Bài giảng Toán cao cấp cho các nhà kinh tế 2 - Bài 7: Tích phân xác định - Đoàn Trọng Tuyến

v1.0014105206 1
BÀI 7
TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
ThS. Đoàn Trọng Tuyến
Trường Đại học Kinh tế Quốc dân
v1.0014105206 2
TÌNH HUỐNG KHỞI ĐỘNG
• Giả sử một cái hồ nước có hình dạng một tam giác cong như sau:
• Trong đó điểm B có hoành độ x = 20 (m), cạnh cong OA có phương trình y = x2.
Hãy tính diện tích của cái hồ hình tam giác cong này.
y
x0
A
B
y 
=
 x
2
4
v1.0014105206 3
MỤC TIÊU
• Nắm được định nghĩa tích phân xác định qua công thức Newton – Leibnitz;
• Nắm được ý nghĩa hình học của tích phân xác định;
• Đổi biến thành thạo các dạng tích phân cơ bản, đặc biệt là tích phân các
hàm chứa căn;
• Sử dụng tốt phương pháp tích phân từng phần.
v1.0014105206 4
NỘI DUNG
Khái niệm tích phân xác định và ý nghĩa hình học
Các tính chất cơ bản của tích phân xác định
Phương pháp đổi biến số
Phương pháp tích phân từng phần
v1.0014105206 5
1.2. Ý nghĩa hình học của tích phân xác định
1. KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH VÀ Ý NGHĨA HÌNH HỌC
1.1. Tích phân xác định của hàm số liên tục
v1.0014105206 6
1.1. TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH CỦA HÀM SỐ LIÊN TỤC
• Định nghĩa: Cho f(x) là hàm số xác định và liên tục trên một khoảng X, a, b là hai số
thực bất kỳ thuộc khoảng X. Tích phân xác định từ a đến b của hàm số f(x) là hiệu số:
F(b) – F(a)
với F(x) là một nguyên hàm bất kỳ của f(x).
• Ký hiệu:
• Công thức trên được gọi là công thức Newton – Leibnitz.
b b
a
a
f(x).dx F(b) F(a) F(x) 
Chú ý: Định nghĩa nêu trên chỉ áp dụng cho hàm liên tục
v1.0014105206 7
1.1. TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH CỦA HÀM SỐ LIÊN TỤC
Ví dụ:
222
1
1 1
66
2
0 0
2
2
3
1 1
x 3I x.dx
2 2
cos2x 1I sin2x.dx
2 4
dx 1 ln3I .ln 2x 1
2x 1 2 2
v1.0014105206 8
1.2. Ý NGHĨA HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 
• Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục và không âm trên [a, b].
• Khi đó tích phân xác định của f(x) trên [a, b] là diện tích của hình thang cong AabB
giới hạn bởi đồ thị hàm số f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b.
y =
 f(x
)
a b x
A
B
y
 b
a
S f(x).dx
v1.0014105206 9
2. CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
Với giả thiết các tích phân tồn tại, ta có:
6) Nếu f(x) liên tục trên [a;b] thì tồn tại ít nhất một điểm  (a; b) sao cho:
c b b
a c a
2) f(x)dx f(x)dx f(x)dx 
b b b
a a a
3) f(x) g(x) dx f(x)dx g(x)dx 
b b
a a
4) k.f(x)dx k. f(x)dx, k  
b b
a a
5) f(x) g(x), x [a;b] f(x)dx g(x)dx  
b
a
f(x)dx f( ).(b a)  
a a b
a b a
1) f(x)dx 0; f(x)dx f(x)dx 
v1.0014105206 10
3. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ
Xét tích phân:
Đặt x = (t) với t [ ; ] thỏa mãn các điều kiện:
 (t) xác định, liên tục và có các đạo hàm liên tục trên [ ; ]
 ( ) = a; () = b.
Khi đó:
 b
a
I f(x)dx f (t) . '(t)dt f(t)dt
 
b
a
I f(x)dx 
v1.0014105206 11
VÍ DỤ 1
Tính tích phân
• Đặt
• Ta có
• Đổi cận theo t: x = 1 ↔ t = 2; x = 2 ↔ t = 3
• Theo công thức đổi biến ta có:
2
1
1
dx
I
1 5x 1
 t 5x 1
2t 1 2t
x , dx dt
5 5
 3 3 31
2 2 2
3
2
2t.dt 2 t.dt 2 1
I 1 .dt
5 1 t 5 1 t 5 1 t
2 2 4
t ln 1 t 1 ln
5 5 3
v1.0014105206 12
VÍ DỤ 2
Tính tích phân
• Đặt: x = sin t
• Ta có: dx = cos t. dt
• Đổi cận theo t:
• Theo công thức đổi biến ta có:
1
2
2
2
0
I 1 x .dx 
1x 0 t 0; x t
42
4 4 4
2 2
2
0 0 0
44
0
0
I 1 sin t.cos t.dt cos t.cos t.dt cos t.dt
1 1 sin2t 11 cos2t .dt t
2 2 2 8
v1.0014105206 13
4. PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
Công thức tích phân từng phần trong tích phân xác định có dạng
trong đó u = u(x) và v = v(x) là các hàm số có đạo hàm liên tục trên [a;b].
b bb
a
a a
udv uv vdu 
v1.0014105206 14
VÍ DỤ 1
Tính tích phân
Ta đặt:
Theo phương pháp tích phân từng phần ta có:
1
3x
1
0
I x.e .dx 
3x
3x 3x
du dxu x
edv e .dx v e .dx
3
1 1 13x 3x 3x 31
3x
1
00 0 0
e 1 e e 1 2eI x. e .dx x.
3 3 3 9 9
v1.0014105206 15
VÍ DỤ 2
Tính tích phân
Ta đặt:
Theo phương pháp tích phân từng phần ta có:
2
0
xI x.sin .dx
3
u x du dx
x x xdv sin .dx v sin .dx 3cos
3 3 3
2
00 0 0
x x x xI 3xcos 3 cos .dx 3xcos 9sin
3 3 3 3
9 3 3
2
v1.0014105206 16
GIẢI QUYẾT TÌNH HUỐNG
Theo ý nghĩa hình học của tích phân xác định, diện tích của tam giác cong OAB là
20320
2
0 0
x 8000S x .dx 2666,67
3 3
 (m2)
v1.0014105206 17
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 1
Giá trị của là:
A. 9/2
B. 4/3
C. 3/2
D. 5/2
Trả lời:
• Đáp án đúng là: A. 9/2
• Vì: Sử dụng công thức Newton – Leibnitz ta có:
→ Chọn đáp án A
8
3
1
dx
x
8 8
1 28 8
233 3
3
1 1 1 1
dx 3 3 3 9x dx x x (4 1)
2 2 2 2x
v1.0014105206 18
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 2
Giá trị của tích phân là:
Trả lời:
Đáp án đúng là: D.
1
x 2
0
(x 3e ) dx 
2
2
2 2
2
7 9 12A.
6 2e e
7 5 1B.
9 3e e
5 4 3C.
e 3e 4
7 9 12D.
6 2e e
2
7 9 12
6 2e e
v1.0014105206 19
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 2
Vì:
• Khai triển tích phân
• Lại có:
• (Sử dụng tích phân từng phần)
• Tích phân có giá trị là:
1 1
x 2 2 x 2x
0 0
(x 3e ) dx (x 6xe 9e )dx 
131
2
0 0
1 12x 2x 2 2
0
0
x 1x dx
3 3
9 9 99e dx e (e 1) (1 e )
2 2 2
2
7 9 12
6 2e e
1
x 1
0
6xe dx 6[1 2e ] 
v1.0014105206 20
CÂU HỎI TỰ LUẬN
Tính tích phân xác định:
Giải:
Đặt
2
3
1
x 3I dx
1 x 1
3 23
3 5 21 1
2
0 0
1 1
4 3 2
0 0
15 4 3 2
1
0
0
t x 1 x t 1 dx 3t dt
t 4 t 4tI .3t dt 3 dt
1 t t 1
dt3 [t t t 3t 3]dt 9
t 1
t t t 3t3 3t 9ln t 1
5 4 3 2
73 9ln2
20
x 1 2
t 0 1
v1.0014105206 21
TÓM LƯỢC CUỐI BÀI
• Tích phân xác định với F(X) là một nguyên hàm của f(x).
• Các tính chất của tích phân xác định giống như tích phân bất định.
• Khi sử dụng phương pháp đổi biến, đổi biến phải kèm theo đổi cận tính tích phân.
• Công thức tích phân từng phần:
• Các dạng tích được bằng tích phân từng phần:
b b
a
a
f(x)dx F(x) F(b) F(a) 
b bb
a
a a
udv uv vdu 
b b
x
a a
b b
n
a a
P(x)e dx P(x)cosax dx
P(x)sinax dx x ln (kx)dx