Bài giảng Tín hiệu và dùng chuỗi - Chương 6: Phân tích hệ thống liên tục theo thời gian dùng biến đổi laplace

CHƢƠNG 6: PHÂN TÍCH HỆ THỐNG LIÊN TỤC THEO THỜI 
GIAN DÙNG BIẾN ĐỔI LAPLACE 
Nội dung 
6.1 Biến đổi Laplace 
6.2 Đặc tính của biến đổi Laplace 
6.3 Tìm nghiệm của phương trình vi phân và phương trình vi-tích phân 
6.4 Phân tích mạng điện: sơ đồ toán tử 
6.5 Sơ đồ khối 
6.6 Thiết lập hệ thống 
6.7 Ứng dụng vào phản hồi và điều khiển 
6.8 Biến đổi Laplace hai bên 
6.9 Phụ chương 6.1: Thực hiện dạng chính tắc thứ hai 
6.10 Tóm tắt 
Tài liệu tham khảo: 
B.P. Lathi, Signal Processing and Linear Systems, Berkeley-Cambridge Press, 1998 
Biến đổi Fourier là công cụ để biểu diễn tín hiệu )(tf thành dạng tổng các hàm mủ 
dạng tje  , với tần số bị giới hạn trên trục ảo của mặt phẳng phức )( js . Theo các 
chương 4 và 5 thì biểu diễn này đã đủ để phân tích và xử lý tín hiệu. Tuy nhiên, điều này 
chưa đủ khi phân tích hệ thống vì: (1) Biến đổi Fourier chỉ tồn tại trong một số lớp tín 
hiệu, và không dùng được với các ngõ vào tăng theo dạng hàm mủ. (2) Biến đổi Fourier 
không phân tích được các hệ thống không ổn định hay ở biên ổn định. 
6.1 Biến đổi Laplace 
Nguyên nhân cơ bản của các khó khăn vừa nêu là do một số tín hiệu, như )(tue t 
)0( a không có biến đổi Fourier do các sóng sin thông thường hay hàm mủ dạng tje  
(chỉ quan tâm đến biên độ không đổi) không có khả năng tổng hợp được hàm mủ tăng 
theo thời gian. Vấn đề này được giải quyết khi dùng tín hiệu cơ bản (nền) dạng ste (thay 
cho hàm tje  ), khi đó tần số phức s không còn phải nằm trên trục ảo (như trường hợp 
biến đổi Fourier). 
 Điều này thể hiện qua phép biến đổi mở rộng gọi là biến đổi Laplace hai bên, 
với biến tần số js được tổng quát thành  js . Điều này cho phép ta dùng các 
hàm mủ tăng theo thời gian để tổng hợp tín hiệu )(tf . Trước khi phát triển toán tử của 
phép mở rộng, ta cần tìm hiểu trực giác về quá trình tổng quat hóa này. 
6.1- 1 Hiểu biết trực giác về biến đổi Laplace 
 Tín hiệu )(tf trong hình 6.1d không có biến đổi Fourier, ta lấy biến đổi Fourier 
bằng cách nhân tín hiệu với hàm mủ giảm dạng te  . Thí dụ, lấy biến đổi Fourier tín hiệu 
)(2 tue tt bằng cách nhân với hàm te  với 2  . Đặt: 
 tetft  )()( 
Như vẽ ở hình 6.1a. Tín hiệu )(t có được biến đổi Fourier và các thành phần Fourier có 
dạng tje  với tần số  thay đổi từ  đến . Thành phần mủ tje  và tje  thêm vào 
phổ tạo sóng sin tần số . Phổ chứa vô hạn các sóng sin, mỗi sóng có biên độ bé. Rất dễ 
lẫn lộn khi vẽ tất cả các dạng sóng này; do đó, hình 6.1b, chỉ vẽ hai thành phần tiêu biễu. 
Cộng tất cả các thành phần này (số lượng là vô hạn) cho ta lại )(t , vẽ ở hình 6.1a. 
Thành phần phổ của hàm mủ của )(t có dạng tje  , với tần số phức j nằm trên trục ảo 
từ  đến , vẽ ở hình 6.1c. 
 Hình 6.1a vẽ tín hiệu tetft  )()( . Hình 6.1b vẽ hai trong số vô hạn các thành 
phần phổ, và hình 6.2c vẽ vị trí tần số của mọi thành phần phổ của )(t trên mặt phẳng 
phức. Vậy ta tìm lại tín hiệu mong muốn )(tf bằng cách nhân )(t với te . Điều này 
cho phép tổng hợp )(tf bằng cách nhân từng thành phần của nhân )(t với te rồi cộng 
tất cả lại. Nhưng khi nhân thành phần phổ của )(t (sóng sin trong hình 6.1b) với te tạo 
hàm sin tăng theo dạng mủ như vẽ ở hình 6,1e. Khi cộng tất cả các thành phần sóng sin 
tăng dạng mủ (số lượng là vô hạn) tạo lại )(tf trong hình 6.1d. Thành phần phổ của )(t 
có dạng tje  . Khi nhân các thành phần này với te tạo ra thành phần phổ có dạng 
)(  jjtjt eee . Vậy, các thành phần tần số j trong phổ )(t được chuyển sang 
thành phần tần số  j trong phổ của )(tf . Vị trí các tần số  j trong mặt phẳng 
phức nằm theo đường dọc, vẽ trong hình 6.1f. 
 Rõ ràng là tín hiệu )(tf có thể được tổng hợp dùng các hàm mũ tăng không dừng 
nằm dọc theo  j , với  đến . Giá trị của  rất mềm dẻo. Thí dụ, nếu 
)()( 2 tuetf t , thì tetft  )()( có biển đổi Fourier khi chọn  > 2. Từ đó, có vô số 
cách chọn  . 
 Điều này tức là phổ của )(tf không độc nhất, với vô số khả năng tổng hợp )(tf . 
Tuy nhiên,  có một số giá trị bé nhất 0 cho từng )(tf . [ 20  cho trường hợp 
)()( 2 tuetf t ]. Vùng trong mặt phẳng phức cho 0 gọi là vùng hội tụ (hay vùng 
tồn tại) cho biến đổi của )(tf 
 Các kết luận rút ra từ phương pháp thử và sai sẽ được phân tích một cách giải tích 
như sau. Tần số j trong biến đổi Fourier sẽ được tổng quát thành  js . 
6.1- 2 Phân tích biến đổi Laplace hai bên 
 Ta đã nhất quán biến đổi Fourier và biến đổi Laplace, nên cần dùng ý niệm )( jF 
thay cho )(F của trường hợp biến đổi Fourier, và được định nghĩa theo: 
 dtetfjF tj )()( (6.1) 
Và 
   dejFtf tj)()( (6.2) 
Xét biến đổi Fourier của tetf  )( ( số thực) 
 dteetfetfF tjtt  )(])([ (6.3) 
 dtetfetfF tjtt )()(])([  (6.4) 
Theo phương trình (6.1), thì các tích phân trên là )(  jF , nên 
 )(])([  jFetfF t (6.5) 
Biến đổi Fourier nghịch 
 
 dejFetf tjt )(
2
1
)( (6.6) 
Nhân hai vế với te 
 
 dejFtf tj )()(
2
1
)( (6.7) 
Lượng )(  j là tần số phức s. Đổi biến tích phân từ  sang s. Do  js , 
dsjd )/1(  . Giới hạn của tích phân từ  đến chuyển từ biến s từ )(  đến 
)(  . Tuy nhiên, cần nhắc lại là với hàm cho trước )(tf ,  cần có giá trị tối thiểu 0 , 
và ta có thể chọn bất kỳ với 0 . Phương trình (6.7) thành 
c
c
stdsesF
j
tf )(
2
1
)(
 (6.8a) 
Từ phương trình (6.4) và (6.5), ta có 
 dtetfsF st)()( (6.8b) 
Cặp phương trình trên gọi là cặp biến đổi Laplace hai bên. Biến đổi Laplace hai 
bên được viết thành công thức 
 F(s) = L[f(t)] và f(t) = L-1[F(s)] 
Hay đơn giản hơn 
 )()( sFtf 
Đáp ứng của hệ thống LT – TT – BB. 
 Phương trình (6.8a) biểu diễn )(tf thành tổng trọng các hàm mủ dạng ste . Điều 
này được thể hiện rõ khi viết tích phân trong phương trình (6.8a) theo dạng tổng 
 
 tsn
n
s
e
j
ssnF
dssF
j
tf )(
0 2
)(
lim)(
2
1
)(
 (6.9) 
Rõ ràng, biến đổi Laplace biểu diễn )(tf thành tổng các hàm mủ không dừng có 
dạng tsne )( đi từ jc đến jc với 0 c . Đây là các sóng sin với dạng mủ tăng 
(khi 0 c ) hay giảm theo dạng mủ (khi 0 c ). Ta xác định đáp ứng của hệ thống LT – 
TT – BB với ngõ vào )(tf qua quan sát hàm truyền hệ thống với hàm mủ (không dừng) 
tsne )( là tsnesnH )()( . Từ phương (6.9), có đáp ứng của hệ thống với ngõ vào )(tf là: 
 
jc
jc
sttsn
n
s
dsesHsF
j
e
j
ssnHsnF
tf
'
'
)(
0
)()(
2
1
2
)()(
lim)(
 (6.10) 
Hướng lấy tích phân (từ jc' đến jc' ) trong phương trình (6.10) có thể khác với 
phương trình (6.9). Nếu )()( sFtf , theo phương trình(6.10) là 
 )()()( sHsFsY (6.11) 
Ta đã biểu diễn ngõ vào )(tf là tổng các thành phần hàm mủ dạng ste . Từ đó, tìm được 
đáp ứng của hệ thống bằng cách cộng tất cả đáp ứng với các thành phần mủ này. Phương 
pháp thực hiện tương tự như trong chương 2 (với ngõ vào được biểu diễn thành tổng 
nhiều xung) hay trong chương 4 (với ngõ vào được biểu diễn thành tổng các hàm mủ 
dạng tje  ). 
 Vậy khi hệ LT – TT – BB có hàm truyền H(s), có ngõ vào là )(tf và ngõ ra 
)(ty , nếu 
)()( sFtf , và )()( sYty , thì 
 )()()( sHsFsY (6.12) 
Tính tuyến tính của biến đổi Laplace 
 Biến đổi Laplace là toán tử tuyến tính, và theo nguyên lý xếp chồng, nếu 
 )()( 11 sFtf và )()( 22 sFtf , thì 
 )()()()( 22112211 sFasFatfatfa (6.13) 
Phần chứng minh đơn giản và lấy từ định nghĩa của biến đổi Laplace. Kết quả này 
còn được mở rộng khi có vô hạn các thừa số ngõ vào. 
Vùng hội tụ 
 Phần trước đã thảo luận một cách trực giác về vùng hội tụ (hay vùng tồn tại) của 
biến đổi Laplace F(s). Về mặt toán học, vùng hội tụ của F(s) là tập các giá trị của s (vùng 
nằm trong mặt phẳng phức), trong đó tích phân từ phương trình (6.8b) định nghĩa trực 
tiếp biến đổi Laplace hội tụ. Xét tiếp thí dụ sau: 
■ Thí dụ 6.1: 
 Cho tín hiệu )()( tuetf at , tìm biến đổi Laplace F(s) và vùng hội tụ 
Từ định nghĩa 
 dtetuesF stat )()( 
Do 0)( tu khi 0 t và 1)( tu khi 0 t 
0
0
)()(
0
1
)( tastasstat e
as
dtedteesF (6.14) 
Chú ý do s là biến phức và khi t , thừa số tase )( không nhất thiết phải triệt tiêu, nên 
ta dùng lại ý niệm về số phức  jz . 
 tjttjzt eeee   )( 
Do 1 tje  với mọi giá trị của t . Do đó. Khi t , 0 zte nếu và chỉ nếu 
khi 0 , và t , zte nếu 0 , do đó 
 0Re
0Re0
lim
z
z
e zt
t
 (6.15) 
Rõ ràng 
 0)Re(
0)Re(0
lim )(
as
as
e tas
t
Dùng kết quả từ phương trình (6.14) 
 0)Re(
1
)( 
 as
as
sF (6.16a) 
 0)Re(
1
)( 
 as
as
sF (6.16a) 
Hay as
as
tue at 
 Re
1
)( (6.16b) 
Vùng hội tụ của F(s) là Re s > – a, vẽ ở phần diện tích tô bóng trong hình 6.2a. Điều này 
tức là tích phân định nghĩa F(s) trong phương trình (6.14) chỉ tồn tại với giá trị của s 
trong vùng tô bóng hình 6.2a. Tích phân trong (6.14) không hội tụ với các giá trị khác của 
s. Do đó vùng tô bóng này được goi là vùng hội tụ (hay vùng tồn tại) của F(s). 
 Nhắc lại là biến đổi Fourier của )(tue at không tồn tại với các giá trị âm của a. 
Ngược lại, biến đổi Laplace tồn tại với mọi giá trị của a, và vùng hội tụ là phần bên phải 
của đường thẳng Re s = -a. ■ 
Vai trò của vùng hội tụ 
 Vùng hội tụ rất cần để tìm biến đổi Laplace nghịch )(tf như định nghĩa ở 
phương trình (6.8a). Khi tìm biến đổi nghịch, cần tính tích phân trong mặt phẳng phức, 
nên cần thêm một số định nghĩa. Đường lấy tích phân dọc theo jc với  thay đổi từ 
– đến . Hơn nữa. đường lấy tích phân phải nằm trong vùng hội tụ (hay tồn tại) của 
F(s). Điều này không thực hiện được với tín hiệu )(tue at nếu ac . Còn một đường 
lấy tích phân khác (đường chấm) trong hình 6.2a. Như thế, để có được )(tf từ )(sF là 
phải lấy tích phân theo đường này. Khi lấy tích phân   steas )/(1 dọc theo đường này, 
cho kết quả )(tue at . Phương pháp lấy tích phân trong mặt phẳng phức đòi hỏi kiến thức 
về hàm biến phức. Điều này có thể tránh được bằng cách dùng bảng biến đổi Laplace 
(bảng 6.1), với đầy đủ các cặp biến đổi Laplace của nhiều dạng tín hiệu khác nhau. Thí 
dụ, để tìm biến đổi nghịch của biến đổi )/(1 as , thay vì dùng công thức tính tích phân 
phức (6.8a), ta nhìn vào bảng để có biến đổi nghịch là )(tue at . 
Biến đổi Laplace một bên 
 Để biết nhu cầu của biến đổi Laplace một bên, hảy tìm biến đổi Laplace của tín 
hiệu )(tf vẽ ở hình 6.2b 
 )()( tuetf at 
Biến đổi Laplace của tín hiệu này là 
 dtetuesF stat )()( 
Do 1)( tu khi 0 t và 0)( tu khi 0 t 
0
0
)()(
0 1
)(
 tastasstat e
as
dtedteesF 
Phương trình (6.15) cho 
 0)Re(0lim )( 
ase tas
t
, nên 
 as
as
sF 
 Re
1
)( (6.17) 
Tín hiệu )( tue at và vùng hội tụ ( as Re ) được vẽ trong hỉnh 6.2b. Chú ý là biến 
đổi Laplace của hai tín hiệu )(tue at và )( tue at giống nhau trừ với các vùng hội tụ 
khác nhau. Như thế, với một )(sF , có thể có nhiều biến đổi nghịch, tùy theo vùng hội tụ. 
Nói cách khác không có ánh xạ một – một giữa )(sF và )(tf , trừ khi biết được vùng hội 
tụ. Điều này càng làm phức tạp ứng dụng của biến đổi Laplace. Yếu tố phức tạp này là do 
mong muốn xử lý tốt được các tín hiệu nhân quả và không nhân quả. Điều này không thể 
xảy ra khi ta giới hạn tín hiệu là tín hiệu nhân quả. Như thế, chỉ có một biến đổi nghịch 
của )/(1)( assF , tức là )(tue at . Để tìm )(tf từ )(sF , ta cũng không cần đến vùng 
hội tụ. Tóm lại, nếu mọi tín hiệu đều là nhân quả, thì với một )(sF , chỉ có một biến đổi 
nghịch )(tf . 
 Biến đổi Laplace một bên là trường hợp đặc biệt của biến đổi Laplace hai bên, khi 
các tín hiệu đều bị giới hạn là nhân quả, nên cận lấy tích phân có thể thay đổi từ 0 đến . 
Do đó, biến đổi Laplace một bên được định nghĩa là 
 
0
)()( dtetfsF st (2.18) 
Ta chọn 0- (thay vì 0+ như theo một số tài liệu) làm cận dưới tích phân. Qui ước này 
không chỉ bảo đảm chèn được xung tại 0 t , mà còn cho phép ta dùng được điều kiện 
đầu tại 0– (thay vì tại 0+) vào nghiệm của phương trình vi phân qua biến đổi Laplace. 
Thực tế, ta thường biết được điều kiện đầu trước khi có tín hiệu vào (tại 0-), không phải 
sau khi tín hiệu vào (tại 0+). 
 Biến đổi Laplace một bên đơn giản hóa đáng kể việc phân tích hệ thống, nhưng 
điều phải trả giá là phân tích không được hệ thống không nhân quả hay dùng với các ngõ 
vào không nhân quả. Tuy nhiên, trong hầu hết các bài toán thực tế, thì hậu quả này là rất 
ít. Hảy xét biến đổi Laplace một bên và ứng dụng trong phân tích hệ thống (biến đổi 
Laplace hai bên sẽ được bàn ở phần 6.8) 
 Ta thấy là về cơ bản thì không có khác biệt giữa biến đổi Laplace hai bên và một 
bên. Biến đổi Laplace là biến đổi hai bên dùng cho lớp con tín hiệu bắt đầu tại 0 t (tín 
hiệu nhân quả). Như thế, biểu thức [phương trình (6.8a)] của biến đổi Laplace nghịch vẫn 
đúng. Trong thực tế, thường thì biến đổi Laplace được hiểu là biến đổi Laplace một bên. 
Tồn tại của biến đổi Laplace 
 Biến s trong biến đổi Laplace thường là biến phức, và được viết thành 
 js . Từ định nghĩa 
00
])([)()( dteetfdtetfsF tjtst  
Do 1 tje  , tích phân vế phải hội tụ nếu 
0
)( dtetf t (6.19) 
Như thế biến đổi Laplace tồn tại nếu tích phân (6.19) là hữu hạn với một số giá trị của . 
Tín hiệu nào tăng chậm hơn tín hiệu mủ tMe 0 với một số giá trị của M và 0 , thì 
t
Metf 0)(
 (6.20) 
Ta có thể chọn 0 thỏa (6.19). Ngược lại, tín hiệu 
2te có tốc độ tăng nhanh hơn 
t
e 0

nên 
2te không có biến đổi Laplace. Điều may mắn là các tín hiệu dạng này (không có 
biến đổi Laplace) lại ít ảnh hưởng về mặt lý thuyết hay thực tế. Nếu 0 là trị bé nhất của 
 để tích phân (6.19) hữu hạn, thì 0 được gọi là hoành độ hội tụ và vùng hội tụ của 
)(sF là 0Re  s . Hoành độ hội tụ của )(tue
at là –a (vùng hội tụ là as Re ). 
■ Thí dụ 6.2: 
 Tìm biến đổi Laplace của (a) )(t (b) )(tu (c) )(cos 0 ttu . 
(a) L 
0
)()]([ dtett st 
Từ đặc tính lấy mẫu [phương trình (1.24a)], ta có 
 L 1)]([ t với mọi s 
Tức là 1)( t với mọi s (6.21) 
(b) Để tìm biến đổi Laplace của )(tu , nhắc lại là 1)( tu khi 0 t , nên 
 L 0Re
11
)()]([
0
00
 ss
e
s
dtedtetutu ststst (6.22) 
Ngoài ra, còn có thể tìm kết quả từ phương trình (6.16b) khi cho a = 0. 
(c) Do )(][
2
1
)(cos 000 tueettu
tjtj  (6.23) 
 L )]([cos 0 ttu =
2
1
 L )]()([ 00 tuetue tjtj  
Từ phương trình (6.16) 
 L 
00
0
11
2
1
)]([cos


jsjs
ttu 0ReRe( 0 sjs  
 0Re
1
2
0
2
 s
s 
(6.24) ■ 
 Trong biến đổi Laplace một bên, chỉ có một biến đổi nghịch của )(sF ; nên không 
cần xác định rõ ràng vùng hội tụ. Vì vậy, ta thường bỏ qua ý niệm vùng hội tụ trong biến 
đổi Laplace một bên. Nhắc lại là, trong biến đổi Laplace một bên, hiểu ngầm là các tín 
hiệu đều là zêrô khi 0 t , và điều thích hợp là nên nhân tín hiệu này với )(tu . 
 Bài tập E 6.1 
Dùng phương pháp tích phân trực tiếp, tìm biến đổi Laplace )(sF và vùng hội tụ 
của )(sF của tín hiệu trong hình 6.3 
Đáp số: (a) )1(
1 2se
s
 với mọi s (b) ss ee
s
22 )1(
1 với mọi s  
Quan hệ với biến đổi Fourier 
Định nghĩa biến đổi Laplace giống với biến đổi Fourier khi thay j bằng s. Ta 
thấy biến đổi Laplace )(sF của tín hiệu )(tf , giống như biến đổi )(F của )(tf khi 
thay j bằng s. Thí dụ, ta thấy biến đổi Fourier của )(tue at là )/(1 aj  . Thay j 
bằng s trong biến đổi Fourier cho kết quả là ) ... i hàm mủ không dừng ste cũng là hàm mủ không dừng 
stesH )( , với )(sH là hàm truyền hệ thống. Ta có thể thấy biến đổi Laplace là công cụ 
theo đó tín hiệu được viết thành tổng của các hàm mủ không dừng ste . Lượng tương đối 
của thành phần ste là )(sF . Do đó, )(sF biến đổi Laplace của )(tf , biểu diễn phổ của 
các thành phần hàm mủ của )(tf , Hơn nữa, H(s) là đáp ứng của hệ thống (hay độ lợi) 
của thành phần phổ ste , và phổ tín hiệu ngõ ra là phổ ngõ vào nhân với đáp ứng phổ (độ 
lợi) )(sH , hay )()()( sHsFsY . 
 Biến đổi Laplace chuyển phương trình vi tích phân của hệ thống LT – TT – BB 
thành phương trình đại số. Biến đổi Laplace thường không dùng được cho các hệ thống 
thay đổi theo thởi gian hay hệ thống phi tuyến. 
 Hàm truyền của hệ thống còn được định nghĩa là tỉ số của biến đổi Laplace của 
ngõ ra với biến đổi Laplace của ngõ vào khi mọi điều kiện đầu là zêrô (hệ thống ở trạng 
thái zêrô). Nếu )(sF là biến đồi Laplace của tín hiệu vào )(tf và )(sY là biến đổi 
Laplace của ngõ ra tương ứng )(ty (khi mọi diều kiện đầu là zêrô), thì )()()( sHsFsY , 
với )(sH là hàm truyền. Hàm truyền của hệ thống )(sH là biến đổi Laplace của đáp ứng 
xung )(th . Tương tự, đáp ứng xung )(th , hàm truyền )(sH cũng là mô tả nội tại của hệ 
thống. 
 Có thể dùng phương pháp mạch biến đổi để phân tích mạch điện, theo đó, các tín 
hiệu (điện áp và dòng điện) được biểu diễn thành dạng biến đổi Laplace tương ứng dùng 
ý niệm trở kháng (hay dẫn nạp), điều kiện đầu dùng mạch nguồn tương đương (máy phát 
điều kiện đầu). Trong phương pháp này, mạng có thể phân tích theo phương pháp mạch 
thuần trở. 
 Dùng ý niệm khối (block) để biễu diễn hệ thống lớn với nhiều kết nối thích hợp 
các hệ con. Các hệ con, được phân tích từ quan hệ vào-ra, như hàm truyền. Phân tích hệ 
thống lớn được thực hiện dùng kiến thức từ quan hệ vào –ra của các hệ con và từ phương 
thức kết nối chúng với nhau. 
 Hệ thống LT – TT – BB có thể được thực hiện từ bộ nhân, bộ cộng, và bộ tích 
phân. Có thể thực hiện hàm truyền với nhiều phưng thức khác nhau, thí dụ kết nối song 
song, nối tiếp. Trong thực tế, các khối này có thể thực hiện dùng op –amp. 
 Hệ thống phản hồi là hệ thống vòn kín chủ yếu dùng chống lại ảnh hưởng của các 
thay đổi chưa dự báo được của tham số hệ thống, tải, và môi trường. Các hệ thống này 
được thiết kế để có được tốc độ mong muốn, và sai số xác lập. Khi điều khiển tốc độ, các 
tham số quá độ là thời gian lên, thời gian đỉnh, và thời gian thiết lập. Phần trăm vọt lố cho 
thấy phương thức ngõ ra tăng đến thời gian cuối. Sai dố xác lập có quan hệ với tham số 
hệ thống. Trong nhiều trường hợp, việc chỉnh định hệ số khuếch đại K có thể giúp có 
được tính năng cần thiết, nếu điều chỉnh này không đạt, thì cần dùng thêm mạch bổ 
chính. Quỉ đạo các nghiệm đặc tính của hệ thống được gọi là quĩ đạo nghiệm, rất thích 
hợp để thiết kế hệ thống phản hồi. 
 Hầu hết các tín hiệu vào trong thực tế thường có dạng nhân quả. Do đó, ta cần 
quan tâm đến tín hiệu nhân quả. Khi đã giới hạn tín hiệu là nhân quả, thì phân tích dùng 
biến đổi Laplace được đơn giản rất nhiều; không cần quan tâm đến vùng hội tụ khi phân 
tích hệ thống. Trường hợp này biến đỗi Laplace được gọi là biến đổi Laplace một bên 
(chỉ dùng cho tín hiệu nhân quả. Phần 6.8 bàn về dang tổng quát là biến đổi Laplace hai 
bên, cho phép khảo sát các tín hiệu nhân quả và không nhân quà. Trong biến đổi Laplace 
hai bên, biến đổi Laplace nghịch của F(s) không độc nhất mà tùy thuộc vào vùng hội tụ 
của F(s). Do đó, vùng hội tụ giữ vài trò quan trọng trong biến đổi Laplace hai bên. 
Tài liệu tham khảo 
1. Doetsch, G., , Introduction to the Theory and Application of the Laplace 
Transformation with the Table of Laplace Transformation, Springer verlag, 
New York, 1974. 
2. Le Page, W.R., Complex Variables and the Laplace Transforms for Engineers, 
McGraw-Hill, New York, 1961. 
3. Durant, Will, and Ariel, The Age of Napoleon, The Story of Civilization Series, 
Part XI, Simon and Schuster, New York, 1975. 
4. Bell, E.T., Men of Mathematics, Simon and Schuster, New York, 1937. 
5. Nahin, P.J., “Oliver Heaviside: Genius and Curmudgean.” IEEE Spectrum, 
vol. 20, pp. 63-69, July 1983. 
6. Berkey, D., Calculus, 2nd ed., Saunder‟s College Publishing, Philadelphia, Pa. 
1988. 
7. Encyclopaedia Britannica, Micropaedia IV, 15th ed., Chicago, IL, 1982. 
8. Churchill, R.V., Operational Mathematics, 2nd ed, McGraw-Hill, New York, 
1958. 
9. Yang, J.S., and Levine, W.S Chapter 10 in The Control Handbook, CRC Press, 
1996. 
Bài tập 
6.2-1 Dùng phương pháp trực tiếp [phương trình (6.8b)], tìm biến đổi Laplace và vùng 
hội tụ của các tín hiệu sau: 
(a) )1()( tutu (e) )(coscos 21 ttut  
(b) )(tute t (f) )()cosh( ttuat 
(c) )(cos 0 ttut  (g) )()sinh( ttuat 
(d) )()2( 2 tuee tt (h) )()5cos(2 tute t  
6.2-1 Dùng phương pháp trực tiếp [phương trình (6.8b)], tìm biến đổi Laplace và vùng 
hội tụ của các tín hiệu trong hình P6.1-2: 
6.2-1 Tìm biến đổi Laplace nghịch của các hàm sau 
(a) 
65
52
2 
ss
s
 (f) 
2)1(
2
ss
s
(b) 
134
53
2 
ss
s
 (g) 
4)2)(1(
1
 ss
(c) 
6
)1(
2
2
ss
s
 (h) 
)54()2(
1
22 
ssss
s
(d) 
)2(
5
2 ss
 (i) 
)52()1( 22
3
 sss
s
(e) 
)22)(1(
12
2 
sss
s
6.2-1 Tìm biến đổi Laplace của các hàm theo thời gian (nếu cần) của biến đổi Laplace 
một bên: 
(a) )1()( tutu (e) )(  tute t 
(b) )()(  tue t (f) )()](sin[ 0  tut 
(c) )()( tue t  (g) )()](sin[ 0 tut  
(d) )(  tue t (h) )(sin 0  ttu 
6.2-2 Chỉ dùng bảng 6.1 và đặc tính dời theo thời gian, tìm biến đổi Laplace của tín 
hiệu trong hình P6.1-2. 
Hướng dẫn: Xem phẩn 1.4 để phân tích tín hiệu 
6.2-3 Tìm biến đổi Laplace của các hàm sau 
(a) 
65
)52(
2
2
ss
es s
 (c) 
52
3
2
)1(
ss
e s
(b) 
22
2
2
3
ss
se s
 (d) 
23
3
2
2
ss
ee ss
6.2-4 Có thể tìm biến đổi Laplace của tín hiệu tuần hoàn dùng kiến thức của biến đổi 
Laplace trong chu kỳ đầu 
(a) Nếu biến đổi Laplace của )(tf trong hỉnh P6.2-4a là )(sF , chứng tõ là )(sG , 
biến đổi Laplace của )(tg [hình P6.2-4b], là 
 0Re
1
)(
)(
0
s
e
sF
sG
sT
(b) Từ kết quả này, tìm biến đổi Laplace của tín hiệu )(tp trong hình P6.2-4c 
Hướng dẫn: 
x
xxx
1
1
1 32  1 x 
6.2-5 Đầu tiên từ 1)( t , tạo các cặp từ 2 đến cặp 10 trong bảng 6.1, dùng các đặc 
tính của biến đổi Laplace. Hướng dẫn: )(tu là tích phân của )(t , )(ttu là tích 
phân của )(tu [hay đao hàm lần hai của )(t ], v.v.,..,. 
6.2-6 (a)Tìm biến đổi Laplace của xung hình 6.3 chỉ dùng các đặc tính vi phân theo 
thời gian, dời theo thời gian, và 1)( t . 
(c) Trong thí dụ 6.7, biến đổi Laplace của )(tf tìm được từ biến đổi của 
22 / dtfd . Tìm biến đổi Laplace của )(tf trong thi 1dụ này bằng cách dùng 
biến đổi Laplace của dtdf / . 
Hướng dẫn: phần (b) dtdf / có thể xem là tổng của nhiều hàm bước (trễ với 
nhiều lượng khác nhau) 
6.3-1 Dùng biến đổi Laplace, giải các phương trình vi phân: 
(a) )()()23( 2 tDftyDD )()(,0)0()0( tutfyy  
(b) )()1()()44( 2 tfDtyDD )()(,1)0(,2)0( tuetfyy t  
(c) )()2()()256( 2 tfDtyDD )(25)(,1)0()0( tutfyy  
6.3-2 Giải các phương trình vi phân trong bài tập 6.3-1 dùng biến đổi Laplace. Trong 
từng trường hợp xác định các thành phần ngõ vào –zêrô và trạng thái – zêrô của 
nghiệm. 
6.3-3 Giải các phương trình vi phân đồng nhất dùng biến đổi Laplace, giả sử các điều 
kiện đầu là zerô và ngõ vào )()( tutf 
(a) )()(2)()3( 21 tftytyD 
 0)()42()(2 21 tyDty 
(b) 0)()42()()2( 21 tyDtyD 
 )()()12()()1( 21 tftyDtyD 
 Tìm hàm truyền quan hệ giữa )(1 ty và )(2 ty với ngõ vào )(tf 
6.3-4 Cho mạch điện hình P6.3-4, chuyển mạch ở vị trí mở thời gian dài trước 0 t , 
khóa được đóng lại tức thì 
(a) Viết phương trình vòng (trong miền thời gian) khi 0 t 
 (b) Giải tìm )(1 ty và )(2 ty bằng phương pháp biến đổi Laplace. 
6.3-5 Tìm hàm truyền của các hệ thống đặc trưng bằng phương trình vi phân 
(a) )(35)(2411
2
2
tf
dt
df
ty
dt
dy
dt
yd
 (b) )(573)(6116
2
2
2
2
3
3
tf
dt
df
dt
fd
ty
dt
dy
dt
yd
dt
yd
 (c) )(234
4
4
tf
dt
df
dt
dy
dt
yd
6.3-6 Tìm phương trình vi phân biểu diễn quan hệ giữa ngõ ra )(ty với ngõ vào )(tf , từ 
các hệ thống có hàm truyền sau: 
(a) 
83
5
)(
2 
ss
s
sH (b) 
758
53
)(
23
2
sss
ss
sH 
(c) 
52
275
)(
2
2
ss
ss
sH 
6.3-7 Hệ thống có hàm truyền 
65
5
)(
2 
ss
s
sH 
(a) Tìm đáp ứng (trạng thái – zêrô) khi ngõ vào )(tf là: 
(i) )(3 tue t (ii) )(4 tue t (iii) )5()5(4 tue t (iv) )()5(4 tue t (v) )5(4 tue t 
(b) Viết phương trình vi phân mô tả quan hệ giữa ngõ ra )(ty với ngõ vào )(tf 
6.3-8 Làm lại bài tập 6.3-7 khi 
62
32
)(
2 
ss
s
sH và ngõ vào )(tf là: (a) )(10 tu (b) )5( tu 
6.3-9 Làm lại bài tập 6.3-7 khi 
9
)(
2 
s
s
sH và ngõ vào )(tf là )()1( tue t 
6.3-10 Cho hệ LT – TT – BB có các điều kiện đầu là zêrô (hệ thống ban đầu ở trạng thái- 
zêrô), ngõ vào )(tf tạo ngõ ra )(ty , chứng tõ là: 
(a) ngõ vào dtdf / tạo ngõ ra dtdy / 
(b) ngõ vào 
t
df
0
)(  tạo ngõ ra 
t
dy
0
)(  , từ đó, chứng tõ đáp ứng bước đơn vị 
của hệ thống là tích phân của đáp ứng xung đơn vị, tức là 
t
dh
0
)(  
6.4-1 Tìm đáp ứng trạng thái – zêrô )(0 tv của mạng hình P6.4-1 nếu điện áp ngõ vào 
)()( tutetf t . Tìm hàm truyền quan hệ giữa ngõ ra )(0 tv và ngõ vào )(tf , tiếp 
đến, viết phương trình vi phân vào – ra của hệ thống. 
6.4-2 Chuyển mạch trong hình P6.4-2 được đóng trong thời gian dài và được mở tức 
thời tại 0 t . Tìm và vẽ dòng điện ).(ty 
6.4-3 Tìm dòng điện )(ty trong mạch cộng hưởng hìnhP6.4-3 khi ngõ vào là: 
(a) )(cos)( 0 ttuAtf  
 (b) )(sin)( 0 ttuAtf  
 Giả sử mọi điều kiện đầu là zêrô 
LC
12
0  
6.4-4 Tìm dòng điện vòng )(1 ty và )(2 ty khi 0 t trong mạch hình P6.4-4a khi ngõ 
vào )(tf được vẽ trong hình P6.4-4b. 
6.4-5 Trong mạch hình P6.4-5, chuyển mạch được đóng trong thời gian dài, và được 
mở tức thời tại 0 t . Tìm )(1 ty và )(tvs khi 0 t 
6.4-6 Tìm điện áp ra )(0 tv khi 0 t V trong mạch hình P6.4-6 khi ngõ vào là 
)(100)( tutf và hệ thống ban đầu ở trạng thái – zêrô. 
6.4-7 Tìm điện áp ra )(0 tv trong mạch hình P6.4-7 nếu điều kiện đầu là AiL 1)0( và 
VvC 3)0( (Hướng dẫn: Dùng dạng song song của máy phát điều kiện đầu) 
6.4-8 Cho mạng hình P6.4-7, chuyển mạch ở vị trí a trong thời gian dài và được 
chuyển tức thời sang vị trí b tại 0 t . Tìm dòng điện )(ty khi 0 t 
Hướng dẫn: dùng mạch tương đương Thevenin 
6.4-9 Chứng tõ là hàm truyền giữa điện áp ngõ ra )(ty và điện áp ngõ vào )(tf của 
mạch op –amp trong hình P6.4-9a là 
as
Ka
sH
 )( với 
a
b
R
R
K 1 và 
RC
a
1
 Và hàm truyền của mạch hình P6.4-9b là 
as
Ks
sH
 )( 
6.4-10 Trong hệ bậc hai dùng op-amp trong hình P6.4-10, chứng tõ hàm truyền giữa 
điện áp ngõ ra )(0 tv và điện áp ngõ vào )(tf là 
128
)(
2 
ss
s
sH 
6.4-11 Dùng định lý giá trị đầu và giá trị cuối, tìm giá trị đầu và giá trị cuối của đáp 
ứng trạng thái – zêrô của hệ thống có hàm truyền 
562
1036
)(
2
2
ss
ss
sH và với ngõ vào là: (a) )(tu (b) )(tue t . 
6.5-1 Hình P6.5-1a vẽ hai đoạn vào) là ½. Hình P6.5-1b vẽ hai đoạn này được nối đuôi 
nhau 
(a) Hàm truyền của mạng nối đuôi này có phải là (1/2)(1/2)=1/4? 
(b) Nếu đúng, chứng minh lại dùng phép tính hàm truyền? 
(c) Làm lại bài tập khi 20043 RR . Điều này có quan hệ gì với câu (b) 
6.5-2 Trong hình 6.18, )(1 th và )(2 th là các đáp ứng xung của hệ thống có hàm truyền 
là )(1 sH và )(2 sH . Xác định đáp ứng xung của kết nối nối tiếp và kết nối song 
song của )(1 sH và )(2 sH vẽ ờ hình 6.18b và c. 
6.6-1 Thực hiện 
)4)(3)(1(
)2(
)(
sss
ss
sH 
bằng dạng chính tắc, nối tiếp và song song 
6.6-2 Làm lại bài 6.6-1 nếu 
(a) 
)22)(1(
)2(3
)(
2 
sss
ss
sH (b) 
2)4)(2(
42
)(
ss
s
sH 
6.6-3 Làm lại bài 6.6-1 nếu 
)3()2(5
32
)(
2 
sss
s
sH Hướng dẫn: đưa hệ số của bậc lủy thừa cao nhất của 
mẫu số về đơn vị. 
6.6-4 Làm lại bài 6.6-1 nếu 
)8)(6)(5(
)2()1(
)(
sss
sss
sH Hướng dẫn: trường hợp này m = n = 3 
6.6-5 Làm lại bài 6.6-1 nếu 
)3)(2()1(
)(
2
3
sss
s
sH 
6.6-6 Làm lại bài 6.6-1 nếu 
)134()1(
)(
22
3
sss
s
sH 
6.6-7 Bài tập này được dùng để cho thấy cặp cực phức liên hợp có thể dùng thực hiện 
mạch nối đuôi hai hàm truyền bậc nhất. Chứng tõ hàm truyền các sơ đồ khối trog 
hình P6.6-7a và b là: 
(a) 
)(2
1
)(
1
)(
22222 baassbas
sH
(b) 
)(2)(
)(
22222 baass
as
bas
as
sH
 , từ đó, chứng minh là hàm truyền 
của sơ đồ khối trong hình P6.6-7c là 
(c) 
)(2)(
)(
22222 baass
BAs
bas
BAs
sH
6.6-8 Dùng op –amp thực hiện hàm truyền sau: 
(i) 
5
10
s
 (ii) 
5
10
 s
 (iii) 
5
2
s
s
6.6-9 Dùng op – amp thực hiện mạch có hàm truyền sau 
5
3
1
5
2
)(
ss
s
sH 
6.6-10 Dùng op amp thực hiện chính tắc (canonical realization) hàm truyền sau 
104
73
)(
2 
ss
s
sH 
6.6-11 Dùng op amp thực hiện chính tắc (canonical realization) hàm truyền sau 
134
25
)(
2
2
ss
ss
sH 
6.7-1 Tìm thời gian lên tr, thời gian thiết lập ts, phần trăm vọt lố (PO), và sai số xác lập 
es, er , và ep cho các hệ thống sau, có hàm truyền là: 
(a) 
93
9
2 ss
 (b) 
43
4
2 ss
 (c) 
10010
95
2 ss
6.7-2 Hệ thống điều khiển vị trí, vẽ ở hình P6.7-2, đáp ứng bước đơn vị cho thấy thời 
gian đỉnh 4/ pt , phần trăm vọt lố (PO = 9%), và giá trị xác lập của ngõ ra với 
tín hiệu bước đơn vị là 2 SSy . Tìm 21, KK và a. 
6.7-3 Hệ thống điều khiển vị trí, vẽ ở hình P6.7-3, có các đặc tính sau 3.0 rt , 1 st , 
phần trăm vọt lố (PO %30 ), và 0 se . Cho biết đặc tính nào không phù hợp 
với hệ thống có giá trị K bất kỳ? Đặc tính nào phù hợp với chỉnh định K đơn 
giản? 
6.7-4 Hàm truyền vòng hở của bốn hệ vòng kín cho dưới đây. Vẽ quỹ đạo nghiệm cho 
từng trường hợp 
(a) 
)5)(3(
)1(
sss
sK
 (c) 
)3(
)5(
ss
sK
(b) 
)7)(5)(3(
)1(
ssss
sK
 (d) 
)22)(4(
)1(
2 
ssss
sK
6.7-5 Trong hệ phản hồi đơn vị ở hình P6.7-5. Ta cần đạt các đặc tính sau %,16 PO 
2,0 rt , 5,0 st , 0 se và 06,0 re . Có khả năng thực hiện các đặc tính này 
bằng cách chỉnh định K không? Nếu không, đề nghị dạng mạch bù thích hợp và 
tìm lại các giá trị ,PO rt , st , se và re . 
6.8-1 Tìm vùng hội tụ, nếu tồn tại của biến đổi Laplace (hai bên) của các tín hiệu sau: 
(a) )(ttue (b) )(ttue (c) 
21
1
t 
 (d) 
te 1
1
 (e) 
2kte 
6.8-2 Tìm biến đổi Laplace (hai bên) và vùng hội tụ tương ứng của các tín hiệu sau: 
(a) 
t
e
 (b) te
t
cos
 (c) )()( 2 tuetue tt 
 (d) )(ttue (e) )( ttue (f) )()(cos 0 tuettu
t  
6.8-3 Tìm biến đổi nghịch của biến đổi Laplace (hai bên) 
(a) 23
)3)(2(
52

ss
s
(b) 32
)3)(2(
52

ss
s
(c) 1
)2)(1(
32

ss
s
(d) 2
)2)(1(
32

ss
s
(e) 51
)5)(3)(1(
1723 2

sss
ss
6.8-4 Tìm biến đổi nghịch của biến đổi Laplace (hai bên) 
)2)(1)(1(
622 2
sss
ss
 nếu vùng hội tụ là 
 (a) 1Re s (b) 2Re s (c) 1Re1 s (d) 1Re2 s 
6.8-5 Hệ LT – TT – BB và nhân quả có hàm truyển 
1
1
)(
s
sH , tìm ngõ ra )(ty khi ngõ vào )(tf là 
 (a) 
2/t
e
 (d) )()(2 tuetue tt 
 (b) )()( 2 tuetue tt (e) )()( 2/4/ tuetue tt 
 (c) )()( 4/2/ tuetue tt (f) )()( 23 tuetue tt