Bài giảng Tín hiệu và dùng chuỗi - Chương 4: Phân tích tín hiệu liên tục theo thời gian biến đổi fourier

CHƢƠNG 4: PHÂN TÍCH TÍN HIỆU LIÊN TỤC THEO THỜI GIAN 
BIẾN ĐỔI FOURIER 
Nội dung 
4.1 Biểu diễn tín hiệu không tuần hoàn dùng tích phân Fourier 
4.2 Một số dạng biến đổi 
4.3 Một số đặc tính của biến đổi Fourier 
4.4 Truyền tín hiệu qua hệ thống liên tục, tuyến tính, bất biến (LT-TT-BB) 
4.5 Mạch lọc lý tưởng và mach lọc thực tế 
4.6 Năng lượng tín hiệu 
4.7 Ứng dụng trong thông tin: Điều chế biên độ 
4.8 Điều chế góc 
4.9 Giới hạn dữ liệu: Hàm cửa sổ 
4.10 Tóm tắt 
Tài liệu tham khảo: 
B.P. Lathi, Signal Processing and Linear Systems, Berkeley-Cambridge Press, 1998 
 Trong chương 3, ta đã biểu diễn tín hiệu tuần hoàn thành dạng tổng các thành phần sin hay 
dạng mũ (không dừng). Chương này biểu diễn dạng phổ cho các tín hiệu không tuần hoàn. 
4.1 Biểu diễn tín hiệu không tuần hoàn dùng tích phân Fourier 
Phép tính giới hạn chứng tõ tín hiệu không tuần hoàn biểu diễn được thành tổng liên tục (tích 
phân) của các hàm mũ không dừng. Để biểu diễn tín hiệu không tuần hoàn )(tf trong hình 4.1 
dùng các hàm mũ không dừng, ta tạo một tín hiệu tuần hoàn )(
0
tfT bằng cách lặp lại nhiều lần tín 
hiệu )(tf tại các thời khoảng T0 giây như hình 4.1b. Chu kỳ T0 cần đủ lớn để tránh trùng lắp các 
tín hiệu. Tín hiệu tuần hoàn )(
0
tfT biểu diễn được bằng chuỗi Fourier mũ. Khi cho 0T , các 
xung trong tín hiệu tuần hoàn lặp lại sau một thời khoảng vô hạn, do đó: 
 )()(lim
0
0
tftfT
T
 Vậy, chuỗi Fourier biểu diễn )(
0
tfT cũng biểu diễn f(t) trong giới hạn 0T . Chuỗi hàm 
mũ Fourier của )(
0
tfT được cho bởi: 
 
n
tjn
nT eDtf
0
0
)(

 (4.1) 
Với 
2/
2/
0
0
0
0
0
)(
1 T
T
tjn
Tn dtetf
T
D

 (4.2a) 
Và 
0
0
2
T
 (4.2b) 
 Ta thấy tích phân )(
0
tfT trong khoảng 
2
,
2
00 TT giống tích phân của f(t) trong khoảng 
),( . Viết lại phương trình (4.2a) 
 dtetf
T
D
tjn
n
0)(
1
0

 (4.2c) 
 Xét bản chất thay đổi của phổ khi tăng giá trị T0 , định nghĩa )(F là hàm liên tục theo  : 
 tjetfF  )()( (4.3) 
 Các phương trình (4.2c) và (4.3) cho: 
 )(
1
0
0
nF
T
Dn (4.4) 
 Điều này có nghĩa là các hệ số nD là tích của )/1( 0T với các mẩu của )(F , phân bố đều tại 
các khoảng 0 , vẽ ở hình 4.2a. Như thế, )()/1( 0 FT là đường biên của các hệ số nD . Khi cho 
 0T bằng cách bước lặp đôi 0T . Khi tăng hai lần 0T thì tần số cơ bản 0 giảm còn 1/2 
[phương trình (4.2b)], nên không nhân đôi như một số thành phần (các mẫu) trong phổ. Tuy nhiên, 
khi nhân đôi 0T , thì đường bao )()/1( 0 FT giảm nửa, vẽ ở hình 4.2b. Nếu ta tiếp tục lần lượt tăng 
đôi 0T nhiều lần, phổ càng dày hơn, và biên độ giảm nhỏ đi. Tuy nhiên, cần chú ý là hình dạng 
tương đối của đường bao vẫn giữ như củ [tăng tỉ lệ với )(F theo phương trình (4.3)]. Trong giới 
hạn 0T , 00  và 0 nD . Kết quả này có nghĩa là phổ rất đặc nên có thành phần phổ chỉ 
cách nhau khoảng zêrô (vô cùng bé). Trong thời gian này, biên độ của các thành phần là zêrô (vô 
cùng bé). 
 Thay phương trình (4.4) vào phương trình (4.1) 
 
n
tjn
T e
T
nF
tf 0
0
0
0 )()(

 (4.5) 
Khi 0T , 0 trở thành vô cùng bé ( 00  ). Nên ta sẽ thay 0 bằng một ý niệm thích hợp, 
 . Từ đó, viết lại phương trình (4.2b) 
0
2
T
 và phương trình (4.5) viết lại thành: 
 tjn
n
T e
nF
tf )(
2
)(
)(
0

 
 
 (4.6a) 
Phương trình (4.6a) cho thấy )(
0
tfT viết được thành tổng của các hàm mũ không dừng có tần số 
,,3,2,,0  (chuỗi Fourier). Số lượng các thành phần tần số  n là    2/)( nF . 
Khi 0T , 0  và )()(0 tftfT . Do đó: 
 
n
tjn
T
enFtf 
)(
0
)(
2
1
lim)(
0
 (4.6b) 
Tổng bên vế phải của phương trình (4.6b) có thể được xem là vùng diện tích của hàm tjeF )( , 
trong hình 4.3. Vậy 
 
 deFtf tj)(
2
1
)( (4.7) 
Tích phân bên vế phải được gọi là tích phân Fourier. Về cơ bản thì tích phân này là chuỗi Fourier 
(trong giới hạn) với tần số cơ bản 0  , như trong phương trình (4.6). Số lượng các hàm mũ 
tjne  là    2/)( nF . Nên hàm )(F trong phương trình (4.3) hoạt động như hàm phổ. 
 Ta gọi )(F là biến đổi Fourier trực tiếp của )(tf và )(tf là biến đổi Fourier nghịch của 
)(F . Ta còn gọi )(tf và )(F là cặp biến đổi Fourier và được viết theo: 
 )(F F[f(t)] và f(t) = F-1[F()] 
 )()( Ftf 
Tóm lại 
 dtetfF tj )()( (4.8a) 
 
 deFtf tj)(
2
1
)( (4.8b) 
 Cần nhớ là tích phân Fourier trong phương trình (4.8b) là bản chất của chuỗi Fourier với 
tần số cơ bản 0  (phương trình (4.6b). Do đó, hầu hết các tính chất của chuỗi Fourier đều 
dùng được cho biến đổi Fourier. Có thể vẽ phổ )(F theo  . Do )(F là phức, ta có phổ biên độ 
và phổ pha theo 
 )()()(  FjeFF  (4.9) 
Trong đó )(F là phổ biên độ và )(F là góc (hay pha) của )(F . Từ phương trình (4.8a), ta 
có: 
 dtetfF tj )()( 
 Vậy khi )(tf là hàm thực theo t, thì )(F và )(  F là liên hợp. Do đó: 
 )()(  FF (4.10a) 
 )()(  FF   (4.10b) 
Do đó, với hàm thực )(tf , thì phổ biên độ )(F là hàm chẵn, và phổ pha )(F là hàm lẻ theo 
. Đặc tính này (đặc tính đối xứng liên hợp) chỉ đúng cho hàm thực )(tf . Các kết quả này đã tìm 
được trong phần phổ Fourier của tín hiệu tuần hoàn (phương trình 3.77), vậy biến đổi )(F là đặc 
tính tần số của )(tf . 
■ Thí dụ 4.1: 
 Tìm biến đổi Fourier của )(tue at ? 
 Từ định nghĩa [phương trình (4.8a)] 
0
)()( 1)()( tjattjattjat e
ja
dtedtetueF 

 
Do 1 tje  , nên khi t , 0)( tjattja eee  nếu 0 a , do đó: 
 0
1
)( 
 a
ja
F

 (4.11a) 
Dạng cực 
)(tan
22
11
)( a
j
e
a
F



 (4.11b) 
Vậy: 
22
1
)(


a
F và 
  
a
F

 1tan)( (4.12) 
 Phổ biên độ và phổ pha được vẽ trong hình 4.4b. Ta thấy phổ biên độ là hàm chẵn và phổ pha 
là hàm lẻ theo tần số  . ■ 
Tồn tại của biến đổi Fourier. 
 Trong thí dụ 4.1, ta thấy là khi a < 0, biến đổi Fourier của )(tue at không hội tụ. Do đó, biến 
đổi Fourier của )(tue at không hội tụ nếu a < 0 (hàm mũ tăng). Tức là không phải mọi tín hiệu đều 
có biến đổi Fourier. Tồn tại của biến đổi Fourier cho hàm )(tf được bảo đãm nhờ điều kiện 
Dirichlet. Điều kiện đầu tiên là 
dttf )( (4.13) 
Do 1 tje  , từ phương trình (4.8a) ta có 
 dttfF )()( 
Bất đẳng thức này cho thấy biến đổi Fourier tồn tại nếu thỏa điều kiện (4.13). Ngược lại thì không 
bảo đãm. Thí dụ 4.1 cho thấy biến đổi Fourier không tồn tại với tín hiệu hàm mũ tăng (đã vi phạm 
điều kiện này). Mặc dù đây là điều kiện đủ, chứ không là điều kiện cần cho tồn tại biến đổi Fourier 
của tín hiệu. Thí dụ, tín hiệu tat /)sin( vi phạm điều kiện (3.13), nhưng có biến đổi Fourier. Các 
tín hiệu thực tế thường thỏa điều kiện Dirichlet nên có biến đổi Fourier. Như thế, tồn tại thực tế 
của tín hiệu là điều kiện đủ để tồn tại biến đổi Fourier. 
Tính tuyến tính của biến đổi Fourier. 
 Biến đổi Fourier là biến đổi tuyến tính, tức là nếu 
 )()( 11 Ftf và )()( 22 Ftf thì 
 )()()()( 22112211  FaFatfatfa (4.14) 
Chứng minh đơn giản và lấy từ phương trình (4.8a). Kết quả mở rộng được khi có nhiều thừa số 
hơn nũa. 
4.1-1 Đánh giá thực tế về biến đổi Fourier. 
Để hiểu được các nét của biến đổi Fourier, ta cần nhớ là biểu diễn Fourier là phương thức 
biểu diễn tín hiệu thành các tín hiệu sin (hay mũ) không dừng. Phổ Fourier của tín hiệu chỉ ra các 
biên độ và pha tương đối của các sóng sin cần thiết để tổng hợp tín hiệu này. Phổ Fourier của tín 
hiệu tuần hoàn có các biên độ hữu hạn và tồn tại các tần số rời rạc (0 và các bội tần), phổ dạng 
này dễ nhận thấy, nhưng phổ tín hiệu không tuần hoàn không dễ nhìn thấy do có dạng phổ liên tục. 
 Ý niệm phổ liên tục có thể hiễu được qua xem xét một hiện tượng tương đồng, hữu hình. Một 
thí dụ về phân phối liên tục là tải của xà ngang. Xét một xà ngang với tải là các đơn vị trọng lượng 
,,...,,, 321 nDDDD tại các điểm cách đều nhau ,,...,,, 321 nxxxx vẽ trong hình 4.5a. Tải chung WT đặt 
vào xà ngang là tổng của từng tải tại n điểm: 
 
n
i
iT DW
1
 Xét trường hợp tải liên tục trên xà ngang, vẽ trong hình 4.5b. Trường hợp này, dù có vẻ là tải 
xuất hiện tại các điểm, nhưng tải tại từng điểm lại là zêrô. Điều này không có nghĩa là không có tải 
trên xà. Trường hợp này thì đo lường thích hợp nhất là không là tải tại từng điểm, mà nên là mật 
độ tải trên đơn vị dài của xà ngang. Gọi )(xF là mật độ tải trên đơn vị dài của xà. Theo đó thì tải 
trên chiều dài xà ngang là x ( x 0) tại một điểm x là xxF )( . Để tìm tải trên xà ngang, ta chia 
xà ngang thành các khoảng cách nhau x ( x 0). Tải của n đoạn có chiều dài x là xxnF )( . 
Tải chung WT là: 
  
n
n x
x
x
x
x
T dxxFxxnFW
1
1
)()(lim
0
 Trường hợp tải rời rạc trong hình 4.5a, tải chỉ tồn tại ở n điểm rời rạc. Các điểm khác không 
có tải. Nói cách khác, trong trường hợp tải liên tục, tải có tại mỗi điểm nhưng tại một điểm cụ thể 
x, thì tải là zêrô. Tuy nhiên, tải tại môt đoạn nhỏ x là xxnF )( (hình 4.5b). Do đó, dù tải tại một 
điểm x là zêrô thì tải tương đối tại đó là F(x). 
 Lập luận tương tự cho trường hợp phổ tín hiệu. Khi )(tf tuần hoàn thì phổ là rời rạc, và có 
thể viết )(tf thành tổng các hàm mũ rời rạc có biên độ hữu hạn: 
  
n
tjn
neDtf
0)(

 Khi tín hiệu không tuần hoàn, phổ trở thành liên tục; tức là phổ tồn tại cho từng giá trị của , 
nhưng biên độ của mỗi thành phần trong phổ là zêrô. Đo lường có nghĩa trong trường hợp này 
không phải là biên độ của thành phần tại một số tần số mà là mật độ phổ trên đơn vị băng thông. 
Phương trình (4.6b) cho thấy là )(tf được tổng hợp bằng cách cộng các hàm mũ dạng tjne  , theo 
đó đóng góp của một thành phần mũ là zêrô. Nhưng đóng góp của hàm mũ trong dải tần vô cùng 
bé  tại vị trí  n là  )()2/1( nF , và việc lấy tổng mọi thành phần cho )(tf có 
dạng: 
  
n
tjn dFenFtf 



)(
2
1
)(
2
1
lim)( )(
0
 (4.15) 
 Đóng góp của thành phần trong dải tần d là dFFdF )()(
2
1

 , với dF là băng thông 
tính theo Hertz. Rõ ràng, F() là mật độ phổ trên đơn vị băng thông (Hertz). Cũng cần thấy là cho 
dù biên độ của một thành phần nào đó là zêrô, thì lượng tương đối của thành phần tại tần số  là 
F(). Mặc dù F() là mật độ phổ, nhưng trong thực tế lại thường đươc gọi là phổ của )(tf thay vì 
là mật độ phổ của )(tf . Do đó, gọi F() là phổ Fourier (hay biến đổi Fourier) của )(tf . 
Sự hài hòa kỳ diệu 
 Điểm quan trọng cần nhớ ở đây là )(tf được biểu diễn (hay tổng hợp) dùng các hàm mũ (hay 
sin) là hàm không dừng (hay không nhân quả). Xét việc tổng hợp tín hiệu xung )(tf tồn tại trong 
thời gian giới hạn (hình 4.6) bằng các thành phần sóng sin trong phổ Fourier. Tín hiệu )(tf chỉ tồn 
tại trong khoảng (a,b) và là zêrô ở ngoài khoảng này. Phổ của )(tf chứa vô hạn các hàm mũ (hay 
sin) bắt đầu tại t và tiếp tục mãi mãi. Biên độ và pha của các thành phần này phải hợp lại 
thành đúng )(tf trong khoảng giới hạn, và là zêrô ngoài khoảng này. Sắp xếp biên độ và pha của 
vô số thành phần này đòi hỏi sự hài hòa và trí tưởng tưởng tinh tế của con người, nhưng biến đổi 
Fourier lại thực hiện được việc này theo trình tự , không phải suy nghĩ gì. 
Một vài ý niệm 
 Trong chương 2, ta định nghĩa hàm truyền H(s) là 
 dtethsH st)()( (4.16) 
 Cho s = j 
 dtethjH tj )()( (4.17) 
 Vế phải là biến đổi Fourier của )(th , và theo ý niệm từ phương trình (4.3) thì đó là )(H , 
trong khi có ý niệm tương tự là )( jH trong chương 2. Do đó, trung thành với ý niệm trước, ta 
gọi biến đổi Fourier là )( jF thay vì )(F trong phương trình (4.3). Thực ra, ý niệm )( jF cho 
biến đổi Fourier thường dùng trong nhiều tài liệu. Do đó, ta tiếp tục dùng hai ý niệm, với ghi nhớ 
là )(F và )( jF biểu diễn cùng đặc tính. 
 Điều này chỉ quan trọng khi ta bàn về biến đổi Laplace và tính lọc trong các chương kế, như 
thế cần nhớ là )(H và )( jH biểu diễn cùng đặc tính. 
4.1-2 Khảo sát đáp ứng của hệ LT – TT – BB dùng biến đổi Fourier. 
 Để biểu diễn tín hiệu )(tf thành tổng các hàm mũ (không dừng) nhằm tìm đáp ứng hệ thống 
)(tf là tổng của các đáp ứng thành phần mũ của )(tf . Xét hệ LT – TT – BB ổn định tiệm cận có 
hàm truyền H(s). Đáp ứng của hệ thống này với hàm mũ không dừng tje  là tjeH )( . Cặp vào–
ra này được biểu diễn như sau: 
 tjtj eHe  )( 
Vậy 
 tnjtnj enHe )()( )(   
Và 
 tnjtnj e
nHnF
e
nF )()(
2
)()(
2


 
Do tính tuyến tính 

n
tnj
n
tnj e
nHnF
e
nF )(
0
)(
0 2
lim
2
lim 


 


 Ngõ vào )(tf Ngõ ra )(ty 
Vế phải là ngõ vào )(tf [xem phương trình (4.6a) và (4.6b)], và vế phải là đáp ứng )(ty . Nên: 
 
 



deHFenHnFty tj
n
tnj )()(
2
1
)()(lim
2
1
)( )(
0
 
 deYty tj)(
2
1
)( (4.18) 
Với )(Y là biến đổi Fourier của )(ty , cho bởi 
 )()()(  HFY (4.19) 
 Gút lại, khi hệ LT – TT – BB có hàm truyền là H(s) có ngõ vào là )(tf , và ngõ ra là )(ty thì 
nếu 
 )()( Ftf thì )()( Yty 
 Các bước trong phương pháp miền tần số giống hệt trường hợp trong miền thời gian. Trong 
miền thời gian ta biểu diễn )(tf thành tổng các thành phần xung; còn trong miền tần số, ngõ vào 
được viết thành tổng các hàm mũ (hay sin) không dừng. Trong trường hợp đầu, đáp ứng )(ty là 
tổng của các đáp ứng thành phần xung từ phép tích phân chập; còn trong miền tần số thì đáp ứng là 
tổng các đáp ứng hệ thống thành phần của hàm không dừng dạng mũ lấy từ tích phân Fourier. Ý 
tưởng này được diễn đạt một cách toán học như sau: 
1. Trong miền thời gian 
 )()( tht  đáp ứng xung của hệ thống là )(th 
 dxxtxftf )()()(  biểu diễn )(tf thành tổng các thành phần xung, và 
 dxxthxfty )()()( biểu diễn )(ty thành tổng các đáp ứng thành phần xung 
2. Trong miền tần số 
 tjtj eHe  )( đáp ứng hệ thống của tje  là tjeH )( 
 
 deFtf tj)(
2
1
)( ; )(tf thành tổng các thành phần hàm mũ không dừng, và 
 
 deHFty tj)()(
2
1
)( ; )(ty là tổng đáp ứng các thành phần hàm mũ 
 Quan điểm miền tần số nhìn nhận hệ thống theo đáp ứng tần số (đáp ứng hệ thống với nhiều dạng 
thành phần sóng sin). Khi xem tín hiệu là tổng của nhiều thành phần sóng sin. Truyền tín hiệu qua 
hệ (tuyến tính) được xem là truyền nhiều thành phần sóng sín của tín hiệu qua hệ thống. 
4.2 Biến đổi Fourier của một số hàm hữu ích 
 Để tiện, ta giới thiệu các ý niệm cô đọng về một số hàm hữu ích như xung vuông góc, xung 
tam giác, và các hàm nội suy. 
Xung vuông góc đơn vị 
 Được định nghĩa là hàm rect(x) là xung vuông góc có chiều cao đơn vị và độ rộng đơn vị, 
nằm cách đều gốc, vẽ ở hình 4.7a; 
2/11
2/12/1
2/10
x
x
x
rect (4.20) 
 Xung cổng trong hình 4.7b là xung cổng đơn vị rect (x) mở rộng theo thừa số  và có thể viết 
thành rect (x/) (xem phần 1.3-2). Ta thấy là , mẫu số của (x/), cho thấy độ rộng của xung. 
Xung tam giác đơn vị 
 Xung tam giác đơn vị (x) là xung tam giác có độ cao đơn vị và độ rộng đơn vị, nằm cách 
đều gốc, vẽ ở hình 4.8a 
2/121
2/10
)(
xx
x
x (4.21) 
Xung hình 4.8b là )/( x . Ta thấy là trường hợp này giống trường hợp xung cổng, mẫu số  của 
)/( x chỉ độ rộng xung. 
Hàm nội suy sinc(x) 
 Hàm sinx/x còn gọi là sinc(x), là hàm có vai trò quan trọng trong xử lý tín hiệu, còn gọi là 
hàm lọc hay hàm nội suy. Định nghĩa: 
x ... vuông cho phép ta giới hạn đột 
ngột dữ liệu, khi cho trong số đơn vị dữ liệu qua cửa sổ và phần dữ liệu còn lại có trọng số là 0. 
Các cửa sổ hình nón, thì cho phép trọng số giảm từ từ, từ 0 đến 1. Giới hạn dữ liệu có thể tạo thêm 
rắc rối. Thí dụ, khi tính biến đổi Fourier, thì cửa sổ giới hạn có thể làm rải phổ, tùy theo hàm cửa 
sổ nào được dùng, Cửa sổ vuông ít tạo rải phổ nhất, nhưng lại có rò phổ ở búp biên và giảm chậm 
theo /1 . Cửa sổ dạng nón thường có rải phổ lớn hơn, nhưng rò phổ nhỏ hơn và giảm nhanh hơn 
với tần số. Điều may mắn là có thể giảm rải phổ bằng cách tăng chiều rộng cửa sổ. Do đó, ta có thể 
giải quyết kết hợp yếu tố rải phổ và rỏ phổ bằng cách chọn thích hợp hàm cửa sổ với độ rộng T đủ 
lớn. 
 Tham khảo 
1. Churchill, R.V., and J.W. Brown, Fourier Series and Boundery Value Problems, 3rd Ed., 
McGraw-Hill, New York, 1978. 
2. Bracewell, R.N., Fourier Transform and Its Applications, revised 2nd Ed., McGraw-Hill, 
New York, 1986. 
3. Guillemain. E.A., Theory of Linear Physical Systems, Wiley, New York, 1963. 
4. Lathi, B.P., odern Digital and Analog Communication Systems, 3rd Ed., Oxford University 
Press, New York, 1998. 
5. J. Carson, “Notes on Theory of Modulation” Proc. IRE, vol 10. Febuary 1922, pp. 57-64. 
6. J. Carson, “The Reduction of Asmospheric Disturbances” Proc. IRE, vol 16. July 1928, pp. 
966-975. 
7. Armstrong E.H. “A Method of Reducing Disturbances in Radio Signalling by a System of 
Frequency Modulation” Proc. IRE, vol 24. May 1936, pp. 689 – 740 . 
8. Hamming R.W., Digital Filters, 2nd Ed. Prentice Hall, Englewood Cliffs, N.J. 1983. 
9. Harris, F. J., “On the Use of Windows for Harmonic Analysis with the Discrete Fourier 
Transform” Proc. IEEE, vol 66. No. 1, January 1978, pp. 51-83. 
BÀI TẬP 
4.1-1 Chứng tõ là khi )(tf là hàm chẵn theo t, thì 
0
cos)(2)( tdttfF  và nếu )(tf là hàm lẻ theo t, thì 
0
sin)(2)( tdttfjF  
 Từ đó, chứng minh là khi )(tf là hàm thực và chẵn theo t, thì )(F là hàm thực và chẵn 
theo . Hơn nũa, nếu )(tf là hàm lẻ theo t, thì )(F là hàm phức và lẻ theo . 
4.1-2 Chứng tõ là với hàm thực )(tf , phương trình (4.8b) được viết thành 
 
0
)](cos[)(
1
)( 
dFtFtf 
 Đây là dạng lượng giác của tích phân Fourier. So sánh với dạng chuỗi Fourier lương giác 
4.1-3 Tín hiệu )(tf có thể biểu diễn thành tổng các thành phần chẵn )(tfe và lẻ )(0 tf (xem phần 
1.5-2) 
 )()()( 0 tftftf e 
 (a) Nếu )()( Ftf , chứng minh là với hàm thực )(tf 
 )](Re[)( Ftfe và )](Im[)( Fjtfo 
(b) Kiểm nghiệm lại kết quả bằng cách tìm biến đổi Fourier của các thành phần hàm chẵn 
và hàm lẻ của các tín hiệu sau: (i) )(tu (ii) )(tue at 
4.1-4 Từ định nghĩa (4.8a), tìm biến đổi Fourier của tín hiệu )(tf trong hình P4.1-4. 
4.1-5 Từ định nghĩa (4.8a), tìm biến đổi Fourier của tín hiệu )(tf trong hình P4.1-5. 
4.1-6 Từ định nghĩa (4.8b), tìm biến đổi Fourier nghịch của phổ vẽ trong hình P4.1-6. 
4.1-7 Từ định nghĩa (4.8b), tìm biến đổi Fourier nghịch của phổ vẽ trong hình P4.1-7. 
4.2-1 Vẽ các hàm sau: 
(a) 
2
t
rect (b) 
100
3
 (c) 
8
10t
rect (d) 
5
sin
 
c (e) 
5
10
sin
 
c 
(f) 
 105
sin
t
rect
t
c 
Hướng dẫn: 
b
ax
f là 
b
x
f dời phải đoạn a. 
4.2-2 Từ định nghĩa (4.8b) chứng tõ là biến đổi Fourier của rect (t – 5) là 
 5
2
sin jec 
. Vẽ phổ 
biên độ và phổ pha. 
4.2-3 Từ định nghĩa (4.8b) chứng tõ là biến đổi Fourier của 

2
10
rect là tjetc 10sin . 
4.2-4 Tìm biến đổi Fourier nghịch của )(F của các phổ vẽ trong hình P4.2-4a và P4.2-4b. 
Hướng dẫn: )()()(  FjeFF  . Bài tập này cho thấy phương thức khi các phổ pha khác 
nhau biểu diễn tín hiệu hoàn toàn khác nhau (dù có cùng phổ biên độ) 
4.3-1 Dùng đặc tính đối xứng cho các cặp thích hợp trong bảng 4.1 để chứng minh là 
(a) )()(
2
1

 u
t
j
t 
 (b)  TTtTt cos2)()( 
 (c)  TjTtTt sin2)()( 
4.3-2 Biến đổi Fourier của xung tam giác )(tf trong hình P4.3-2a là 
 11)(
2
  

 jj ejeF 
 Dùng thông tin này, và các đặc tính dời theo thời gian và tỉ lệ theo thời gian, tìm biến 
đổi Fourier của các tìn hiệu )5,4,3,2,1()( itft vẽ trong hình P4,3-2 
Hướng dẩn: Xem phần 1.3 về các phép tính đối với tín hiệu. Xung )5,4,3,2,1()( itft có 
thể xem là tổ hợp của )(tf và )(1 tf với các thời gian trễ thích hợp (có thể là dương hay âm) 
4.3-3 Chỉ dùng tính dời theo thời gian và bảng 4,1, tìm biến đổi Fourier của tín hiệu vẽ trong hình 
P4.3-3. Hướng dẫn: Tín hiệu trong các hình b, c, và d có thể viết thành dạng 
)]()()[( atututf . 
4.3-4 Dùng đặc tính dời theo thời gian, chứng tõ 
 nếu )()( Ftf thì  TFTtfTtf cos)(2)()( . 
 Đây là dạng đối ngẫu của phương trình (4.41). Dùng kết quả này và cặp 17, cặp 19 trong 
bảng 4.1 để tìm biến đổi Fourier của các tín hiệu trong hình P4.3-4. 
4.3-5 Chứng tõ các kết quả sau đối ngẫu lẫn nhau 
  )()(
2
1
sin)( 000  FF
j
ttf 
    TFTtfTtf
j
sin)()()(
2
1
 Dùng các kết quả này và bảng 4.1, tìm biến đổi Fourier của tín hiệu trong hình P4.3-5. 
4.3-6 Các tín hiệu trong hình P4.3-6 là tín hiệu đã điều chế với sóng mang t10cos . Tìm biến đổi 
Fourier của các tín hiệu này dùng đặc tính thíc hợp của biến đổi Fourier và bảng 4.1. Vẽ 
phổ biên độ và phổ pha của phần (a) và (b). 
4.3-7 Dùng đặc tính dời theo tần số và bảng 4.1, tìm biến đổi Fourier nghịch của phổ vẽ trong 
hình P4.3-7. 
4.3-8 Dùng đặc tính tích chập theo thời gian, chứng tõ cặp 2, 4, 13 và 14 trong bảng 2.1 (giả sử 
0  trong cặp 2, 1 và 02  trong cặp 4, 01  và 02  trong cặp 13, 1 và 02  
trong cặp 14). 
Hướng dẫn: Dùng khai triển đa thức. Đối với cặp 12, dùng kết quả từ phương trình (1.23) 
4.3-9 Tín hiệu )(tf có băng thông giới hạn ở B Hz. Chứng tõ là tín hiệu )(tf n có băng thông 
nB Hz. Hướng dẫn: Bắt đầu với n = 2. Dùng đặc tính của tích chập theo tần số và đặc tính 
về độ rộng của phép tích chập. 
4.3-10 Tìm biến đổi Fourier của tín hiệu trong hình P4.3-3a với ba phương pháp khác nhau: 
(a) Lấy tích phân trực tiếp từ định nghĩa (4.8a) 
(b) Chỉ dùng cặp 17 và đặc tính dời theo thời gian 
(c) Dùng các đặc tính vi phân và dời theo thời gian, và 1)( t 
 Hướng dẫn: xx 2sin22cos1 
4.3-11 (a) Chứng minh đặc tính vi phân theo tần số (đối ngẫu với vi phân theo thời gian) 
 )()( 

F
d
d
tjtf 
(b) Dùng đặc tính này và cặp 1 (bảng 4.1), xác định biến đổi Fourier của )(tute at 
4.4- 1 Hệ thống LT – TT – BB có hàm truyền 
1
1
)(
s
sH 
 Tìm đáp ứng trạng thái zêrô nếu ngõ vào )(tf là: 
 (a) )(2 tue t (b) )(tue t (c) )( tuet (d) )(tu 
 Hướng dẫn: Từ phần (d), cần áp dụng kết quả của phương trình (1.23) 
4.4-2 Hệ thống LT – TT – BB có hàm truyền 
21
1
)(


j
H 
 Tìm đáp ứng xung của hệ thống và chứng tõ đây là hệ thống không nhân quả. Tìm đáp 
ứng trạng thái – zêrô của hệ thống khi ngõ vào )(tf là: (a) )(tue t (b) )( tuet 
4.4-3 Tín hiệu )10(10)( 441 trecttf và )()(2 ttf  là các ngõ vào của bộ lọc thông thấp lý 
tưởng 


000.40
)(1 rectH và 


000.20
)(2 rectH (hình P4.4-3). Các ngõ ra 
)(1 ty và )(2 ty của các bộ lọc được nhân với nhau để có )()()( 21 tytyty . 
(a) Vẽ )(1 F và )(2 F 
(b) Vẽ )(1 H và )(2 H 
(c) Vẽ )(1 Y và )(2 Y 
(d) Tìm băng thông của )(1 ty , )(2 ty và )(ty 
 Hướng dẫn cho phần (d): Dùng đặc tính tích phân chập và đặc tính về độ rộng của tích 
phân chập để xác định băng thông của )()( 21 tyty . 
4.4-4 Hằng số thời gian của bộ lọc thông thấp thường được định nghĩa là độ rộng của đáp ứng 
xung )(th (xem phần 2.7-2). Xung vào )(tp có cường độ bằng với điện tích của )(tp nếu 
độ rộng của )(tp là rất bé so với hằng số thời gian của hệ thống. Giả sử )(tp là xung thông 
thấp, tức là có phổ tập trung tại các tần số thấp. Kiểm tra lại đáp ứng bằng cách xét hệ 
thống có đáp ứng xung đơn vị là 
 310
)(
t
rectth . Xung vào là xung tam giác 
 610
)(
t
tp . Phần diện tích của xung là 6105,0 xA . Chứng tõ là đáp ứng của hệ 
thống với xung này rất giống với đáp ứng hệ thống khi ngõ vào là )(tA . 
4.4-5 Hằng số thời gian của bộ lọc thông thấp thường được định nghĩa là độ rộng của đáp ứng 
xung )(th (xem phần 2.7-2). Xung )(tp vào hệ thống không bị méo trong thực tế, nếu độ 
rộng của )(tp rất lớn hơn hằng só thời gian của hệ thống. . Giả sử )(tp là xung thông thấp, 
tức là có phổ tập trung tại các tần số thấp. Kiểm tra lại đáp ứng bằng cách xét hệ thống có 
đáp ứng xung đơn vị là 
 310
)(
t
rectth . Xung vào là xung tam giác ttp )( . Chứng 
tõ là đáp ứng của hệ thống với xung này rất gần )(tkp với k là độ lợi của hệ thống khi ngõ 
vào là tín hiệu dc, tức là )0(Hk . 
4.4-6 Tín hiệu nhân quả )(th có biến đổi Fourier là )(H . Nếu )(R và )(X là phần thực và 
phần ảo của )(H , tức là )()()(  jXRH , chứng minh: 
y
X
R



)(1
)( và 
y
R
X



)(1
)( 
 Giả sử )(th không có xung tại gốc, thì cặp tích phân trên gọi là biến đổi Hilbert. 
 Hướng dẫn: gọi )(the và )(tho là các thành phần chẵn và lẻ của )(th . Dùng kết quả 
trong bài tập 4.1-3, xem phương trình 1.24 để tìm quan hệ giữa )(the và )(tho . Nhắc lại 
jt /2)sgn( . Dùng đặc tính tích phân chập. 
 Bài tập này cho thấy các đặc tính quan trọng của hệ thống nhân quả: là phần thực và 
phần ảo quan hệ với nhau trong hàm truyền của hệ thống nhân quả. Nếu đã đặc trưng phần 
thực thì phần ảo không thể đặc trưng độc lập nũa. Phần ảo đã được định trước từ phần thực, 
và ngược lại. Kết quả này dẫn đến kết luận là biên độ và pha của )(H có quan hệ với nhau 
khi mọi cực và zêrô đều nằm bên trái mặt phẳng phức. 
4.5-1 Xét bộ lọc có hàm truyền )( 0
2
)(
tjk
eH
 
 Chứng tõ hàm truyền này là không thực hiện được trong thực tế dùng các tiêu chuẩn trong 
miền thời gian [hàm )(th không nhân quả và các tiêu chuẩn trong miền tần số (Paley-Wiener). Bộ 
lọc này có thể thực hiện xấp xỉ không với việc chọn 0t đủ lớn? Dùng tiêu chuẩn riêng về xấo xỉ 
của bạn để xác định 0t . Hướng dẫn: Dùng cặp 22 trong bảng 4.1. 
4.5-2 Chứng tõ bộ lọc với hàm truyền 
 0
102
5
10
)10(2
)(
tj
eH


 
 Là không thực hiện được. Có thể thực hiện mạch xấp xỉ khi cho t0 đủ lớn? Dùng tiêu chuẩn 
xấp xỉ của bạn để xác định t0. 
 Hướng dẫn: chứng tõ và đáp ứng xung là không nhân quả. 
4.5-3 Xác định xem các bộ lọc với hàm truyền sau là thực hiện được trong thực tế 
Nếu không thực hiện được, thì có thể thực hiện chúng một cách chính xác hay xấp xỉ bằng 
cách cho thời gian trễ hữu hạn trong đáp ứng? 
)(H = (a) )10(sin10 66  c (b) 

000.40
10 4 (c) )(2   
4.6-1 Chứng tõ là năng lượng của xung Gauss 
2
2
2
2
1
)( e
t
etf
 
 là 
 2
1
. Kiểm nghiệm kết quả bằng cách tìm năng lượng fE từ 
)(F dùng định lý Parseval. Hướng dẫn: Xem cặp 22 trong bảng 4,1. Dùng sự kiện 
 22/
2
dxe x 
4.6-2 Chứng tõ là 
k
dxkxc
)(sin 2 
 Hướng dẫn: thừa nhận là tích phân trên là năng lượng của )(sin)( ktctf . Tìm năng lượng 
dùng định lý Parseval. 
4.6-3 Tín hiệu thông thấp )(tf được đưa qua linh kiện có tính bình phương. Ngõ ra )(2 tf được 
đưa qua mạch lọc thông thấp có băng thông là F (Hz) trong hình P4.6-3. Chứng tõ là nếu 
F rất nhỏ ( 0 F ), thì ngõ ra là tín hiệu dc fEty f 2)( . 
Hướng dẫn: Nếu 
)()(2 Atf , chứng minh là )(])0(4[)(   FAY nếu 0 F , chứng minh rằng 
fEA )0( 
4.6-4 Tổng quát hóa định lý Parseval để chứng minh là với tín hiệu thực, có biến đổi Fourier 
)(1 tf và )(2 tf thì 
 

dFFdFFdttftf )()(
2
1
)()(
2
1
)()( 212121 
4.6-5 Cho tín hiệu 
22
2
)(
at
a
tf
 Xác định băng thông chủ yếu B Hz của )(tf sao cho năng lượng chứa trong các thành 
phần phổ của )(tf có tần số thấp hơn B Hz là 99% của năng lượng tín hiệu fE . Hướng dẫn: Xem 
bài tập E 4.5b 
4.7-1 Với mỗi trong ba tín hiệu băng nền 
(i) ttm 1000cos)( (ii) tttm 2000cos1000cos2)( (iii) tttm 3000cos1000)( 
(a) Vẽ phổ của )(tm 
(b) Vẽ phổ của tín hiệu DSB – SC ttm 000.10cos)( . 
(c) Tìm phổ của biên tần trên (USB) và biên tần dưới (LSB) 
(d) Tìm các tần số trong băng nền, và các tần số tương ứng của phổ DSB – SC, USB và LSB. Tìm 
bản chất của sự dời tần trong từng trường hợp. 
4.7-2 Bạn được yếu cầu thiết kế bộ điều chế DSB – SC tạo tín hiệu điều chế ttkm ccos)( , trong 
đó )(tm là tín hiệu có băng thông giới hạn là B Hz (hình P4.7-2a). Hình P4.7-2b vẽ bộ điều 
chế DSB – SC thích hợp. Bộ lọc thông dải chỉnh ở tần số c . Máy phát sóng mang không 
tạo ra tccos mà tạo ra tc
3cos 
(a) Bạn có thể tạo ra tín hiệu cần thiết chỉ dùng thiết bị này không? nếu được, cho biết k là 
bao nhiêu? 
(b) Xác định phổ tín hiệu tại điểm b và c, và cho biết dải tần số của các phổ trên 
(c) Cho biết giá trị tối thiểu để c còn được dùng? 
(d) Sơ đồ này có hoạt động được không nếu ngõ ra của máy phát sóng mang là tc
3cos ? 
Giải thích? 
(e) Sơ đồ này có hoạt động được không nếu ngõ ra của máy phát sóng mang là tc
n cos ? 
Với các giá trị số nguyên 2 n ? 
4.7-3 Trong thực tế, việc nhân tín hiệu analog thường phức tạp và tốn kém. Do đó, trong bộ điều 
chế biên độ, cần tìm ra cách khác để nhân )(tm với tccos . May mắn là trong trường hợp 
này, ta có thể thay phép nhân bằng tác động chuyển mạch. Tương tự cho trường hợp giải 
điều chế. Trong sơ đồ hình P4.7-3a, chu kỳ của xung vuông tuần hoàn )(tx trong hình 
P4.7-3b là cT  /20 . Bộ lọc thông dải có tần số trung tâm là c . Chú ý là phép nhân 
xung vuông tuần hoàn )(tx trong hình P4.7-3b thực ra là chuyển mạch on –off theo chu kỳ 
của )(tm . Đây là sơ đồ tương đối đơn giản và rẽ tiền. 
Chứng tõ là sơ đồ này có thể tạo tín hiệu đã điều chế tk ccos . Xác định giá trị của k. 
Chứng tõ là sơ đồ này còn có thể dùng giải điều chế khi thay bộ lọc thông dải trong hình 
P4.7-3a bằng bộ lọc thông thấp (hay băng nền). 
4.7-4 Hình P4.7-4 giới thiệu sơ đồ giải điều chế đồng bộ. Chứng tõ là sơ đồ này có thể giải điều 
chế tín hiệu AM, ttmA ccos)]([ bất chấp giá trị A. 
4.7-5 Vẽ tín hiệu AM, ttmA ccos)]([ của tín hiệu tuần hoàn tam giác )(tm vẽ trong hình 
P4.7-5 tương ứng với các chỉ số điều chế (a) 5,0  (b) 1  (c) 2  và (d)  . 
Hảy diễn giải trường hợp  
4.7-6 Với từng tín hiệu trong ba tín hiệu băng nền 
 (i) ttm 100cos)( (ii) tttm 300cos2100cos)( (iii) tttm 500cos100cos)( 
(a) Vẽ phổ của )(tm 
(b) Vẽ phổ của tín hiệu DSB – SC ttm 000.1cos)(2 . 
(c) Từ phổ của phần (b), loại phổ biên tần dưới (LSB) để có phổ biên tần trên USB. 
(d) Biết được phổ USB trong (b), viết biểu thức )(tUSB của tín hiệu USB. 
(e) Làm lại phần (c) và (d) đề có tín hiệu LSB )(tLSB 
4.8-1 Vẽ )(tFM và )(tPM của tín hiệu điều chế )(tm trong hình P4.8-1, cho biết 
7102 xc  , 
 5102 xk f và 50 pk . 
4.8-2 Một tín hiệu băng nền )(tm là tín hiệu sóng răng cưa vẽ trong hình P4.8-2. Vẽ )(tFM và 
)(tPM của tín hiệu điều chế )(tm nếu 
6102 xc  , 000.20 fk và 2/ pk . Giải 
thích tại sao phải có pk trong trường hợp này? 
4.8-3 Tín hiệu điều chế 
 tttm 000.2cos18100cos2)( 
 Tìm băng thông tương ứng với )(tFM và )(tPM nếu 000.1 fk và 1 pk . 
4.8-4 Tín hiệu điều chế góc mô tả bằng phương trình 
 )0002sin1,0cos(10)( ttt cEM  
 (a) Tìm độ dời tần F (b) Ước lượng băng thông của )(tEM 
4.8-5 Làm lại bài tập P4.8-4 nếu 
 )2000sin101000sin20cos(5)( tttt cEM 