Bài giảng Toán cao cấp - Chương 0: Số phức

Chương 0 Số phức  --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
0.1 – Dạng đại số của số phức 
0.2 – Dạng lượng giác của số phức 
0.4 – Nâng số phức lên lũy thừa 
0.5 – Khai căn số phức 
0.6 – Định lý cơ bản của Đại số 
0.3 – Dạng mũ của số phức 
0.1 Dạng đại số của số phức  ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 Không tồn tại một số thực nào mà bình phương của nó là một số âm. Hay, không tồn tại số thực x sao cho x 2 = -1 . 
 Định nghĩa số i 
 Số i , được gọi là đơn vị ảo , là một số sao cho 	 i 2 = -1 
 Bình phương của một số ảo là một số âm. Ký tự i được chọn để ký hiệu một số mà bình phương của nó bằng –1 . 
 Ở thế kỷ thứ 17, người ta định nghĩa một số ảo. 
0.1 Dạng Đại số của số phức  ----------------------------------------------------------------- 
 Định nghĩa số phức 
Cho a và b là hai số thực và i là đơn vị ảo, khi đó z = a + bi được gọi là số phức. Số thực a được gọi là phần thực và số thực b được gọi là phần ảo của số phức z . 
 Tập số thực là tập hợp con của tập số phức, bởi vì nếu cho b = 0 , thì a + bi = a + 0i = a là một số phức. 
 Phần thực của số phức z = a + bi được ký hiệu là Re(z) . 
Phần ảo của số phức z = a + bi được ký hiệu là Im(z) . 
0.1 Dạng Đại số của số phức  ----------------------------------------------------------------- 
Tất cả các số có dạng 0 + bi, với b là một số thực khác không được gọi là số thuần ảo . Ví dụ: i, -2i, 3i là những số thuần ảo. 
Số phức ghi ở dạng z = a + bi được gọi là dạng đại số của số phức z . 
0.1 Dạng Đại số của số phức  ----------------------------------------------------------------- 
 Ví dụ 
 Cho z 1 = 2 + 3i; z 2 = m + 3i. 
 Tìm tất cả các số thực m để z 1 = z 2 . 
Hai số phức được gọi là bằng nhau nếu chúng có phần thực và phần ảo tương ứng bằng nhau. 
 Nói cách khác, hai số phức z 1 = a 1 + ib 1 và z 2 = a 2 +ib 2 bằng nhau khi và chỉ khi a 1 = a 2 và b 1 = b 2 . 
Định nghĩa sự bằng nhau 
 Giải 
0.1 Dạng Đại số của số phức  ----------------------------------------------------------------- 
 Định nghĩa phép cộng và phép trừ của hai số phức. 
Cho a + bi và c + di là hai số phức, khi đó 
 Phép cộng: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d) i 
 Phép trừ: (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d) i 
 Ví dụ 
Tìm phần thực và phần ảo của số phức 
 z = (3 + 5i) + (2 - 3i). 
Giải 
z = (3 + 5i) + (2 - 3i) 
= (3+2) + (5i – 3i) = 5 + 2i. 
0.1 Dạng Đại số của số phức  ----------------------------------------------------------------- 
 Định nghĩa phép nhân hai số phức. 
Cho z 1 = a + bi và z 2 = c + di là hai số phức, khi đó 
	 z 1 .z 2 = (a + bi) (c + di) = (ac – bd) + ( ad + bc)i 
 Ví dụ 
Tìm dạng đại số của số phức 
 	 z = (2 + 5i).(3+ 2i) 
Giải 
z = (2 + 5i)(3 + 2i) 
= 6 + 4i + 15i + 10 i 2 
Vậy dạng đại số của số phức là: z = -4 + 19i. 
= 2.3 + 2.2i + 3.5i + 5i.2i 
= 6 + 19i + 10(-1) 
= -4 + 19i 
0.1 Dạng Đại số của số phức  ----------------------------------------------------------------- 
 Cộng, trừ, nhân hai số phức: 
	 Khi cộng (trừ ) hai số phức, ta cộng (trừ ) phần thực và phần ảo tương ứng. 
	Nhân hai số phức, ta thực hiện giống như nhân hai biểu thức đại số với chú ý i 2 = −1 . 
0.1 Dạng Đại số của số phức  ----------------------------------------------------------------- 
Ví dụ . 
	Tìm số phức liên hợp của số phức z = ( 2 + 3i ) ( 4 - 2i ) . 
 Định nghĩa số phức liên hợp 
Số phức được gọi là số phức liên hợp của số phức z = a + bi . 
Giải . 
Vậy số phức liên hợp là 
 z = ( 2 + 3i ) ( 4 - 2i ) 
= 2.4 – 2.2i + 3i.4 – 3i.2i 
= 8 – 4i + 12i – 6i 2 
= 8 – 4i + 12i – 6(-1) 
= 14 + 8i. 
0.1 Dạng Đại số của số phức  ----------------------------------------------------------------- 
Cho z và w là hai số phức; và là hai số phức liên hợp tương ứng. Khi đó: 
1. là một số thực. 
2. là một số thực. 
3. khi và chỉ khi z là một số thực. 
4. 
5. 
6. 
7. với mọi số tự nhiên n 
 Tính chất của số phức liên hợp 
0.1 Dạng Đại số của số phức  ----------------------------------------------------------------- 
 Phép chia hai số phức. 
Muốn chia số phức z 1 cho z 2 , ta nhân tử và mẫu cho số phức liên hợp của mẫu. (Giả sử ) 
0.1 Dạng Đại số của số phức  ----------------------------------------------------------------- 
Ví dụ. 
 Thực hiện phép toán 
 Giải . 
Nhân tử và mẫu cho số phức liên hợp của mẫu là 5 + i. 
Viết ở dạng Đại số 
 Lưu ý : So sánh với số phức. 
 Trong trường số phức không có khái niệm so sánh. Nói một cách khác, không thể so sánh hai số phức z 1 = a 1 + ib 1 và z 2 = a 2 + ib 2 như trong trường số thực. Biểu thức z 1 < z 2 hoặc z 2 ≥ z 1 không có nghĩa trong trường số phức C ngoại trừ chúng ta định nghĩa khái niệm so sánh một cách khác. 
0.1 Dạng Đại số của số phức  ------------------------------------------------------------------ 
0.2 Dạng lượng giác của số phức  --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
r 
b 
a 
o 
x 
y 
trục thực 
 trục ảo 
0.2 Dạng lượng giác của số phức  --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Định nghĩa Môđun của số phức 
Môđun của số phức z = a + bi là một số thực dương được định nghĩa như sau: 
Ví dụ 
 Tìm môđun của số phức z = 3 - 4i. 
Giải 
Vậy mod( z ) = |z| = 
a = 3; b = -4 . 
0.2 Dạng lượng giác của số phức  --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Cho z = a + bi và w = c + di. 
Chú ý: 
Nếu coi số phức z = a + bi là một điểm có tọa độ (a, b), thì 
là khoảng cách từ điểm (a, b) đến gốc tọa độ. 
là khoảng cách giữa hai điểm (a, b) và (c,d). 
0.3 Dạng mũ của số phức  --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Ví dụ 
 Tìm tất cả các số phức z thỏa 
 Giải 
 đường tròn tâm (2,-3) bán kính bằng 5. 
0.2 Dạng lượng giác của số phức  ---------------------------------------------------------------------------- 
Định nghĩa argument của số phức 
Góc được gọi là argument của số phức z và được ký hiệu là 
Góc được giới hạn trong khoảng 
 Lưu ý. 
hoặc 
 Công thức tìm argument của số phức. 
hoặc 
0.2 Dạng lượng giác của số phức  --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Giải 
Ví dụ 
 Tìm argument của số phức 
 . Ta tìm góc thỏa: 
 Suy ra 
Vậy arg( z ) = 
0.2 Dạng lượng giác của số phức  --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Dạng lượng giác của số phức 
0.2 Dạng lượng giác của số phức  --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Giải 
Môđun: 
Ví dụ 
 Tìm dạng lượng giác của số phức 
 Suy ra 
Dạng lượng giác: 
Argument: 
0.2 Dạng lượng giác của số phức  ----------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Sự bằng nhau giữa hai số phức ở dạng lượng giác 
Phép nhân ở dạng lượng giác 
Nhân hai số phức ở dạng lượng giác: môđun nhân với nhau và argument cộng lại . 
0.2 Dạng lượng giác của số phức  --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Giải 
Dạng lượng giác: 
Ví dụ 
 Tìm dạng lượng giác, môđun và argument của số phức 
0.2 Dạng lượng giác của số phức  ----------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Phép chia hai số phức ở dạng lượng giác 
Chia hai số phức ở dạng lượng giác: môđun chia cho nhau và argument trừ ra . 
0.2 Dạng lượng giác của số phức  --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Giải 
Dạng lượng giác: 
Ví dụ 
 Tìm dạng lượng giác, môđun và argument của số phức 
0.3 Dạng mũ của số phức  --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Định lý Euler (1707-1783) 
Dạng đại số của số phức z 
Dạng lượng giác của số phức z 
Dạng mũ của số phức z 
0.3 Dạng mũ của số phức  --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Ví dụ 
 Tìm dạng mũ của số phức sau 
 Dạng lượng giác: 
 Dạng mũ: 
0.3 Dạng mũ của số phức  --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Ví dụ 
 Biểu diễn các số phức sau lên mặt phẳng phức 
 Môđun không thay đổi, suy ra tập hợp các điểm là đường tròn. 
0.3 Dạng mũ của số phức  --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Ví dụ 
 Biểu diễn các số phức sau lên mặt phẳng phức 
 Argument không thay đổi, suy ra tập hợp các điểm là nửa đường thẳng nằm trong góc phần tư thứ 2. 
0.4 Nâng số phức lên lũy thừa  ----------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Định nghĩa phép nâng số phức lên lũy thừa bậc n 
0.3 Nâng số phức lên lũy thừa  ----------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Ví dụ . Cho z = 2 + i. Tính z 5 .	 
0.3 Nâng số phức lên lũy thừa  -------------------------------------------------------------- 
 Lũy thừa bậc n của số phức i : 
 Lũy thừa bậc n của i 
Giả sử n là số tự nhiên, khi đó i n = i r , với r là phần dư của n chia cho 4. 
0.3 Dạng mũ của số phức  --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Ví dụ 
 Tính 
0.3 Nâng số phức lên lũy thừa  ----------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Cho z = 1 + i. 
Tìm z 3 ; 
Tìm z 100 . 
 Ví dụ 
Công thức De Moivre 
Cho r > 0, cho n là số tự nhiên. Khi đó 
0.3 Nâng số phức lên lũy thừa  ----------------------------------------------------------------------------------------------------- 
0.3 Nâng số phức lên lũy thừa  ----------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Ví dụ . Sử dụng công thức de Moivre’s, tính: 
a) (1 + i) 25 
b) 
c) 
Giải . 
Bước 1 . Viết 1 + i ở dạng lượng giác 
Bước 2 . Sử dụng công thức de Moivre’s: 
Bước 3 . Đơn giản 
0.4 Khai căn số phức  ----------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Định nghĩa căn bậc n của số phức 
Căn bậc n của số phức z là số phức w, sao cho w n = z , trong đó n là số tự nhiên. 
với k = 0, 1, 2, , n – 1. 
Căn bậc n của số phức z có đúng n nghiệm phân biệt . 
0.4 Khai căn số phức  ----------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Ví dụ. Tìm căn bậc n của các số phức sau. Biểu diển các nghiệm lên trên mặt phẳng phức. 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
Giải câu a) 
b) Viết số phức ở dạng lượng giác: 
Sử dụng công thức: 
0.4 Khai căn số phức  ----------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Giải câu b) 
b) Viết số phức ở dạng lượng giác: 
Sử dụng công thức: 
0.5 Định lý cơ bản của Đại số  --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 Nhà bác học người Đức Carl Friedrich Gauss (1777-1855) chứng minh rằng mọi đa thức có ít nhất một nghiệm. 
Số nghiệm của một đa thức 
Đa thức P(z) bậc n có đúng n nghiệm kể cả nghiệm bội. 
0.5 Định lý cơ bản của Đại số  --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 Định lý cơ bản của Đại số cho biết được số nghiệm của phương trình mà không chỉ cách tìm các nghiệm đó như thế nào. 
Hệ quả 
Nếu a + bi là một nghiệm phức của đa thức P(z) với hệ số thực , thì a – bi cũng là một nghiệm phức. 
 Nếu đa thức với hệ số thực , chúng ta có một hệ quả rất quan trọng sau đây 
0.5 Định lý cơ bản của Đại số  --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
(sử dụng hệ quả của định lý cơ bản) 
1) Tìm đa thức bậc 3 với hệ số thực nhận z 1 = 3i và z 2 = 2+i 
Ví dụ 
làm nghiệm. 
2) Tìm đa thức bậc 4 với hệ số thực nhận z 1 = 3i và z 2 = 2+i 
làm nghiệm. 
1) Không tồn tại đa thức thỏa yêu cầu bài toán. 
2) Đa thức cần tìm là: 
0.5 Định lý cơ bản của Đại số  --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 Giải . Bởi vì đa thức với hệ số thực và 2 + i là một nghiệm, theo hệ quả ta có 2 –i là một nghiệm. 
	P(z) có thể phân tích thành (z – (2 + i))(z - (2 – i)) = 
	 = z 2 – 4z + 5 
 	 P(z) có thể ghi ở dạng 
	 P(z) = ( z 2 – 4z + 5)(z 2 + 9) 
	z 2 + 9 có hai nghiệm 3i và –3i . Vậy ta tìm được cả 4 nghiệm của P(z) là 2 + i, 2 – i, 3i, -3i. 
(sử dụng hệ quả của định lý cơ bản) 
Tìm tất cả các nghiệm của biết 2 + i là một nghiệm. 
Ví dụ 
0.5 Định lý cơ bản của Đại số  --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Giải phương trình sau trong C. 
Ví dụ 
0.5 Định lý cơ bản của Đại số  --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Ví dụ . Giải các phương trình sau trong C. 
a) 
d) 
c) 
b) 
Giải . Giải phương trình 
Bước 1 . Tính 
Bước 2 . Tìm 
Bước 3 . 
Kết luận --------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
2. Dạng Lượng giác của số phức 
3. Nâng lên lũy thừa 
4. Căn bậc n của số phức 
1. Dạng Đại số của số phức