma trận dòng. 
➢ Chương 1. Ma trận – Định thức
2
• Khi 1n = , ta gọi 
11
1
...
m
a
A
a
æ ö
÷ç ÷ç ÷ç ÷= ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷çè ø
 là ma trận cột. 
• Khi 1m n= = , ta gọi: 
11
( )A a= là ma trận gồm 1 phần tử. 
• Ma trận (0 )
ij m n
O
´
= có tất cả các phần tử đều bằng 0 
 được gọi là ma trận không. 
• Tập hợp các ma trận A trên được ký hiệu là 
, ( )m nM , để cho gọn ta viết là ( )ij m nA a = . 
➢ Chương 1. Ma trận – Định thức
3
• Ma trận vuông 
▪ Khi m n= , ta gọi A là ma trận vuông cấp n . 
 Ký hiệu là ( )
ij n
A a= . 
▪ Đường chéo chứa các phần 
tử 
11 22
, , ...,
nn
a a a được gọi 
 là đường chéo chính của 
( )
ij n
A a= , 
 đường chéo còn lại được gọi 
 là đường chéo phụ. 
2 3
5 8
7 4
2
4
6
6 5
7
3
1
1 0
æ ö
÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç ÷ç ÷ç ÷çè ø
➢ Chương 1. Ma trận – Định thức
4
• Các ma trận vuông đặc biệt 
▪ Ma trận vuông có tất cả các 
phần tử nằm ngoài đường 
chéo chính đều bằng 0 được 
gọi là ma trận chéo (diagonal 
matrix). 
 Ký hiệu: 
11 22
( , , ..., )
nn
diag a a a . 
1 0 0
0 5 0
0 0 0
æ ö- ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷çè ø
▪ Ma trận chéo cấp n gồm tất cả 
các phần tử trên đường chéo 
chính đều bằng 1 được gọi là 
ma trận đơn vị cấp n (Identity 
matrix). Ký hiệu là: 
n
I . 
3
1 0 0
0 1 0
0 0 1
I
æ ö
÷ç ÷ç ÷ç ÷= ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷çè ø
➢ Chương 1. Ma trận – Định thức
5
1 0 2
0 1 1
0 0 0
A
æ ö- ÷ç ÷ç ÷ç ÷= -ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷çè ø
3 0 0
4 1 0
1 5 2
B
æ ö
÷ç ÷ç ÷ç ÷= ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷- ÷çè ø
▪ Ma trận vuông cấp n có tất cả 
các cặp phần tử đối xứng 
nhau qua đường chéo chính 
bằng nhau (
ij ji
a a= ) được 
gọi là ma trận đối xứng. 
0
0
3
1
2
4
4
1
1
æ ö
֍ ֍ ֍ ֍
-
-
÷ç ÷ç ÷ç ÷÷çè ø
➢ Chương 1. Ma trận – Định thức
6
 b) Ma trận bằng nhau 
 Hai ma trận ( )
ij
A a= và ( )
ij
B b= được gọi là bằng 
nhau, ký hiệu A B= , khi và chỉ khi chúng cùng 
kích thước và , ,
ij ij
a b i j= " . 
 VD 1. Cho 
1
2
x y
A
z t
æ ö
÷ç ÷ç= ÷ç ÷÷çè ø
 và 
1 0 1
2 3
B
u
æ ö- ÷ç ÷ç= ÷ç ÷÷çè ø
. 
 Ta có: 
0; 1; 2; 2; 3A B x y z u t= Û = = - = = = . 
➢ Chương 1. Ma trận – Định thức
7
 1.2. Các phép toán trên ma trận 
 a) Phép cộng và trừ hai ma trận 
 Cho hai ma trận ( )
ij m n
A a
´
= và ( )
ij m n
B b
´
= , ta có: 
( ) .
ij ij m n
A B a b
´
± = ± 
 VD 2. 
1 0 2 2 0 2 1 0 4
2 3 4 5 3 1 7 0 3
æ ö æ ö æ ö- ÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç+ =÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷- - -÷ ÷ ÷ç ç çè ø è ø è ø
; 
1 0 2 2 0 2 3 0 0
2 3 4 5 3 1 3 6 5
æ ö æ ö æ ö- -÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç- =÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷- - - -÷ ÷ ÷ç ç çè ø è ø è ø
. 
 Nhận xét 
Phép cộng ma trận có tính giao hoán và kết hợp. 
➢ Chương 1. Ma trận – Định thức
8
 b) Phép nhân vô hướng 
 Cho ma trận ( )
ij m n
A a
´
= và l Î ¡ , ta có: 
( ) .
ij m n
A al l
´
= 
 VD 3. 
1 1 0 3 3 0
3
2 0 4 6 0 12
æ ö æ ö- -÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç- =÷ ÷ç ç÷ ÷- - ÷ ÷ç çè ø è ø
; 
2 6 4 1 3 2
2
4 0 8 2 0 4
æ ö æ ö
÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç=÷ ÷ç ç÷ ÷- -÷ ÷ç çè ø è ø
. 
 Chú ý 
• Phép nhân vô hướng có tính phân phối đối với phép 
 cộng ma trận. 
• Ma trận 1.A A- = - được gọi là ma trận đối của A . 
➢ Chương 1. Ma trận – Định thức
9
 c) Phép nhân hai ma trận 
 Cho hai ma trận ( )
ji m n
A a
´
= và ( )
kj n p
B b
´
= , ta có: 
( ) .
ik m p
AB c
´
= 
 Trong đó, ( )
1
 1, ; 1,
n
ik ij jk
j
c a b i m k p
=
= = =å . 
 VD 4. Thực hiện phép nhân ( )
1
1 2 3 2
5
æ ö- ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷- ÷çè ø
. 
 Giải. ( )
1
1 2 3 2 ( 1 4 15) ( 12).
5
æ ö- ÷ç ÷ç ÷ç ÷= - + - = -ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷- ÷çè ø
➢ Chương 1. Ma trận – Định thức
10
 VD 5. Thực hiện phép nhân ( )
1 1 0
1 2
1 0 3
æ ö- ÷ç ÷ç ÷ç ÷- ÷çè ø
. 
 Giải. ( ) ( )
1 1 0
1 2 1 1 6
1 0 3
æ ö- ÷ç ÷ç = - -÷ç ÷- ÷çè ø
. 
➢ Chương 1. Ma trận – Định thức
11
 VD 6. Tính 
2 0
1 1 1
1 1
2 0 3
1 3
æ ö
÷çæ ö ÷ç- ÷÷ç ç ÷÷ç -ç ÷÷ç ç ÷÷- ÷ç ç ÷è øç ÷- ÷çè ø
. 
 Giải. 
2 0
1 1 1 4 4
1 1
2 0 3 7 9
1 3
æ ö
÷çæ ö æ ö÷ç- -÷÷ ÷ç çç ÷÷ ÷ç ç- =ç ÷÷ ÷ç çç ÷÷ ÷- -÷ ÷ç çç ÷è ø è øç ÷- ÷çè ø
. 
➢ Chương 1. Ma trận – Định thức
12
 Tính chất 
 Cho các ma trận 
,
, , ( )
m n
A B C MÎ ¡ và số l Î ¡ . 
 Giả thiết các phép nhân đều thực hiện được, ta có: 
 1) ( ) ( )AB C A BC= ; 
 2) ( )A B C AB AC+ = + ; 3) ( )A B C AC BC+ = + ; 
 4) ( ) ( ) ( )AB A B A Bl l l= = ; 5) 
n m
AI A I A= = . 
 VD 7. Cho 
1 0 1
2 2 0
3 0 3
A
æ ö- ÷ç ÷ç ÷ç ÷= -ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷- ÷çè ø
 và 
1 2 1
0 3 1
2 1 0
B
æ ö- - ÷ç ÷ç ÷ç ÷= -ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷- ÷çè ø
. 
 Thực hiện phép tính: a) AB ; b) BA . 
➢ Chương 1. Ma trận – Định thức
13
Giải 
a) 
1 0 1 1 2 1 3 1 1
2 2 0 0 3 1 2 2 0
3 0 3 2 1 0 9 3 3
AB
æ öæ ö æ ö- - - - -÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷= - - = -ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷- - - -÷ ÷ ÷ç ç çè øè ø è ø
. 
b) 
1 2 1 1 0 1 2 4 2
0 3 1 2 2 0 3 6 3
2 1 0 3 0 3 0 2 2
BA
æ öæ ö æ ö- - - - -÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷= - - = - -ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷- - -÷ ÷ ÷ç ç çè øè ø è ø
. 
➢ Chương 1. Ma trận – Định thức
14
 VD 8. Thực hiện phép nhân: 
1 1 2 0 1 3 2 1 2 1
2 3 0 1 2 1 1 0 2 1
1 1 4 2 1 3 3 1 0 2
A
æ öæ öæ öæ ö- - -÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷= - - - -ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷- - - -÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç çè øè øè øè ø
. 
 Giải. 
1 1 2 0 1 3 7
2 3 0 1 2 1 3
1 1 4 2 1 3 2
A
æ öæ öæ ö- -÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷= - - -ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷- - - -÷ ÷ ÷ç ç çè øè øè ø
1 1 2 3 24
2 3 0 1 3
1 1 4 11 42
æ öæ ö æ ö- - -÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷= - - = -ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷- - -÷ ÷ ÷ç ç çè øè ø è ø
. 
➢ Chương 1. Ma trận – Định thức
15
 Nhận xét 
Phép nhân ma trận không có tính giao hoán. 
➢ Chương 1. Ma trận – Định thức
16
▪ Lũy thừa ma trận 
➢ Chương 1. Ma trận – Định thức
 Cho ma trận vuông ( )
n
A MÎ ¡ . 
• Lũy thừa ma trận A được định nghĩa theo quy nạp: 
0
n
A I= ; 1A A= ; 
1 . ,k kA A A k+ = " Î ¥ . 
• Nếu \ {0; 1}k$ Î ¥ sao cho (0 )k
ij n
A = thì A được 
gọi là ma trận lũy linh. 
 Số , 2k kÎ ³¥ bé nhất sao cho (0 )k
ij n
A = được 
gọi là cấp của ma trận lũy linh A . 
 VD 9. Ma trận 
0 1 0
0 0 1
0 0 0
A
 =
 là lũy linh cấp 3. 
17
 Tính chất 
 1) (0 ) 0k
n n
= ; ( ) ,
k
n n
I I k= " Î ¥ 
 2) . , ( ), ,k m k m
n
A A A A M k m+ = " Î " Ρ ¥ 
 3) ( ) , ( ), ,km k m
n
A A A M k m= " Î " Ρ ¥ . 
 Chú ý 
 1) Nếu 
11 22
( , , ..., ) ( )
nn n
A diag a a a M= Î ¡ thì: 
11 22
( , , ..., )k k k k
nn
A diag a a a= . 
 2) Nếu , ( )
n
A B MÎ ¡ thỏa AB BA= (giao hoán) thì 
các hằng đẳng thức quen thuộc cũng đúng với A , B . 
 Khi AB BA¹ thì các hằng đẳng thức đó không còn 
đúng nữa. 
➢ Chương 1. Ma trận – Định thức
18
 VD 10. Cho 3 2( ) 2 4f x x x= - và 
1 1
0 1
A
æ ö- ÷ç ÷ç= ÷ç ÷÷çè ø
. 
 Tính 
2
( )f A I+ . 
 Giải. Ta có: 
2
1 1 1 1 1 2
0 1 0 1 0 1
A
æ öæ ö æ ö- - -÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç= =÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷÷ ÷ ÷ç ç çè øè ø è ø
, 
3
1 1 1 2 1 3
0 1 0 1 0 1
A
æ öæ ö æ ö- - -÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç= =÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷÷ ÷ ÷ç ç çè øè ø è ø
. 
➢ Chương 1. Ma trận – Định thức
19
 Suy ra: 
2
1 3 1 2 1 0
( ) 2 4
0 1 0 1 0 1
f A I
æ ö æ ö æ ö- -÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç+ = - +÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷÷ ÷ ÷ç ç çè ø è ø è ø
2 6 4 8 1 0
0 2 0 4 0 1
æ ö æ ö æ ö- -÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç= - +÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷÷ ÷ ÷ç ç çè ø è ø è ø
1 2
0 1
æ ö- ÷ç ÷ç= ÷ç ÷- ÷çè ø
. 
➢ Chương 1. Ma trận – Định thức
20
 VD 11. Cho 
2 0
1 0
A
æ ö
÷ç ÷ç= ÷ç ÷÷çè ø
, giá trị của 2011
2
( )I A- là: 
A. 
1 1
0 1
æ ö- - ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷çè ø
; B. 
1 1
1 0
æ ö- ÷ç ÷ç ÷ç ÷- ÷çè ø
; C. 
0 1
1 1
æ ö- ÷ç ÷ç ÷ç ÷- ÷çè ø
; D. 
1 0
1 1
æ ö- ÷ç ÷ç ÷ç ÷- ÷çè ø
. 
 Giải. Ta có: 
2
1 0 2 0 1 0
0 1 1 0 1 1
I A
æ ö æ ö æ ö-÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç- = - =÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷-÷ ÷ ÷ç ç çè ø è ø è ø
 2
2 2
1 0 1 0 1 0
( )
1 1 1 1 0 1
I A I
æ öæ ö æ ö- -÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç çÞ - = = =÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷- -÷ ÷ ÷ç ç çè øè ø è ø
➢ Chương 1. Ma trận – Định thức
21
1005
2010 2 1005
2 2 2 2
( ) ( ) ( )I A I A I Ié ùÞ - = - = =ê úë û
. 
Vậy 2011
2 2
1 0 1 0
( ) .
1 1 1 1
I A I D
æ ö æ ö- -÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç- = = Þ÷ ÷ç ç÷ ÷- -÷ ÷ç çè ø è ø
. 
➢ Chương 1. Ma trận – Định thức
22
 VD 12. Tìm ma trận 5( )D ABC= , trong đó: 
2 1 3 0 0 1
, ,
1 0 8 1 1 2
A B C
æ ö æ ö æ ö- ÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç= = =÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷-÷ ÷ ÷ç ç çè ø è ø è ø
. 
 Giải. Ta có: 
1 0
0 3
ABC
æ ö- ÷ç ÷ç= ÷ç ÷÷çè ø
Vậy 
5
1 0 1 0
0 3 0 243
D
æ ö æ ö- -÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç= =÷ ÷ç ç÷ ÷÷ ÷ç çè ø è ø
. 
➢ Chương 1. Ma trận – Định thức
23
 VD 13. Cho ma trận 
cos sin
( )
sin cos
A
a a
a
a a
æ ö- ÷ç ÷ç= ÷ç ÷÷çè ø
. 
 Hãy tìm ma trận ( ) ,
n
A naé ù " Îê úë û
¥ ? 
Giải 
• Ta có: 
1
( ) ( )A Aa aé ù =ê úë û
, 
0 1 0 cos 0 sin 0
( )
0 1 sin 0 cos 0
A
a a
a
a a
æ ö æ ö-÷ ÷ç çé ù ÷ ÷ç ç= =÷ ÷ê ú ç çë û ÷ ÷÷ ÷ç çè ø è ø
. 
➢ Chương 1. Ma trận – Định thức
24
2 cos sin cos sin
( )
sin cos sin cos
A
a a a a
a
a a a a
æ öæ ö- -÷ ÷ç çé ù ÷ ÷ç ç= ÷ ÷ê ú ç çë û ÷ ÷÷ ÷ç çè øè ø
2 2
2 2
cos sin 2 sin cos
2 sin cos cos sin
a a a a
a a a a
æ ö- - ÷ç ÷ç= ÷ç ÷-ç ÷è ø
cos2 sin 2
sin 2 cos2
a a
a a
æ ö- ÷ç ÷ç= ÷ç ÷÷çè ø
. 
• Giả sử 
cos sin
( )
sin cos
k k k
A
k k
a a
a
a a
æ ö- ÷çé ù ÷ç= ÷ê ú çë û ÷÷çè ø
 (*). 
➢ Chương 1. Ma trận – Định thức
25
• Với 1n k= + , từ (*) ta có: 
1 cos sin cos sin
( )
sin cos sin cos
k k k
A
k k
a a a a
a
a a a a
+
æ öæ ö- -÷ ÷ç çé ù ÷ ÷ç ç= ÷ ÷ê ú ç çë û ÷ ÷÷ ÷ç çè øè ø
cos( 1) sin( 1)
sin( 1) cos( 1)
k k
k k
a a
a a
æ ö+ - + ÷ç ÷ç= ÷ç ÷+ + ÷çè ø
. 
Vậy 
cos sin
( ) ,
sin cos
n n n
A n
n n
a a
a
a a
æ ö- ÷çé ù ÷ç= " Î÷ê ú çë û ÷÷çè ø
¥ . 
➢ Chương 1. Ma trận – Định thức
26
 VD 14. Cho ( )
ij
A a= là ma trận vuông cấp 40 có các 
 phần tử ( 1)i j
ij
a += - . Phần tử 
25
a của 2A là: 
A. 
25
0a = ; B. 
25
40a = - ; C. 
25
40a = ; D. 
25
1a = - . 
 Giải. Phần tử 
25
a của 2A là tích dòng thứ 2 và cột thứ 
5 của ma trận A . 
• Các phần tử trên dòng thứ 2 của A là: 
(–1 1 –1  –1 1). 
• Các phần tử trên cột thứ 5 của A là: 
(1 –1 1 1 –1). 
 Vậy 
25
40a B= - Þ . 
➢ Chương 1. Ma trận – Định thức
27
Giải 
 Phần tử 
34
a của 2A là tích dòng thứ 3 và cột thứ 4 của 
ma trận A . 
 VD 15. Cho ( )
ij
A a= là ma trận vuông cấp 100 có 
các phần tử ( 1) .3i j
ij
a = - . Phần tử 
34
a của 2A là: 
A. 
5
100
34
3
(1 3 )
4
a = - ; B. 
5
100
34
3
(3 1)
4
a = - ; 
C. 
5
100
34
3
(3 1)
2
a = - ; D. 
5
100
34
3
(1 3 )
2
a = - . 
➢ Chương 1. Ma trận – Định thức
28
• Các phần tử trên dòng thứ 3 của A là: 
2 3 99 100( 3 3 3 ... 3 3 )- - - - - . 
• Các phần tử trên cột thứ 4 của A là: 
4 4 4 4 4( 3 3 3 ... 3 3 )- - - . 
 Vậy 4 2 3 99 100
34
3 (3 3 3 ... 3 3 )a = - + - + - 
100 5
4 1001 ( 3) 33 .3. (1 3 )
1 ( 3) 4
A
- -
= = - Þ
- -
. 
➢ Chương 1. Ma trận – Định thức
29
 d) Phép chuyển vị (Transposed matrix) 
 Cho ma trận ( )
ij m n
A a
´
= . 
 Khi đó, ( )T
ji n m
A a
´
= được gọi là ma trận chuyển vị 
của A (nghĩa là chuyển tất cả các dòng thành cột). 
 VD 16. Cho 
1 2 3
4 5 6
A
æ ö
÷ç ÷ç= ÷ç ÷÷çè ø
 .
TA
æ ö
÷ç ÷ç ÷ç ÷Þ = ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷çè ø
1
2
3{
4
5
6
➢ Chương 1. Ma trận – Định thức
30
 Tính chất 
1) ( )T T TA B A B+ = + ; 
2) ( ) .T TA Al l= ; 
3) ( )T TA A= ; 
4) ( )T T TAB B A= ; 
5) 
TA A A= Û là ma trận đối xứng. 
➢ Chương 1. Ma trận – Định thức
31
 Giải. a) 
1 1
0 1 2
( ) 0 2
1 0 3
3 2
T
TAB
é ùæ ö- ÷çê úæ ö÷ç -÷ ÷ê úçç ÷ ÷ç= ç ÷ ÷ê úçç ÷ ÷- - ÷çç ÷ê úè øç ÷- - ÷çê úè øë û
 VD 17. 
1 1
0 1 2
0 2 ,
1 0 3
3 2
A B
æ ö- ÷ç æ ö÷ç -÷ ÷çç ÷ ÷ç= =ç ÷ ÷çç ÷ ÷- - ÷çç ÷ è øç ÷- - ÷çè ø
. 
 a) Tính ( )TAB . 
 b) Tính T TB A và so sánh kết quả với ( )TAB . 
➢ Chương 1. Ma trận – Định thức
32
1 1 1 1 2 2
2 0 6 1 0 3
2 3 12 1 6 12
T
é ùæ ö æ ö-÷ ÷ç çê ú÷ ÷ç ç÷ ÷ê úç ç÷ ÷= - - = -ç ç÷ ÷ê úç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ê úç ç÷ ÷- -÷ ÷ç çê úè ø è øë û
. 
 b) Sinh viên tự làm. 
➢ Chương 1. Ma trận – Định thức
33
 1.3. Phép biến đổi sơ cấp trên dòng của ma trận 
(Gauss – Jordan) 
 Cho ma trận ( )
ij m n
A a
´
= ( 2)m ³ . Các phép biến đổi 
 sơ cấp (PBĐSC) dòng e trên A là: 
 1) 
1
( ) :e Hoán vị hai dòng cho nhau i k
d d
A A
« ¢¾ ¾ ¾® . 
 2) 
2
( ) :e Nhân 1 dòng với số 0l ¹ , i i
d d
A A
l® ¢¢¾ ¾ ¾¾® . 
 3) 
3
( ) :e Thay 1 dòng bởi tổng của dòng đó với λ lần 
 dòng khác, i i k
d d d
A A
l® + ¢¢¢¾ ¾ ¾ ¾¾® . 
Chú ý 
 1) Trong thực hành ta thường làm i i k
d d d
A B
m l® +
¾ ¾ ¾ ¾ ¾® . 
 2) Tương tự, ta cũng có các phép biến đổi sơ cấp trên 
 cột của ma trận. 
➢ Chương 1. Ma trận – Định thức
34
 Giải. 1 2
1 2 3
2 1 1
3 1 2
d d
A
«
æ ö- ÷ç ÷ç ÷ç ÷¾ ¾ ¾® -ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷- ÷çè ø
2 2 1
3 3 1
2
3
1 2 3
0 5 7
0 5 7
d d d
d d d
® -
® -
æ ö- ÷ç ÷ç ÷ç ÷¾ ¾ ¾ ¾¾® -ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷- ÷çè ø
 VD 18. Dùng PBĐSC trên dòng để đưa ma trận 
2 1 1
1 2 3
3 1 2
A
æ ö- ÷ç ÷ç ÷ç ÷= -ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷- ÷çè ø
 về 
1 2 3
0 1 7 / 5
0 0 0
B
æ ö- ÷ç ÷ç ÷ç ÷= -ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷çè ø
. 
➢ Chương 1. Ma trận – Định thức
35
3 3 2
2 2
1
5
1 2 3
0 1 7 / 5
0 0 0
d d d
d d
B
® -
®
æ ö- ÷ç ÷ç ÷ç ÷¾ ¾ ¾ ¾® - =ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷çè ø
. 
➢ Chương 1. Ma trận – Định thức
36
 1.4. Ma trận bậc thang 
• Một dòng của ma trận có tất cả các phần tử đều bằng 
0 được gọi là dòng bằng 0 (hay dòng không). 
• Phần tử khác 0 đầu tiên tính từ trái sang của 1 dòng 
trong ma trận được gọi là phần tử cơ sở của dòng đó. 
• Ma trận bậc thang là ma trận khác không cấp m n´ 
( , 2)m n ³ thỏa hai điều kiện: 
1) Các dòng bằng 0 (nếu có) ở phía dưới các dòng 
khác 0; 
2) Phần tử cơ sở của 1 dòng bất kỳ nằm bên phải 
 phần tử cơ sở của dòng ở phía trên dòng đó. 
➢ Chương 1. Ma trận – Định thức
37
 VD 19. Các ma trận bậc thang: 
1 0 2
0 0 3 ,
0 0 0
æ ö
÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷çè ø
0 1 2 3
0 0 4 5 ,
0 0 0 1
æ ö
÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷çè ø
1 0 ... 0
0 1 ... 0
.
... ... ... ...
0 0 ... 1
n
I
æ ö
÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷= ç ÷ç ÷÷ç ÷ç ÷ç ÷çè ø
 Các ma trận không phải là bậc thang: 
0 0 0
3 1 4
0 0 5
æ ö
÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷çè ø
, 
0 2 7
0 3 4
0 0 5
æ ö
÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷çè ø
, 
1 3 5
0 0 4
2 1 3
æ ö
÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷çè ø
. 
➢ Chương 1. Ma trận – Định thức
38
▪ Ma trận bậc thang rút gọn 
 Ma trận bậc thang rút gọn là ma trận bậc thang có 
 phần tử cơ sở của một dòng bất kỳ đều bằng 1 và là 
 phần tử khác 0 duy nhất của cột chứa phần tử đó. 
 VD 20. 
n
I , 
1 3 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
A
æ ö
÷ç ÷ç ÷ç ÷= ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷çè ø
, 
0 1 0 3
0 0 1 2
0 0 0 0
B
æ ö
÷ç ÷ç ÷ç ÷= ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷çè ø
 là các ...  23. Cho 
2 5
1 3
A
æ ö
÷ç ÷ç= ÷ç ÷÷çè ø
 và 
2 1
3 2
B
æ ö
÷ç ÷ç= ÷ç ÷÷çè ø
. 
 Thực hiện phép tính: a) 1( )AB - ; b) 1 1B A- - . 
➢ Chương 1. Ma trận – Định thức
44
 b) Ta có: 
1 1
2 1 3 5 7 12
3 2 1 2 11 19
B A- -
æ öæ ö æ ö- - -÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç= =÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷- - -÷ ÷ ÷ç ç çè øè ø è ø
. 
➢ Chương 1. Ma trận – Định thức
45
 VD 24. Cho hai ma trận 
5 3 4 1
,
3 2 2 3
A B
æ ö æ ö- -÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç= =÷ ÷ç ç÷ ÷- -÷ ÷ç çè ø è ø
. 
 Tìm ma trận X thỏa AX B= . 
 Giải. Ta có: 
1 1 1AX B A AX A B X A B- - -= Û = Û = . 
Vậy 
2 3 4 1 2 7
3 5 2 3 2 12
X
æ öæ ö æ ö- - - -÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç= - =÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷- - - -÷ ÷ ÷ç ç çè øè ø è ø
. 
➢ Chương 1. Ma trận – Định thức
46
 b) Tìm ma trận nghịch đảo bằng phép biến đổi 
 sơ cấp trên dòng (tham khảo) 
 Cho ( )
n
A MÎ ¡ khả nghịch, ta tìm 1A - như sau: 
 Bước 1. Lập ma trận ( )nA I (ma trận chia khối) bằng 
 cách ghép ma trận 
n
I vào bên phải của A . 
 Bước 2. Dùng phép biến đổi sơ cấp trên dòng để đưa 
 ( )nA I về dạng ( )nI B . 
 Khi đó: 1A B- = . 
 VD 25. Tìm nghịch đảo của 
1 1 0 1
0 1 1 0
0 0 1 1
0 0 0 1
A
æ ö- ÷ç ÷ç ÷ç ÷-ç ÷ç ÷= ç ÷ç ÷÷ç ÷ç ÷ç ÷çè ø
. 
➢ Chương 1. Ma trận – Định thức
47
 Giải. Ta có: ( )4
1 1 0 1 1 0 0 0
0 1 1 0 0 1 0 0
0 0 1 1 0 0 1 0
0 0 0 1 0 0 0 1
A I
æ ö- ÷ç ÷ç ÷ç ÷-ç ÷ç ÷= ç ÷ç ÷÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷è ø
3 3 4
2 3 2
1 1 2 4
1 0 0 0 1 1 1 2
0 1 0 0 0 1 1 1
.
0 0 1 0 0 0 1 1
0 0 0 1 0 0 0 1
d d d
d d d
d d d d
® -
® -
® + -
æ ö- - ÷ç ÷ç ÷ç ÷- -ç ÷ç ÷¾ ¾ ¾ ¾ ¾® ç ÷ç ÷- ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷è ø
4
I
{ {
1A -
➢ Chương 1. Ma trận – Định thức
48
§2. ĐỊNH THỨC 
 2.1. Định nghĩa 
 a) Ma trận con cấp k 
 Cho ( ) ( )ij nnA a M= Î ¡ . 
• Ma trận vuông cấp k được lập từ các phần tử nằm 
trên giao của k dòng và k cột của A được gọi là ma 
trận con cấp k của A . 
• Ma trận 
ij
M có cấp 1n - thu được từ A bằng cách 
bỏ đi dòng thứ i và cột thứ j được gọi là ma trận con 
của A ứng với phần tử 
ij
a . 
➢ Chương 1. Ma trận – Định thức
49
 VD 1. Ma trận 
1 2 3
4 5 6
7 8 9
A
æ ö
÷ç ÷ç ÷ç ÷= ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷çè ø
 có các ma trận con ứng 
 với các phần tử 
ij
a là: 
11
5 6
8 9
M
æ ö
÷ç ÷ç= ÷ç ÷÷çè ø
, 
12
4 6
7 9
M
æ ö
÷ç ÷ç= ÷ç ÷÷çè ø
, 
13
4 5
7 8
M
æ ö
÷ç ÷ç= ÷ç ÷÷çè ø
, 
21
2 3
8 9
M
æ ö
÷ç ÷ç= ÷ç ÷÷çè ø
, 
22
1 3
7 9
M
æ ö
÷ç ÷ç= ÷ç ÷÷çè ø
, 
23
1 2
7 8
M
æ ö
÷ç ÷ç= ÷ç ÷÷çè ø
, 
31
2 3
5 6
M
æ ö
÷ç ÷ç= ÷ç ÷÷çè ø
, 
32
1 3
4 6
M
æ ö
÷ç ÷ç= ÷ç ÷÷çè ø
, 
33
1 2
4 5
M
æ ö
÷ç ÷ç= ÷ç ÷÷çè ø
. 
➢ Chương 1. Ma trận – Định thức
50
 b) Định thức (Determinant) 
 Định thức của ma trận vuông ( )
n
A MÎ ¡ , ký hiệu 
det A hay A , là 1 số thực được định nghĩa: 
▪ Nếu 
11
( )A a= thì 
11
det A a= . 
▪ Nếu 11 12
21 22
a a
A
a a
æ ö
÷ç ÷ç= ÷ç ÷÷çè ø
 thì 
11 22 12 21
det A a a a a= - . 
▪ Nếu ( )
ij n
A a= (cấp 3n ³ ) thì: 
11 11 12 12 1 1
det ...
n n
A a A a A a A= + + + 
 trong đó, ( 1) deti j
ij ij
A M+= - và số thực 
ij
A được 
gọi là phần bù đại số của phần tử 
ij
a . 
➢ Chương 1. Ma trận – Định thức
51
11 12 13 11 12
21 22 23 21 22
31 32 33 31 32
a a a a a
a a a a a
a a a a a
(Tổng của tích các phần tử trên đường chéo nét liền trừ 
đi tổng của tích các phần tử trên đường chéo nét đứt). 
 2) Tính 
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
a a a
a a a
. 
 Chú ý 
 1) det 1, det 0
n n
I O= = . 
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
a a a
a a a
hoặc
➢ Chương 1. Ma trận – Định thức
52
 VD 2. Tính định thức của các ma trận sau: 
3 2
1 4
A
æ ö- ÷ç ÷ç= ÷ç ÷÷çè ø
, 
1 2 1
3 2 1
2 1 1
B
æ ö- ÷ç ÷ç ÷ç ÷= -ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷çè ø
. 
 Giải. 
3
3.4d
2
1.( 2)t 4
1
e 1
4
A = = - =
-
- . 
det 1.( 2).1 2.1.2 3.1.( 1)B é ù= - + + -ê úë û
2.( 2)( 1) 3.2.1 1.1.1 12.é ù- - - + + = -ê úë û
➢ Chương 1. Ma trận – Định thức
53
 VD 3. Tính định thức của ma trận: 
0 0 3 1
4 1 2 1
3 1 0 2
2 3 3 5
A
æ ö- ÷ç ÷ç ÷ç ÷-ç ÷ç ÷= ç ÷ç ÷÷ç ÷ç ÷ç ÷çè ø
. 
 Giải. Ta có: 
11 12 13 14
det 0. 0. 3. ( 1).A A A A A= + + + - 
 1 3 1 4
13 14
3( 1) det ( 1) detM M+ += - - - 
4 1 1 4 1 2
3 3 1 2 3 1 0 49
2 3 5 2 3 3
-
= + = - . 
➢ Chương 1. Ma trận – Định thức
54
 2.2. Các tính chất cơ bản của định thức 
 Cho ma trận vuông ( ) ( )ij nnA a M= Î ¡ , ta có các 
tính chất cơ bản sau: 
 a) Tính chất 1 
( )det det .TA A= 
 VD 4. 
1 3 2 1 2 1
2 2 1 3 2 1 12
1 1 1 2 1 1
-
- = - = -
-
. 
➢ Chương 1. Ma trận – Định thức
55
 b) Tính chất 2 
 Nếu hoán vị hai dòng (hoặc hai cột) cho nhau thì 
định thức đổi dấu. 
 VD 5. 
1 3 2
2 2 1
1 1 1
-
-
1 1 1
2 2 1
1 3 2
-
= - -
1 1 1
2 2 1 .
3 1 2
-
= -
 Hệ quả. Nếu định thức có ít nhất 2 dòng (hoặc 2 cột) 
giống nhau thì bằng 0. 
 VD 6. 
1
1
3 3
2 2
1 1
0
7
= ; 
2 5
2
5
3
2
1 0
1
y y
y
x
y
x x
= . 
➢ Chương 1. Ma trận – Định thức
56
 c) Tính chất 3 
 Nếu nhân 1 dòng (hoặc 1 cột) với số thực λ thì 
 định thức tăng lên λ lần. 
 VD 7. 
3.1 0 3.( 1) 1 0 1
2 1 2 3 2 1 2
3 1 7 3 1 7
- -
- = - ; 
3 3
3 3
3 3
1 1
1 ( 1) 1
1 1
x x x x x
x y y x y y
x z z z z
+
+ = +
+
. 
➢ Chương 1. Ma trận – Định thức
57
 Hệ quả 
1) Nếu định thức có ít nhất 1 dòng (hoặc 1 cột) 
bằng 0 thì bằng 0. 
2) Nếu định thức có 2 dòng (hoặc 2 cột) tỉ lệ với 
nhau thì bằng 0. 
 VD 8. 
2
3 2
0 1
0 0
0
x
x y
x y
= ; 
6 6 9
2 2 3 0
8 3 12
- -
- =
- -
. 
➢ Chương 1. Ma trận – Định thức
58
 VD 9. 
3 3 3
3 3 3
1 1 1 1 0
;
1 1 1
x x x x x x
x y y x y y x y y
z z z z z z
+ - -
= +
2 2
2 2
2 2
cos 2 3 sin 2 3 1 2 3
sin 5 6 cos 5 6 1 5 6 .
1 8 9sin 8 9 cos 8 9
x x
x x
x x
+ =
 d) Tính chất 4 
 Nếu định thức có 1 dòng (hoặc 1 cột) mà mỗi phần 
tử là tổng của 2 số hạng thì ta có thể tách thành tổng 
2 định thức. 
➢ Chương 1. Ma trận – Định thức
59
 e) Tính chất 5 
 Định thức sẽ không đổi nếu ta cộng vào 1 dòng 
(hoặc 1 cột) với λ lần dòng (hoặc cột) khác. 
 Giải. D 
2 2 1
d d d® +
1 2 3
0 4 2
2 3 4
3 3 1
2d d d® -
1 2 3
0 4 2
0 1 2- -
 VD 10. Sử dụng tính chất 5 để đưa định thức sau về 
dạng bậc thang: 
1 2 3
1 2 1
2 3 4
D = - - . 
➢ Chương 1. Ma trận – Định thức
60
1 2 3
0 4 2 .
0 0 3 / 2-
1 2 3
0 4 2
0 1 2- -
3 3 2
1
4
d d d® +
 Chú ý 
 Phép biến đổi 
3 3 2
4
1 2 3 1 2 3
0 4 2 0 4 2
0 1 2 0 0 6
d d d® +
= = = = =
- - -
 là sai 
vì dòng 3 (trước khi thay đổi) đã nhân với số 4. 
➢ Chương 1. Ma trận – Định thức
61
 VD 11. Sử dụng tính chất 5 để tính 
2 2
2 2
2 2
x
x
x
D = . 
 Giải. Ta có: 
1 1 2 3
4 4 4
2 2
2 2
d d d d
x x x
x
x
® + +
+ + +
D = = = = =
1 1 1
( 4) 2 2
2 2
x x
x
= +
2 2 1
3 3 1
2
2
2
1 1 1
( 4) 0 2 0 ( 4)( 2) .
0 0 2
d d d
d d d
x x x x
x
® -
® -
= = = = + - = + -
-
➢ Chương 1. Ma trận – Định thức
62
 2.3. Định lý (khai triển Laplace) 
 Cho ma trận vuông ( ) ( )ij nnA a M= Î ¡ , ta có các 
khai triển Laplace của định thức A : 
 a) Khai triển theo dòng thứ i 
1 1 2 2
1
det ... .
n
i i i i in in ij ij
j
A a A a A a A a A
=
= + + + = å 
Trong đó, ( 1) det ( )i j
ij ij
A M+= - . 
 b) Khai triển theo cột thứ j 
1 1 2 2
1
det ... .
n
j j j j nj nj ij ij
i
A a A a A a A a A
=
= + + + = å 
➢ Chương 1. Ma trận – Định thức
63
 VD 12. Tính định thức 
1 0 0 2
2 0 1 2
1 3 2 3
3 0 2 1
 bằng hai cách 
 khai triển theo dòng 1 và khai triển theo cột 2. 
 Giải. Khai triển theo dòng 1: 
1 0 0 2
0 1 2 2 0 1
2 0 1 2
1.1. 3 2 3 ( 1).2. 1 3 2 3
1 3 2 3
0 2 1 3 0 2
3 0 2 1
= + - = . 
1 1( 1) +- 1 4( 1) +-
➢ Chương 1. Ma trận – Định thức
64
• Khai triển theo cột 2: 
1 0 0 2
1 0 2
2 0 1 2
( 1).3. 2 1 2 3
1 3 2 3
3 2 1
3 0 2 1
= - = . 
3 2( 1) +-
➢ Chương 1. Ma trận – Định thức
65
 VD 13. Áp dụng tính chất và định lý Laplace, hãy tính 
 định thức 
1 1 1 2
2 1 1 3
1 2 1 2
3 3 2 1
-
-
. 
 Giải. 
2 2 1
3 3 1
4 4 1
2
3
1 1 1 2 1 1 1 2
2 1 1 3 0 3 1 1
1 2 1 2 0 1 2 0
3 3 2 1 0 0 1 5
d d d
d d d
d d d
® -
® -
® -
- - - -
= = = = =
- -
- -
➢ Chương 1. Ma trận – Định thức
66
3 1 1
1 2 0 34
0 1 5
- - -
= = = = = = - = -
- -
khai trieån coät 1
. 
➢ Chương 1. Ma trận – Định thức
67
Các kết quả đặc biệt cần nhớ 
 1) Dạng tam giác 
11 12 1 11
22 2 21 22
11 22
1 2
... 0 ... 0
0 ... ... 0
... .
... ... ... ... ... ... ... ...
0 0 ... ...
n
n
nn
nn n n nn
a a a a
a a a a
a a a
a a a a
= =
 2) Dạng tích: det( ) det .det .AB A B= 
 3) Dạng chia khối 
det .det
n
A B
A C
O C
=
M
K K K
M
, với , , ( )
n
A B C MÎ ¡ . 
➢ Chương 1. Ma trận – Định thức
68
 VD 14. Tính 
1 2 3 4
0 2 7 19
det
0 0 3 0
0 0 0 1
A
-
=
-
. 
 Giải. Ta có: det 1.( 2).3.( 1) 6A = - - = . 
➢ Chương 1. Ma trận – Định thức
69
 VD 15. Tính 
0 0 3 4
3 2 7 19
det
1 2 3 7
0 0 8 1
B
-
=
-
. 
 Giải. Ta có: 
3 1
1 2 3 7
3 2 7 19
det
0 0 3 4
0 0 8 1
d d
B
« -
= = -
-
1 2 3 4
3 2 8 1
= -
- -
280.= -
➢ Chương 1. Ma trận – Định thức
70
 VD 16. Tính 
1 1 1 2 1 4
det 2 0 3 2 1 3
1 2 3 1 2 1
C
æ öæ ö- ÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷= ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷- ÷ ÷ç çè øè ø
. 
 Giải. Ta có: 
1 1 1 2 1 4
det 2 0 3 2 1 3 3
1 2 3 1 2 1
C
-
= = -
-
. 
➢ Chương 1. Ma trận – Định thức
71
 VD 17. Tính 
1 1 1 2 1 4 3 1 4
det 2 0 3 2 1 3 0 1 2 .
1 2 3 1 2 1 1 2 1
T
D
æ öæ öæ ö- -÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷= ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷- ÷ ÷ ÷ç ç çè øè øè ø
 Giải. Ta có: 
1 1 1 2 1 4 3 1 4
det 2 0 3 2 1 3 0 1 2 21
1 2 3 1 2 1 1 2 1
D
- -
= = -
-
. 
➢ Chương 1. Ma trận – Định thức
72
 Giải. Chuyển vị định thức, ta được: 
 Phương trình 
1 2
0
1 2
x x
x x
Û =
-
 VD 18. Phương trình 
1 0 0
1 0 0
0
2 2
3 8 2
x
x
x x
x
=
-
 có nghiệm 
là: A. 1x = ± ; B. 1x = ; C. 1x = - ; D. 
1
2
x
x
é = ±
ê
ê = ±êë
. 
 2 2( 1)( 4) 0x x AÛ - + = Þ . 
➢ Chương 1. Ma trận – Định thức
73
 2.4. Ứng dụng định thức tìm ma trận nghịch đảo 
 a) Định lý 
 Ma trận vuông A khả nghịch khi và chỉ khi: 
det 0.A ¹ 
 VD 19. Giá trị của tham số m để ma trận 
2
1 01 0
0 1 1 1
T
mm m
A
m m m
æ öæ öæ ö - ÷÷ ÷ çç ç ÷÷ ÷ çç ç= ÷÷ ÷ çç ç ÷÷ ÷- ç÷ ÷ç ç ÷è øè ø è ø
 khả nghịch là: 
A. 
0
1
m
m
é =
ê
ê =êë
; B. 
0
1
m
m
ìï ¹ï
í
ï ¹ïî
; C. 0m ¹ ; D. 1m ¹ . 
➢ Chương 1. Ma trận – Định thức
74
 Giải. Ta có: 
5 2
2
1 01 0
det ( 1) .
0 1 1 1
mm m
A m m
m m m
-
= = -
-
Vậy A khả nghịch 
0
det 0
1
m
A B
m
ìï ¹ïÛ ¹ Û Þí
ï ¹ïî
. 
➢ Chương 1. Ma trận – Định thức
75
 b) Thuật toán tìm A–1 
• Bước 1. Tính det A . Nếu det 0A = thì kết luận A 
 không khả nghịch. Ngược lại, ta làm tiếp bước 2. 
• Bước 2. Lập ma trận ( ) , ( 1) deti jij ij ijnA A M
+= - . 
 Suy ra ma trận phụ hợp (adjunct matrix) của A là: 
( ) .
T
ij n
adjA Aé ù= ê úë û
• Bước 3. Ma trận nghịch đảo của A là: 
1 1 . .
det
A adjA
A
- = 
➢ Chương 1. Ma trận – Định thức
76
 VD 20. Tìm ma trận nghịch đảo (nếu có) của: 
1 2 1
1 1 2
3 5 4
A
æ ö
÷ç ÷ç ÷ç ÷= ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷çè ø
. 
 Giải. Ta có: det 0A A= Þ không khả nghịch. 
 VD 21. Cho ma trận 
1 2 1
0 1 1
1 2 3
A
æ ö
÷ç ÷ç ÷ç ÷= ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷çè ø
. Tìm 1A - . 
 Giải. Ta có: det 2 0A A= ¹ Þ khả nghịch. 
➢ Chương 1. Ma trận – Định thức
77
11 12 13
1 1 0 1 0 1
1, 1, 1,
2 3 1 3 1 2
A A A= = = - = = = -
21 22 23
2 1 1 1 1 2
4, 2, 0,
2 3 1 3 1 2
A A A= - = - = = = - =
31 32 33
2 1 1 1 1 2
1, 1, 1.
1 1 0 1 0 1
A A A= = = - = - = =
1 4 1
1 2 1
1 0 1
adjA
æ ö- ÷ç ÷ç ÷ç ÷Þ = -ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷- ÷çè ø
1
1 4 1
1
1 2 1 .
2
1 0 1
A -
æ ö- ÷ç ÷ç ÷ç ÷Þ = -ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷- ÷çè ø
➢ Chương 1. Ma trận – Định thức
78
 2.5. Hạng của ma trận 
 a) Định thức con cấp k 
 Cho ma trận ( )ij m nA a ´= . Định thức của ma trận con 
 cấp k của A được gọi là định thức con cấp k của A . 
 Định lý 
 Nếu ma trận A có tất cả các định thức con cấp k đều 
bằng 0 thì các định thức con cấp 1k + cũng bằng 0. 
 b) Hạng của ma trận (rank of matrix) 
 Cấp cao nhất của định thức con khác 0 của ma trận A 
được gọi là hạng của ma trận A . 
 Ký hiệu là ( )r A . 
➢ Chương 1. Ma trận – Định thức
79
 Chú ý 
 • Nếu ( )ij m nA a ´= khác 0 thì 1 ( ) min{ , }.r A m n£ £ 
 • Nếu A là ma trận không thì ta quy ước ( ) 0r A = . 
 c) Thuật toán tìm hạng của ma trận 
• Bước 1. Đưa ma trận cần tìm hạng về bậc thang. 
• Bước 2. Số dòng khác 0 của ma trận bậc thang chính 
là hạng của ma trận đã cho. 
• Đặc biệt 
 Nếu A là ma vuông cấp n thì: 
( ) det 0.r A n A= Û ¹ 
➢ Chương 1. Ma trận – Định thức
80
 VD 22. Điều kiện của tham số m để ma trận 
1 2
0 3 2
0 1 1
m
A
æ ö- - ÷ç ÷ç ÷ç ÷= ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷çè ø
 có hạng bằng 3 là: 
A. 1m ¹ ; B. 1m ¹ - ; C. 1m ¹ ± ; D. 0m ¹ . 
 Giải. Ta có: 
3 2
( ) 3 det 0 0
1 1
r A A m D= Û ¹ Û ¹ Þ . 
➢ Chương 1. Ma trận – Định thức
81
 VD 23. Cho 
1 3 4 2
2 5 1 4
3 8 5 6
A
æ ö- ÷ç ÷ç ÷ç ÷= -ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷- ÷çè ø
. Tìm ( )r A . 
 Giải. Biến đổi 2 2 1
3 3 1
2
3
1 3 4 2
0 1 7 0
0 1 7 0
d d d
d d d
A
® -
® -
æ ö- ÷ç ÷ç ÷ç ÷¾ ¾ ¾ ¾¾® -ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷- ÷çè ø
 3 3 2
1 3 4 2
0 1 7 0 ( ) 2
0 0 0 0
d d d
r A
® -
æ ö- ÷ç ÷ç ÷ç ÷¾ ¾ ¾ ¾® - Þ =ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷çè ø
. 
➢ Chương 1. Ma trận – Định thức
82
 VD 24. Cho 
2 1 1 3
0 1 0 0
0 1 2 0
0 1 1 4
A
æ ö- ÷ç ÷ç ÷ç ÷-ç ÷ç ÷= ç ÷ç ÷÷ç ÷ç ÷ç ÷- -çè ø
. Tìm ( )r A . 
 Giải. Biến đổi: 
2 1 1 3
0 1 0 0
0 0 2 0
0 0 1 4
A
æ ö- ÷ç ÷ç ÷ç ÷-ç ÷ç ÷® ç ÷ç ÷÷ç ÷ç ÷ç ÷-çè ø
2 1 1 3
0 1 0 0
.
0 0 2 0
0 0 0 8
æ ö- ÷ç ÷ç ÷ç ÷-ç ÷ç ÷® ç ÷ç ÷÷ç ÷ç ÷ç ÷-çè ø
 Vậy ( ) 4r A = . 
➢ Chương 1. Ma trận – Định thức
83
 VD 25. Giá trị của tham số m để ma trận 
1 1 3
2 2 0
2 1 3
m
A m
m
æ ö+ ÷ç ÷ç ÷ç ÷= +ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷çè ø
 có ( ) 2r A = là: 
A. 
2
1
m
m
é = -
ê
ê =êë
; B. 1m = ; C. 2m = - ; D. 
1
0
m
m
é = -
ê
ê =êë
. 
 Chú ý 
Ta có thể hoán vị cột của ma trận rồi đưa về bậc thang. 
 Giải. 1 3
3 1 1
0 2 2
3 1 2
c c
m
A m
m
«
æ ö+ ÷ç ÷ç ÷ç ÷¾ ¾ ¾® +ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷çè ø
➢ Chương 1. Ma trận – Định thức
84
 • 1 :m = 
3 1 2
0 3 2 ( ) 2
0 0 0
A r A
æ ö
÷ç ÷ç ÷ç ÷® Þ =ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷çè ø
. 
 3 3 1
3 1 1
0 2 2
0 0 1
d d d
m
A m
m
® -
æ ö+ ÷ç ÷ç ÷ç ÷¾ ¾ ¾ ¾® +ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷- ÷çè ø
. 
 • 2 :m = - 
3 1 1 3 1 1
0 0 2 0 0 2 ( ) 2
0 0 3 0 0 0
A r A
æ ö æ ö- -÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷® ® Þ =ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷- ÷ ÷ç çè ø è ø
. 
 Vậy, ta chọn A. 
➢ Chương 1. Ma trận – Định thức
85
 VD 26. Tùy theo giá trị m , tìm hạng của ma trận: 
1 2 1 1 1
1 1 1 1
1 0 1 1
1 2 2 1 1
m
A
m
æ ö- - ÷ç ÷ç ÷ç ÷- - -ç ÷ç ÷= ç ÷ç ÷÷ç ÷ç ÷ç ÷-çè ø
. 
 Giải. Biến đổi: 
 1 5
2 4
1 1 1 2 1
1 1 1 1
1 1 0 1
1 1 2 2 1
c c
c c
m
A
m
«
«
æ ö- - ÷ç ÷ç ÷ç ÷- - -ç ÷ç ÷¾ ¾ ¾® ç ÷ç ÷÷ç ÷ç ÷ç ÷-çè ø
➢ Chương 1. Ma trận – Định thức
86
 2 2 1
3 3 1
4 4 1
1 1 1 2 1
0 2 2 1 1
0 2 1 2 2
0 0 1 0 2
d d d
d d d
d d d
m
m
® +
® -
® -
æ ö- - ÷ç ÷ç ÷ç ÷- -ç ÷ç ÷¾ ¾ ¾ ¾® ç ÷ç ÷- - ÷ç ÷ç ÷ç ÷çè ø
 3 3 2
4 4 3
1 1 2 1
0 2 1 1
0 0 1 1
0 0 0
1
2
1
1 1
d d d
d d d
m
m m
m m
® +
® -
æ ö- - ÷ç ÷ç ÷ç ÷-ç ÷ç ÷¾ ¾ ¾ ¾® ç ÷ç ÷- + ÷ç ÷ç
-
- + - + ÷ç ÷çè ø
. 
 • 1 :m = ( ) 3r A = . 
 • 1 :m ¹ ( ) 4r A = . 
➢ Chương 1. Ma trận – Định thức
87