Bài giảng Tín hiệu và dùng chuỗi - Chương 7: Đáp ứng tần số và mạch lọc tương tự

CHƢƠNG 3: 
ĐÁP ỨNG TẦN SỐ VÀ MẠCH LỌC TƢƠNG TỰ 
Nội dung 
7.1 Đáp ứng tần số của hệ LT- TT- BB (LTIC) 
7.2 Giản đồ Bode 
7.3 Thiết kế hệ thống điều khiển dùng đáp ứng tần số 
7.4 Thiết kế mạch lọc dùng vị trí điểm cực và điểm zêrô của hàm H(s) 
7.5 Mạch lọc Butterworth 
7.6 Mạch lọc Chebyshev 
7.7 Biến đổi tần số 
7.8 Mạch lọc thỏa điều kiện truyền không méo 
7.9 Tóm tắt 
Tài liệu tham khảo: 
B.P. Lathi, Signal Processing and Linear Systems, Berkeley-Cambridge Press, 1998 
 Lọc là lĩnh vực quan trọng trong xử lý tín hiệu. Chương 4 đã trình bày ý niệm lọc 
lý tưởng. Trong chương này, ta thảo luận về các đặc tính và cách thiết kế mạch lọc thực 
tế. Các đặc tính lọc của bộ lọc được đặc trưng bởi đáp ứng với sóng sin với các tần số từ 
0 đến . Đặc tính này gọi là đáp ứng tần số của bộ lọc. Hảy bắt đầu với việc xác định đáp 
ứng tần số của hệ LT – TT – BB. 
 Nhắc lại là với )(th , ta dùng ý niệm )(H cho biến đổi Fourier và )(sH cho biến 
đổi Laplace. Đồng thời, khi hệ thống là nhân quả và ổn định tiệm cận, tất cả các cực của 
)(sH đều nằm bên trái mặt phẳng phức. Do đó, vùng hội tụ của )(sH bao gồm trục j, 
và ta có được biến đổi Fourier )(H bằng cách thay s = j vào biến đổi Laplace )(sH 
tương ứng. Do đó, )( jH và )(H biểu diễn cùng đặc tính khi hệ thống ổn định tiệm 
cận. Trong chương này, ta sẽ tìm được lý do thuận tiện khi dùng ý niệm )( jH thay cho 
)(H . 
7.1 Đáp ứng tần số của hệ LT – TT – BB 
Phần này tìm đáp ứng của hệ thống với ngõ vào sin. Phần 2.4-3 cho thấy đáp ứng 
của hệ LT – TT – BB với ngõ vào là hàm mủ không dừng stetf )( là hàm mủ không 
dừng stesH )( . Như thế, cặp vào – ra của hệ thống là 
 stst esHe )( (7.1) 
Đặt js vào hệ thức trên, ta có: 
 tjtj esHe  )( (7.2a) 
 tjtj ejHe   )( (7.2b) 
 Cộng hai hệ thức trên, có: 
 ])(Re[2)()(cos2 tjtjtj ejHejHejHt   (7.3) 
Viết )( jH theo dạng cực 
 )()()(  jHjejHjH  (7.4) 
Thì quan hệ (7.3) thành 
   )](cos)(cos  jHtjHt  
Nói khác đi, đáp ứng )(ty của hệ thống với ngõ vào cost là 
 )](cos[)()(  jHtjHty  (7.5a) 
Tương tự, đáp ứng với tín hiệu )cos(  t là 
 )](cos[)()(  jHtjHty  (7.5b) 
Kết quả này có được khi cho js , chỉ đúng khi hệ thống ổn định tiệm cận do quan hệ 
(7.1) chỉ đúng khi các giá trị s nằm trong vùng hội tụ của )(sH . Trường hợp hệ thống 
không ổn định hay ở biên ổn định, vùng này không bao gồm trục ảo js . 
 Phương trình (7.5) cho thấy khi ngõ vào có tần số theo radian , thì đáp ứng cũng 
là sin với cùng tần số . Ngõ ra có biên độ dạng sin là )( jH nhân với biên độ ngõ 
vào, và có góc pha là góc pha tín hiệu vào dời đi góc )( jH (xem hình 7.1) Thí dụ, hệ 
thống có 3)10( jH và 030)10(  jH , thì hệ thống đã khuếch đại sóng sin có tần số 
10  theo tỉ lệ 3 và làm trễ góc pha đi 030 . Đáp ứng với tín hiệu vào )5010cos(5 0 t là 
)2010cos(15)305010cos(53 000 ttx . 
 Rõ ràng thì )( jH là độ lợi hệ thống, và đồ thị )( jH theo  là hàm của độ lợi 
hệ thống theo tần số . Hàm này còn gọi là đáp ứng biên độ. Tương tự, )( jH là đáp 
ứng pha và đồ thị của của )( jH theo  là cho thấy phương thức hệ thống thay đổi 
pha của tín hiệu vào. Hai đồ thị trên, là hàm theo , còn gọi là đáp ứng tần số của hệ 
thống. Ta thấy )( jH có chứa thông tin của )( jH và )( jH . Do đó, )( jH còn 
được gọi là đáp ứng tần số của hệ thống. Đáp ứng tần số cho thấy phương thức hệ 
thống đáp ứng với các sóng sin với nhiều tần số khác nhau. Như thế, đáp ứng tần số biểu 
diễn đặc tính lọc của hệ thống. 
■ Thí dụ 7.1: 
 Tìm đáp ứng tần số (đáp ứng biên độ và đáp ứng pha) của hệ thống có hàm truyền 
5
1,0
)(
s
s
sH 
Đồng thời, tìm đáp ứng hệ thống )(ty khi ngõ vào là (a) cos 2t (b) cos (10t – 500). 
 Trong trường hợp này 
5
1,0
)(



j
j
jH 
Viết theo dạng cực 
25
01.0
)(
2
2


jH và 
  
5
tan
1,0
tan)( 11

jH 
Các đáp ứng biên độ và pha theo  được vẽ trong hình 7.1a. Các đồ thị này cung cấp đầy 
đủ thông tin và đáp ứng tần số của hệ thống với các ngõ vào sin. 
(a) Khi tín hiệu vào 2,2cos)( ttf và 
 372,0
25)2(
01,0)2(
)2(
2
2
 jH 
 00011 3,658,211,87
5
2
tan
1,0
2
tan)2( 
  jH 
 Ta cũng tìm trực tiếp được đáp ứng tần số trong hình 7.1a tương ứng với  = 2. 
Kết quả này có nghĩa là khi ngõ vào sin có tần số  = 2, thì độ lợi biên độ của hệ 
thống là 0,372 và góc dịch pha là 65,30. Nói cách khác, biên độ ra là 0,372 lần biên độ 
vào, và góc pha của ngõ ra là dịch pha của tín hiệu vào với 65,30. Như thế, đáp ứng 
của hệ thống với ngõ vào cos 2t là 
 )3,652cos(372,0)( 0 tty 
 Các ngõ ra và ngõ vào tương ứng được vẽ trong hình 7.1b. 
(b) Khi tín hiệu vào là cos (10t – 500), thay vì tính các giá trị )( jH và )( jH 
như trong phần (a), ta đọc trực tiếp từ đồ thị của đáp ứng tần số vẽ trong hình 
7.1a khi  = 10. Các giá trị này là: 
 894,0)10( jH và 026)10(  jH 
 Như vậy, khi tín hiệu sin với tần số  = 10, biên độ tín hiệu sin ngõ ra là 0,894 lần 
biên độ tín hiệu vào và góc pha tín hiệu ra dời so với góc pha tín hiệu vào là 260. Như 
vậy, đáp ứng ngõ ra với tín hiệu vào cos (10t – 500) là 
 )2410cos(894,0)265010cos(894,0)( 000 ttty 
Trường hợp tín hiệu vào là sin (10t – 500), 
 đáp ứng ra sẽ là 0,894sin (10t – 500+ 260 ) = 0,894sin (10t –240 ). 
` Đáp ứng tần số trong hình 7.1a cho thấy hệ thống là mạch lọc có đặc tính thông 
cao, đáp ứng tốt với tín hiệu sin tần số cao ( lớn hơn 5) và triệt các tín hiệu tần số thấp 
hơn ( thấp hơn 5). ■ 
 Thí dụ C7.1 dùng máy tính 
Vẽ đáp ứng tần số của hàm truyền 
23
5
)(
2 
ss
s
sH 
num=[1 5]; 
den=[1 3 2]; 
w=.1:.01:100; 
axis([log10(.1)log10(100) -50 50]) 
[mag, phase, w]=bode(num, den, w); 
subplot(211), semilogx(w,20*log10(mag)) 
subplot(211),semilogx(w,phase)  
■ Thí dụ 7.2: 
 Tìm và vẽ đáp ứng tần số (đáp ứng biên độ và đáp ứng pha) của 
(a) khâu trễ lý tưởng T giây 
(b) khâu vi phân lý tưởng 
(c) khâu tích phân lý tưởng 
(a) Khâu trễ lý tƣởng T giây. Hàm truyền khâu trễ lý tưởng là (phương trình 6-54) 
 TjsT ejHesH  )()( nên 
 TjHjH   )(1)( (7.6) 
Đáp ứng biên độ và đáp ứng pha vẽ trong hình 7.2a. Đáp ứng biên độ là hằng 
(đơn vị) với mọi tần số. Góc dịch pha tăng tuyến tính theo tần số với độ dốc – T . Kết quả 
này có thể được giải thích qua ghi nhận là nếu tín hiệu cost qua khâu trễ lý tưởng T 
giây, thì ngõ ra là cos(t – T). Biên độ ngõ ra giống với biên độ ngõ vào với mọi giá trị 
của . Do đó, biên độ đáp ứng ra (độ lợi) là đơn vị với mọi tần số. Hơn nữa, ngõ ra 
)cos()(cos TtTt  có độ dịch pha – T so với ngõ vào cost. Do đó, đáp ứng 
pha tỉ lệ tuyến tính với tần số , và độ dốc – T 
(b) Khâu vi phân lý tƣởng: có hàm truyền (xem phương trình (6.55) 
 2/)()(  jejjHssH , do đó 
 2/)()(   jHjH (7.7) 
Đáp ứng biên độ và đáp ứng pha vẽ trong hình 7.2b. Đáp ứng biên độ tăng tuyến 
tính theo tần số, và đáp ứng pha là hằng ( /2) với mọi tần số. Kết quả này được giải thích 
từ nhận xét là nếu tín hiệu cost qua bộ vi phân lý tưởng, thí ngõ ra là 
 2/cossin  tt . Do đó, biên độ sóng ra là  lần biên độ tín hiệu vào, tức là 
biên độ đáp ứng (độ lợi) tăng tuyến tính theo tần số . Hơn nữa, sóng ra có dịch pha /2 
so với sóng vào cost. Do đó, đáp ứng pha là hằng ( /2) với tần số. 
Bộ vi phân lý tưởng, có biên độ đáp ứng (độ lợi) tỉ lệ với tần số [  )( jH ], 
nên các thành phần tần số cao được tăng cường (hình 7.2b). Mọi tín hiệu thực tế đều bị 
nhiễm nhiễu, là tín hiệu có bản chất có băng thông rộng, nên tín hiệu có các thành phần 
có tần số rất cao. Mạch vi phân có thể làm tăng phi tuyến biên độ nhiễu so với tín hiệu có 
ích, nên trong thực tế không dùng được bộ vi phân lý tưởng. 
(c) Bộ tích phân lý tƣởng: có hàm truyền là (phương trình (6.56)) 
 2/
11
)(
1
)( 

 je
j
j
jH
s
sH 
 , do đó 
2
)(
1
)(


  jHjH 
Đáp ứng biên độ và đáp ứng pha vẽ ở hình 7.2c. Đáp ứng biên độ tăng tỉ lệ nghịch 
với tần số, còn độ dịch pha là hằng (– /2) theo tần số. 
 Kết quả này có thể giải thích với nhận xét là khi tín hiệu cost qua khâu tích phân 
lý tưởng, ngõ ra là 
2
cos
1
sin
1 




tt . Do đó, đáp ứng biên độ tăng tỉ lệ nghịch 
với , và đáp ứng pha là hằng số (– /2) theo tần số. 
 Do có độ lợi là 1/, bộ tích phân lý tưởng triệt các thành phần tần số cao nhưng 
lại tăng cường các thành phần tần số thấp có  < 1. Do đó, các tín hiệu nhiễu (nếu không 
chứa các thành phần tần số rất thấp) sẽ bị bộ tích phân loại bỏ. ■ 
 Bài tập E 7.1 
Tìm đáp ứng tần số của hệ LT – TT – BB đặc trưng bởi 
 )(5)(23
2
2
tf
dt
df
ty
dt
dy
dt
yd
khi ngõ vào là sóng )353sin(20 0 t 
Đáp số )91,613sin(23,10 0 t .  
7.1-1 Đáp ứng xác lập với ngõ vào là tín hiệu sin nhân quả 
Từ trước, ta chỉ mới bàn về đáp ứng của hệ thống LT – TT – BB với ngõ vào sin 
không dừng (bắt đầu từ t ). Trong thực tế, ta cần quan tâm đến các ngõ vào là sóng 
sin nhân quả (sóng sin bắt đầu từ 0 t ). Xét ngõ vào )(tue tj , bắt đầu từ 0 t , thay vì 
 t . Trường hợp này )/(1)( jssF . Hơn nữa, phương trình (6.51) cho 
)(/)()( sQsPsH trong đó )(sQ là đa thức đặc tính cho bởi 
)())(()( 21 nssssQ   . Do đó 
))(())((
)(
)()()(
21  jssss
sP
sHsFsY
n 

 Khai triển đa thức cho vế phải, gọi các hệ số tương ứng với n thừa số 
)())(( 21 nsss   là 1k , 2k , . . ., nk . Hệ số tương ứng thừa số cuối )( js là 
)()(/)( 

jHsQsP
js
. Do đó, 
 
n
i i
i
js
jH
s
k
sY
1
)(
)(



, 
 Và )()()()(
1
tuejHtuekty tj
n
i
t
i
i   
 (7.9) 
 = thành phần quá độ )(tytr + thành phần xác lập )(tyss 
Đối với hệ ổn định tiệm cận, các thừa số chế độ tie giảm theo thời gian, do đó, gồm 
thành phần thường được gọi là thành phần quá độ. Thừa số cuối tjejH )( tồn tại mãi 
mãi, còn được gọi là thành phần xác lập của đáp ứng, được cho bởi: 
 )()()( tuejHty tjss
 
 Từ phương pháp tìm phương trình (7.5a), ta thấy khi hệ có ngõ vào sin nhân quả 
tcos , đáp ứng xác lập được cho bởi: 
 )()](cos[)()( tujHtjHtyss   (7.10) 
Tóm lại, )()](cos[)( tujHtjH   là đáp ứng tổng với ngõ vào là sóng sin không 
dừng tcos , và còn được gọi là đáp ứng xác lập với cùng ngõ vào tại 0 t . 
7.2 Giản đồ Bode 
Giúp vẽ đáp ứng tần số dễ dàng hơn khi dùng tỉ lệ logarithm. Đồ thị đáp ứng biên 
độ và pha là hàm theo  theo trục logarithm được gọi là giản đồ Bode. Từ tính tiệm cận 
của đáp ứng biên độ và pha, ta vẽ được các giản đồ này dễ dàng hơn, hay cả với hàm 
truyền bậc cao. 
Xét hệ thống có hàm truyền 
))((
))((
)(
32
2
1
21
bsbsbss
asasK
sH
 (7.11a) 
Trong đó thừa số bậc hai )( 32
2 bsbs được giả sử là nghiệm phức liên hợp. Sắp xếp lại 
(7.11a) theo dạng: 
11
11
)(
3
2
3
2
1
21
31
21
s
b
b
b
s
b
s
s
a
s
a
s
bb
aaK
sH (7.11b) 
3
2
3
2
1
21
31
21
)(
11
11
)(
b
j
b
jb
b
j
j
a
j
a
j
bb
aaK
jH



 (7.11b) 
Phương trình cho thấy là )( jH là hàm phức theo . Đáp ứng biên độ )( jH và đáp 
ứng pha )( jH là: 
3
2
3
2
1
21
31
21
)(
11
11
)(
b
j
b
jb
b
j
j
a
j
a
j
bb
aaK
jH




 (7.12a) 
Và 
  
   
  
  
3
2
3
2
121
)(
1111)(
b
j
b
jb
b
j
j
a
j
a
j
jH



 (7.12b) 
 Phương trình (7.12b) cho thấy hàm pha gồm chỉ tổng của 3 dạng thừa số: (i) góc 
pha của j, lệch pha 900 với mọi giá trị của . (ii) pha của thừa số bậc một 
a
j
 1 , và 
(iii) pha của các thừa số bậc hai. 
3
2
3
2 )(1
b
j
b
jb 
 Ta có thể vẽ đồ thị ba hàm pha cơ bản của  trong tầm từ 0 đến , rồi dùng các đồ 
thị, ta dựng được hàm pha của bất kỳ hàm truyền nào từ phép cộng các đáp ứng cơ bản. 
Chú ý là nếu thừa số nằm ở tử số, thì góc pha mang dấu cộng, còn khi nằm ở mẫu số thì 
góc pha mang dấu trừ. Điều này cho phép vẽ dễ dàng hàm pha )( jH theo . Phép 
tính )( jH bao gồm các phép tính nhân và chia nhiều thừa số khác nhau. Khi chuyển 
việc vẽ )( jH sang vẽ log )( jH , ta chuyển được các phép nhân, chia thành các phép 
tính cộng và trừ. 
 Có thể vẽ theo trục logarithm với đơn vị là decibel (dB), thí dụ giá trị log của biên 
độ là )(log20 10 jH (dB). Các đồ thị (log biên độ và pha) dựng theo phương pháp gọi là 
giản đồ Bode. Hàm truyền trong phương trình (7.12a) là biên độ theo log là: 
 

 j
a
j
a
j
bb
aaK
jH log201log201log20log20)(log20
2131
21 
3
2
3
2
1
)(
1log201log20
b
j
b
jb
b
j 
 (7.13) 
Thừa số )/log(20 3121 bbaKa là hằng số. Ta thấy biên độ log là tổng của bốn dạng thừa số 
cơ bản là (i) hằng số, (ii) cực hay zêrô ở gốc ( jlog20 ), (iii) cực hay zêrô bậc một 
 ]/1log[20 aj , và (iv) cực hay zêrô ở dạng phức ]/)(/1log[20 3232 bjbbj  . 
Ta vẽ được bốn dạng cơ bản này theo  rồi dùng chúng để dựng đồ thị biên độ log của 
hàm truyền bất kỳ. Hảy thảo luận với từng thừa số: 
1. Hằng số 3121 / bbaka 
 Biên độ log của thừa số này cũng là hằng số, )/log(20 3121 bbaKa . Góc pha trong 
trường hợp này là zêrô 
2. Cực (hay zêrô) ở gốc 
Biên độ theo log 
 Cực dạng này tăng theo thừa số jlog20 , có thể viết thành 
  log20log20 j 
Hàm này được vẽ theo . Tuy nhiên, có thể đơn giản hơn khi dùng tỉ lệ log cho biến . 
Định nghĩa biến mới u theo 
 log u (7.14) 
Vậy u20log20  (7.15a) 
Hàm biên độ log u20 được vẽ theo u trong hình 7.3a. Đây là đường thẳng có độ dốc 
20 và qua trục u tại u = 0. Tỉ lệ của  (u = log) cũng xuất hiện trong hình 7.3a. Đồ thị 
dạng semilog được dùng để vẽ, nên ta có thể vẽ trực tiếp  trên giấy semilog. Tỉ lệ 10 
được gọi là decade và tỉ lệ 2 gọi là octave. Ta thấy là tỉ lệ 2 (octave) theo tỉ lệ  là bằng 
0,3010 (là 2log10 ) theo tỉ lệ của u. 
Chú ý là khi u tăng đồng đều, tương đương với tăng đồng đều tỉ lệ . Do đó, một đơn vị 
theo trục u tương đương với một decade trong tỉ lệ . Tức là đồ thị biên độ có độ dốc 
decadedB /20 hay octavedB /02,6)3010,0(20 (thường gọi là 6dB/octave). Tuy 
nhiên, đồ thị biên độ qua trục  tại  = 1, do 0log10 u khi  = 1. 
 Trường hợp zêrô tại gốc, thừa số biên độ - log là 20log. Đây là đường thẳng qua 
1  và có độ dốc là 20dB/decade (hay 6dB/octave). Đường thẳng này là ảnh phản 
chiếu qua trục  của đồ thị cực qua gốc vẽ đường gián đoạn trong hình 7.3a. 
Pha 
 Hàm pha tương ứng với cực tại gốc là j (xem phương trình 7.12b). Do đó: 
 090)(    jjH (7.15b) 
Pha là hằng số (- 900) với mọi , vẽ trong hình 7.3b. Khi zêrô ở gốc, góc pha là 
090  j . Đây là ảnh phản chiếu của giản đồ pha khi có cực ở gốc và vẽ thành đườn 
gián đoạn trong hình 7.3b. 
3. Cực (hay zêrô) bậc một 
Biên độ log 
 Biên độ log do có cực bậc một tại – a là 
a
j
 1log20 . Ta hảy tìm hiểu về tác 
động tiệm cận của hàm này với các giá trị cực trị của  (>a). 
(a) Khi <<a. 
 01log201log20 
a
j
 (7.16) 
 Do đó, hàm biên độ log tiệm cận 0 khi <<a (hình 7.4a) 
(b) Với >>a, ta có 
aa
j 
log201log20 (7.17a) 
 alog20log20  (7.17b) 
 au log2020 
 Đây là đường thẳng (khi vẽ theo u, là log của ) với độ dốc là decadedB /20 
(hay octavedB /6 ). Khi a  , biên độ log là zêrô (phương trình 7.17b). Do đó, đường 
thẳng đi qua trục  tại a  , vẽ t ... nh 7.32b, trong đó s là trị bé nhất của 
2
121
112
)(
spp
spp


 hay 
122
212
2
)(
pps
spp


 (7. 60) 
Hàm truyền mạch triệt dải cần có để thỏa các đặc tính trong hình 7.32a có được từ Hp(s) 
bằng cách thay s bằng T(s), trong đó 
21
12
2
)(
)(
pp
pp
s
s
sT


 (7.61) 
■ Thí dụ 7.10 
 Thiết kế mạch lọc triệt dải Butterworth có đặc tính đáp ứng tần số vẽ trong hình 
7.33a với với 60
1
 p , 2602 p , 1001 s , 1502 s , )20(1,0 dBGs , và 
)2,2(776,0 dBGp . 
Trong bước đầu, ta xác định hàm truyền của bộ lọc thông thấp nguyên mẫu Hp(s). Trong 
bước thứ hai, ta dùng biến đổi từ thông thấp sang triệt dải trong phương trình (7.61) để 
có hàm truyền triệt dải cần có H(s). 
Bƣớc 1: Tìm Hp(s), hàm truyền bộ lọc thông thấp nguyên mẫu 
 Mục tiêu này được thực hiện trong 5 bước con dùng thiết kế mạch lọc thông thấp 
Butterworth (xem thí dụ 7.6) 
 Bƣớc 1.1: Tìm s của bộ lọc nguyên mẫu 
 Trong hàm truyền của mạch lọc thông thấp nguyên mẫu Hp(s) với đáp ứng biên độ 
cho trong hình 7.32b, thì tần số p được tìm (từ phương trình 7.60) phải nhỏ hơn: 
 57,3
100)60)(260(
)60260)(100(
2
 và 347,4
)60)(260(150
)60260(150
2
Nên ta chọn 3,57 như vẽ trong hình 7.33b 
 Bƣớc 1.2: Xác định n 
Ta cần thiết kế mạch lọc thông thấp nguyên mẫu trong hình 7.33b với dBGp 2,2
ˆ , 
dBGs 20
ˆ , p = 1 và s =3,57. Theo phương trình (7.39), thì bậc n của mạch lọc 
Butterworth thỏa các đặc tính này là 
 9689,1
110
110
log
)57,3log(2
1
22,0
2
 n lấy tròn n = 2 
 Bƣớc 1.3: Xác định c 
Trong bước này ta xác định tần số cắt 3 dB c cho bộ lọc Butterworth nguyên mẫu. 
Dùng phương trình (7.40), ta có: 
 1096,1
)110(
1
)110(
4/122,02/110/ˆ
 pG
p
c

 
 Bƣớc 1.4: Xác định hàm truyền chuẩn hóa H(s) 
 Hàm truyền chuẩn hóa bộ lọc Butterworth bậc hai lấy từ bảng 7.1 là 
 H(s) = 
12
1
2 ss
 (7.62) 
 Bƣớc 1.5: Xác định hàm truyền bộ lọc nguyên mẫu Hp(s) 
 Hàm truyền mạch lọc nguyên mẫu Hp(s) có được bằng cách thay s bằng 
1096,1// ss c  vào hàm truyền chuẩn hóa H(s) vừa tìm được trong bước 1.4 là 
Hp(s)
2312,15692,1
2312,1
12
1
22 
ssss
cc 
 (7.63) 
Đáp ứng biên độ của mạch lọc nguyên mẫu được vẽ trong hình 7.33b. 
Bƣớc 2: Tìm hàm truyền thông dải cần thiết H(s) dùng phép biến đổi từ thông thấp 
sang dải thông 
 Cuối cùng hàm truyền H(s) của mạch lọc thông dải cần được lấy từ Hp(s) từ cách 
thay s bằng T(s), trong đó (xem phương trình (7.61) 
600.15
200
)(
2 
s
s
sT 
Thay s bằng T(s) trong vế phải của phương trình (7.63), ta có hàm truyền thông dải 
2312,1
600.15
200
15692
600.15
200
2312,1
)(
2
2
2
s
s
s
s
sH 
86234
22
)10(433,2)10(977,39,636909,254
)600.15(
)(
ssss
s
sH 
Đáp ứng biên độ )( jH của mạch lọc này được vẽ trong hình 7.31a. ■ 
 Thí dụ dùng máy tính C7.13 
Thiết kế mạch triệt dải dùng các đặc tính trong thí dụ 7.11 dùng các hàm trong Signal 
Processing Toolbox trong MATLAB. Ta liệt kê các hàm MATLAB cho bốn loại mạch 
lọc. 
 Wp=[60 260]; Ws=[100 150]; Gp=-2,2; Gs=-20; 
 %Butterworth 
 [n, Wn]=buttord(Wp, Ws, -Gp, -Gs, ‘s’) 
 [num, den]=butter(n, Wn, ‘s’) 
 %Chebyshev 
 [n, Wn]=cheb1ord(Wp, Ws, -Gp, -Gs, ‘s’) 
 [num, den]= cheby1 (n, -Gp, Wn, ‘s’) 
 %Chebyshev nghịch 
 [n, Wn]=cheb2ord(Wp, Ws, -Gp, -Gs, ‘s’) 
 [num, den]= cheby2 (n, -Gs, Wn, ‘s’) 
 %Loc ellip 
 [n, Wn]=ellipord(Wp, Ws, -Gp, -Gs, ‘s’) 
 [num, den]= ellip (n, -Gp, -Gs, Wn, ‘s’) 
Để vẽ đáp ứng biên độ, dùng ba hàm cuối trong thí dụ C7.5  
7.8 Mạch lọc thỏa điều kiện truyền không méo 
Mục đích của mạch lọc là loại bỏ các thành phần tần số không mong muốn và truyền 
không méo các thành phần tần số mong muốn. Trong phần 4.4, ta đã thấy là yêu cầu là 
đáp ứng biên độ phải là hằng và đáp ứng pha là hàm tuyến tính theo  trong suốt dải 
thông 
 Từ trước đến nay, các mạch lọc đều được nhấn mạnh đến tính ổn định của đáp ứng 
biên độ. Độ tuyến tính của đáp ứng pha đã bị bỏ qua. Như đã nói thì tai người nhạy cảm 
với méo biên độ và trong một chừng mực nào đó, không nhạy cảm với méo pha. Do đó, 
các thiết bị âm thanh thường chỉ được thiết kế để có đáp ứng biên độ là hằng, và đáp ứng 
pha chỉ là xem xét phụ. 
 Ta cũng đã thấy là mắt người thì nhạy cảm với méo pha và tương đối không nhạy 
cảm với méo biên độ. Do đó, trong các thiết bị hình ảnh, ta không thể bỏ qua mép pha. 
Trong thông tin xung, cả mép biên độ và mép pha đều quan trọng để sửa lổi cho thông tin 
truyền đi. Ta sẽ thảo luận ngắn gọn về một vài xu hướng và dáng vẽ của các thiết kế 
mạch lọc dạng này. 
 Ta đã thấy là (xem phương trình 4.59) khi truyền qua mạch lọc, thì thời gian trễ td 
theo đáp ứng pha )( jH là: 
 )()( 

 jH
d
d
td  (7.64) 
 Nếu độ dốc của )( jH là hằng trong dải tần mong muốn (tức là nếu )( jH 
tuyến tính với ), thì mọi thành phần đều bị trễ với cùng thời gian td . Trong trường hợp 
ngõ ra lặp lại ngõ vào, giả sử là tất cả các thành phần đều suy giảm như nhau; tức là 
)( jH = hằng số trong dải thông. 
 Nếu độ dốc của đáp ứng pha không là hằng số, thì thời gian trễ td thay đổi theo tần 
số. Thay đổi này có nghĩa là các thành phần tần số khác nhau có thời gian trễ khác nhau, 
làm cho ngõ ra không thể lặp lại dạng sóng tín hiệu vào ngay cả khi đáp ứng biên độ là 
hằng trong dải thông. Một phương pháp tốt để xét tính tuyến tính của pha là vẽ td theo tần 
số. Trong hệ truyền không méo, td (độ dốc âm của )( jH ) cần là hằng số trong dải tần 
công tác. Đây còn là yêu cầu về tính ổn định của đáp ứng biên độ. 
 Nói chung thì có sự xung đột giữa hai yêu cầu về truyền không méo. Khi ta cố tiệm 
cận với đáp ứng biên độ lý tưởng, là lúc mà đáp ứng pha càng lệch khỏi đáp ứng pha lý 
tưởng. Tần số cắt càng sắc nét (dải chuyển tiếp càng bé) thì đáp ứng pha càng tăng tính 
phi tuyến khi ở gần vùng chuyển tiếp. Ta có thể kiểm nghiệm lại từ hình 7.34, vẽ đặc tính 
trễ của các họ mạch lọc Butterworth và Chebyshev. Mạch lọc Chebyshev có tần số cắt 
sắc nét hơn so với Butterworth, cho thấy có sự thay đổi lớn về thời gian trễ của nhiều 
thành phần tần số so với Butterworth. 
 Trong các ứng dụng khi yếu tố tuyến tính về pha là quan trọng, có thể có hai xu 
hướng: 
1. Nếu td = hằng số (pha tuyến tính) là quan trọng nhất, ta thiết kế bộ lọc để td tạo 
phẳng tối đa quanh 0  và chấp nhận kết quả là đáp ứng biên độ sẽ không phẳng 
hay tần số cắt không còn sắc nét. 
Khác với mạch lọc Butterworth, được thiết kế để có biên độ phẳng tối đa tại 0  
mà không làm suy giảm đáp ứng pha. Họ các mạch lọc phẳng tối đa td được gọi là 
mạch lọc Bessel – Thomson, là họ có mẫu số của H(s) bậc n là đa thức Bessel. 
2. Nếu cả đáp ứng biên độ và đáp ứng pha đều quan trọng, ta bắt đầu với mạch lọc 
thỏa các đặc tính về đáp ứng biên độ, bỏ qua các đặc tính về đáp ứng pha. Ta ghép 
nối tiếp mạch lọc này với mạch lọc khác, mạch cân bằng (equalizer), có đáp ứng 
biên độ phẳng với mọi tần số (mạch lọc thông hết allpass) với td có đặc tính bù với 
đặc tính của mạch lọc chính sao cho đặc tính pha tổng là xấp xỉ tuyến tính. Dạng 
nối đuôi này cho pha tuyến tính và đáp ứng biên độ của mạch lọc chính (theo yêu 
cầu) 
Lọc thông hết 
 Lọc thông hết có số cực và zêrô bằng nhau. Tất cả các cực đều nằm bên trái mặt 
phẳng phức để mạch ổn định. Các zêrô là ảnh phản chiếu của cực qua trục ảo. Nói cách 
khác, với mỗi cực jba , ta có zêrô tại jba . Do đó, các zêrô đều nằm bên phải mặt 
phẳng phức. Các mạch lọc với cấu hình cực – zêrô này được gọi là mạch lọc thông hết; 
tức là đáp ứng biên độ là hằng với mọi tần số. Ta có thể kiểm nghiệm qua xem xét hàm 
truyền có cực tại jba và zêrô tại jba : 
jbas
jbas
sH
 )( và 
)(
)(
)(
bja
bja
jbaj
jbaj
sH




, do đó: 
 1
)()(
)()(
)(
22
22
ba
ba
jH


 (7.65) 
  
a
b
a
b
jH

 11 tantan)( 
  
a
b
a
b
a
b
jH


  111 tan2tantan)( (7.66) 
Ta thấy là dù đáp ứng biên độ là đơn vị bất chấp vị trí cực và zêrô, đáp ứng pha phụ 
thuộc vào vị trí cực (hay zêrô). Thông qua chỉnh định cực hợp lý, ta có thể có đáp ứng 
pha cần thiết là bù của đáp ứng pha của mạch lọc chính. 
7.9 Tóm tắt 
Đáp ứng của hệ LT – TT – BB có hàm truyền )(sH với tín hiệu sin không dừng, 
tần số  cũng là tín hiệu sin có cùng tần số. Biên độ ngõ ra là )( jH nhân với biên độ 
vào, và sóng sin ra bị dời pha một góc )( jH so với tín hiệu vào. Đồ thị )( jH theo 
 cho thấy độ lợi biên độ của sóng sin với nhiều tần số khác nhau và được gọi là đáp ứng 
biên độ của hệ thống. Đồ thị )( jH theo  cho thấy góc dời pha của sóng sin với 
nhiều tần số khác nhau và được gọi là đáp ứng pha. 
 Vẽ đáp ứng tần số được đơn giản hóa bằng cách dùng đơn vị logarithm cho trục 
biên độ và trục tần số, và được gọi là giảm đồ Bode. Dùng đơn vị logarithm cho phép 
thực hiện phép cộng (thay vì nhân) đáp ứng biên độ của bốn dạng thừa số trong hàm 
truyền là (1) hằng số (2) có cực hay zêrô tại gốc (3) có cực hay zêrô bậc nhất (4) có các 
cực hay zêrô dạng phức. Vẽ đáp ứng pha thì dùng đơn vị tuyến tính cho cho goác pha và 
đơn vị logarithm cho trục tần số. Đặc tính tiệm cận của đáp ứng biên độ và pha cho phép 
vẽ dễ dàng các hàm truyền ngay cả với bậc cao hơn. 
 Đáp ứng tần số của hệ thống được xác định từ vị trí các cực và zêrô của hàm truyền 
trên mặt phẳng phức. Ta có thể thiết kế bộ lọc có tính tuyển chọn tần số bằng cách sắp 
xếp thích hợp vị trí các cực và zêrô trong hàm truyền. Sắp xếp vị trí cực (hay zêrô) gần 
trục 0j trong mặt phẳng phức làm tăng (hay giảm) đáp ứng tần số tại tần số 0 . Từ 
ý niệm này, kết hợp đúng để đặt thích hợp vị trí các cực và zêrô giúp ta có được đặc tính 
mạch lọc cần có. 
 Phần này xét hai loại mạch lọc analog là Butterworth và Chebyshev. Mạch lọc 
Butterworth có đáp ứng biên độ phẳng trong băng thông. Đáp ứng biên độ của lọc 
Chebyshev có nhấp nhô trong băng thông. Mặt khác, đáp ứng của lọc Chebyshev ở 
stopband tốt hơn so với lọc Butterworth. Các bước thiết kế lọc thông thấp có thể dùng 
cho trường hợp thông cao, thông dải và triệt dải thông qua việc dùng các biến đổi tần số 
thích hợp trong phần 7.7. 
 Mạch lọc allpass có độ lợi là hằng số nhưng pha thay đổi theo tần số. Do đó, khi đặt 
mạch lọc allpass nối đuôi với hệ thống sẽ làm đáp ứng biên độ không đổi nhưng có pha 
thay đổi. Do đó, dạng lọc allpass được dùng thay đổi đáp ứng pha của hệ thống. 
 Tham khảo 
1. Wai-Kai Chen, Passive and active Filters, Wiley, New York, 1986. 
2. Van Valkenberg, M.E., Analog Filter Design, Holt, Rinehart and Winston, New 
York, 1982. 
3. Christian E. Eisenmann, Filter Design Tables and Graphs, Transmission 
Networks International, Inc., Knightdale, N.C., 1977. 
 Bài tập 
7.1-1 Hệ LT – TT – BB mô tả bằng hàm truyền 
45
2
)(
2 
ss
s
sH 
 Tìm đáp ứng với các ngõ vào sin không dừng: (a) )302cos(5 0 t 
(b) )452sin(5 0 t (c) )403cos(10 0 t . Quan sát thấy chúng đều là sóng sin không dừng. 
7.1-2 Hệ LT – TT – BB mô tả bằng hàm truyền 
2)2(
3
)(
s
s
sH 
 Tìm đáp ứng xác lập của hệ thống với các ngõ vào sau: (a) )(10 tu 
(b) )()602cos( 0 tut (c) )()453sin( 0 tut (d) )(3 tue tj . 
7.1-3 Bộ lọc allpass mô tả bằng hàm truyền 
10
)10(
)(
s
s
sH 
 Tìm đáp ứng với các ngõ vào không dừng: (a) tje  (b) )cos(  t (c) tcos 
(d) sìnt (e) t10cos (f) t100cos . Nhận xét về đáp ứng mạch lọc. 
7.2-1 Vẽ giản đồ Bode của các hàm truyền sau: 
(a) 
)20)(2(
)100(
ss
ss
 (b) 
)100(
)20)(10(
2 
ss
ss
 (c) 
)1000()20(
)200)(10(
2 
ss
ss
7.2-2 Làm lại bài tập 7.2-1 nếu 
(a) 
)164)(1( 2
2
 sss
s
 (b) 
)10014,14)(1( 2 sss
s
 (c) 
)10014,14(
)10(
2 
sss
s
7.3-1 Phản hồi có thể dùng để tăng (hay giảm) băng thông của hệ thống. Xét hệ thống 
trong hình 7.3-1a có hàm truyền 
c
c
s
sG


 )( . 
(a) Chứng tõ khổ sóng 3 dB của hệ thống là c 
(b) Để giảm băng thông của hệ thống, dùng phản hồi âm với 9,0)( sH , như vẽ 
trong hình P7.3-1c. Chứng tõ băng thông 3dB của hệ thống này là c10 . 
(c) Để tăng băng thông của hệ thống, dùng phản hồi âm với 9)( sH , như vẽ trong 
hình P7.3-1b. Chứng tõ băng thông 3dB của hệ thống này là 10/c . 
(d) Độ lợi của hệ thống tại dc nhân với băng thông 3dB gọi là tích số độ lợi – băng 
thông của hệ thống. Chứng tõ là tích này là giống nhau cho ba hệ thống trong 
hình P7.3-1. Kết quả này cho thấy khi tăng băng thông thì độ lợi giảm và ngược 
lại. 
 7.4-1 Dùng phương pháp đồ thị của phần 7.4-1, vẽ đáp ứng biên độ và đáp ứng pha của 
hệ LT – TT – BB mô tả bởi hàm truyền 
)71)(71(
)71)(71(
502
502
)(
2
2
jsjs
jsjs
ss
ss
sH
 Cho biết đây là dạng mạch lọc gì? 
7.4-2 Dùng phương pháp đồ thị trong phần 7.4-1, vẽ đáp ứng biên độ và pha của hệ LT 
–TT – BB có các cực và zêrô vẽ trong hình P7.4-2. 
7.4-3 Thiết kế bộ lọc bandpass bậc hai với tần số trung tâm 10  . Độ lợi là zêrô tại 
0  và  . Chọn vị trí cực là 10ja . Biện luận về ảnh hưởng của a lên 
đápứng tần số. 
7.5-1 Tìm hàm truyền )(sH và đáp ứng biên độ )( jH của mạch lọc Butterworth 
thông thấp bậc ba có tần số cắt 3dB tại 100 c . Tìm kết quả không dùng bảng 
7.1 hay 7.2. Dùng các bảng này để kiểm nghiệm lại kết quả 
7.5-2 Xác định bậc n, là bậc của mạch lọc thông thấp Butterworth, tương ứng với tần số 
cắt c cần thiết thỏa được các tiêu chí của mạch lọc thông thấp. Tìm các giá trị 
của c , một thỏa mãn quá mức (oversatisfies) các tiêu chí của passband, và một 
thỏa mãn quá mức (oversatisfies) các tiêu chí của stopband trong các trường hợp: 
(a) dBGp 5,0
ˆ , dBGs 20
ˆ , 100 p rad/s và 200 S rad/s 
(b) 9885,0ˆ pG , 
310ˆ sG , 1000 p rad/s và 2000 S rad/s 
 (c) Độ lợi tại 3 c cần lớn hơn dB50 
7.5-3 Tìm hàm truyền )(sH và đáp ứng biên độ )( jH của mạch lọc thông thấp 
Butterworth thỏa các tiêu chí dBGp 3
ˆ , dBGs 14
ˆ , 000.100 p rad/s và 
000.150 S rad/s . Cần thỏa quá (nếu có thể) các yêu cầu của sGˆ . Xác định pGˆ 
và sGˆ của thiết kế. 
7.6-1 Làm lại bài tập 7.5-1 cho mạch lọc Chebyshev, không dùng bảng 
7.6-2 Thiết kế mạch lọc thông thấp Chebyschev thỏa các tiêu chí sau dBGp 1
ˆ , 
dBGs 22
ˆ , 100 p rad/s và 200 S rad/s. 
7.6-3 Thiết kế mạch lọc thông thấp Chebyschev thỏa các tiêu chí sau dBGp 2
ˆ , 
dBGs 25
ˆ , 10 p rad/s và 15 S rad/s. 
7.6-4 Thiết kế mạch lọc thông thấp Chebyschev có tần số cắt 3 dB là c , và độ lợi giảm 
- 50 dB tại 3 c . 
7.7-1 Tìm hàm truyền )(sH của mạch lọc thông cao Butterworth thỏa các tiêu chí sau: 
 dBGp 1
ˆ , dBGs 20
ˆ , 20 p rad/s và 10 S rad/s. 
7.7-2 Tìm hàm truyền )(sH của mạch lọc thông cao Butterworth thỏa các tiêu chí sau: 
 dBGp 1
ˆ , dBGs 22
ˆ , 20 p rad/s và 10 S rad/s. 
7.7-3 Tìm hàm truyền )(sH của mạch lọc thông dải Butterworth thỏa các tiêu chí sau: 
 dBGp 3
ˆ , dBGs 17
ˆ , 1001 p rad/s, 2502 p rad/s và 401 S rad/s, 
5002 S rad/s. 
7.7-4 Tìm hàm truyền )(sH của mạch lọc thông dải Butterworth thỏa các tiêu chí sau: 
 dBGs 17
ˆ , dBr 1ˆ , 1001 p rad/s, 2502 p rad/s và 401 S rad/s, 
5002 S rad/s. 
7.7-5 Tìm hàm truyền )(sH của mạch lọc triệt dải Butterworth thỏa các tiêu chí sau: 
 dBGs 24
ˆ , dBGp 3
ˆ , 201 p rad/s, 602 p rad/s và 301 S rad/s, 
382 S rad/s.