Bài giảng Tín hiệu và dùng chuỗi - Chương 3: Biểu diễn tín hiệu dùng chuỗi fourier

CHƢƠNG 3: 
BIỂU DIỄN TÍN HIỆU DÙNG CHUỖI FOURIER 
Nội dung 
3.1 Tín hiệu và vectơ 
3.2 So sánh tín hiệu: Tương quan 
3.3 Biểu diễn tín hiệu dùng tập tín hiệu trực giao 
3.4 Chuỗi Fourier lượng giác 
3.5 Chuỗi Fourier dạng mủ 
3.6 Tính toán giá trị Dn 
3.7 Đáp ứng của hệ LT-TT-BB với tín hiệu tuần hoàn 
3.8 Phụ chương 
3.9 Tóm tắt 
Tài liệu tham khảo: 
B.P. Lathi, Signal Processing and Linear Systems, Berkeley-Cambridge Press, 1998 
 Chương quan trọng, tạo kiến thức cơ bản để biểu diễn tín hiệu và so sánh tín hiệu. 
Trong chương 2, ta đã viết ngõ vào bất kỳ f(t) thành tổng của các thành phần xung. Đáp 
ứng (trạng thái zêrô) của hệ TT-BB khi có ngõ vào f(t) là tổng các thành phần đáp ứng hệ 
thống dưới dạng tính tích phân chập (convolution). Có nhiều phương thức nhằm biểu 
diễn ngõ vào f(t) theo các dạng tín hiệu khác. Do đó, vấn đề biểu diễn tín hiệu dùng tập 
các tín hiệu là rất quan trọng khi nghiên cứu tín hiệu và hệ thống. Chương này đề cập đến 
phương thức biểu diễn tín hiệu thành tổng của nhiều thành phần. Bài toán này tương tự 
như vấn đề biểu diễn vectơ theo các thành phần. 
Tín hiệu và vectơ 
 Có sự tương đồng hoàn hảo giữa tín hiệu và vectơ. Tuy nhiên tín hiệu không chỉ 
giống vectơ, mà tín hiệu là vectơ! Một vectơ có thể được biểu diễn thành tổng các thành 
phần theo nhiều phương thức khác nhau, tùy theo cách chọn hệ trục. Một tín hiệu cũng có 
thể được biểu diễn thành tổng các thành phẩn theo nhiều cách khác nhau. Ta hảy bắt đầu 
với một số ý niệm vectơ cơ bản rồi áp dụng vào các tín hiệu. 
3.1-1 Thành phần của vectơ 
Vectơ được đặc trưng bởi biên độ và chiều. Ta viết các vectơ ở dạng chử in đậm. 
Thí dụ, x là một vectơ nào đó có biên độ hay chiều dài là x . Trong hình 3.1, với hai 
vectơ f và x, định nghĩa phép dot (tích trong hay tích vô hướng) là: 
 f.x cosxf (3.1) 
với  là góc giữa hai vectơ. Từ đó, biểu diễn độ dài của vectơ x là x theo: 
2
x = x.x (3.2) 
Gọi thành phần của f dọc theo x là cx vẽ trong hình 3.1. Thành phần f dọc theo x là 
ánh xạ của f theo x , và có được bằng cách vẽ đường thẳng góc từ đỉnh của f xuống x, vẽ 
trong hình 3.1. Như thế thì ý nghĩa toán học của một thành phần vectơ theo một vectơ 
khác là gì? Xem trong hình 3.1, vectơ f có thể viết theo vectơ x là 
 ecxf (3.3) 
Tuy nhiên, đây không phải là phương pháp duy nhất biểu diễn f theo x. Hình 3.2 vẽ hai 
trong vô số các phương pháp khác. Từ hình 3.2a và 3.2b, ta có 
 2211 excexcf (3.4) 
Trong từng phương pháp thì f được biểu diễn theo x cộng vơói một vectơ gọi là vectơ sai 
số. Nếu ta xấp xỉ f bằng cx 
 cxf  (3.5) 
Sai số trong phép xấp xỉ này là vectơ cxfe . Tương tự, sai số trong phép xấp xỉ 
trong hình 3.2a và 3.2b là 1e và 2e . Như thế phép xấp xỉ nào trong hình 3.1 cho ta vectơ 
sai số bé nhất. Định nghĩa thành phần của vectơ f theo vectơ x là cx với c được chọn sao 
cho vectơ sai số cxfe là bé nhất. 
Gọi độ dài của thành phần của f theo x là cosf nhưng cũng đồng thời là xc như vẽ 
trong hình 3.1, đo đó 
 cosfxc 
Nhân hai vế cho x 
 xfxfxc .cos
2
  , do đó 
 xf
xxx
xf
c .
1
.
.
2
 (3.6) 
Hình 3.1 cho thấy có vẽ như là khi f và x thẳng góc, hay trực giao, thì f có thành phần 
theo x là zêrô, do đó 0 c . Từ phương trình (3.6), ta định nghĩa f và x là trực giao nhau 
nếu tích trong (tích vô hướng hay tích chấm) của hai vectơ là zêrô, nếu 
 0. xf (3.7) 
3.1-2 Thành phần của tín hiệu 
Ý niệm về thành phần của vectơ là tính trực giao có thể được mở rộng cho tín hiệu. 
Xét bài toán xấp xỉ một tín hiệu thực )(tf theo một tín hiệu thực )(tx trong khoảng 
],[ 21 tt là 
 21)()( ttttcxtf  (3.8) 
Sai số )(te trong phép xấp xỉ này là: 
kháctrigiácác
ttttcxtf
te
___0
)()(
)(
21
 (3.9) 
Chọn một số tiêu chí cho phép “xấp xỉ tốt nhất”. Ta biết là năng lượng tín hiệu là một khả 
năng đo lường kích thước của tín hiệu. Để xấp xỉ tốt nhất, ta cần tối thiểu sai số tín hiệu, 
tức là, tối thiểu kích thước của nó, nhằm tối thiểu hóa năng lượng Ee trong khoảng 
],[ 21 tt , cho bởi: 
2
1
2
1
22 )]()([)(
t
t
t
t
e dttcxtfdtteE 
Chú ý là vế bên phải là tích phân xác định với t là biến giả. Do đó, Ee là hàm theo biến c 
(không phải t) và Ee tối thiểu theo lựa chọn của c. Để tối thiểu Ee, điều kiện cần là: 
 0 
dt
dEe (3.10) 
Hay 
 0)]()([
2
2
1
 dttcxtfdc
d t
t
Khai triển thừa số bậc hai, ta có: 
 0)()()(2)(
2
1
2
1
2
1
222 
 dttxcdc
d
dttxtfc
dc
d
dttf
dc
d t
t
t
t
t
t
Từ đó 
 0)(2)()(2
2
1
2
1
2 dttxcdttxtf
t
t
t
t
Và 
 dttxtf
Edttx
dttxtf
c
t
t
x
t
t
t
t
)()(
1
)(
)()(
2
1
2
1
2
1
2
 (3.11) 
Ta thấy có sự tương đồng đáng kể giữa hoạt động của vectơ và tín hiệu, từ các phương 
trình (3.6) và (3.11). Rõ ràng từ hai biểu thức song song này, thì phần diện tích của tích 
hai tín hiệu tương đương với tích trong (tích vô hướng) của hai vectơ. Trong thực tế, 
phần diện tích của tích f(t) và x(t) được gọi là tích hai vectơ. Thực ra, diện tích của tích 
f(t) và x(t) được gọi là tích trong của f(t) và x(t), được viết là xf , . Năng lượng của tín 
hiệu là tích trong của tín hiệu với chính nó, và tương đương với bình phương độ dài 
(chính là tích trong của vectơ với chính nó). 
 Tóm lại, nếu tín hiệu )(tf được xấp xỉ bằng một tín hiệu )(tx khác thì 
 )()( tcxtf  
Thì giá trị tối ưu của c làm tối thiểu năng lượng của tín hiệu sai số trong xấp xỉ này cho 
bởi phương trình (3.11). 
 Từ ý niệm vectơ, chúng ta nói là tín hiệu )(tf chứa thành phần )(tcx , với c cho bởi 
phương trình (3.11). Chú ý là trong thuật ngữ của vectơ thì )(tcx là ánh xạ của )(tf lên 
)(tx . Tiếp tục, ta nói là nếu thành phần của tín hiệu )(tf của dạng )(tx là zêrô (tức là 
0 c ) thì tín hiệu )(tf và )(tx trực giao nhau trong khoảng ],[ 21 tt . Do đó, ta định nghĩa 
tín hiệu thực )(tf và )(tx trực giao nhau trong khoảng ],[ 21 tt nếu 
2
1
0)()(
t
t
dttxtf (3.12) 
 Thí dụ 3.1 
 Từ tín hiệu f(t) vẽ trong hình 3.3, tìm thành phần sint có trong f(t). Nói cách khác, 
ta xấp xỉ f(t) theo sint. 
 20sin)(  ttctf để năng lượng tín hiệu sai số là tối thiểu. 
Trường hợp này 
 ttx sin)( và 
2
0
2 )(sin tEx 
Từ phương trình (3.11) ta có 
 4
sinsin
1
sin)(
1
00
2
0
 tdttdttdttfc (3.13) 
Do đó: 
 ttf sin
4
)(
 (3.14) 
Biểu diễn phép xấp xỉ tốt nhất của )(tf dùng hàm tsin , và tối thiểu hóa được sai số. 
Thành phần sin của )(tf là phần tô bóng trong hình 3.3. Từ tính tương đồng với vectơm 
ta nói hàm vuông )(tf mô tả trong hình 3.3 có thành phần sóng tsin và biên độ là 4/ . 
 Bài tập E3.1 
 Chứng tõ là khoảng ( t ), xấp xỉ “tốt nhất” của tín hiệu ttf )( theo hàm 
tsin là tsin2 . Kiểm nghiệm lại là tín hiệu sai số ttte sin2)( là trực giao với tín hiệu 
tsin trong khoảng t . Vẽ đồ thị t và tsin2 trong khoảng t .  
3.1-3 Tính trực giao trong tính hiệu phức 
 Ta chỉ mới giới hạn trong trường hợp hàm thực của t. Nhằm tổng quát kết quả cho 
hàm phức của t, xét lần nửa bài toán xấp xỉ hàm )(tf bằng hàm )(tx trong khoảng thời 
gian ( 21 ttt ): 
 )()( tcxtf  (3.15) 
Trong đó )(tf và )(tx là hàm phức theo t. Nhắc lại là năng lượng xE của tín hiệu phức 
)(tx trong khoảng [ 21, tt ] là 
2
1
2
)(
t
t
x dttxE 
 Trường hợp này, thường hệ số c và sai số là số phức 
 )()()( tcxtfte (3.16) 
Để xấp xỉ “tốt nhất”, ta cần chọn c để năng lượng Ec của tín hiệu sai số e(t) là tối thiểu 
2
1
2
)()(
t
t
e dttcxtfE (3.17) 
Nhắc lại 
 ***)*)((
222
uvvuvuvuvuvu (3.18) 
Tiếp tục, sắp xếp phương trình (3.17) 
22
0
2 2
1
22
1
)(*)(
1
)(*)(
1
)( 
t
t
x
x
t
x
t
t
e dttxtf
E
Ecdttxtf
E
dttfE 
Do hai thừa số đầu tiên của vế phải không phụ thuộc vào c, rõ ràng là eE được tối thiểu 
hóa bằng cách chọn c sao cho thừa số thứ ba của vế phải là zêrô, tức là 
2
1
)(*)(
1 t
t
x
dttxtf
E
c (3.19) 
Từ kết quả trên, ta cần định nghĩa lại tính trực giao trong trường hợp số phức như sau: 
Hai hàm phức )(1 tx và )(2 tx trực giao trong khoảng ( 21 ttt ) nếu 
 0)()(
2
1
*
21 
t
t
dttxtx hay 0)()(
2
1
2
*
1 
t
t
dttxtx (3.20) 
Đây là định nghĩa tổng quát về tính trực giao, làm phương trình trở thành phương trình 
(3.12) khi hàm là thực. 
 Bài tập E3.2 
 Chứng tõ là khoảng ( 20 t ), xấp xỉ “tốt nhất” của tín hiệu vuông )(tf trong hình 
3.3 theo tính hiệu jte là jte
j 
2
. Kiểm nghiệm lại là tín hiệu sai số jte
jt
tfte
2
)()( là 
trực giao với tín hiệu jte .  
Năng lƣợng của tổng tính hiệu trực giao 
 Ta biết là bình phương độ dài của tổng hai vectơ trực giao là bằng tổng của độ dài 
hai vectơ. Do đó, nếu x và y trực giao, thì z = x + y, thì 
222
yxz 
Tương tự, cho trường hợp tín hiệu. Năng lượng của tổng hai tín hiệu trực giao thì bằng 
tổng năng lượng của hai tín hiệu. Do đó, nếu tín hiệu )(tx và )(ty trực giao trong khoảng 
],[ 21 tt , và nếu )()()( tytxtz , thì 
 yxz EEE (3.21) 
Ta chứng minh kết quả cho tín hiệu phức mà tín hiệu thực là một trường hợp đặc biệt. Từ 
phương trình (3.18): 
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
)()(*)(*)()()()()(
222 t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
dttytxdttytxdttydttxdttytx 
2
1
2
1
22
)()(
t
t
t
t
dttydttx (3.22) 
Do tính trực giao, hai tích phân của các tích )(*)( tytx và )()(* tytx là zêrô. Kết quả này 
có thể được mở rộng với tổng của một số tín hiệu trực giao tương hỗ. 
3.2 So sánh tín hiệu: tính tƣơng quan 
Phần 3.1 đã chuẩn bị cơ sở để so sánh tín hiệu. Một lần nữa, ta có dùng lại ý niệm 
của phép so sánh vectơ. Hai vectơ f và x là tương đồng khi f có thành phần lớn theo x. 
Nói cách khác, nếu c trong phương trình (3.6) lớn, thì hai vectơ f và x là tương đồng. Ta 
có thể xem c là phép đo định lượng tính tương đồng giữa f và x. Tuy nhiên, đo lường này 
có nhược điểm. Mức tương đồng giữa f và x cần độc lập với độ dài của f và x. Thí dụ, khi 
tăng đôi độ dài của f, mức tương đồng giữa f và x là không thay đổi. Tuy nhiên, từ 
phương trình (3.6), ta thấy là khi tăng đôi f, thì cũng tăng đôi giá trị c (trong khi tăng đôi 
x làm giảm nửa giá trị c). Đo lường của ta rõ ràng là sai. Tính tương đồng giữa hai vectơ 
được cho từ góc  giữa hai vectơ. Góc  càng bé thì tính tương đồng càng cao, và ngược 
lại. Do đó, có thể dùng cos để đo mức tương đồng. Cos càng lớn, thì tính tương đồng 
giữa hai vectơ càng cao. Vật, đo lường hợp lý sẽ là cn = cos, được cho bởi 
xf
xf
cn
.
cos  (3.23) 
Có thể kiểm nghiệm lại về tính độc lập của đo lường này với độ dài của f và x . 
Tương đồng này đo lường cn được gọi là hệ số tƣơng quan. Quan sát thấy: 
 11 nc (3.24) 
Do đó, biên độ của cn không bao giờ lớn hơn đơn vị. Hai vectơ thẳng hàng có tính tương 
đồng lớn nhất (cn = 1). Hai vectơ thẳng hàng đối chiều có tính không tương đồng cao nhất 
(cn = - 1). Hai vectơ trực giao có tính tương đồng là zêrô. 
 Dùng phương pháp tương tự để định nghĩa chỉ số tương đồng (hệ số tương tương 
quan) của tín hiệu. Xét các tín hiệu trong khoảng từ - đến . Muốn c trong phương 
trình (3.11) độc lập với năng lượng (kích thước) của f(t) và x(t), ta cần chuẩn hóa c bằng 
cách hai tín hiệu về năng lượng đơn vị. Do đó, chỉ số tương đồng thích hợp cn cho 
phương trình (3.23) là 
 dttxtf
EE
c
xf
n )()(
1
 (3.25) 
Nhận thấy khi nhân f(t) hay x(t) với hằng số bất kỳ không ảnh hường đến chỉ số này, nên 
chỉ số độc lập với kích thước (năng lượng) của f(t) và x(t). Dùng bất đẳng thức Schwarz, 
ta chứng minh được là biên độ của cn không bao giờ lớn hơn 1. 
 11 nc (3.26) 
The Best Friends, Worst Enemies, and Complete Strangers 
 Ta có thể chứng tõ là nếu )()( tKxtf thì cn = 1 khi K là hằng số dương bất kỳ, và 
cn = - 1 khi K là hằng số âm bất kỳ. Đồng thời cn = 0 nếu f(t) và x(t) trực giao. Đo đó, 
tương đồng lớn nhất [khi )()( tKxtf ] được cho bởi cn = 1, không tương đồng lớn nhất 
[khi )()( tKxtf ] được cho bởi cn = - 1. Khi hai tín hiệu trực giao, tương đồng là zêrô. 
Một cách định lượng, ta có thể xem tín hiệu trực giao là tín hiệu không tương quan. Chú 
ý, địng lượng thì tính không tương đồng khác với tính không tương quan. Thí dụ, ta có 
bạn tốt (cn = 1), kẻ thù xấu nhất (cn = -1), và kẻ lạ hoàn toàn, không cần quan tâm là ta có 
tồn tại hay không (cn = 0). Kẻ thù không phải là người lạ, nhưng trong một số trường hợp 
người ta có thể nghĩ giống chúng ta, nhưng ngược lại?!!. 
 Mở rộng ý niệm khi so sánh tín hiệu phức, định nghĩa cn lúc này là. 
 dttxtf
EE
c
xf
n )(*)(
1
 (3.27) 
 Thí dụ 3.2 
Tìm hệ số tương quan C giữa xung x(t) và xung fi(t), i = 1, 2, 3, 4, 5 và 6 vẽ trong 
hình 3.4. 
Ta tính cn dùng phương trình (3.25) cho từng trường hợp. Đầu tiên ta tính năng lượng 
của mọi tín hiệu. 
5
0
5
0
2 5)( dtdttxEx (3.28) 
Dùng phương pháp này, ta tìm được Ef1 = 5, Ef2 = 1,25, và Ef3 = 5. Để tìm Ef4 và Ef5 , ta 
tìm năng lượng E của e-atu(t) trong khoảng thời gian từ t = 0 đến T: 
T
aTat
T
at e
a
dtedteE
0
22
0
2
1
2
1
Trường hợp f4(t), a = 1/5 và T = 5. Do đó Ef4 =2,1617. Trường hợp f5(t), a = 1 và T = . 
Do đó Ef5 =0,5. Năng lượng Ef6 cho bởi 
 5,22sin
5
0
2
6 tdtE f 
Dùng phương trình (3.25), hệ số tương quan của sáu trường hợp được tìm là: 
(1) 
5
0
1
)5)(5(
1
dt (2) 
5
0
1)5,0(
)5)(25,1(
1
dt 
(3) 
5
0
1)1(
)5)(5(
1
dt (4) 
5
0
5/ 961.0
)5)(1617,2(
1
dte t 
(5) 
5
0
628,0
)5)(5,0(
1
dte t (6) 
5
0
02sin
)5)(5,2(
1
tdt 
Nhận xét về kết quả: Do f1(t) = x(t), hai tín hiệu có khả năng tương đồng tối đa và cn = 1. 
Tuy nhiên, tín hiệu f2(t) còn cho thấy khả năng tương đồng tối đa với cn = 1. Lý do từ 
định nghĩa cn dùng đo lường tính tương đồng của dạng sóng; và độc lập với biên độ 
(cường độ) của các tín hiệu so sánh. Tín hiệu f2(t) giống hệt x(t) về hình dạng; chỉ có 
biên độ (cường độ) là khác nhau. Do đó, cn = 1. Mặt khác, tín hiệu f3(t) cho thấy khả năng 
không tương đồng tối đa với x(t) do bằng với - x(t). Trường hợp f4(t), cn = 0,961, cho thấy 
có độ tương đồng cao với x(t). Điều này hợp lý do f4(t) rất giống với x(t) trong thời gian 
tồn tại của x(t) (từ 0 t 5). Qua kiểm tra, ta chú ý là là độ biến thiên hay thay đổi trong 
x(t) và f4(t) có tốc độ giống nhau. Đây không phải là trường hợp của f5(t), khi ta nhận thấy 
là tốc độ thay đổi của f5(t) thường cao hơn của x(t). Hai tín hiệu vẫn còn tương đồng 
nhau, đều còn giữa giá trị dương, và chưa có dao động. Hai tín hiệu đều có giá trị zêrô 
hay cường độ rất bé khi t > 5. Như thế, f5(t) tương đồng với x(t), nhưng không tương 
đồng như f4(t). Điều này giải thích tại sao f5(t) có cn = 0,628. Tín hiệu f6(t) thì trực giao 
với x(t), nên có cn = 0. Điều này cho thấy sự không tương đồng trong trường hợp này 
không mạnh như như trường hợp f3(t) có cn = – 1. Kết luận này có vẽ kỳ cục do f3(t) có 
vẽ như tương đồng với x(t) nhiều hơn so với f6(t). Tính không tương đồng giữa x(t) và 
f6(t) có bản chất từ sự không ưa nhau (worst enemy); đó là chúng rất tương đồng nhau, 
nhưng theo hướng ngược lại. Nói khác đi, tính không tương đồng giữa x(t) và f6(t) bắt 
nguồn từ việc chúng có không giống nhau. Do đó tính không tương đồng giữa x(t) và 
f3(t) có mức độ thấp hơn. 
 Bài tập E3.3 
 Chứng tõ là cn của tín hiệu f2(t) và f3(t) trong hình 3.4 l ... thể được biểu diễn thành tổng các hàm sin hay mủ (không dừng). Nếu tần số của tín hiệu 
tuần hoàn là 0, thì có thể viết tín hiệu thành tổng của các sóng sin có tần số 0 và các 
hài (trong chuỗi Fourier lượng giác). Ta có thể tái tạo tín hiệu tuần hoàn từ hiểu biết về 
biên độ và pha của các thành phần sóng sin (phổ biên độ và phổ pha). 
 Nếu tín hiệu tuần hoàn là đối xứng chẵn, chuỗi Fourier chỉ chứa các thành phần 
cosin. Ngược lại, nếu tín hiệu có tính tuần hoàn lẻ, thì chuỗi Fourier chỉ chứa thành phần 
sin. Khi tín hiệu có bước nhảy gián đoạn, thì hiệu là không mịn và cần có các thành phần 
tần số cao để tổng hợp được bước nhảy. Do đó, các phổ biên độ giảm chậm theo tần số 
với giá trị 1/n. Nếu tín hiệu không có bước nhảy gián đoạn, nhưng đạo hàm bậc nhất có 
bước nhảy gián đoạn, thì tín hiệu mịn hơn, và phổ biên độ giảm nhanh hơn theo 1/n2. Khi 
tín hiệu không có đạo hàm bậc một là bước nhảy gián đoạn nhưng đạo hàm bậc hai có 
bước nhảy gián đoạn, thì tín hiệu mịn hơn nửa, và phổ biện độ giảm nhanh hơn theo 1/n3, 
và tiếp tục, 
 Tín hiệu sin có thể viết theo thừa số hàm mủ. DO đó, chuỗi Fourier của tín hiệu 
tuần hoàn còn có thể biểu diễn thành tổng các hàm mủ (chuỗi Fourier mủ). Dạng mủ của 
chuỗi Fourier và các biểu thức cho hệ số chuỗi còn gọn hơn so với trường hợp chuỗi 
lượng giác. Đồng thời, đáp ứng của hệ LT – TT – BB với ngõ vào là hàm mủ cũng đơn 
giản hơn so với ngõ vào sin. Hơn nữa, dạng mủ còn cho phép dễ xử lý toán học hơn so 
với dạng lượng giác. Do đó, dang mủ được ưa chuộng hơn trong lĩnh vực tín hiệu và hệ 
thống hiện đại. 
 Vẽ đồ thị biên độ và góc của các thành phần hàm mủ cuỗi chuỗi Fourier theo tần số 
được gọi là phổ Fourier (phổ biên độ và phổ góc) của tín hiệu. Do hàm cos0t có thể viết 
thành tổng của hai hàm mủ, tje 0 và tje 0 , các tần số trong phổ hàm mủ có tần từ – 
đến . Từ định nghĩa, tần số của tín hiệu là đại lượng dương. Sự hiện diện của các thành 
phẩn phổ với tần số âm – n0 đơn thuần chỉ cho thấy chuỗi Fourier chứa các thừa số có 
dạng tje 0 . Phổ của chuỗi Fourier lượng giác và mủ có quan hệ rất chặt chẽ, có thể tìm 
được dạng này từ thông tin của dang kia. 
 Các hệ số Cn và Dn của chuỗi Fourier có thể được tính toán số học dùng biến đổi 
Fourier rời rạc (DFT), có thể đươc thiết lập bằng thuật toán FFT (biến đổi Fourier nhanh). 
Phương pháp này dùng N0 mẩu đồng đều của f(t) trong một chu kỳ, bắt đầu từ t = 0. 
 Trong hình 3.7, ta thảo luận về phương pháp tìm đáp ứng của hệ LT – TT – BB với 
tín hiệu tuần hoàn vào. Ngõ vào tuần hoàn được biểu diễn thành chuỗi Fourier mủ, gồm 
các thành phần hàm mủ không dừng tjne 0 . Ta cũng biết là đáp ứng của hệ LT – TT – BB 
với hàm mủ không dừng vào là H(jn0)
tjn
e 0
 . Đáp ứng hệ thống là tổng của từng đáp 
ứng hệ thống với mọi thành phần mủ của chuỗi Fourier tại ngõ vào. Do đó, đáp ứng còn 
là tín hiệu tuần hoàn với cùng chu kỳ của ngõ vào. 
Tham khảo 
1. Lathi, B.P,, Modern Digital and Analog Communication Systems, 2nd Ed., Holt. 
Rinehart and Winston, New York, 1989. 
2. Bell, E. T., Men of Mathematics, Simon and Schuster, New York, 1937. 
3. Durand, Will and Ariel, The Age of Napoleon, History of Cilivization, Part XI, 
Simon and Schuster, New York, 1975. 
4. Calinger, R., 4th Ed., Classics of Mathematics, Moore Publishing Co., Oak Park, 
II., 1982. 
5. Lanczos, C., Discourse on Fourier Series, Oliver Boyd Ltd., London, 1966. 
6. Walker, P.L., The Theory of Fourier Series and Integrals, Wiley-Interscience, 
New York, 1966. 
7. Churchill. R. V., and J. W. Brown, Fourier Series and Boundary Value Ploblems, 
3
rd
 Ed., McGraw-Hill, New York, 1978. 
8. Guillemin, E. A., Theory of Linear Physical Systems, Wiley, New York, 1963. 
9. Gibbs, W. J., Nature, vol 59, p.606. April 1899. 
10. Bôcher, M. J., Annals of Mathematics (2), vol. 7. 1906. 
11. Carslaw, H. S., Bulletin, American Mathematical Society, vol. 31. pp. 420-424, 
Oct. 1925. 
 Bài tập 
3.1-1 Tìm phương trình (3.6) bằng phương pháp khác với quan sa t là e = (f - cx) và 
 xcfxcfcxfcxfe .2)).((
2222 
 Hướng dẫn: Tìm giá trị của c để tối thiểu hóa 
2
e 
3.1-2 (a) Với tín hiệu f(t) và x(t) vẽ trong hình P3.1-2, tìm thành phần có dạng x(t) chứa 
trong f(t). Nói cách khác là tìm giá trị tối ưu của c trong phép xấp xỉ f(t) cx(t) để 
tối thiểu hóa năng lượng tín hiệu. 
(b) Tìn tín hiệu sai số e(t) và năng lượng Ee tương ứng. Chứng tõ là tín hiệu sai số 
trực giao với x(t), và Ef = c
2
Ex + Ee. Giải thích kết quả dùng ý niệm vectơ. 
3.1-3 Với tín hiệu f(t) và x(t) vẽ trong hình P3.1-2, tìm thành phần có dạng f(t) chứa 
trong x(t). Nói cách khác là tìm giá trị tối ưu của c trong phép xấp xỉ x(t) cf(t) để 
tối thiểu hóa năng lượng tín hiệu. Tìm năng lượng của tín hiệu sai số. 
3.1-4 Làm lại bài tập 3.1-2 khi x(t) là sóng sin vẽ trong hình P3.1-4. 
3.1-5 Nếu x(t) và y(t) trực giao nhau, chứng tõ năng lượng của tín hiệu x(t) + y(t) giống 
hệt năng lượng của tín hiệu x(t) - y(t) và cho bởi Ex + Ey. Giải thích kết quả dùng 
ý niệm vectơ. Tổng quát hơn, hảy chứng tõ là tín hiệu trực giao x(t) và y(t) và với 
cặp hằng số bất kỳ c1 và c2, và năng lượng của c1x(t) + c2y(t) giống hệt trường 
hợp c1x(t) - c2y(t), và cho bởi yx EcEc
2
2
2
1 . 
3.2-1 Tìm hệ số tương quan cn của tín hiệu x(t) và với từng xung f1(t), f2(t), f3(t) và f4(t) 
vẽ trong hình P3.2-1. Cho biết bạn sẽ chọn cặp xung nào trong thông tin nhị phân 
nhằm cung cấp ngưỡng chống nhiễu lớn nhất trong đường truyền? 
3.3-1 Cho x1(t) và x2(t) là hai tín hiệu trực giao (tức là có các năng lượng là đơn vị) 
 trong khoảng từ t = t1 đến t2. Xét tín hiệu f(t) với 
 f (t) = c1x1(t) + c2x2(t) t1 t t2 
 Tín hiệu này được biểu diễn bằng vectơ hai chiều f(c1, c2). 
(a) Xác định vectơ biểu diễn sáu tín hiệu sau trong không gian vectơ hai chiều: 
(i) )()(2)( 211 txtxtf (iv) )(2)()( 214 txtxtf 
(ii) )(2)()( 212 txtxtf (v) )()(2)( 215 txtxtf 
(iii) )()(2)( 211 txtxtf (vi) )(3)( 16 txtf 
(b) Cho biết cặp các vectơ trực giao tương hỗ trong sáu vectơ trên. Chứng tõ là 
cặp các tín hiệu tương ứng với các vectơ trực giao cũng trực giao. 
3.4-1 (a) Vẽ tín hiệu 2)( ttf với mọi t và tìm chuỗi Fourier lượng giác )(t để biểu 
diễn )(tf trong khoảng ( - 1, 1). (b) Vẽ )(t với mọi giá trị của t. 
3.4-2 (a) Vẽ tín hiệu ttf )( với mọi t và tìm chuỗi Fourier lượng giác )(t để biểu 
diễn )(tf trong khoảng ( - , ). (b) Vẽ )(t với mọi giá trị của t. 
3.4-3 Với từng tín hiệu tuần hoàn vẽ trong hình P4.4-3, tìm chuỗi Fourier lượng giác 
dạng gọn và vẽ phổ biên độ và phổ pha. Khi thiếu các thừa số sin hay cosin trong 
chuỗi Fourier, hảy giải thích tại sao? 
3.4-4 (a) Tìm chuỗi Fourier lượng giác của x(t) vẽ trong hình P3.3-1 
(b) Tín hiệu x(t) là tín hiệu nghịch theo thời gian của )(t trong hình 3.7b. Do đó, 
)()( ttx . Vậy có thể tìm chuỗi Fourier của x(t) bằng cách thay t bằng - t 
trong chuỗi Fourier (phương trình 3.56) của )(t . Kiểm nghiệm là chuỗi Fourier 
có được giống với chuỗi trong phần (a) 
 (c) Chứng tõ là thường thì nghịch theo thời gian của tín hiệu tuần hoàn không gây 
 ảnh hưởng đến phổ biên độ và phổ pha không không thay đổi trừ việc đảo dấu. 
3.4-5 (a) Tìm chuỗi Fourier lượng giác của tín hiệu tuần hoàn x(t) vẽ trong hình P3.4-5. 
(b) Tín hiệu x(t) là tín hiệu )(t được nén theo thời gian với hệ số 2 vẽ trong hình 
3.7b. Như thế )2()( ttx . Vậy, chuỗi Fourier của x(t) có thể tìm bằng cách thay 
t bằng 2t trong chuỗi Fourier (phương trình 3.56) của )(t . Kiểm nghiệm là chuỗi 
Fourier có được giống với chuỗi trong phần (a). 
 (c) Chứng tõ là thường thì phép nén theo thời gian của tín hiệu tuần hoàn với thừa 
 số a mở rộng phổ với cùng thừa số a. Nói cách khác 0C , nC và n không thay 
 đổi, nhưng tần số cơ bản tăng theo thừa số a, lam mở rộng phổ. Tương tự khi dãn 
 theo thời gian của tín hiệu tuần hoàn theo thừa số a làm nén phổ Fourier của 
 chúng theo thừa số a. 
3.4-6 (a) Tìm chuỗi Fourier lượng giác của tín hiệu tuần hoàn g(t) trong hình P3.4-6. Sử 
dụng đặc tính đối xứng. 
(b) Quan sát thấy g(t) giống hệt f(t) trong hình 3.9 được dời đi 0,5 giây. Do đó, 
g(t) = f(t+0,5), và chuỗi Fourier cho g(t) có thể tìm bằng cách thay t bằng t 
+0,5 trong phương trình (3.63) [chuỗi Fourier của f(t)]. Kiểm nghiệm là chuỗi 
Fourier có được giống hệt chuỗi có được trong phần (a). 
(c) Chứng minh là, thông thường , khi dời theo chu kỳ tín hiệu với thời gian T 
giây thì không ảnh hưởng đến phổ biên độ. Tuy nhiện, pha của hài bậc n thì 
giảm (tăng) theo n0T khi trể (sớm) T giây. 
 3.4-7 Nếu hai nửa bán kỷ của tín hiệu tuần hoàn giống nhau về hình dạng nhưng một là 
phần âm của tín hiệu kia, tín hiệu tuần hoàn được gọi là có tính đối xứng nửa 
sóng. Nếu tín hiệu tuần hoàn f(t) với chu kỳ T0 thỏa điều kiện vầ tính đố icứng 
nửa sóng, thì 
 )()(
2
0 tftf
T
 Trong trường hợp nàym chứng tõ là mọi hệ số hài bậc chẵn đều triệt tiêu, và các 
hệ số của thành phần hài bậc lẻ được cho bởi 
2/
0
0
0
0
cos)(
4 T
n tdtntf
T
a  và 
2/
0
0
0
0
sin)(
4 T
n tdtntf
T
b  
Dùng kết quả này, tìm chuỗi Fourier của các tín hiệu tuần hoàn trong hình P3.4-7. 
3.4-8 Trong một khoảng hữu hạn, tín hiệu có thể được biểu diễn bằng chuỗi Fourier 
lượng giác (hay dạng mủ). Thí cụ, nếu ta muốn biểu diễn f(t) = t trong khoảng 
10 t dùng chuỗi Fourier có tần số cơ bản là 0 = 2, ta có thể vẽ xung f(t) = t 
trong khoảng 10 t và lặp lại xung mỗi giấy để T0 = và 0 = 2. Nếu ta 
muốn chuỗi chỉ chứa thừa số cosin với 0 = 2, ta tạo xung f(t) = t trong khoảng 
10 t , và lặp lại mỗi giây (hình 3.4-8). Tín hiệu có được là hàm chẵn với chu 
kỳ . Do đóm chuỗi Fourier sẽ chỉ có thừa số cosin với 0 = 2. Chuỗi Fourier biểu 
diễn f(t) = t trong khoảng mong muốn 10 t . Ta không quan tâm đến những gì 
xuất hiện bên ngoải khoảng này. 
 Biểu diễn f(t) = t trong khoảng 10 t dùng chuỗi Fourier có: 
 (a) 
40
  và chứa mọi thành phần sóng hài, chỉ với thừa số sin. 
 (b) 20  và chứa mọi thành phần sóng hài, chỉ với thừa số sin. 
 (c) 
20
  chứa mọi thành phần sóng hài, chỉ có thừa số một trong hai thừa số sin 
 hay cosin. 
 (d) 10  và chỉ có các hài lẻ và thừa số cosin. 
 (e) 
20
  và chỉ có hài lẻ và thừa số sin. 
 (f) 10  và chỉ có các hài lẻ và một trong hai thừa số sin hay cosin. 
Hướng dẫn: trong các phần d, e và f, cần dùng tính đối xứng nửa sóng đã thảo luận trong 
bài tập 3.4-7, Thừa số cosin cho thấy có khả năng có thành phần dc. 
3.4-9 Xét tính tuần hoàn hay không tuần hoàn của các tín hiệu sau. Nếu tín hiệu là tuần 
hoàn, tìm chu kỳ và cho phép hài hiện diện trong chuỗi. 
 (a) tt 3sin2sin3 (f) )30sin(3cos3sin 0
75
6
2
5 ttt 
 (b) tt 7cos44sin52 (g) 
4
15cos33sin tt 
 (c) tt cos73sin2 (h) 25sin2sin3 tt 
 (d) tt 2sin5cos7 (i) 32sin5 t 
 (e) tt 2cos52cos3 
3.4-10 Tìm chuỗi Fourier lượng giác của f(t) vẽ trong hình P3.4-10 trong khoảng [0, 1]. 
Dùng 0 = 2 . Vẽ chuỗi Fourier (t)với mọi t. Tính năng lượng của tín hiệu sai số 
e(t) nếu số thừa số trong chuỗi Fourier là N với N = 1, 2, 3, và 4. 
Hướng dẫn: Dùng phương trình (3.40) để tính năng lượng sai sô 
3.4-11 Hàm Walsh có thể chỉ lấy hai giá trị biên độ, tạo nên một tập đầy đủ các hàm trực 
giao và có tầm rất quan trọng trong ứng dụng số thực tế do có thể dễ dàng tạo ra 
chúng dùng mạch lọgic và do phép nhân các hàm này có thể được thiết lập một 
cách đơn giản dùng chuyển mạch đảo dấu. 
Hình P3.4-11 vẽ tám hàm đầu tiên trong tập này. Biểu diễn f(t) trong hình P3.4-11 
trong khoảng [0, 1] với chuỗi Fourier Walsh dùng 8 hàm cơ bản này. Tình năng 
lượng e(t), sai số phép xấp xỉ dùng N thừa số khác không đầu tiên trong chuỗi với 
N = 1, 2, 3 và 4. So sánh chuỗi Walsh với chuỗi Fourier lượng giác trong bài tập 
3.4-10 theo quan điểm năng lượng sai số với số N cho trước? 
3.4-12 Tập đa thức Legendre Pn(t), (n = 0, 1, 2, 3, . . .) tạo ra tập đầy đủ các hàm trực 
giao trong khoảng – 1< t < 1. Các đa thức này được định nghĩa là 
 n
n
n
nn
t
dt
d
n
tP )1(
2!
1
)( 2 n = 0, 1, 2, 3, . . . 
Do đó P0(t) = 1 P1(t) = 1 
 )13(
2
1
)( 22 ttP , )35(
2
1
)( 33 tttP v,v, 
Đa thức Legendre là trực giao. Độc giả có thể kiểm tra là 
1
1
12
2
0
)()(
nm
nm
dttPtP
m
nm 
(a) Biểu diễn f(t) trong hình P3.4-12a dùng chuỗi Fourier Legendre trong khoảng 
11 t . Chỉ tính hai hệ số khác không đầu tiên trong chuỗi. Tính năng lượng e(t), sai 
số của phép xấp xỉ với một hay hai thừa số khác không. 
(b) Biểu diễn f(t) trong hình P3.4-12b dùng chuỗi Fourier Legendre. Tính hai hệ số khác 
không đầu tiên trong chuỗi. 
Hướng dẫn: Dù chuỗi chỉ có giá trị trong 11 t , ta vẫn có thể mở rộng đến khoảng 
bất kỳ dùng phép tỉ lệ theo thời gian. 
3.5-1 Với từng tín hiệu trong hình P3.4-3, tìm chuỗi Fourier mủ và vẽ phổ tương ứng 
3.5-2 Chuỗi Fourier lượng giác của tín hiệu tuần hoản cho bởi 
32
1 5cos3sin2sin2cos33)( tttttf 
(a) Vẽ phổ Fourier lượng giác 
(b) Kiểm tra chuỗi trong phần a, vẽ phổ chuỗi Fourier mủ của f(t). 
(c) Kiểm tra chuỗi trong phần b, viết chuỗi Fourier mủ của f(t). 
Hướng dẫn: Để viết chuỗi Fourier thành dạng gọn, kết hợp các thừa số sin và cosin 
cùng tần số. Điều này luôn thực hiện được bằng cách chỉnh pha thích hợp. 
3.5-3 Chuỗi Fourier mủ của tín hiệu tuần hoàn được cho bởi 
 tjjtjttj ejejejejtf 33 )22(232)22()( 
(a) Vẽ phổ Fourier mủ 
(b) Kiểm tra chuỗi trong phần a, vẽ phổ chuỗi Fourier mủ của f(t). 
(c) Tìm chuỗi Fourier dạng gọn tử các phổ này 
(d) Tìm băng thông của tín hiệu 
3.5-4 Nếu tín hiệu tuần hoàn f(t) được biểu diễn theo chuỗi Fourier dạng mủ 
 
n
tjn
neDtf
0)(
 
(a) Chứng tõ là chuỗi Fourier mủ của )()(ˆ Ttftf được cho bởi 
 
n
tjn
neDtf
0ˆ)(ˆ  trong đó 
 nn DD 
ˆ và TnDD nn 0
ˆ    
Điều này cho thấy là dời tín hiệu tuần hoàn đi T giây chỉ đơn giản là thay đổi phổ pha 
lượng n0T. Phổ biên độ không đổi. 
(b) Chứng tõ là chuỗi Fourier mủ của f(t) = f(at) được cho bởi 
 
n
tajn
neDtf
)( 0)(
~ 
Kết quã này cho thấy là nén theo thời gian của tín hiệu tuần hoàn một lượng a thì làm 
dãn phổ Fourier đi cùng thừa số a. Tương tự, dãn theo thời gian của tín hiệu tuần hoàn 
một lượng a thì làm nén phổ Fourier đi cùng thừa số a. 
3.5-5 (a) Chuỗi Fourier của tín hiệu tuần hoàn trong hình 3.10a được cho trong bài tập 
E3.6. Kiểm tra lại định lý Parseval cho chuỗi này, với 
 
1
4
4 90
1
n n
 (b) Nếu xấp xỉ f(t) dùng N thừa số đầu tiên trong chuỗi, tìm N để công suất của tín 
 hiệu sai số nhỏ hơn 1% Pf. 
3.5-6 (a) Chuỗi Fourier của tín hiệu tuần hoàn trong hình 3.10b được cho trong bài tập 
E3.6. Kiểm tra lại định lý Parseval cho chuỗi này, với 
 
1
2
2 6
1
n n
 (b) Nếu xấp xỉ f(t) dùng N thừa số đầu tiên trong chuỗi, tìm N để công suất của 
 Tín hiệu sai số nhỏ hơn 10% Pf. 
3.5-7 Tín hiệu f(t) trong hình 3.18 được xấp xỉ dùng 2N+1 thừa số (từ n = – N đến N) 
trong chuỗi Fourier mủ cho trong bài tập E3.10. Xác định giá trị của N nếu công 
suất của chuỗi (2N+1) thừa số này không bé hơn 99,75% công suất của f(t). 
3.6-1 Tìm đáp ứng của hệ LT – TT – BB với hàm truyền 
32
)(
2 
ss
s
sH khi ngõ vào là tín hiệu tuần hoàn vẽ trong hình 3.7b.