Bài giảng Tín hiệu và dùng chuỗi - Chương 2: Phân tích hệ thống liên tục trong miền thời gian

CHƢƠNG 2: 
PHÂN TÍCH HỆ THỐNG LIÊN TỤC TRONG MIỀN THỜI GIAN 
Nội dung 
2.1 Mở đầu 
2.2 Đáp ứng nội tại của hệ thống: Đáp ứng khi ngõ vào là zêrô 
2.3 Đáp ứng xung h(t) 
2.4 Đáp ứng với ngõ vào: Đáp ứng trạng thái zêrô 
2.5 Giải phương trình vi phân bằng phương pháp truyền thống 
2.6 Ổn định của hệ thống 
2.7 Dự đoán về đáp ứng của hệ thống 
2.8 Phụ chương 
2.9 Tóm tắt 
Tài liệu tham khảo: 
B.P. Lathi, Signal Processing and Linear Systems, Berkeley-Cambridge Press, 1998 
 Tài liệu xem xét hai phương pháp phân tích hệ thống tuyến tính –bất biến (TT-
BB) hay (LTI). Phương pháp miền thời gian và phương pháp miền tần số. Chương này 
khảo sát phương pháp phân tích trong miền thời gian của hệ thống tuyến tính, bất biến, và 
liên tục (hệ LTIC). 
2.1 Mở đầu 
Xét hệ phương trinh vi phân tuyến tính, đây là dạng tuyến tính, bất biến, liên tục đã 
trình bày trong chương 1, theo đó quan hệ giữa ngõ vào f(t) và ngõ ra y(t) có dạng 
phương trình vi phân tuyến tính: 
)()( )011
1
1011
1
1 tfb
dt
df
b
dt
yd
b
dt
fd
btya
dt
dy
a
dt
yd
a
dt
yd
m
m
mm
m
mn
n
nn
n
  (2.1a) 
Các hệ số ia và ib là hằng số. Dùng toán tử D thay cho dtd / để viết lại phương trình 
)()()()( 0
1
101
1
1 tfbDbDbtyaDaDaD
m
m
m
m
n
n
n 
  (2.1b) 
hay: 
 )()()()( tfDPtyDQ (2.1c) 
 Các đa thức )(DQ và )(DP là: 
 01
1
1)( aDaDaDDQ
n
n
n  (2.2a) 
 01
1
1)( bDbDbDbDP
m
m
m
m 
  (2.2a) 
 Về mặt lý thuyết, các giá trị lũy thừa m và n trong các phương trình trên có thể có 
là bất kỳ. Tuy nhiên, trong thực tế, do tác động của nhiễu, nên cần có nm . Nhiễu là 
dạng tín hiệu không mong muốn, có nguyên nhân tự nhiên hay nhân tạo, làm nhiễu loạn 
lên tín hiệu mong muốn. Một số nguồn nhiễu là: bức xạ điện từ các vì sao, dịch chuyển 
hỗn loạn của điện tử trong các linh kiện của hệ thống, nhiễu từ các trạm phát thanh và 
phát hình, từ hệ thống đánh lửa trên xe ôtô, đèn huỳnh quang, v.v, Chương 6 sẽ chứng 
minh là hệ đặc trưng bởi phương trình (2.1) sẽ hoạt động như bộ vi phân bậc (m-n) ở tần 
số cao, nếu m > n. Điều không may là nhiễu là tín hiệu có băng thông rộng chứa đủ các 
thành phần tần số từ 0 đến . Như thế, nhiễu chứa đựng phần lớn các thành phần thay đổi 
nhanh, do đó đạo hàm của chúng sẽ có giá trị rất lớn. Do đó, hệ thống với phương trình 
(2.1) có m > n khuếch đại các thành phần tần số cao của nhiễu khi tạo vi phân, ảnh 
hưởng xấu đến chất lượng tín hiệu có ích. Trong tài liệu này, ta mặc định là nm . Để dễ 
khảo sát, cho điều kiện m = n trong trong phương trình (2.1). 
 Chương 1 đã chứng tỏ được hệ thống đặc trưng bởi phương trình (2.1) là hệ 
tuyến tính, nên đáp ứng có thể được viết thành tổng của hai thành phần: thành phần đáp 
ứng với ngõ vào zêrô và thành phần trạng thái zêrô. 
Vậy: 
 Đáp ứng tổng = đáp ứng với ngõ vào zêrô + đáp ứng trạng thái zêrô 
Thành phần đáp ứng với ngõ vào zêrô là đáp ứng của hệ thống khi ngõ vào 0)( tf , nên 
kết quả chỉ phụ thuộc các điều kiện bên trong của hệ thống (như việc tích lũy năng lượng, 
các điều kiện đầu) và độc lập với ngõ vào bên ngoài )(tf . Ngược lại, thành phần trạng 
thái zêrô là đáp ứng của hệ thống với ngõ vào bên ngoài )(tf khi hệ thống đang ở trạnh 
thái zêrô, không tồn tại vấn đề tích chức năng lượng nội tại; tức là mọi điều kiện đầu đều 
bằng zêrô. 
2.2 Đáp ứng của hệ thống với điều kiện nội tại: Đáp ứng khi ngõ vào là zêrô. 
Đáp ứng ngõ vào zêrô )(0 ty là nghiệm của phương trình (2.1) khi ngõ vào 0)( tf , 
Vậy: 0)()( 0 tyDQ (2.4a) 
Hay: 
 0)() 00
1
1
1
1 
 tyaDaDaD
n
n
n  (2.4b) 
Nghiệm của phương trình có thể tìm theo phương pháp cổ điển. Ở đây, ta thử làm tắt 
dùng suy diễn heuristic. Phương trình (2.4b) cho thấy tổ hợp tuyến tính giữa )(0 ty và n 
đạo hàm liên tiếp của )(0 ty là bằng zêrô, không phải với một số giá trị của t, mà là với 
mọi t. Kết quả này có được nếu và chỉ nếu )(0 ty và n đạo hàm liên tiếp của )(0 ty đều có 
cùng dạng. Chỉ hàm dạng mủ te là có được tính chất này. Giả sử: 
tcety  )(0 
Là nghiệm của phương trình (2.4b), thì 
 tec
dt
dy
tDy  00 )( 

tec
dt
yd
tyD 2
2
0
2
0
2 )( 
 tn
n
n
n ec
dt
yd
tyD  00 )( 
Thay vào phương trình (2.4b), có được: 
 0)( 01
1
1 
tn
n
n eaaac   
Các nghiệm không tầm thường (nontrivial) có 
 001
1
1 
 aaa
n
n
n   (2.5a) 
Kết quả này cho thấy tce đã là nghiệm của phương trình (2.4), và  thỏa phương trình 
(2.5a). Chú ý, đa thức trong phương trình (2.5a) giống đa thức Q(D) trong (2.4b), khi 
thay  cho D. Viết lại (2.5a) 
 0)( Q (2.5b) 
Chuyển )(Q thành dạng thừa số, viết lại phương trình (2.5b): 
 0)())(()( 21 nQ   (2.5c) 
Rõ ràng,  có n nghiệm: n ,...,, 21 . Nên phương trình (2.4) có khả năng có n nghiệm 
là: 
t
n
tt nececec

,...,, 21 21 trong đó nccc ,...,, 21 là các hằng số bất kỳ. Nghiệm tổng quát là 
tổng của n nghiệm, nên: 
t
n
tt necececty
 21 210 )( (2.6) 
nccc ,...,, 21 là các hằng số bất kỳ, xác định từ n ràng buộc của nghiệm (điều kiện phụ). 
Do đa thức )(Q mang đặc tính của hệ thống, không liên quan gì đến các ngõ 
vào, nên phương trình 
 0)( Q (2.7) 
 Được gọi là phƣơng trình đặc tính của hệ thống. Phương trình (2.5c) chứng tỏ 
n ,,, 21  là nghiệm của phương trình đặc tính; được gọi là nghiệm đặc tính của hệ 
thống. Ngoài ra nghiệm đặc tính còn được gọi là giá trị đặc tính, nghiệm riêng, và tần số 
tự nhiên. Hàm mũ tie ),,2,1( ni  trong đáp ứng ngõ vào - zêrô là các chế độ đặc 
tính (characteristic modes) còn được gọi là chế độ (modes) hay chế độ tự nhiên (natural 
modes) của hệ thống. Mỗi nghiệm đặc tính của từng hệ thống có chế độ đặc tính, và đáp 
ứng ngõ vào –zêrô là tổ hợp tuyến tính các chế độ đặc tính của hệ thống. 
 Thuộc tính quan trọng nhất của hệ LT-TT-BB (liên tục, tuyến tính, bất biến) là 
các chế độ đặc tính. Chế độ đặc tính không chỉ xác định đáp ứng ngõ vào - zêrô mà còn 
quan trọng khi xác định đáp ứng trạng thái – zêrô. Nói cách khác, chế độ đặc tính quyết 
định dạng đáp ứng chung của hệ thống. Phần còn lại của chương cho thấy ảnh hưởng của 
các độ đặc tính đối với mọi dáng vẽ hoạt động của hệ thống. 
Nghiệm lặp lại 
 Nghiệm phương trình (2.4) cho ở (2.6) là các nghiệm đặc tính n ,,, 21  được 
giả sử là phân biệt. Trường hợp có nghiệm lặp lại, dạng của nghiệm có thay đổi một ít. 
Dùng phép thế trực tiếp, nghiệm cùa phương trình 
 0)()( 0
2 tyD  là tetccty )()( 21 
Trường hợp này nghiệm  được lặp lại hai lần, nên chế độ đặc tính là te và tte . Từ đó, 
chứng minh được là với phương trình vi phân 
 0)()( 0 tyD
r (2.8) 
Các chế độ đặc tính là trttt etettee  12 ,,,,  và nghiệm của phương trình vi phân là: 
 trr etctccty
)()( 1210
  (2.9) 
Vậy, khi hệ thống có đa thức đặc tính 
 )()()()( 11 nr
rQ   
Có các chế độ đặc tính là tttrtt nr eeettee  ,,,,,, 1111 1  và nghiệm là 
t
n
t
r
tr
r
nr ececetctccty
 
  11
1
210 )()( 
Nghiệm phức 
 Phương thức xử lý các nghiệm phức tương tự như trường hợp các nghiệm thực, 
với các chế độ phức và dạng nghiệm phức. Tuy nhiên, có thể tránh được dạng phức nói 
chung thông qua cách chọn dạng thực của nghiệm, như sau: 
 Trong hệ thực, nghiệm phức phải có dạng cặp nghiệm phức liên hợp khi các hệ số 
của đa thức đặc tính )(Q là thực. Như thế, nếu nghiệm đặc tính là  j , thì  j 
cũng là nghiệm. Đáp ứng ngõ vào – zêrô tương ứng cặp nghiệm phức liên hợp là: 
 tjtj ececty )(2
)(
10 )(
  (2.10a) 
 Trong hệ thực, đáp ứng )(0 ty phải là thực. Điều này đúng khi c1 và c2 là liên hợp. 
Đặt 
 je
c
c
2
1 và 
je
c
c 
2
2 , thì 
)cos(][
222
)( )()()()(0 
     tceeee
c
ee
c
ee
c
ty ttjtjttjjtjj (2.10b) 
 Do đó, đáp ứng ngõ vào–zêrô tương ứng với cặp nghiệm phức liên hợp  j có 
thể biểu diễn theo dạng phức (2.10a) hay dạng thực (2.10b). Dạng thứ hai thích hợp hơn 
khi tính toán do không dùng dạng số phức. 
■ Thí dụ 2.1: 
(a) Tìm thành phần đáp ứng ngõ vào – zêrô )(0 ty của hệ LT – TT – BB mô tả bởi 
phương trình vi phân: 
 )()()23( 2 tDftyDD 
Với điều kiện đầu 50,0)0( 00 yy  . Ghi chú: )(0 ty là thành phần ngõ vào – zêrô 
 0)( tf là nghiệm của 0)()23( 0
2 tyDD . 
 Đa thức đặc tính của hệ thống là 232  . Phương trình đặc tính của hệ thống 
là 0)2)(1(232  . Các nghiệm đặc tính của hệ là 11  và 22  và 
chế độ đặc tính của hệ là te và te 2 . Do đó, thành phần ngõ vào- zêrô của dòng điện 
mạch vòng là 
 tt ececty 2210 )(
 (2.11a) 
Muốn xác định hằng số c1 và c2, đạo hàm hai vế của phương trình (2.11a): 
 tt ececty 2210 2)(
  (2.11b) 
Cho 0 t trong phương trình (2.11a) và (2.11b), thay điều kiện đầu 0)0(0 y và 
5)0(0 y , ta có 
 210 cc 
 21 25 cc 
Vậy tt eety 20 55)(
 là thành phần ngõ vào –zêrô của )(ty khi 0 t . 
 (b) Tương tự, cho trường hợp nghiệm lặp. Thí dụ, hệ đặc trưng bởi 
 )()53()()96( 2 tfDtyDD 
Xác định )(0 ty là thành phần ngõ vào – zêrô của đáp ứng khi các điều kiện đầu là 
 70,3)0( 00 yy  
 Đa thức đặc tính của hệ thống là 962  . Phương trình đặc tính của hệ thống 
là 0)3(96 22  . Các nghiệm đặc tính của hệ là 31  và 32  (nghiệm 
lặp) và chế độ đặc tính của hệ là te 3 và tte 3 . Do đó, thành phần ngõ vào- zêrô của dòng 
điện mạch vòng là 
 tetccty 3210 )()(
Muốn xác định hằng số c1 và c2, từ điều kiện đầu 70,3)0( 00 yy  theo các bước đã 
thực hiện ở phần (a), tìm được 31 c và 22 c : 
 tt ececty 2210 2)(
  (2.11b) 
Vậy tety 30 )213()(
 là thành phần ngõ vào –zêrô của )(ty khi 0 t . 
(c) Trường hợp nghiệm phức, xét thí dụ: tìm thành phần đáp ứng ngõ vào – zêrô 
)(0 ty của hệ LT – TT – BB mô tả bởi phương trình vi phân: 
 )()2()()404( 2 tfDtyDD 
khi các điều kiện đầu là 78,160,2)0( 00 yy  
 Đa thức đặc tính của hệ thống là 4042  . Phương trình đặc tính của hệ thống 
là 0)62)(62(4042 jj  . Các nghiệm đặc tính của hệ có thể viết 
thành dạng phức (2.10a) hay dạng thực (2.10b). Dạng phức là 
tt
ececty 21 210 )(
 , trong đó 621 j  và 622 j  và dạng thực là 
 )6cos()( 20  
 tcety t (2.12a) 
Trong đó c và  là các hằng số xác định từ điều kiện đầu 2)0(0 y và 78,16)0(0 y . 
Đạo hàm phương trình (2.12a), ta có 
 )6sin(6)6cos(2)( 220  
 tcetcety tt (2.12b) 
Cho 0 t trong phương trình (2.12a) và (2.12b), rồi thay điều kiện đầu vào, ta có 
cos2 
  sin6cos278,16 cc 
Hay 2cos c (2.13a) 
 463,3sin c (2.13b) 
Hay 416)464,3()2( 222 cc 
Chia (2.13b) cho (2.13b) 
32
463,3
tan
2
463,3
tan 1
 
3
6cos4)( 20
tety t và được vẽ ở hình B.11c ■ 
 Thí dụ C2.1 dùng máy tính 
Tìm nghiệm của đa thức 4042  
a=[1 4 40]; r=roots(a) 
r = 2.0000 + 6.0000i 
 2.0000 - 6.0000i  
 Thí dụ C2.2 dùng máy tính 
 Hệ LT – TT – BB đặc trưng bằng phương trình vi phân 
 )()53()()4( 2 tfDtykDD 
Xác định đáp ứng thành phần ngõ vào – zêrô với các điều kiện đầu 3)0(0 y và 
7)0(0 y với hai giá trị của k: (a) 3 (b) 40 
(a) y0=dsolve(‘D2y+4*Dy+3*y=0’, ‘y(0)=3’,’Dy(0)=-7’,t’) 
y0=2*exp(-3*t)+exp(-t) 
(b) y0=dsolve(‘D2y+4*Dy+4*y=0’,’y(0)=3’.Dy(0)=-7.’t’) 
 y0=3*exp(-2*t) - exp(-2t)*t 
(c) y0=dsolve(‘D2y+4*Dy+40*y=0’,’y(0)=3’.Dy(0)=-7.’t’) 
 y0=3*exp(-2*t)*cos(6*t)-1/6*exp (-2t)*sin(6*t)  
 Bài tập E 2.1 
Tìm đáp ứng ngõ vào - zêrô của hệ thống LT – TT – BB được mô tả bằng phương 
trình (D + 5)y(t) =f(t) khi với điều kiện đầu y(0) = 5. 
Đáp số: tety 50 5)(
 0 t .  
 Bài tập E 2.2 
Giải phương trình (D2 +2D)y0(t) =f(t) khi với điều kiện đầu y0(0) = 1 và 
4)(0 ty . 
Đáp số: tety 20 23)(
 0 t .  
Các điều kiện đầu thực tế và ý nghĩa của 0- và 0+ 
 Thí dụ 2.1, có các điều kiện đầu )0(0y và )0(0y được cho trước. Trong bài toán 
thực tế, ta phải tìm điều kiện này từ các trạng thái vật lý. Thí dụ, trong mạch RCL, 
thường ta có các điều kiện như điện áp ban đầu của tụ, dòng điện đầu cùa cuộn dây, 
v.v, Từ thông tin này, tìm ra được  ),0(),0( yy của S các biến như thí dụ tiếp đây. 
 Trong phần lớn tài liệu, ngõ vào được giả định là bắt đầu tại 0 t , trừ khi có định 
nghĩa khác. Như thế, 0 t là điểm tham chiếu. Các điều kiện ngay tức thời trước 0 t 
(ngay trước khi áp tín hiệu ngõ vào) là điều kiện tại 0t , và điều kiện ngay tức thời sau 
0 t (ngay sau khi áp tín hiệu ngõ vào) là các điều kiện 0t . Trong thực tế, ta thường 
cần các điều kiện đầu tại 0t thay vì tại 0t . Thông thường hai tập giá trị điều kiện 
này khác nhau, mặt dù trong một số trường hợp, chúng có thể giống nhau. 
 Ta đang khảo sát đáp ứng tổng )(ty , bao gồm hai thành phần; thành phần ngõ vào 
–zêrô )(0 ty (đáp ứng do điều kiện đầu tạo nên và ngõ vào 0)( tf ) và thành phần trạng 
thái – zêrô do tác động của ngõ vào với các điều kiện đầu là zêrô. Tại 0t , đáp ứng 
)(ty chỉ gồm thành phần ngõ vào – zêrô )(0 ty do lúc này chưa có tín hiệu vào. Nên các 
điều kiện đầu của )(ty giống trường hợp )(0 ty . Vậy, )0()0( 0
 yy , )0()0( 0
 yy  , 
v.v , Hơn nữa, )(0 ty là đáp ứng chỉ do điều kiện đầu và không phụ thuộc ngõ vào 
)(tf , nên khi áp tín hiệu hiệu vào tại 0 t không ảnh hưởng lên )(0 ty . Điều này có 
nghĩa là điều kiện đầu tác động lên )(0 ty tại tại 
 0t và 0t là như nhau; tức là 
)0(),0( 00
 yy  , , lần lượt giống với )0(),0( 00
 yy  . Rõ ràng là với )(0 ty , không có 
sự phân biệt giữa 0,0 t vả 0 , chúng đều được xem là giống nhau. Điều này không 
đúng cho đáp ứng tổng )(ty , đáp ứng này gồm các thành phần ngõ vào – zêrô và thành 
phần trạng thái – zêrô. Như thế, thường thì )0()0( yy , )0()0( yy  , v,v,. 
■ Thí dụ 2.2: 
 Áp nguồn áp tại ngõ vào của mạch RCL ở hình 2.1a. Tìm dòng điện vòng )(ty 
khi 0 t nếu dòng điện ban đầu qua cuộn dây là zêrô, tức là 0)0( y và điện áp ban đầu 
qua tụ là 5 vôn, tức là 5)0( Cv . 
 Phương trình vi phân (phương trình vòng) mô tả quan hệ giữa )(ty và )(tf là: 
 )()()23( 2 tDftyDD 
Thành phần trạng thái – zêrô của )(ty có nguồn gốc từ )(tf , với giả sử là mọi 
điều kiện đầu đầu là zêrô, tức là 0)0()0( Cvy , sẽ được tính trong thí dụ 2.5. Thí dụ 
này nhằm tìm thành phần ngõ vào – zêrô )(0 ty , nên cần hai điều kiện đầu là )0(0y và 
)0(0y . Các điều kiện này tính từ điều kiện đầu 0)0( 
 y và 5)0( Cv . Nhắc lại là 
)(0 ty là dòng điện vòng khi hai đầu vào bị ngắn mạch tại 0 t , nên 0)( tf (ngõ vào 
– zêrô) như vẽ ở hình 2.1b. Tính )0(0y và )0(0y là giá trị dòng điện vòng và đạo hàm tại 
0 t từ điều kiện đầu của dòng điện qua cuộn dây và điện áp qua tụ. Cần nhớ rằng dòng 
điện qua cuộn dây và điện áp qua tụ không thay đổi tức thời khi chưa có xung dòng điện. 
Như thế, khi đầu vào bị ngắn mạch tại 0 t , thì dòng điện qua cuộn dây vẫn giữ nguyên 
là zêrô và điện áp qua tụ vẫn là 5 vôn. Như thế, 
 0)0(0 y 
Nhằm xác định )(0 ty , dùng phương trình vòng trong mạch hình 2.1b. Điện áp qua cuộn 
cảm là )/( 0 dtdyL hay )(0 ty , viết được phương trình: 
 0)()(3)( 00 tvtyty C 
Cho 0 t , ta có 
 0)0()0(3)0( 00 Cvyy 
Do )0(0y và 5)0( Cv nên 
 5)0(0 y 
Tìm được điều kiện đầu là 
 0)0(0 y và 5)0(0 y 
Nên bài toán rút gọn để tìm thành phần ngõ vào – zêrô )(0 ty của )(ty trong hệ đặc 
trưng bởi phương trình )()()23( 2 tDftyDD khi các điều kiện đầu là 
0)0(0 y và 5)0(0 y . Bài toán này đã được giải trong thí d ... phải chỉ chứa thừa số xung đơn vị 
)(t . Điều này chỉ xảy ra nếu )()1( ty nn
 có bước nhảy đơn vị gián đoạn tại 0 t , nên 
)()()( tty nn  . Hơn nữa, thừa số bậc thấp không thể có bước nhảy gián đoạn do điều này 
tức là có yếu tố đạo hàm của )(t . Thí dụ, giả sử )(tyn có bước nhảy gián đoạn, thì đạo 
hàm )(tyn chứa đạo hàm bậc nhất của xung )(t , và v.v, Nhưng, điều này là không 
thể do vế phải của phương trình (2.81c) chỉ chứa mỗi một )(t . Do đó chỉ có )()1( ty nn
 là 
có được bước nhảy gián đoạn nên )()( ty nn là )(t . Không có bước nhả gián đoạn tại các 
biến còn lại do điều này sẽ tạo các đạo hàm bậc cao của )(t trong vế phải. Như thế 
0)0()0()0( )2()1( nnnn yyy  (không có gián đoạn tại 0 t ). Như thế, n điều kiện 
đầu của )(tyn là 
 1)0()1( nny 
 0)0()0()0( )2()1( nnnn yyy  (2.82) 
Điều này, tức là )(tyn là đáp ứng ngõ vào – zêrô của hệ thống S với các điều kiện 
đầu (2.82). 
Ta chứng minh tiếp là với cùng tín hiệu vào )(tf cho hai hệ thống S và 0S , các ngõ 
ra lần lượt là )(ty và )(tx là 
 )()()( txDPty (2.83) 
Để chứng minh, nhân hai vế của (2.83) cho )(DP 
 )()()()()( tfDPtxDPDQ 
So sánh phương trình này với phương trình (2.77a) ta có ngay phương trình (2.83). 
Bây giờ, nếu ngõ vào là )()( ttf  , ngõ ra của 0S là )(tyn , và ngõ ra của S , theo 
phương trình (2.83) là )()( tyDP n . Ngõ ra này là )(th , đáp ứng xung của S . Tuy vậy, do 
là đáp ứng xung của hệ nhân quả 0S , nên hàm )(tyn là nhân quả. Để dễ thể hiện, nên 
chọn hàm này là )()( tutyn . Do đó, )(th , đáp ứng xung của hệ thống S là 
 )]()()[()( tutyDPth n (2.84) 
Trong đó, )(tyn là tổ hợp tuyến tính các chế độ đặc tính của hệ thống với điều kiện 
đầu (2.82). 
Vế phải của phương trình (2.84) là tổ hợp tuyến tính các đạo hàm của )()( tutyn . 
Việc ước lượng các đạo hàm này thường rắc rối và không thích hợp do có sự hiện diện 
của )(tu . Các đạo hàm này sẽ tạo ra xung là các đạo hàm của xung tại gốc. May mắn là 
khi nm [phương trình (2.84)], ta tránh được khó khăn này dùng quan sát trong phương 
trình (2.79), khẳng định là tại 0 t (tại gốc), )()( tbth n . Như thế, ta không cần bỏ 
công tìm )(th tại gốc. Yếu tố lượt giản tức là thay vì tìm )]()()[( tutyDP n , ta chỉ cần tính 
)()( tyDP n rồi cộng với thừa số )(tbn : 
 )()()()( tyDPtbth nn  0 t 
 )()]()([)( tutyDPtb nn  (2.85) 
Biểu thức này có giá trị khi nm [dạng cho bởi phương trình (2.77b)]. Khi nm , 
dùng phương trình (2.84) 
2.9 Tóm tắt. 
Chương này bàn về phân tích hệ thống LT – TT – BB . Đáp ứng chung của hệ thống 
tuyến tính là tổng của đáp ứng ngõ vào- zêrô và đáp ứng trạng thái – zêrô. Đáp ứng ngõ 
vào –zêrô là đáp ứng cũa hệ thống chỉ do điều kiện nội tại (điều kiện đầu) của hệ thống 
tạo ra, với giả sử là mọi tác động bên ngoài là zêrô. Đáp ứng trạng thái –zêrô là đáp ứng 
do tác động từ ngõ vào bên ngoài, với giả sử là mọi điều kiện đầu là zêrô, tức là hệ thống 
ở trạng thái zêrô. 
Hàm xung đơn vị là dạng mô hình toán học lý tưởng của tín hiệu không tạo được 
trong thực tế. Tuy nhiên, tín hiệu dạng này lại là phương tiện rất hữu ích khi phân tích tín 
hiệu và hệ thống. Đáp ứng xung của hệ thống là tổ hợp các chế độ đặc tính của hệ thống 
do xung 0)( t khi 0 t . Do đó, đáp ứng khi 0 t phải là đáp ứng ngõ vào –zêrô, 
như đã nới, chính là các chế độ đặc tính. 
Đáp ứng trạng thái –zêrô (đáp ứng với ngõ vào bên ngoài) của hệ thống tuyến tính 
có được bằng cách chia ngõ vào thành nhiều thành phần đơn giản hơn rồi thực hiện phép 
cộng tất cả các đáp ứng thành phần. Trong chương này, ta cho các ngõ vào bất kỳ thành 
tổng của nhiều xung vuông độ rộng hẹp [phương pháp xấp xỉ bậc thang cho )(tf ]. Khi 
cho độ rộng xung 0 , xung vuông biến thành xung. Khi biết được đáp ứng xung của hệ 
thống, ta tìm được đáp ứng hệ thống của tất cả các xung thành phần và rồi cộng chúng lại 
để có đáp ứng hệ thống với ngõ vào )(tf . Tổng các đáp ứng các xung thành phần có 
dạng một tích phân, được gọi là tích phân chập. Đáp ứng hệ thống có được bằng cách lấy 
tích phân chập của tín hiệu vào )(tf với đáp ứng xung )(th . Như thế, biết được đáp ứng 
xung cho phép ta xác định đáp ứng hệ thống với ngõ vào bất kỳ. 
Hệ LT – TT –BB có quan hệ rất đặc biệt vớ itín hiệu không dừng mủ ste do đáp ứng 
của hệ LT – TT – BB với tín hiệu dạng này chính là cùng tín hiệu nhân với hằng số. Đáp 
ứng của hệ thống LT – TT –BB với ngõ vào là tín hiệu không dừng dạng mủ ste là 
stesH )( , với )(sH là hàm truyền của hệ thống. 
Các phương trình vi phân mô tả hệ LT – TT – BB có thể được giải dùng phương 
pháp cổ điển, theo đó đáp ứng có được là tổng của đáp ứng tự nhiên và đáp ứng ép, điều 
này không giống với đáp ứng thành phần ngõ vào –zêrô và trạng thái – zêrô, cho dù 
chúng đều thỏa cùng phương trình. Phương pháp này tuy đơn giản nhưng có nhiểu yếu 
điểm do chỉ áp dụng được cho một số dạng tín hiệu vào, và đáp ứng hệ thống không biểu 
diễn được theo hàm tường minh của ngõ vào. Hạn chế này làm phương pháp không dùng 
được khi nghiên cứu lý thuyết về hệ thống. 
Hệ thống tuyến tính ở trạng thái zêrô khi mọi điều kiện đầu là zêrô. Hệ thống ở trạng 
thái zêrô không có khả năng tạo ra bất kỳ đáp ứng nào khi chưa có tín hiệu vào. Khi một 
số điều kiện đầu được đưa vào hệ thống, nếu hệ thống có xu hướng về zêrô khi không có 
tín hiệu ngõ vào, thì được gọi là ổn định tiệm cận. Ngược lại, nếu đáp ứng của hệ thống 
tăng vô hạn, thì hệ thống là không ổn định, ngoài ra còn có trường hợp hệ thống ở biên 
ổn định. 
Các tiêu chuẩn ổn định theo vị trí nghiệm đặc tính của hệ thống được tóm tắt thành: 
1. Hệ LT – TT – BB là ổn định tiệm cận nếu và chỉ nếu mọi nghiệm nằm bên 
trái mặt phẳng phức. Các nghiệm này có thể là nghiệm đơn hay nghiệm lặp. 
2. Hệ LT – TT – BB là không ổn định nếu và chỉ nếu mọi nghiệm nằm bên phải 
mặt phẳng phức. Các nghiệm này có thể là nghiệm đơn hay nghiệm lặp. 
3. Hệ LT – TT – BB là ở biên ổn định tiệm cận nếu và chỉ nếu, không có 
nghiệm nằm bên phải mặt phẳng phức, và có một số nghiệm lặp trên trục ảo 
của mặt phẳng phức. 
Dựa vào định nghĩa khác về ổn định là: ổn định BIBO (bounded-input, bounded 
output), tức là hệ thống ổn định nếu các ngõ vào bị chặn tạo các ngõ ra bị chặn. Ngược lại 
là hệ BIBO không ổn định. Hệ BIBO ở biên ổn định luôn là hệ BIBO ổn định, tuy nhiên, 
điều ngược lại không đúng. 
Hoạt động đặc tính của hệ thống là cực kỳ quan trọng do không chỉ xác định đáp 
ứng hệ thống với điều kiện nội tại (hoạt động ngõ vào – zêrô) mà còn xác định đáp ứng 
với ngõ vào (hoạt động trạng thái – zêrô) và tín hổn định của hệ thống. Đáp ứng của hệ 
thống với tín hiệu từ ngoài được xác định dùng đáp ứng xung, mà tự thân đáp ứng xung 
đã bao gồm các chế độ đặc tính. Độ rộng của đáp ứng xung được gọi là hằng số thời gian 
của hệ thống, chỉ thị tốc độ đáp ứng của hệ thống với tín hiệu vào. Hằng số thời gian giữ 
vai trò quan trọng để xác định nhiều hoạt động khác nhau của hệ thống như đáp ứng theo 
thời gian và tính lọc của hệ thống, sự phân tán của xung, và tốc độ truyền xung qua hệ 
thống. 
Tài liệu tham khảo 
1. Lathi, B.P., Signals and Systems, Berkeley-Cambridge Press, Carmichael, 
California, 1987. 
2. Kailath, T., Linear Systems, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 
1980. 
3. Lathi, B.P., Modern Digital and Analog Communication Systems, Third 
Ed,.Oxford University Press, New York, 1998. 
Bài tập 
2.2-1 Hệ LT – TT –BB đặc trưng bởi phương trình 
 )()1()()65( 2 tfDtyDD 
(a) Tìm đa thức đặc tính, phương trình đặc tính, nghiệm đặc tính, và các chế 
độ đặc tính của hệ thốn gnày 
(b) Tìm )(0 ty , thành phần ngõ vào – zêrô của đáp ứng )(ty khi 0 t , nếu 
điều kiện đầu là 2)0(0 y và 1)0(0 y 
2.2-2 Làm lại bài tập 2.2-1 khi 
 )()()44( 2 tDftyDD , điều kiện đầu là 3)0(0 y và 4)0(0 y 
2.2-3 Làm lại bài tập 2.2-1 khi 
 )()2()()1( tfDtyDD , điều kiện đầu là 1)0(0 y và 1)0(0 y 
2.2-4 Làm lại bài tập 2.2-1 khi 
 )()23()()9( 2 tfDtyD , điều kiện đầu là 0)0(0 y và 6)0(0 y 
2.2-5 Làm lại bài tập 2.2-1 khi 
 )()2(4)()134( 2 tfDtyDD , điều kiện đầu là 5)0(0 y và 59,15)0(0 y 
2.2-6 Làm lại bài tập 2.2-1 khi 
 )()2()()1( 22 tfDtyDD , điều kiện đầu là 4)0(0 y và 1)0(0 y 
2.2-7 Làm lại bài tập 2.2-1 khi 
 )()()65)(1( 2 tDftyDDD , điều kiện đầu là 2)0(0 y , 1)0(0 y và 5)0(0 y 
2.3-1 Tìm đáp ứng xung của hệ thống đặc trưng bởi phương trình 
 )()5()()34( 2 tfDtyDD 
2.3-2 Làm lại bài tập 2.3-1 nếu 
 )()117()()65( 22 tfDDtyDD 
2.3-3 Làm lại bài tập 2.3-1 với bộ lọc bậc một 
 )()1()()1( tfDtyD X 
2.3-4 Tìm đáp ứng xung của hệ LT – TT BB đặc trưng bởi phương trình 
 )()92()()96( 2 tfDtyDD 
2.4-1 Nếu )()()( tgtftc , chứng minh là gfc AAA , với gf AA , và cA là diện 
tích tương ứng lần lượt là )(),( tgtf và )(tc . Kiểm tra đặc tính diện tích của 
tích phân chập trong thí dụ 2.6 và 2.8. 
2.4-2 Nếu )()()( tctgtf , chứng minh là )(
1
)()( atc
a
atgatf . Đặc tính tỉ lệ 
thời gian của tích phân chập cho là cả )(tf và )(tg đều được tỉ lệ theo a, tích 
phân chập của chúng cũng được tỉ lệ theo a (và nhân với a/1 ). 
2.4-3 C hứng tỏ là tích phân chập của hàm chẵn và hàm lẻ là hàm lẻ và tích phân 
chập giữa hai hàm lẻ hay hai hàm chẵn là hàm chẵn. 
Hướng dẫn: dùng đặc tính tỉ lệ theo thời gian của tích phân chập trong bài tập 
2.4-2. 
2.4-4 Dùng phương pháp tích phân trực tiếp, tính )()( tuetue btat . 
2.4-5 Dùng phương pháp tích phân trực tiếp, tính )()( tutu , )()( tuetue atat và 
)()( tuttu . 
2.4-6 Dùng phương pháp tích phân trực tiếp, tính )()(.sin tutut , và )()(.cos tutut 
2.4-7 Đáp ứng xung đơn vị của hệ LT- TT –BB là )()( tueth t . Tìm đáp ứng 
(trạng thái – zêrô) )(ty khi tín hiệu vào )(tf là 
(a) )(tu (b) )(tue t (c) )(2 tue t (d) )(.3sin tut 
2.4-8 Làm lại bài tập 2.4-7 nếu )(]2[)( 23 tueeth tt khi tín hiệu vào )(tf là 
(a) )(tu (b) )(tue t (c) )(2 tue t 
2.4-9 Làm lại bài tập 2.4-7 nếu )()21()( 2 tuetth t khi tín hiệu vào )()( tutf 
2.4-10 Làm lại bài tập 2.4-7 nếu )(.3cos4)( 2 tuteth t khi tín hiệu vào )(tf là 
 (a) )(tu (b) )(tue t 
2.4-11 Làm lại bài tập 2.4-7 nếu )()( tueth t khi tín hiệu vào )(tf là (a) )(2 tue t , 
(b) )()3(2 tue t (c) )3(2 tue t (d) xung vuông vẽ ở hình P2.4-11, và vẽ )(ty 
trong trường hợp (d). Hướng dẫn: ngõ vào tại (d) có thể được viết thành 
)1()( tutu . Trường hợp (c) và (d), dùng tính dời theo thời gian (2.34) của 
tích phân chập. (Ngoài ra, còn có thể dùng tính bất biến và tính xếp chồng) 
2.4-12 Hệ thống lọc bậc nhất có đáp ứng xung )(2)()( tuetth t  
(a) Tìm đáp ứng trạng thái –zêrô của bộ lọc khi có tín hiệu vào )(tue t 
 (b) Vẽ ngõ vào và đáp ứng trạng thái – zêrô tương ứng 
2.4-13 Vẽ hàm 
1
1
)(
2 
t
tf và )(tu . Tìm )()( tutf và vẽ kết quả. 
2.4-14 Hình P2.4-14 vẽ )(tf và )(tg . Tìm và vẽ )()()( tgtftc 
2.4-15 Tìm và vẽ )()()( tgtftc vẽ ở hình P2.4-15 
2.4-16 Tìm và vẽ )()()( 21 tftftc trong cặp hàm vẽ ở hình P2.4-16 
2.4-17 Hệ LT – TT – BB, nếu đáp ứng (trạng thái – zêrô) của ngõ vào )(tf là )(ty , 
chứng minh là đáp ứng đáp ứng (trạng thái – zêrô) của ngõ vào )(tf là )(ty , 
và đáp ứng khi ngõ vào 
t
df  )( là 
t
dy  )( . 
2.4-18 Nếu )()()( tctgtf , chứng minh )()()()()( tctgtftgtf  
Mở rộng kết quả để chứng minh là )()()( ))()( tctgtf nmnm 
Trong đó )()( tx m là đạo hàm của )(tx , và mọi đạo hàm của )(tf và )(tg tồn tại 
Hướng dẫn: Dùng phần đầu trong hướng dẫn trong bài tập 2.4-17 và đặc tính dời theo 
thời gian của tích phân chập. 
2.4-19 Như đã bàn trong chương 1 (hình 1.27b), có thể biểu diễn ngõ vào theo các 
thành phần hàm bước, như vẽ trong hình P2.4-19. Nếu )(tg là hàm bước đơn 
vị của hệ LT – TT – BB , chứng minh là đáp ứng (trạng thái-zêrô) )(ty của hệ 
 LT – TT – BB theo ngõ vào )(tf có thể biểu diễn thành 
 )()()()()( tgtfdtgfty   
Hướng dẫn: từ hình P2.4-19, thành phần đáp ứng bước được tô bóng được cho bởi . 
)(])([)(   ntufntfu  . Đáp ứng hệ thống là tổng tất cả các thành phần. 
2.4-20 Điện tích đường đặt dọc theo truc x có mật độ điện tích )(xf . Chứng tỏ là 
điện trường )(xE do điện tích đường tạo nên tại điểm x là 
 )()()( xhxfxE với 
24
1
)(
x
xh
 
 Hướng dẫn: Điện tích trong khoảng  đặt tại  n là  nf . Đồng thời, 
theo luật Coulomb, điện trường )(rE tại khoảng cách r đến điện tích q được cho bởi 
24
)(
r
q
rE
 
2.4-21 Xác định )(sH , hàm truyền của bộ trễ lý tưởng theo thời gian T giây. Tìm kết 
quả bằng hai phương pháp: dùng phương trình (2.48) và dùng phương trình 
(2.49). 
2.5-1 Dùng phương pháp cổ điển, giải )()2()()127( 2 tfDtyDD nếu điều 
kiện đầu là 0)0( y , 1)0( y và khi ngõ vào )(tf 
(a) )(tu (b) )(tue t (c) )(2 tue t 
2.5-2 Dùng phương pháp cổ điển, giải )()3()()256( 2 tfDtyDD nếu điều 
kiện đầu là 0)0( y , 2)0( y và khi ngõ vào )()( tutf . 
2.5-3 Dùng phương pháp cổ điển, giải )()1()()44( 2 tfDtyDD nếu điều 
kiện đầu 4/9)0( y , 5)0( y , khi ngõ vào )(tf (a) )(3 tue t (b) )(tue t 
2.5-4 Dùng phương pháp cổ điển, giải )()1()()2( 2 tfDtyDD nếu điều kiện 
đầu 2)0( y , 1)0( y , khi ngõ vào )()( tutf . 
2.5-5 Làm lại bài tập 2.5-1, nếu ngõ vào )()( 3 tuetf t 
2.6-1 Giải thích, lý luận và cho biết các hệ LT – TT – BB đặc trưng bởi các phương 
trình sau là ổn định tiệm cận, biên ổn định hay không ổn định 
(a) )()1()()128( 2 tfDtyDD 
(b) )()5()()23( 2 tfDtyDDD 
(c) )()5()()2( 22 tfDtyDD 
(d) )()13()()56)(1( 2 tfDtyDDD 
2.6-2 Làm lại bài 2.6-1, nếu 
(a) )()1()()52)(1( 2 tfDtyDDD 
(b) )()92()()9)(1( 2 tfDtyDD 
(c) )()92()()9)(1( 22 tfDtyDD 
 (d) )(3)()9)(4)(1( 222 tDftyDDD 
2.6-3 Đối với hệ LT – TT – BB có đáp ứng xung là )()( tuth 
(a) Xác định các nghiệm đặc tính của hệ thống này 
(b) Hệ thống là ổ định tiệm cận, ở biên tiệm cận, hay không ổn định 
(c) Hệ thống có ổn địnhBIBO 
(d) Hệ thống có thể dùng làm gì? 
2.6-4 Trong phần 2.6, ta đã chứng minh là hệ LT – TT – BB thì điều kiện (2.65) là 
đủ để hệ ổn định BIBO. Chứng minh đây cũng là điều kiện cần để có ổn định 
BIBO. Nói cách khác, chứng minh là khi phương trình (2.65) không thỏa thì 
tồn tại ngõ vào bị chặn, tạo ngõ ra không bị chặn. 
Hướng dẫn: giả sử là hệ thống tồn tại có )(th vi phạm phương trình (2.65) và 
tạo ngõ ra bị chặn với từng ngõ vào bị chặn. Thiết lập nghịch lý này qua việc 
xem một ngõ vào )(tf định nghĩa với 1)( 1 tf khi 0)( h và 
1)( 1 tf khi 0)( h , với 1t là thời điểm hằng. 
2.7-1 Dữ liệu với tốc độ 1 triệu xung trong một giây được truyền qua kênh thông 
tin. Đáp ứng bước đơn vị )(tg của kênh truyền được vẽ ở hình P2.7-1. 
(a) Cho biết kênh truyền này có truyền được dữ liệu với tốc độ yêu cầu 
không? 
(b) Có thể truyền tín hiệu gồm các thành phần có tần số cao hơn 15 kHz có 
thể truyền qua kênh với độ trung thực cao hơn? 
2.7-2 Một kênh thông tin có khổ sóng 10kHz. Xung có độ rộng 0,5 ms được 
truyền qua kênh này. 
(a) Xác định độ rộng của xung thu được 
(b) Tìm tốc độ tối đa mà các xung này có thể truyền qua kênh mà không bị 
giao thoa giữa các xung liên tiếp. 
2.7-3 Hệ LT – TT – BB bậc một có phương trình đặc tính 410  
(a) Xác định rT , thời gian lên của đáp ứng bước đơn vị 
(b) Xác định băng thông của hệ thống 
(c) Xác định tốc độ mà xung thông tin có thể truyền qua hệ thống.