Bài giảng Tín hiệu và dùng chuỗi - Chương 1: Giới thiệu về tín hiệu và hệ thống

CHƢƠNG 1 
GIỚI THIỆU VỀ TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG 
Nội dung 
1.1 Phân loại tín hiệu 
1.2 Các mô hình và phép tính tín hiệu 
1.3 Phân loại hệ thống 
1.4 Mô hình hệ thống: Mô tả quan hệ ngõ vào – ngõ ra hệ thống 
Tài liệu tham khảo: 
B.P. Lathi, Signal Processing and Linear Systems, Berkeley-Cambridge Press, 1998 
 Chương trình bày một số đặc tính cơ bản của tín hiệu, đồng thời giới thiệu các ý 
niệm cơ bản chính và giải thích định tính phương thức hoạt động của hệ thống, tạo cơ sở 
cho phần còn lại của tài liệu. 
Tín hiệu 
 Tín hiệu là tập các thông tin hay dữ liệu, Thí dụ tín hiệu trong điện thoại hay 
truyền hình, doanh số bán của một công ty, hay chỉ số giá chứng khoán hàng ngày (thí dụ 
chỉ số Dow Jones). Các thí dụ trên cho thấy tín hiệu là hàm theo biến thời gian độc lập, 
tuy không phải lúc nào cũng đúng. Thí dụ điện tích được phân bố trong một vật thì tín 
hiệu là điện tích lại phụ thuộc nhiều vào yếu tố không gian, không phải là thời gian. Tài 
liệu này quan tâm chủ yếu đến các tín hiệu phụ thuộc theo thời gian. Tuy nhiên, phương 
thức này còn áp dụng được cho các dạng biến độc lập khác. 
Hệ thống 
Hệ thống xử lý các tín hiệu, nhằm thay đổi hay lấy thêm thông tin từ tín hiệu. Thí 
dụ, người lính phòng không cần thông tín từ mục tiêu di động của đối phương mà radar 
của mình đang theo bám. Thông qua xử lý đúng tín hiệu radar (ngõ vào), anh ta có thể 
ước lượng được vị trí sắp tới của mục tiêu. Như thế, hệ thống là một thực thể (entity) 
nhằm xử lý tập các tín hiệu (ngõ vào) để tạo một tập tín hiệu khác (ngõ ra). Hệ thống có 
thể được tạo lập từ các thiết bị vật lý, như các hệ thống điện, hệ thống cơ, hay thủy lực 
(phần cứng), hay có thể là một thuật toán để tính toán ngõ ra khi có tín hiệu ngõ vào 
(phần mềm). 
1.1 Kích thƣớc của tín hiệu (đo lƣờng tín hiệu) 
Kích thước của một thực thể là con số nhằm chỉ thị độ lớn hay cường độ của thực 
thể này. Nói chung, biên độ tín hiệu thay đổi theo thời gian. Như thế, làm cách nào để đo 
lường một tín hiệu tồn tại trong một khoảng thời gian với biên độ có thay đổi dùng chỉ 
một con số nhằm chỉ thị kích thước hay cường độ của tín hiệu? Đo lường này không chỉ 
xem xét về tín hiệu biên độ, mà còn xem xét đến thời gian tồn tại. Thí dụ nếu ta có ý 
định chỉ dùng một số V để đo kích thước của con người, ta không chỉ xem xét vòng ngực 
mà còn phải xem thêm về chiều cao. Nếu ta dùng giả thiết là hình dạng con người là một 
hình khối tròn có bán kính r (thay đổi theo chiều cao h) thì đo lường hợp lý kích thước 
của người có chiều cao H là thể tích V, cho theo công thức: 
H
dhhrV
0
2 )( 
 Năng lƣợng tín hiệu 
 Từ đó, tiếp tục xem xét vùng điện tích của tín hiệu f(t) như phép đo kích thước, do 
phần này không chỉ dùng biên độ, mà còn quan tâm đến thời gian tồn tại của tín hiệu. Tuy 
nhiên, phương pháp này có thể cho kết quả đo lường sai khi f(t) là tín hiệu lớn, tạo các 
vùng diện tích có giá trị dương và giá trị âm, có khả năng triệt tiêu nhau, làm cho phép đo 
có giá trị nhỏ hơn giá trị thực. Vấn đề này được hiệu chỉnh bằng cách định nghĩa kích 
thước của tín hiệu là vùng điện tích của f2(t), là vùng điện tích luôn có giá trị dương. Gọi 
đo lường này là năng lượng tín hiệu Ef, được định nghĩa (cho tín hiệu thực) là: 
 dttfE f )(
2 (1.1) 
Khi f(t) là tín hiệu phức, ta có công thức tổng quát: 
 dttfE f
2
)( (1.2) 
 Tuy còn có thể đo lường tín hiệu bằng nhiều cách khác, thí dụ như vùng điện tích 
của )(tf , nhưng phép đo năng lượng với khả năng biểu diễn dạng toán học, còn có ý 
nghĩa chỉ thị năng lượng của tín hiệu (sẻ được minh họa ở phần sau). 
Công suất tín hiệu 
 Năng lượng tín hiệu cần hữu hạn để đo lường được kích thước tín hiệu, Điều kiện 
cần để năng lượng hữu hạn là biên độ tín hiệu 0 khi t (xem hình 1.1a), nếu 
không tích phân trong phương trình (1.1) sẽ không hội tụ. 
 Trong một số trường hợp, thí dụ khi biên độ của f(t) không 0 khi t , 
(hình 1.1b), thì năng lượng tín hiệu là vô hạn. Trường hợp này, cần đo kích thước tín hiệu 
theo trị trung bình theo thời gian của năng lượng, nếu tồn tại. Đo lường này gọi là công 
suất của tín hiệu. 
 Định nghĩa công suất Pf của tín hiệu f(t) là: 
2/
2/
2 )(
1
lim
T
TT
f dttf
T
P (1.3) 
Khi f(t) là tín hiệu phức, ta có công thức tổng quát: 
2/
2/
2
)(
1
lim
T
TT
f dttf
T
P (1.4) 
Ta thấy là công suất tín hiệu Pf là trung bình theo thời gian của bình phương biên 
độ tín hiệu, tức là trị bình phương trung bình của f(t). Hơn nữa, căn bình phương của Pf 
là trị rms (root mean square) của f(t). 
 Trung bình của tín hiệu trong khoãng thời gian dài vô hạn tồn tại nếu tín hiệu là 
tuần hoàn hay statistical regularity. Khi không thỏa điều kiện này thì có thể không tồn tại 
trị trung bình. Thí dụ, tín hiệu hàm dốc f(t) = t tăng vô hạn khi t , như thế không 
tồn tại công suất cũng như năng lượng của tín hiệu này. 
Nhận xét 
 Năng lượng tín hiệu được định nghĩa từ phương trình (1.1) và (1.2) không chỉ thị 
năng lượng thực của tín hiệu do năng lượng tín hiệu không chỉ phụ thuộc vào tín hiệu mà 
còn phụ thuộc vào tải của tín hiệu. Năng lượng này có thể được biểu diễn như năng lượng 
tiêu tán (dissipated) của một tải chuẩn hóa với giá trị 1 ohm khi áp điện áp f(t) vào hai 
đầu trở (hay khi cho dòng f(t) qua trở 1 ohm này). Trường hợp này đo lường “năng 
lượng” chỉ thị khả năng của năng lượng chứ không là năng lượng thực. Như thế, các ý 
niệm về bảo toàn năng lượng không dùng được cho ý niệm “năng lượng tín hiệu” này. Lý 
luận tương tự cho trường hợp “công suất tín hiệu” theo định nghĩa (1.3) và (1.4). Các đo 
lường này không chỉ thị thích hợp cho kích thước tín hiệu, là ý niệm hữu ích trong nhiều 
ứng dụng. Thí dụ, ta xấp xỉ tín hiệu f(t) bằng tín hiệu g(t), sai số xấp xỉ là e(t) = f(t) –g(t). 
Năng lượng (hay công suất) của e(t) là chỉ thị thích hợp tính đúng của phép xấp xỉ, nhằm 
cung cấp cho ta một đo lường định lượng nhằm xác định tính khớp của phép xấp xỉ. trong 
hệ thống thông tin, khi truyền qua kênh truyền, tín hiệu tin tức bị sai lệch do tín hiệu 
không mong muốn (nhiễu). Chất lượng tín hiệu thu được được đánh giá thông qua kích 
thước tương đối của tín hiệu mong muốn và tín hiệu không mong muốn (nhiễu). Trường 
hợp này, tỉ số giữa công suất tín hiệu mang tin tức và công suất nhiễu (tỉ số tín hiệu trên 
nhiễu) là chỉ thị tốt để đánh giá chất lượng tín hiệu thu được. 
Đơn vị đo năng lƣợng và công suất: 
Phương trình (1.1) và (1.2) chưa có thứ nguyên đúng, do ta không dùng ý niệm 
năng lượng theo nghĩa qui ước, mà chỉ dùng chỉ thị kích thước tín hiệu. Tương tự cho 
trường hợp công suất ở (1.3) và (1.4). Trường hợp này, đơn vị của năng lượng và công 
suất được định nghĩa theo bản chất của tín hiệu f(t). Nếu f(t) là tín hiệu điện áp, thì năng 
lượng Ef có thứ nguyên là V
2
s (vôn bình phương-giây) và công suất Pf có thứ nguyên là 
V
2
 (vôn bình phương). Khi f(t) là tín hiệu dòng điện, thì năng lượng Ef có thứ nguyên là 
A
2
s (vôn bình phương-giây) và công suất Pf có thứ nguyên là A
2
 (ampe bình phương). 
■ Thí dụ 1.1: 
Xác định đo lường thích hợp cho các tín hiệu trong hình 1.2 
 Trong hình 1.2a, biên độ tín hiệu 0 khi t , vậy đo lường thích hợp cho 
tín hiệu là năng lượng Ef, cho bởi: 
8444)2()(
0
1 0
22 
dtedtdttfE tf 
Trong hình 1.2b, biên độ tín hiệu không 0 khi t . Đồng thời, tín hiệu là 
tuần hoàn nên tồn tại công suất. Dùng công thức (1.3) xác định công suất. Đơn giản hóa 
phép tính do quan sát thấy tín hiệu tuần hoàn lập lại mỗi chu kỳ 2 giây (trong trường hợp 
này). Vậy: 
3
1
)(
2
1
)(
2
1 1
1
2
1
1
2
 dtttdttfPf 
Nhắc lại: công suất tín hiệu chính là bình phương của trị rms. Do đó, trị rms của tín hiệu 
là 3/1 .■ 
■ Thí dụ 1.2: 
 Xác định công suất và trị rms của: 
(a) )cos()( 0  tCtf , (b) )cos()cos()( 222111  tCtCtf )( 21  , 
(c) 
tj
Detf 0)(
 . 
(a) Tín hiệu tuần hoàn, chu kỳ 00 /2  T . Đo lường thích hợp là công suất. Tín 
hiệu tuần hoàn, nên công suất là trung bình của năng lượng trong một chu kỳ 
00 /2  T . Tuy nhiên, để minh họa, ta giải theo cách lấy trung bình trong 
khoảng thời gian vô hạn, phương trình (1.3). 
2/
2/
2/
2/
0
2
0
22 )]22cos(1[
2
lim)(cos
1
lim
T
T
T
TTT
f dtt
T
C
dttC
T
P  
2/
2/
2/
2/
0
22
)22cos(
2
lim
2
lim
T
T
T
TTT
dtt
T
C
dt
T
C
 
Thừa số đầu tiên của vế phải là 2/2C . Hơn nữa, thừa số thứ hai triệt tiêu do tích phân 
trong thừa số này là phần diện tích của tín hiệu sin trong khoãng thời gian rất lớn T và 
 T . Phần diện tích này bằng với phần diện tích của một bán kỳ do phần diện tích 
dương và âm của tín hiệu sin triệt tiêu nhau. Thừa số thứ hai là phần diện tích này nhân 
với TC 2/2 với T . Rõ ràng, thừa số này là zêrô, và: 
2
2C
Pf (1.5a) 
(b) Trong chương 4, ta chứng minh được là tổng hai sin có thể là tuần hoàn hay 
không tuần hoàn, điều này tùy thuộc vào tỉ số 21 / là hữu tỉ hay không, Do đó, 
chưa xác định được chu kỳ của tín hiệu này. Như thế, xác định công suất dùng 
phép lấy trung bình của năng lượng trong T giây, với T . Vậy: 
2/
2/
2
222111 )]cos()cos([
1
lim
T
TT
f dttCtC
T
P  
2/
2/
22
22
2
2/
2/
11
22
1 )(cos[
1
lim)(cos[
1
lim
T
TT
T
TT
tC
T
tC
T
 
 dttt
T
CC T
TT
)cos()cos(
2
lim 22
2/
2/
11
21  
Tích phân thứ nhất và thứ hai của vế phải là các công suất của hai tín hiệu sin, có giá trị 
là 2/21C và 2/
2
2C như tính toán ở phần (a). Tương tự trong phần (a), ta thấy thừa số thứ 
ba triệt tiêu, sau cùng: 
22
2
2
2
1 CCPf (1.5b) 
Và giá trị rms là 2/)( 22
2
1 CC . 
 Có thể mở rộng kết quả này để tính tổng nhiều tín hiệu sin có tần số khác nhau. 
Như thế, nếu 
 
1
)cos()(
n
nnn tCtf  
Với các tần số n không giống nhau, thì 
 
1
2
2
1
n
nf CP (1.5c) 
(c) Khi tín hiệu là phức, dùng phương trình (1.4) để tính công suất: 
2/
2/
2
0
1
lim
T
T
tj
T
f dtDe
T
P

Do 10 tje  nên 
22
0 DDe
tj  , và 
2
DPf (1.5d) 
Trị rms là D . ■ 
Nhận xét: 
Phần (b) đã chứng minh được là công suất của tổng hai tín hiệu sin thì bằng tổng 
công suất các tín hiệu sin. Nhận thấy là công suất của )()( 21 tftf là 21 ff PP . Điều 
không may là kết quả này không phải luôn luôn đúng, mà chỉ đúng trong một số trường 
hợp (trực giao) sẽ được trình bày trong phần 3.1-3. 
 Bài tập E 1.1 
Chứng tõ năng lượng của các tín hiệu trong hình 1.3a, b, c và d lần lượt là 4, 1, 
4/3, và 4/3. Nhận thấy khi nhân đôi tín hiệu thì năng lượng tăng gấp 4, và khi dời tín hiệu 
theo thời gian không ảnh hưởng đến năng lượng. Chứng minh là công suất của tín hiệu 
trong hình 1.3e là 0,4323. Tìm trị rms của tín hiệu trong hình 1.3e?  
 Bài tập E 1.2 
 Làm lại thí dụ 1.2a để tìm công suất tín hiệu sin )cos( 0  tC bằng cách lấy 
trung bình năng lượng tín hiệu trong một chu kỳ 00 /2  T (thay vì lấy trung bình 
trong khoãng thời gian vô hạn). Chứng tõ là công suất của tín hiệu hằng 0)( Ctf là 
2
0C 
và trị rms là 0C .  
 Bài tập E 1.3 
 Chứng tõ khi 21  , thì công suất của )cos()cos()( 222111  tCtCtf 
là 2/)]cos(2[ 212121  CCCC , không bằng giá trị 2/)(
2
2
2
1 CC . 
1.2 Phân loại tín hiệu 
Có nhiều lớp tín hiệu, trong tài liệu này ta chỉ quan tâm đến các lớp tín hiệu sau: 
1. Tín hiệu liên tục và tín hiệu rời rạc theo thời gian 
2. Tín hiệu analog và tín hiệu số 
3. Tín hiệu tuần hoàn và tín hiệu không tuần hoàn 
4. Tín hiệu năng lượng và tín hiệu công suất 
5. Tín hiệu xác định và tín hiệu ngẫu nhiên 
1.2-1 Tín hiệu liên tục và tín hiệu rời rạc theo thời gian 
 Tín hiệu xác định với mọi giá trị của thời t (hình 1.4a) được gọi là tín hiệu liên tục 
theo thời gian, và tín hiệu chỉ xác định với các giá trị thời gian rời rạc (hình 1.4b) là tín 
hiệu rời rạc theo thời gian. Ngõ ra của máy điện thoại và máy ghi hình là tín hiệu liên tục 
theo thời gian (ngày nay, điều này là chưa đúng?!!), trong khi giá trị GNP theo quí, giá trị 
bán hàng của công ty, và chỉ số chứng khoán từng ngày là các tín hiệu rời rạc. 
1.2-2 Tín hiệu analog và tín hiệu số 
 Ý niệm về tín hiệu liên tục theo thời gian thường bị hiểu lầm là tín hiệu analog. 
Hai ý niệm này khác nhau, tương tự như ý niệm giữa tín hiệu rời rạc và tín hiệu số. Tín 
hiệu có biên độ với biên độ có thể có giá trị bất kỳ trong tầm liên tục thi được gọi là tín 
hiệu analog. Điều đó có nghĩa là biên độ tín hiệu analog có thể có vô hạn giá trị. Tín hiệu 
số, thì biên độ chỉ có thể có số hữu hạn các giá trị. Tín hiệu dùng trong máy tính số là tín 
hiệu số do chỉ có hai giá trị biên độ (tín hiệu nhị phân). Tín hiệu số có thể có M giá trị là 
tín hiệu bậc M, trong đó nhị phân (M=2) là một trường hợp đặc biêt. Cụm từ liên tục 
theo thời gian và rời rạc theo thời gian cho thấy bản chất của tín hiệu theo trục thời gian 
(trục ngang). Cụm từ analog và số, thì lại cho thấy bản chất của tín hiệu theo trục biên độ 
(trục dọc). Hình 1.5 vẽ tín hiệu analog rời rạc theo thời gian. Tín hiệu analog có thể 
chuyển thành tín hiệu số (qua bộ chuyển đổi ADC) qua quá trình lượng tử hóa (làm tròn 
giá tri) như giải thích ở phần 5.1-3. 
1.2-3 Tín hiệu tuần hoàn và tín hiệu không tuần hoàn 
 Tín hiệu f(t) là tuần hoàn khi có một số hằng số dương T0 
 )()( 0Ttftf với mọi giá trị t (1.6) 
Trị bé nhất của T0 thỏa điều kiện tuần hoàn (1.6) là chu kỳ của f(t). Các tín hiệu 
trong hình 1.2b và 1.3e là tín hiệu tuần hoàn có chu kỳ lần lượt là 2 và 1, Tín hiệu không 
tuần hoàn là tín hiệu không có chu kỳ. Các tín hiệu trong hình 1.2a, 1.3a. 1.3b, 1.3c và 
1.3d đều là tín hiệu không tuần hoàn. 
 Từ định nghĩa, tín hiệu tuần hoàn f(t) không thay đổi khi dời một chu kỳ theo thời 
gian. Do đó, tín hiệu tuần hoàn phải bắt đầu từ t , nếu không, giả sử khi bắt đầu từ 
0 t , thì tín hiệu dời theo thời gian một chu kỳ )( 0Ttf sẽ bắt đầu từ 0Tt và 
)( 0Ttf sẽ không giống tín hiệu )(tf . Như thế một tín hiệu tuần hoàn phải bắt đầu tại 
 t và liên tục không dừng, như vẽ ở hình 1.6 
Một đặc tính quan trọng của tín hiệu tuần hoàn f(t) là f(t) có thể được tạo ra từ 
cách mở rộng tuần hoàn (periodic extension) một đoạn bất kỳ của f(t) với thời khoảng T0 
(chu kỳ). Từ đó, ta có thể tạo f(t) từ bất kỳ đoạn nào của f(t) với thời khoảng một chu kỳ 
bằng cách đặt đoạn này và tái tạo tín hiệu. Hình 1.7 vẽ tín hiệu tuần hoàn f(t) với chu kỳ 
T0 = 6. Phần tô đen trong hình 1.7a cho thấy một đoạn của tín hiệu f(t) bắt đầu tại 1 t 
và có thời khoảng một chu kỳ (6 giây). Đoạn này, khi lặp lại không dừng theo các hướng, 
tạo ra tín hiệu tuần hoàn f(t). Độc giả có thể kiểm nghiệm lại là có thể tạo với bất kỳ đoạn 
nào của f(t) , thời điểm nào với thời khoảng là một chu kỳ. 
Tín hiệu bắt đầu từ t và tiếp tục không dừng được gọi là tín hiệu không 
dừng (everlasting signals). Như thế, tín hiệu không dừng tồn tại suốt trong khoãng 
 t . Các tín hiệu trong hình 1.1b và 1.2b là thí dụ về tín hiệu không dừng. Rõ 
ràng là từ định nghĩa thì tín hiệu tuần hoàn là tín hiệu không dừng. 
Tín hiệu không bắt đầu trước khi t = 0, được gọi là tín hiệu nhân quả. Tức là, f(t) 
là tín hiệu nhân quả nếu: 
 0)( tf khi 0 t (1.7) 
Các tín hiệu t ... 
không mong muốn trong thực tế và cần tránh trong các thiết kế hệ thống. 
1.9 Tóm tắt 
 Tín hiệu là tập thông tin hay dữ liệu. Hệ thống xử lý tín hiệu vào, biến đổi hay rút 
thêm thông tin từ chúng để tại tín hiệu ra (đáp ứng). Hệ thống có thể thực hiện dùng phần 
tử vật lý (phần cứng) hay dùng thuật toán để tính tín hiệu ra từ tính hiệu vào (phần mềm) 
 Đo lường thích hợp kích thước của tín hiệu là năng lượng khi tín hiệu là vô hạn. 
Nếu năng lượng tín hiệu là vô hạn, thì đo lường thích hợp là công suất, nếu tồn tại. Công 
suất tín hiệu là trung bình theo thời gian của năng lượng tín hiệu (trung bình trong toàn 
bộ thời gian từ đến . Đối với tín hiệu tuần hoàn, thì phép trung bình chỉ thực hiện 
trong một chu kỳ, do tính lặp lại có chu kỳ của tín hiệu). Công suất tín hiệu là trị trung 
bình – bình phương của tín hiệu (lấy trung bình trong toàn thời gian từ đến . 
 Tín hiệu có thể được phân loại theo: 
1. Tín hiệu liên tục theo thời gian xác định tại giá trị liên tục của biến độc lập 
(thường là biến thời gian t). Tín hiệu rời rạc theo thời gian chỉ xác định với tập 
các thời điểm hữu hạn hay đếm được. 
2. Tín hiệu analog là tín hiệu có giá trị biên độ là liên tục. Mặt khác, tín hiệu có biên 
độ chỉ có số hữu hạn giá trị là tín hiệu số. Thuật ngữ rời rạc theo thời gian hay liên 
tục theo thời gian cho thấy bản chất của tín hiệu dọc theo trục thời gian (truc 
ngang), Thuật ngữ analog hay số , thì cho thấy bản chất của biên độ tín hiệu (trục 
dọc) 
3. Tín hiệu tuần hoàn được định nghĩa với )()( 0Ttftf với trịc bé nhất của 0T 
thỏa hệ thức trên được gọi là chu kỳ. Tín hiệu tuần hoàn giữ nguyên giá trị khi 
được dời đi các khoảng là bội số của chu kỳ. Tín hiệu tuần hoàn còn được tạo ra 
từ bằng cách mở rộng theo chu kỳ các đoạn của )(tf với độ rộng là 0T . Cuối 
cùng, theo định nghĩa thì tín hiệu tuần hoàn phải tồn tại trong suối thời gian 
 t . Tín hiệu là không tuần hoàn khi không có chu kỳ. 
 Tín hiệu không dừng bắt đầu bắt đầu từ t đến t . Tín hiệu nhân quả là 
tín hiệu là zêrô khi 0 t . Do đó, tín hiệu tuần hoàn là tín hiệu không dừng. 
4. Tín hiệu có năng lượng hữu hạn bắt đầu từ t đến t . 
5. Tín hiệu đã biết được hoàn toàn mô tả vật lý dạng toán học hay dạng đồ thị được 
gọi là tín hiệu xác định. Tín hiệu ngẫu nhiên là tín hiệu chỉ biết được các thừa số 
củ mô tả ngẫu nhiên như trị trung bình, trị trung bình bình phương, v. v,, thay 
vì dạng mô tả toán học hay dạng đồ thị. 
Tín hiệu f(t) được làm trễ T giây (dời phảỉ) được viết thành f( t- T) ; mặt khác, f(t) 
được làm sớm (dời trái) được viết thành f(t + T . Tín hiệu f(t) được nén theo theo thời 
gian với tỉ lệ a (a>1) viết thành f(at), mặt khác, tín hiệu giãn theo thời gian được viết 
thành )( 1
a
f . Tín hiệu nghịch theo thời gian viết thành f( - t). 
 Hàm bước đơn vị u(t) rất hữu dụng để biểu diễn tín hiệu nhân quả và tín hiệu có 
nhiều dạng mô tả toán học tại các thời khoảng khác nhau. 
Theo định nghĩa truyền thống, hàm xung đơn vị )(t được đặc trưng bằng diện tích 
đơn vị, và tín hiệu tập trung chỉ tại một thời điểm t = 0. Hàm xung có đặc tính lấy mẩu 
(hay đặc tính dời), theo đó phần diện tích của tích một hàm với xung đơn vị thì bằng với 
giá trị hàm này tại thời điểm tồn tại xung đơn vị (với giả sử là hàm liên tục tại vị trí tồn 
tại của xung). Theo xu hướng hiện đại, hàm xung được xem là hàm tổng quát và được 
định nghĩa từ đặc tính lấy mẩu. 
Hàm mủ est, trong đó s là số phức, liên quan đến nhiều loại tín hiệu bao gồm từ hằng 
số, hàm mủ đơn điệu, hàm sin, và hàm sin thay đổi theo dạng mủ. 
Tín hiệu đối xứng theo trục dọc (t = 0) là hàm chẵn theo thời gian và phản đối xứng 
theo trục dọc là hàm lẻ theo thời gian. Tích của hàm chẵn với hàm lẻ là hàm lẽ theo thời 
gian. Tuy nhiên, tích của hàm chẵn với hàm chẵn hay tích của hàm lẻ với hàm lẻ là một 
hàm chẳn. Diện tích của hàm lẻ từ t = - a đến a luôn luôn là zêrô, bất chấp giá trị của a. 
Mặt khác, diện tích của phần chẵn từ t = - a đến a luôn là hai lần phần diện tích của tích 
hiệu lấy từ t =0 đến a (hay từ t =-a đến 0). Các tín hiệu đều có thể viết thành tổng của 
hàm chẵn và hàm lẻ theo thời gian. 
Hệ thống xử lý các tín hiệu ngõ vào để tạo các tín hiệu ngõ ra (đáp ứng). Ngõ vào là 
nguyên nhân còn ngõ ra là hậu quả. Thông thường, ngõ ra bị tác động bởi hai nguyên 
nhân: điều kiện nội tại của hệ thống (như các điều kiện đầu) và tín hiệu tác động bên 
ngoài. 
 Có nhiều phương pháp phân loại hệ thống: 
1. Hệ thống tuyến tính được đặc trưng từ tính tuyến tính, bao hàm tính xếp chồng; 
nếu có nhiều nguyên nhân (thí dụ như có nhiều ngõ vào và nhiều điều kiện 
đầu) tác động vào hệ thống tuyến tính, thì đáp ứng tổng là tổng của đáp ứng do 
từng nguyên nhân, với điều kiện các tác động khác là không tồn tại. Hệ phi 
tuyến là hệ không tuyến tính. 
2. Hệ bất biến theo thời gian được đặc trưng từ các tham số của hệ thống là không 
đổi theo thời gian. Tham số của hệ không bất biến thì thay đổi theo thời gian. 
3. Trong hệ thống không có tính nhớ (hệ tức thời), đáp ứng ra tại thời điểm t chỉ 
phụ thuộc vào giá trị hiện tại của ngõ vào (tại thời điểm t). Trong hệ có tính 
nhớ (còn gọi là hệ thống động), đáp ứng của hệ thống tại thời điểm bất kỳ t 
không chỉ phụ thuộc vào giá trị hiện tại của ngõ vào, mà còn phụ thuộc trị quá 
khứ của ngõ vào (trị trước thời gian t). 
4. Ngược lại, nếu đáp ứng của hệ thống tại t chỉ phụ thuộc vào các giá trị tương 
lai của ngõ vào (giá trị của ngõ vào sau t), thì hệ thống là không nhân quả. 
Trong hệ nhân quả, đáp ứng không phụ thuộc vào trị tương lai của ngõ vào. 
Ngõ ra hệ không nhân quả phụ thuộc vào các giá trị tương lai của ngõ vào, nên 
đáp ứng ra xuất hiện trước khi có nguyên nhân. Khi hệ không nhân quả có biến 
độc lập là thời gian (hệ thời gian), thì hệ là hệ dự báo, nên không thể thực hiện 
được hệ thống trong thực tế, dù cho có được phép xấp xỉ gần đúng với một số 
khâu trễ tại ngõ ra. Hệ không nhân quả có biến độc lập khác biến thời gian (thí 
dụ có biến không gian) thì thực hiện được. 
5. Nếu các phẩn tử trong hệ thống có kích thước bé so với độ dài sóng của tín 
hiệu, ta có thể giả sử là mỗi phần tử là có tham số tập trung, và hệ thống được 
xem là hệ có tham số tập trung. Trong giả sử này thì các tín hiệu chỉ là hàm 
theo thời gian. Khi giả sử này không đúng thì tín hiệu là hàm theo không gian 
và thời gian; và còn được gọi là hệ có tham số phân bố. 
6. Hệ thống có các ngõ vào và các ngõ ra liên tục theo thời gian là hệ liên tục theo 
thời gian; hệ thống có các tín hiệu vào và ngõ ra là rơòi rạc theo thời gian là hệ 
rời rạc theo thời gian. Khi lấy mẩu tín hiệu liên tục theo thời gian, ta có tín hiệu 
rời rạc theo thời gian. Có thể xử lý tín hiẹu liên tục theo thời gian dùng hệ rời 
rạc xử lý các mẩu của tín hiệu này. 
7. Hệ thống có tín hiệu các ngõ vào và các ngõ ra là tín hiệu analog là hệ thống 
analog; còn hệ có tín hiệu các ngõ vào và các ngõ ra là tín hiệu số được gọi là 
hệ thống số. 
8. Nếu có thể khôi phục tín hiệu vào f(t) từ ngõ ra y(t) của hệ thống S thông qua 
một số phép tính, thì hệ thống S được gọi là hệ khả nghịch, ngược lại là hệ 
không khả nghịch. 
Hệ thống có mô hình tìm được từ kiến thức của cấu trúc bên trong của hệ thống được 
gọi là mô tả nội tại. Ngược lại, mô tả bên ngoài của hệ thống có mô tả được nhìn từ các 
đầu ngõ vào và ngõ ra của hệ thống; mô tả này có được từ bằng cách đưa vào hệ thống 
một ngõ vào đã biết rồi đo lường ngõ ra. Trong hầu hết các hệ thống thực tế, thì mô tả nội 
tại thường tương đương với mô tả từ bên ngoài. Tuy nhiên, trong một số trường hợp mô 
tả bên ngoài không cung cấp đủ thông tin về hệ thống, trường hợp này, hệ được gọi là hệ 
không điều khiểun được hay không quan sát được. 
Tài liệu tham khảo 
1. Papoulis, A., The Fourier Integral and Its Applications, McGraw-Hill, New 
York, 1962. 
2. Kailath, T., Linear Systems, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 
1980. 
3. Lathi, B.P., Signals, Systems and Communications, Viley, New York, 1965. 
4. Lathi, B.P., Signals and Systems, Berkeley-Cambridge Press, Carmichael, 
California, 1987. 
Bài tập 
1.1-1 Tìm năng lượng của tín hiệu trong hình P1.1-1. Nhận xét về năng lượng khi 
tín hiệu đổi dấu. Nhận xét về năng lượng khi tín hiệu được nhân với k. 
1.1-2 Làm lại bài tập 1.1-1 dùng hình P1.1-2. 
1.1-3 (a) Tìm năng lượng của cặp tín hiệu x(t) và y(t) được vẽ ở hình P1.1-3a và 
P1.1-3b. Vẽ và tìm năng lượng của tín hiệu x(t) + y(t) và x(t) + y(t). Nhận 
xét gỉ tử các kết quả ? (b) Làm lại phần (a) dùng hình P1.1-3, cho biết nhận 
xét trong phần (a) còn có giá trị không? 
1.1-4 Tìm công suất của tín hiệu tuần hoàn f(t) trong hình P1.1-4. Tìm tiếp công 
suất và trị rms của (a) – f(t) (b) 2 f(t) (c) c f(t). Nhận xét. 
1.1-5 Chứng minh là công suất của tín hiệu 
 tj
n
mk
k
keDtf

 )( là 
2

n
mk
kf DP 
 Với giả sử các tần số là phân biệt, với ki  với mọi ki 
1.1-6 Tìm công suất và trị rms của từng tín hiệu sau 
(a) 
3
100cos10
t (b) 
5
150sin16
3
100cos10
tt 
 (c) tt 10cossin210 (d) tt 10cos5cos10 
 (e) tsn 10cos10 (f) te tj 0cos
1.3-1 Trong hình P1.3-1, tín hiệu )()(1 tftf . Biểu diễn các tín hiệu 
)(2 tf , )(3 tf , )(4 tf và )(5 tf theo )(tf , )(1 tf và các tính chất: dời theo 
thời gian, tỉ lệ theo thời gian và tính khả nghịch theo thời gian. Thí dụ 
)()()( 12 TtfTtftf . 
1.3-2 Từ tín hiệu )(tf ở hình P1.3-2, vẽ các tín hiệu (a) )( tf (b) )6( tf 
(c) )3( tf (d) )2/(tf 
1.3-3 Từ tín hiệu )(tf ở hình P1.3-3, vẽ các tín hiệu (a) )4( tf (b) )5,1/(tf 
(c) )( tf (d) )42( tf (e) )2( tf 
 1.4-1 Vẽ các tín hiệu (a) )7()5( tutu (b) )7()5( tutu 
 (c) )]2()1([2 tutut (d) )]4()2()[4( tutut 
1.4-2 Biểu diễn các tín hiệu trong hình P1.4-2 dùng biểu thức xác định với mọi t. 
1.4-3 Tín hiệu )(tf có năng lượng fE , chứng tõ là năng lượng của các tín hiệu 
)(tf , )( tf và )( Ttf đều có giá trị fE . Chứng tõ là năng lượng của tín 
hiệu )(atf cùng tín hiệu )( batf là aE f / . Điều này cho thấy phép dời và 
phép nghịch theo thời gian không ảnh hưởng lên năng lượng tín hiệu. Mặt 
khác, phép nén theo thời gian (a > 1) giảm năng lượng và phép giãn theo thởi 
gian (a < 1) làm tăng năng lượng. Cho biết năng lượng thay đổi ra sao khi 
nhân tín hiệu với hằng số a. 
1.4-4 Đơn giãn các biểu thức sau: 
(a) )(
2
sin
2
t
t
t
 
 (b) )(
9
2
2



 j
(c) )()]603cos([ 0 tte t  (d) 
 
)1(
4
)2(sin
2
2 
t
t
t

(e) )3(
2
1

j
 (f) )(
sin



 k
1.4-5 Tính các tích phân sau: 
(a) 
  dtf )()( (e) 
 dtet t)3( 
(b) 
  dtf )()( (f) 
 dttt )1()4( 3  
(c) 
   det tj)( (g) 
 dtttf )3()2(  
(d) 
 tdtt  sin)2( (h)   
 dxxxe x )3()5(cos
2
)1(  
 Hướng dẫn: )(x tồn tại tại x = 0. Thí dụ )1( t  tồn tại tại 1 – t = 0 và tính tiếp. 
1.4-6 (a) Tìm và vẽ dtdf / của tín hiệu )(tf ở hình P1.3-3 
 (b) Tìm và vẽ 22 / dtfd của tín hiệu )(tf ở hình P1.4-2a 
 1.4-7 Tìm và vẽ giá trị 
t
dxxf )( của tín hiệu )(tf trong hình P1.4-7 
1.4-8 Dùng định nghĩa hàm tổng quát, chứng tỏ )(t là hàm chẵn theo t. 
Hướng dẫn: Dùng phương trình (1.24a) để định nghĩa )(t . Thay biến t = - x 
để chứng minh 
 )0()()(  dttt 
1.4-9 Chứng minh là 
 )(
1
)( t
a
at  
 Hướng dẫn: chứng minh 
 )0(
1
)()( 
a
dtatt 
1.4-10 Chứng minh 
 )0()()(   dttt trong đó )(t và )(t liên tục tại t = 0, và 
0)( t khi t . Tích phân nhằm định nghĩa )(t là hàm tổng quát. 
Hướng dẫn: dùng phương pháp tích phân từng phần. 
1.4-11 Tín hiệu tt  cos có thể được xem là tổng của hàm mủ ste và ste (phương 
trình (1.30c) dùng tần số phức  js và  js . Xác định các tín 
hiệu sin sau trong mặt phẳng phức: (a) cos3t (b) e-3tcos3t (c) e2tcos3t 
(d) e
-2t 
(d) e
2t
 (f) 5. 
 1.5-1 Tìm và vẽ các thành phần chẵn và lẻ của (a) u(t) (b) tu(t) (c) )(sin 0 ttu 
 (d) )(cos 0 ttu (e) t0sin (f) t0cos 
 1.6-1 Tìm quan hệ vào-ra của bộ tích phân lý tưởng. Xác định thành phần đáp ứng với 
 ngõ vào zêrô và đáp ứng trạng thái zêrô. 
1.7-1 Hệ thống được mô tả từ các phương trình sau, với ngõ vảo )(tf , ngõ ra )(ty , xác 
định hệ tuyến tính và hệ phi tuyến. 
(a) )()(2 2 tfty
dt
dy
 (c) )(2)(3 tfty 
(b) )()(3 2 tfttty
dt
dy
 (f) )(2)()(sin tf
dt
df
tyt
dt
dy
(e) )()(2
2
tfty
dt
dy
 (g) 
dt
df
tfty
dt
dy
)()(2 
(d) )()(2 tfty
dt
dy
 (h) 
t
dfty  )()( 
1.7-2 Hệ thống được mô tả từ các phương trình sau, với ngõ vảo )(tf , ngõ ra )(ty , xác 
định hệ bất biến và hệ thay đổi theo thời gian. 
(a) )2()( tfty (d) )2()( tfty 
(b) )()( tfty (e) 
5
5
)()(  dfty 
(c) )()( atfty (f) 
2
)( 
dt
df
ty 
1.7-3 Hệ thống tuyến tính bất biến (TT-BB) có ngõ vảo )(tf , ngõ ra )(ty , và hai điều 
kiện đầu )0(1x và )0(2x , ta ghi nhận được quan sát sau: 
 Tìm )(ty khi cả hai ngõ vào đều bằng zêrô và ngõ vào )(tf có dạng hình P1.7-3. 
Hướng dẫn: Có ba nguyên nhân: ngõ vào và từng điều kiện đầu. Từ tính tuyến 
tính, khi nguyên nhân tăng giá trị k, thì đáp ứng cũng tăng với cùng giá trị k. Tuy 
nhiên, khi cộng thêm nguyên nhân một giá trị, thì đáp ứng cũng được cộng thêm 
một giá trị tương ứng. 
1.7-4 Hệ thống được đặc trưng bởi quan hệ vào-ra là 
dt
df
tf
ty
)(
)(
2
 . 
 Chứng minh là hệ thống thỏa tính đồng nhất nhưng không thỏa tính cộng. 
1.7-5 Chứng minh là trong mạch hình P1.5-7 là hệ tuyến tính trạng thái zêrô, nhưng phi 
tuyến với ngõ vào zêrô. Giả sử các điốt có đặc tính giống nhau. 
Hướng dẫn: trong trạng thái (khi điện áp đầu của tụ 0)0( Cv ) thì mạch là tuyến 
tính. Nếu ngõ vào 0)( tf , và )0(Cv khác zêrô, dòng điện )(ty không có tính 
tuyến tính theo nguyên nhân )0(Cv . 
1.7-6 Cuộn L và tụ C trong hình P1.7-6 là linh kiện phi tuyến, nên là mạch không tuyến 
tính. Ba phần tử còn lại là tuyến tính. Chứng tõ là ngõ ra )(ty của mạch phi 
tuyến thỏa điều kiện tuyến tính theo ngõ vào )(tf và các điều kiên đầu (tất cả 
các dỏng điện ban đầu qua cuộn dây và điện áp ban đầu qua tụ). Chú ý là nguồn 
dòng là hở mạch khi dòng điện là zêrô. 
1.7-7 Hệ thống được mô tả từ các phương trình sau, với ngõ vảo )(tf , ngõ ra )(ty , xác 
định hệ nhân quả và hệ không nhân quả. 
(a) )2()( tfty (c) )()( atfty 1 a 
(b) )()( tfty (d) )()( atfty 1 a 
1.7-8 Hệ thống được mô tả từ các phương trình sau, với ngõ vảo )(tf , ngõ ra )(ty , xác 
định hệ khả nghịch và hệ không khả nghịch. Trường hợp hệ khả nghịch, tìm quan 
hệ vào-ra của hệ khả nghịch. 
(a) 
t
dfty  )()( (c) )()( tfty n n: số nguyên 
(b) )63()( tfty (d) )](cos[)( tfty 
1.8-1 Cho mạch hình 1.8-1, tìm phương trình vi phân mô tả quan hệ giữa những ngõ 
vào )(1 ty và )(2 ty với ngõ vào )(tf . 
1.8-2 Làm lại bài tập 1.8-1 dùng hình 1.8-2. 
1.8-3 Nước vào thùng chứa với lưu lượng iq đơn vị/giây và lưu lượng ra khỏi vòi là 0q 
đơn vị/giây (hình P1.8-3). Tìm phương trình của quan hệ giữa ngõ ra 0q và ngõ 
vào iq . Lưu tốc tỉ lệ với h. Nên Rhq 0 với R là lực cản của vòi. Xác định 
phương trình vi phân mô tả quan hệ giữa h và ngõ vào iq . 
 Hướng dẫn: lưu tốc thực của nước tại thời điểm t là tqqi )( 0 , còn có giá trị là 
hA vớ A là diện tích mặt cắt của thùng chứa.