Bài giảng Sức bền vật liệu

SỨC BỀN VẬT LIỆU
Nội dung: 6 chương
1. Những khái niệm cơ bản
2. Kéo(nén) đúng tâm
3. Trạng thái ứng suất-Các thuyết bền 
4. Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang
5. Uốn phẳng
6. Xoắn thanh tròn
7. Thanh chịu lực phức tạp
8. Ổn định thanh thẳng chịu nén đúng tâm
9. Tải trọng động
Chương 1
NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN
Nội dung
1. Khái niệm
2. Các giả thiết và NL Độc lập tác dụng của lực
3. Ngoại lực và nội lực
1. Mục đích:Là môn KH nghiên cứu các phương 
pháp tính toán công trình trên 3 mặt:
1) Tính toán độ bền: Bền chắc lâu dài
2) Tính toán độ cứng: Biến dạng < giá trị cho phép
3) Tính toán về ổn định: Đảm bảo hình dáng ban đầu
Nhằm đạt 2 điều kiện: 
2. Phương pháp nghiên cứu:
Kết hợp giữa lý thuyết và thực nghiệm
1.1 Khái niệm
Kinh tế
Kỹ thuật
Quan sát thí nghiệm
Đề ra các giả thiết
Công cụ toán cơ lý
Đưa ra các phương pháp 
tính toán công trình 
Thực nghiệm kiểm tra lại
Sơ đồ thực
Sơ đồ tính toán
Kiểm định 
công trình
3. Đối tượng nghiên cứu: 2 loại
1) Về vật liệu: + CHLT: Vật rắn tuyệt đối
+ SBVL: VL thực:Vật rắn có biến dạng:VLdh
2) Về vật thể: Dạng thanh = mặt cắt + trục thanh: Thẳng, 
cong, gẫy khúc – mặt cắt không đổi, mặt cắt thay đổi
PP P P
P dDD
dhD dh dD D
VL đàn hồi 
d dhD D VL dẻo 
a) b)
Thanh thẳng
Thanh gẫy khúc
Thanh cong
1.2 Các GT và NLĐLTD của lực 
1. Các giả thiết :
1) VL liên tục (rời rạc), đồng chất (không đồng chất) và 
đẳng hướng (dị hướng)
2) VL làm việc trong giai đoạn đàn hồi 
3) Biến dạng do TTR gây ra< so với kích thước của vật
4) VL tuân theo định luật Hooke: biến dạng TL lực TD
2. Nguyên lý độc lập tác dụng của lực
1) Nguyên lý: Tác dụng của hệ lực = tổng tác dụng của 
các lực thành phần
2) Ý nghĩa: BT phức tạp = tổng các BT đơn giản
 Ví dụ:
P
A B
q
C
yc
P
A BCy1
A B
q
C
y2
yC = y1 + y2
1.3 Ngoại lực và nội lực 
1. Ngoại lực :
Định nghĩa: Lực các vật ngoài TD vào Vật thể
Phân loại: 
1) Theo tính chất TD: lực tĩnh, lực động
2) Theo PP truyền lực: lực phân bố: Truyền qua diện 
tích tiếp xúc (PB thể tích, PB mặt, PB đường) –
cường độ q – Lực tập trung: Truyền qua một điểm
2. Nội lực :
1) Định nghĩa: Độ tăng của lực phân tử
2) Cách xác định: phương pháp mặt cắt 
3. Nội dung của phương pháp mặt cắt :
+ Vật thể cân bằng - mặt cắt 2 phần
+ Bỏ 1 phần, giữ 1 phần để xét. Tại mặt cắt thêm lực để 
cân bằng - nội lực – nội lực là lực phân bố, cường độ: 
ứng suất
Hợp nội lực = véc tơ chính + mô men chính N,Q,M
P1
P2
A
Hình 1-7
x
y
z
Nz
Qx
Qy
My
Mz
Mx
Hình 1-6
S
P1
P2
P3
Pn
A BK
4. Mối liên hệ giữa nội lực và ngoại lực:
lực dọc SP1
P2
A
Hình 1-9
x
y
z
z
zx
zy
K
n PX
i
i
z
1
z 0 Z PN
=
 = =
n PX
i
i
x
1
x 0 X PQ
=
 = =
n PX
i
i
Y
1
Y 0 Y PQ
=
 = =
 x
n PX
x x i
i 1
m 0 m PM
=
 = =
 Y
n PX
y y i
i 1
m 0 m PM
=
 = =
 z
n PX
z z i
i 1
m 0 m PM
=
 = =
lực cắt
Mô men uốn
Mô men xoắn
5. Mối liên hệ giữa nội lực và ứng suất
Trên phân tố Trên toàn mặt cắt
z zd N d F=  z z
F
N d F = 
x z x
F
Q d F = 
y z y
F
Q d F = 
x z
F
M y d F = 
y z
F
M x d F = 
 z zx zy
F
M y x d F =  
x z xd Q d F= 
y z yd Q d F= 
x zdM ydF= 
y zdM xdF= 
 z zx zydM y x dF=  
P1
P2
A
z
zx
zy dF
x
y
6. Các loại liên kết và phản lực liên kết
4 loai liên kết thường gặp: Gối cố định, gối di động, ngàm và 
ngàm trượt
c) d)
Dầm
B
V
Dầm
Dầm
Dầm
HA
VA
A
a)
Dầm
A
M
A
V
H
b)
Dầm
V
M
B
Dầm
Khớp cố định ( khớp đôi ) Khớp di động ( khớp đơn )
Ngàm
Ngàm trượt
A AR H V= 
   
Chương 2
KÉO NÉN ĐÚNG TÂM
Nội dung:
1. Định nghĩa và nội lực 
2. Ứng suất 
3. Biến dạng 
4. Đặc trưng cơ học của vật liệu 
5. Điều kiện bền và ứng suất cho phép
6. Bài toán siêu tĩnh
2.1 Định nghĩa và nội lực 
1. Định nghĩa:
 Theo nội lực: trên mặt cắt ngang: Nz Lực dọc
 Theo ngoại lực: + Hợp lực của ngoại lực trùng z
+ Thanh 2 đầu nối khớp giữa thanh không có lực tác dụng
2. Nội lực:
+ Một thành phần: lực dọc: Nz > 0 - kéo, Nz< 0 - Nén
Nz > 0
Nz < 0
+ Biểu đồ nội lực: Đồ thị Nz = f(z)
 Cách vẽ: 4 bước:
1. Xác định phản lực (nếu cần)
2. Chia đoạn: Cơ sở: Sự biến đổi của ngoại lực 
3. Xét từng đoạn: dùng PP mặt cắt ->Nz = f(z) 
4. Vẽ đồ thị của các hàm số trên: Biểu đồ nội lực 
 VD1: Vẽ BĐNL cho thanh sau: 
a)
b)
c)
d)
e)
Hình 2-2
1m 1m 2m
P1= 8KN
P2=10KN
P3=12KN
q=5KN/m
1
1
2
2
3
3
z
z1
P1 Nz
(1)
P1 Nz
(2)
P2
P3Nz
(3)
q
8KN
8KN
2KN 2KN 12KN
A C D
B
z2
z3
 1
Z 1N P=
 3
Z 3N P qz= - 
 2
Z 1 2N P P= -
Nz
 Quy ước vẽ biểu đồ nội lực:
1. Trục chuẩn // trục thanh (mặc định)
2. Trục nội lực vuông góc với trục chuẩn(mặc định)
3. Đề các trị số cần thiết
4. Đề tên biểu đồ trong dấu tròn sát với biểu đồ 
5. Đề dấu của biểu đồ trong dấu tròn 
6. Kẻ các đường vuông góc với trục chuẩn
2.2 Ứng suất
1. Ứng suất trên mặt cắt ngang:
1) Quan sát thí nghiệm: Kẻ ĐT //z và vuông góc
2) Các giả thiết: GT mặt cắt phẳng,GT các thớ dọc
3) Tính ứng suất: 
dz dz 
Hình 2-3
a)
b)
 + D

P P
mặt cắt thớ dọc
z0 0 =  
dz
z dz / dz =  z zE = 
z z
z
zz
F
N dF
N
F
F =  =   = 
zN
z
z
N
const
F
 = =
z
zN zN
2. Ứng suất trên mặt nghiêng
+ Bất biến của TTUS
+ Luật đối ứng của ứng suất tiếp
u
v
uv
z
u
z2 z
u z uvu 0 cos sin 2
2

 =  =  a  = a
2 z
v z vuv 0 sin sin 2
2

 =  =  a  = - a
u v z const  =  =
uv vu = - 




0a 
dF
dFcosa
2.3 Biến dạng 
1. Biến dạng dọc
dz dz 
2. Biến dạng ngang và hệ số Poisson
Phương dọc:z 
Phương ngang:x, y
Hệ số BD ngang-Hệ số Poisson-HS nở hông
dz
h h 
b b 
z
zN const, EF co
N
nst
E
F
D == = 


i
z
z
n n n0 0 o
N
dz dz dz
EF 
   D =  =  =
 

z
dz
dz

 =
x y
b h
b h
 
 =  =
b
h
zN zN
x y z =  = -

 VD2: Vẽ biểu đồ Nz và tính biến dạng dọc toàn phần: 
Thanh bị dãn, Thanh bị co
2
zN P qz q / 4 qz 0 z / 2= - = -  
1
zN P q / 4 0 z / 2= =  
1 2D = D D  
1 2
z 1
1
N .
2
q
4
q
EF . .EF 8EF
D = = = 
 


2
/ 2
z
2
0
N
dz 0
EF
 D = =


2 2
1 2
q q
0 0
8EF 8EF
D = D D = = 
 
  
0D  0D 
P q / 4= 
qB
/ 2 / 2
A C
-
zN
EF
q / 4
q / 4
2.4 Đặc trưng cơ học của vật liệu 
 Mẫu thí nghiệm
+Mẫu thép,gang
+GĐ ĐH:OA:
+GĐ Chảy
+GĐ củng cố:
Độ dãn tỷ đối :
Độ thắt tỷ đối: 
Hình 2-8
o
Fo
Hình 2-9
A
B
C
D
M (mẫu)
N
Đồng hồ áp lựcP
D
Hình 2-10
P
Pmax
Pch
O
Hình 2-11
Pmax Pmax
Hình 2-12
chđh
t
B

O
A
B
C D
E
FM
Hình 2-13
ch
B


0,2%
C
E
O
E = 
tl tl 0P / F =
1 0
0
100%
-
 =
 

c c 0P / F =
0 1
0
F F
100%
F
-
 =
B B 0P / F =
+ Bảng 2.1(T23), 2.2(T27): Các đặc trưng cơ học của vật 
liệu( giáo trình) 
+ Nén:
+Dạng phá hỏng của vật liệu:
+ Một số yếu tố ảnh hưởng tới ĐTCH 


Hình 2-14
đh
kch
B
B
đhnch
B
CT3
CT.3
A
C
Gang
A
C
D
Hình 2-16Hình 2-15
Hình 2-17
a) b) c)
2.5 Điều kiện bền và US cho phép 
1. Điều kiện bền:PP tải trọng phá hoại, PP US cho 
phép,PP trạng thái giới hạn.


2. Ba bài toán cơ bản:
    K NK Nmax max   
  0
n

 = 0 =
 
N
F
 
 
N
F 

 N F 
BT kiểm tra bền
BT chọn TTR cho phép
BT chọn mặt cắt 
VL dẻoC
VL dònB
 VÍ DỤ 3: Cho thanh AB, mặt cắt thay đổi, chịu lực như hình a. Biết : 
F1 = 4cm
2 F2 = 6cm
2, P1 = 5,6 kN, P2 = 8,0kN, P3 = 2,4kN . Vật liệu 
làm thanh có ứng suất cho phép kéo []k = 5MN/m
2, ứng suất cho 
phép nén []n = 15MN/m
2. Kiểm tra bền cho thanh ?
 DB:
 AC:
 Các ứng suất pháp đều nhỏ hơn ứng suất cho phép, thanh thỏa 
mãn điều kiện bền.
  3 2 3 2DBK 4max K
2
N 2, 4
4.10 kN / m 5.10 kN / m
F 6.10-
 = = =  =
  3 2 3 2ACN 4max N
1
N 5,6
14.10 kN / m 15.10 kN / m
F 4.10-
 = = =  =
F2F1P1
P2
P3
A C B
2,42,4
5,6
5,6
14
9,33
4,0
NZ
Z
a)
b)
c)
KN
 103KN/m2
D
 VÍ DỤ 4 : Xác định kích thước mặt cắt ngang của thanh AB và BC của 
một giá treo trên tường (hình 2-21), biết rằng: Trên giá treo một vật nặng 
có trọng lượng P = 10KN. Thanh AB làm bằng thép mặt cắt tròn có ứng 
suất cho phép []t = 60 MN/m2. Thanh BC làm bằng gỗ có ứng suất cho 
phép khi nén dọc thớ []g = 5 MN/m2, mặt cắt ngang hình chữ nhật có tỷ 
số kích thước giữa chiều cao (h) và chiều rộng (b) là h / b =1,5.
3m
a
P
BA
C
m
n
a)
m
n
Y
X
a
NAB
NBC
b)
Hình 2-21
P
AB BCx 0 N N cos =0 = a
BCy 0 P N sin =0 = a
ABN P cot g 15kN= a =
BCN P / sin 18kN= - a = -
 
4 2BC
BC 3
g
N 18
F 36.10 m h.b 1,5b.b b 5cm h 7,5cm
5.10
-= = = = = = =

 
4 2AB
AB 3
t
N 15
F 2,5.10 m d 1,8cm
60.10
-= = = =

2m
2.6. Bài toán siêu tĩnh 
 Bài toán tĩnh định: Đủ liên kết 
 Bài toán siêu tĩnh: Thừa liên kết. 
Bậc ST=số liên kết thừa 
 Cách giải:
+ Bỏ liên kết thừa thay bằng PL liên kết 
(Thanh tương đương - Hệ cơ bản)
+ Thêm PT bổ sung: Buộc ĐK BD của 
hệ thay thế = ĐK BD của hệ ST (PT Bổ sung -Hệ PT chính tắc)
+ Giải PT CB + PT bổ sung phản lực và nội lực
(1) - PTCB 
(2) - PTBD bổ sung
VB
B
A
VA
P1 1
2 2
C
Hình 2-28
/2
B
A
VA
P
/2
C
Nz
P/2
P/2
B
B A
V P P
0 0 V V
EF 2EF 2
D = - = = =
 

 =-- = OVVPy BA0
 Cần nhớ:
 Nội lực: NZ Xác định bằng phương pháp mặt cắt 
 Ứng suất: 
z
z
N
const
F
  = = Tại mọi điểm trên mặt cắt 
ngang
 Biến dạng:
i
z
z
n n n0 0 o
N
dz dz dz
EF 
   D =  =  =
 

 Điều kiện bền:       zz K N F ,
N
  =
Chương 3
TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT 
VÀ CÁC THUYẾT BỀN
Nội dung
1. Khái niệm
2. Nghiên cứu trạng thái ứng suất phẳng
3. Liên hệ giữa ứng suất và biến dạng 
4. Lý thuyết bền
3.1 Khái niệm
1. TTUS tại một điểm: Tập hợp tất cả các ứng suất 
theo mọi phương tại điểm đó – Tập hợp tất cả các 
thành phần US trên các mặt của phân tố bao quanh 
điểm đó.
 Luật đối ứng của ứng suất tiếp:
 Còn 6 biến độc lập 
Hình 3-1
C
x
y
o
z
x
y
z
y
x
z
yz
yx
xy
xz
zy
zx
a) b)
zx y xy yz zx yx zy xz
        
xy yx zx zx zy yz =   =   = 
2. Mặt chính, Phương chính, Ứng suất chính, Phân loại TTUS:
 Mặt chính: Mặt có 
 Phương chính: Pháp tuyến ngoài của mặt chính
 US chính: ứng suất pháp trên mặt chính
 Phân tố chính:Cả 3 mặt là mặt chính
 Phân loại TTUS:Cơ sở để PL: Dựa vào USC
Phân loại: 3 loại: Khối (a), Phẳng (b), Đường (c)
0 =
1 2 3  
a) b) c)
Hình 3-3
2
1
3
2
1
3
2
1
2
1 
3.2. Nghiên cứu TTƯS phẳng: Có 2PP
1. Bằng giải tích:
 US trên mặt nghiêng
dt(ABCD)=dF
dt(ABFE)=dFcosα
dt(EFCD)=dFsinα
 Bất biến của TTUS
 Luật đối ứng của US tiếp
Hình 3-4
y
x
z
v
u
x
y
xy
yx
u
uv
a
A
B
C
DE
F
dz
dx
dy
x
u
x
y
xy
yx
uv
u
a
a) b)
x y x y
u xy
x y
uv xy
u 0 v 0 cos2 - sin 2
2 2
sin2 cos2
2
 
   -
= =  = a  a
 -
 = a  a
x y x y
v xy
x y
uv xy
cos2 + sin2
2 2
sin2 cos2
2
   -
 = - a  a
 -
 = - a- a
u v x y const  =   =
uv vu = -
 ƯSC và Phương chính
 Mặt chính: Mặt mặt chính 
0a
0
xy 0
uv 0 0
x y
2
0 tg2 tg k90
2a=a
 b
 = a = - = b a = 
 -
0
2
x y x y 2
max xy
m
u
n
v
i
ud 2 0 max, mi
2
n
2
d a=a
   -  
 =  

= -  =  
a
xy xy
max
max
* 0uv
y x min
0
t
d
0 max, min k45
d
g
 
a = - = -


=  a
-   -

= a
a
2. Bằng PP Đồ thị (vòng Mo)
Vòng tròn
Xác định ứng suất trên mặt nghiêng, ứng suất chính 
2
2 2
2x y x y2 2 2 2
u uv xy u uvC R
2 2
    -   -  =  =  -  = 
x yC ,0
2
  
2
x y 2
xyR
2
 -  
=  
Hình 3-6
xy
O
 // x
P
P’
C
A B
xy
yx
y
x
x+y
2
Hình 3-7
xy
O 
P
C
A B
min
x
max
L M
y
I
E
K
u
u
uv
q
b
uv
axy
xy xy
max
max y x min
tg
 
a = - = -
 -   - 
 Ví dụ : Phân tố cho trên hình 3-5 nằm trong trạng thái ứng suất 
phẳng. Hãy xác định các ứng suất trên mặt nghiêng m-m và các 
ứng suất chính.
Hình 3-5
a)
b)
m
m
x
u
a
uuv
m
m 60
0
50 MN/m2
12,5 MN/m2
25 MN/m2
y
0
x y xy50 25 12,5 30 =  = -  = - a = -
2 2 0
max min max max20,4MN / m 27,3MN / m tg 0,1617 9 11' =  = - a = a =
Hình 3-9
a) b)

O  // x
P
CA BL M
-25 50E
-300
K
uv= 39
u= 
20
P’

O
 // x
P
CA BL M
N
-25 50
P’
3
1
1=523= 27
3.3 Liên hệ giữa US và BD
1. Định luật Hooke tổng quát:
2. Định luật Hooke khi trượt:
 x x y z
1
E
  =  -    
 y y z x
1
E
  =  -    
 z z x y
1
E
  =  -    
E
G G
2 1
 =  =
 
3.4 Lý thuyết bền 
1. Khái niệm:
+ Khó khăn về LT và TN
+ TB là các giả thiết về độ bền của vật liệu 
2. Các thuyết bền:
1) TB US pháp lớn nhất:
2) TB US tiếp lớn nhất:
3) TB Thế năng BĐHD: 
4) TB Mo:
 2 2tt 3 =   
  0Nmin N n

  =
  0max
n

  =
  0Kmax K n

  =
 2 2tt 4 =   
 0Ktt 1 3 K
0N

 =  -  

Chương 4
ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC 
CỦA HÌNH PHẲNG
Nội dung: 
1. Khái niệm
2. Mô men tĩnh và mô men quán tính
3. Công thức chuyển trục SS của MMQT 
4. Các bước giải bài toán xác định mô men
quán tính chính trung tâm của hình phẳng 
4.1 Khái niệm
 Ở chương 2 ta biết:
 Các chương sau: F và các đại lượng đặc trưng cho 
hình dạng mặt cắt ảnh hưởng đến khả năng chịu lực 
của kết cấu: Các ĐTHH của mặt cắt
N
F
 =
P
P
y
y
x
x
Hình 5-1
a) b)
4.2 Mô men tĩnh và MMQT
1. Mô men tĩnh của F đối với trục x, trục y:
 Tính chất:
 Trục x0 là trục trung tâm khi:
 Trọng tâm C(xc, yc) của mặt cắt: 
2. MMQT của F đối với trục x, y:
x
F
S ydF =   3y
F
S xdF S m = =
Hình 5-2
A
x
y
y
x
dF
0
F
i
n
S 0, 0, 0 S S = =
0x
S 0=
y x
C C
S S
x y
F F
= =
2 2 4
x y x y
F F
J y dF J x dF J , J 0, m = = 
i
n
J J=
3. MMQT cực:
4. MMQT ly tâm:
 Hệ trục xy – hệ trục quán tính chính:
một hình có vô số HTQTC.
 Hệ trục xCy – Hệ trục quán tính chính trung tâm:2 điều kiện: 
1) Là Hệ trục quán tính chính
2) Gốc tọa độ tại trọng tâm C.
Một hình nói chung chỉ có một hệ trục QTCTT.
MMQT của F đối với HTQTCTT gọi là MMQTCTT
4
xy xy
F
J xydF J 0, 0, 0 m = = =
2 4
x y
F
J dF J J J 0 m = = 
xyJ 0=
 Ví dụ: Tính MMQT của một số hình đơn giản:
hh
3 222 2
x
hF h
3
2 2
by
J y dF y b
bh
1
dy
2 2- -
 = = = =
0
3
x
3
x
bh
J
12
bh
J
36
=
=
4
4
4
4
x y
D d
J 1
32 D
d
J 2J 2J 0,1d
32
= -  =
= = = 
Hình 5-6
y
x
dy
y
h
b
o
Hình 5-7
y
x
dy
y
h
b
by
o
y
x
o
 d 
j
dj
F
Hình 5-8
C
x0
d
D
4.3 Công thức CTSS của MMQT
 Hệ xoy: Biết Jx,Jy,Jxy,Sx, Sy
 Hệ XO’Y Tìm JX,JY, JXY=?
 X=x+a Y=y+b
 Hệ xCy:
22 2 2
X
F F F F F
2 2
X x x Y y y XY xy x y
J Y dF y b dF y dF 2b ydF b dF
J J 2bS b F J J 2aS a F J J aS bS abF
 = = = 
= = = 
x yY yX x
2 2
XYJ JJ b F aJ F bJ a J F= = = 
Hình 5-10
A
X
Y
Y
X
dF
O’
F
x
y
o
a
b
y
x
4.4 Các bước giải BT xác định MMQTCTT của 
hình phẳng
1. Xác định C(xc,yc):
 Chia F n hình đơn giản Chọn hệ trục ban đầu Tọa độ 
Ci(xci,yci)
 Tính : 
2. Kẻ xCy và tính MMQTCTT 
Ci i
C1 1 C2 2 Cn nx n
C
i 1 2 n
 ... = 
- - 
 =
II/ BIAXIAL FLEXURE (UNSYMMETRICAL 
BENDING) (cont.) – Example 3
 Neutral Axis 
Mx
My
Muy x
x
0
y
M I 3
tan . 0.666
M I 2 6
3 6
.
3,
b
b 
=
= -
- = - = -
y
x
b
III/ COMBINED BENDING AND TENSION 
OR COMPRESSION (UOÁN VAØ KEÙO 
HOAËC NEÙN)
 Internal forces:
 Normal force: Nz
 Bending moment(s): Mx and/or My
 Shear forces: Qy and/or Qx
x
y
z
qy
Px
M
P
y
Nz
Mx
My
III/ COMBINED BENDING AND TENSION 
OR COMPRESSION (UOÁN VAØ KEÙO 
HOAËC NEÙN) – Normal stress
 Normal stress due to normal force and 
bending moments:
yz x
z
x y
MN M
y x
A I I
 = 
yz x
z
x y
MN M
y x
A I I
 = 
Mx
My
Nz
x
y
z
z
or
III/ COMBINED BENDING AND TENSION 
OR COMPRESSION (UOÁN VAØ KEÙO 
HOAËC NEÙN) – Normal stress
 Neutral Axis – Normal Stress Diagram

min
max
N
A
yz x
x y
MN M
y 0
A I I
 = Biaxially symmetric sections
yz x
max
x y
yz x
min
x y
MN M
A W W
MN M
A W W

 - 
= -
 =
III/ COMBINED BENDING AND TENSION 
OR COMPRESSION (UOÁN VAØ KEÙO 
HOAËC NEÙN) – Eccentric tension
 Special case: Eccentric tension (or 
compression) (keùo hay neùn leäch taâm)
When the bar is acted upon 
by two equal and opposite 
forces P which act along KK 
parallel to its axis
 OK = e eccentricity 
P
P
K
K
O
O
eO
K
III/ COMBINED BENDING AND TENSION 
OR COMPRESSION (UOÁN VAØ KEÙO 
HOAËC NEÙN) – Eccentric tension
 Internal forces:
Nz = P; Mx = PyK; My = PxK
O
e
x
K
y
z
P
xK
yK
O
x
y
z
Nz = P Mx = PyK
My
z
III/ COMBINED BENDING AND TENSION 
OR COMPRESSION (UOÁN VAØ KEÙO 
HOAËC NEÙN) – Eccentric tension
 Neutral Axis Equation (P/t ñ trung hoøa)
K K K K
z 2 2
x y x
2 2
x x y
y
y
P Py Px P y x
y x 1 y x 0
A I I A r r
with I r A I r ; and A 

= = = 
= =
rx , ry – radii of gyration of section about the 
principal axes (baùn kính quaùn tính)
III/ COMBINED BENDING AND TENSION 
OR COMPRESSION (UOÁN VAØ KEÙO 
HOAËC NEÙN) – Eccentric tension
 Properties of neutral axis ?K
x
y
xK
yK
a
b
O
2 2
y x
K
K
2
K
K
2
x y
x y
0
a
 or 
with 
b
r r
a ; b
x y
y x
1 y x 0
r
r
 =
= - = -
 =
III/ COMBINED BENDING AND TENSION 
OR COMPRESSION (UOÁN VAØ KEÙO 
HOAËC NEÙN) – Core of section
 Core of section (Loõi cuûa tieát dieän)
I
I
I
I
I


 




III
IV
V
VI
2
y
I
2
y
I
r
x
a
I ; 
I = 1, soá ca ïnh lo
ài
r
y
b
= - 
 = - 
ÖÙng vôùi 1 ñöôøng trung hoøa 
i – i (truøng vôùi 1 caïnh cuûa 
ña giaùc), toïa ñoä cuûa ñieåm 
ñaët löïc I:
Core of 
section
III/ COMBINED BENDING AND TENSION 
OR COMPRESSION (UOÁN VAØ KEÙO 
HOAËC NEÙN) – Core of section
 Core of a rectangular cross-section
b
2
b
2
h
2
h
2
core
b
6
b
6
1
1
2 2
I
IIh
6
 Neutral axis 1-1
I I
b
a ; b
I x y 0
6
2
b
;
= - = 
= =
 Neutral axis 2-2
II II
h
I
h
a ; b
I x 0
2
;y
6
= = - 
= 
=
IV/ COMBINED BENDING AND TORSION 
(UOÁN VAØ XOAÉN ÑOÀNG THÔØI)
 Introduction: Circular Shaft and pulleys
(a) Circular shaft and 
pulleys
(b) Free body diagram
y
z
Ay
By
(P1)y
IV/ COMBINED BENDING AND TORSION 
(UOÁN VAØ XOAÉN ÑOÀNG THÔØI)
Mx
My
Bending moment in y-z plane
Bending moment in x-z plane
Mt
Torsion Moment about z-axis
IV/ COMBINED BENDING AND TORSION 
(UOÁN VAØ XOAÉN ÑOÀNG THÔØI)
Mt > 0
Mx > 0x
y
z
My > 0
v
Mu
My
Mx
u
z
zA
B
Mt
 Moment Components and Sign convention
IV/ COMBINED BENDING AND TORSION 
(UOÁN VAØ XOAÉN ÑOÀNG THÔØI)
u
max min
u
M
W
 = =
zv
Mu
u
zA
B
Mt
max
min
 Stresses distribution due to moments
t t
max
t t
M M D
.
W I 2
 = =
v zA
B
max
max
max
max
Mt
IV/ COMBINED BENDING AND TORSION 
(UOÁN VAØ XOAÉN ÑOÀNG THÔØI)
 Strength condition
 Critical point: Point A 
2 2
x yu
A max
u u
t t
A max
t u
M MM
W W
M M
W 2W
 
 
= = =
= = =
  
2 2
A At3    = 
IV/ COMBINED BENDING AND TORSION 
(UOÁN VAØ XOAÉN ÑOÀNG THÔØI)
 Example: The shaft in fig.a is supported by 
smooth journal bearings at A and B. Determine 
the smallest diameter of the shaft using the 
maximum-shear-stress theory with allow= 50MPa
0.25m
0.25m
0.15m
150N
475N
950N
7.5Nm
7.5Nm
500N
650N
475N
A
B
C
D
(b)Free-body diagram(a) Real scheme
IV/ COMBINED BENDING AND TORSION 
(UOÁN VAØ XOAÉN ÑOÀNG THÔØI)
 Solution
Bending moment diagrams Torsion moment diagram
A BC D
475N 475N950N
150N 650N
500N
Mx(Nm)
My
z
0.25m
0.25m
0.15m
118.75
37.5 75x
y
z
A BC
D
7.5Nm 7.5Nm
Mt(Nm)
0.25m 0.25m 0.15m
7.5
z
IV/ COMBINED BENDING AND TORSION 
(UOÁN VAØ XOAÉN ÑOÀNG THÔØI)
x
y
z
A BC D
475N 475N950N
150N 650N
500N
Mx(Nm)
My
z
0.25m
0.25m
0.15m
118.75
37.5 75
A BC
D
7.5Nm 7.5Nm
Mt(Nm)
0.25m 0.25m 0.15m
7.5
z
IV/ COMBINED BENDING AND TORSION 
(UOÁN VAØ XOAÉN ÑOÀNG THÔØI)
 Critical point:

y
t
xM 118.75Nm; M 37
M 7.5
.5
Nm
N
C
m= =
=
2 22 2
u x yM M M 118.75 37.5 124.53Nm= = =
2 2 2 2
u t a llowt3
u
2 22 2
u t3 8
u 6
allow
8
3
1
4 M M 2
W
124.53 7.5M M
W d 124.75x10
32 2 2 50x10
32x124.75x1
Answer:
0
d 0.0233m d = 23.3mm
   

-
-
= = 
 = = =
 =
V/ GENERAL COMBINED LOADING
800N
500N
1.4m
A
B
C
1.8m
d
d
 The solid rod ABC has a 
radius of d = 50mm. Verify the 
strength condition using the 
maximum-shear-stress theory if 
 = 160 MPa
Example
V/ GENERAL COMBINED LOADING –
(continued)
 SOLUTION
800N
500N
A
B
C
1120 Nm
1440 Nm
700 Nm
Mb
(a) Bending moment diagrams
A
B
C
1120 Nm
Mt
(b) Torsion moment diagram
V/ GENERAL COMBINED LOADING –
(continued)
 Internal forces at built-up section A (Noäi 
löïc taïi tieât dieän ngaøm A)
A
B
C
500 N
N
x
y z
Mt =1120Nm
Mx = 1440 Nm
x
y
z
My = 700 Nm 
Nz = 500 N
(c) Normal force diagram (d) Internal forces at section A
V/ GENERAL COMBINED LOADING –
(continued)
v
z
A
B
max = 45.6 MPa
45.6 MPa
max
45.6 MPa
x
y
Shear Stress Distribution
V/ GENERAL COMBINED LOADING –
(continued)
v
Mu
z
A
B
u
Nz
109 MPa
109.25 MPa
108.75MPa

(N)
109 MPa
(M)
Normal stress distribution
x
y
z
V/ GENERAL COMBINED LOADING –
(continued)
  
2 2
A At
(N)
(M) (Mu) u
A max
u
(N) (M)
A
t
A max
p
3
A
N
0.25 MPa
A
M
109 MPa
W
0.25 109
M
45.6 MP
4 142.3 MP
10
a 160 MPa
9.25 MPa
a
W

 
  






= = =
= = =
= =
= = =
= = =
Point A
Chương 8
ỔN ĐỊNH THANH 
CHỊU NÉN ĐÚNG TÂM
Nội dung:
1. Khái niệm
2. Điều kiện ổn định và tính toán 
ổn định 
1. Hình dáng hợp lý khi chịu nén 
8.1 Khái niệm
 Trạng thái cân bằng ổn 
định
 Trạng thái tới hạn 
 Trạng thái cân bằng 
không ổn định (trạng thái 
mất ổn định)
8.1 Khái niệm
 Khi mất ổn định, công trình hay chi tiết máy làm việc không 
bình thường.
 Khi vượt quá tr.thái tới hạn, công trình hay chi tiết có thể bị 
phá hoại một cách bất ngờ vì biến dạng tăng rất nhanh. Khi 
thiết kế cần đảm bảo: độ bền, độ cứng và độ ổn định, nên
Giải b.toán ổn định là phải xác định Pth
ôđ
th
k
P
P 
8.2 Điều kiện ổn định 
- Tính toán ổn định
Xác định lực tới hạn của thanh chịu nén đúng 
tâm (bài toán Ơle)- Tính ổn định trong miền 
đàn hồi.
 Tính ổn định ngoài miền đàn hồi
Xác định lực tới hạn của thanh 
chịu nén đúng tâm (bài toán Ơle)
 zyPzM th=
minmin
"
EJ
zyP
EJ
zM
zy th-=-= 0"
min
= zy
EJ
P
zy th
 0" 2 = zyzy a zCzCzy 21 a a= cossin
min
2
EJ
Pth=a
Nghiệm tổng quát của phương trình
vi phân đường đàn hồi
 a01C0Cythì0zKhi 21 = == ..
 b0LCLCythìLzKhi 21 =a a== cossin
 zCzCzy 21 a a= cossin
 czCy0Ca 12 a== sin,
 0LCb 1 =a sin
Nghiệm tổng quát của phương trình 
vi phân đường đàn hồi
 ...3,2,1,0sin
01
== = = 
n
L
n
nLL
C
a aa
 dz
L
n
Czy 1
= sin
 e
L
EJn
P
2
22
th
min =
zCy asin1=
Thanh đang bị cong
=
min
2
EJ
Ptha
n=1/2 bước sóng hình sin của 
đường đàn hồi2
22
th
L
EJn
P min
=
2
2
th
L
EJ
P min
=
2
22
th
L
EJ2
P min
=
2
22
th
L
EJ3
P min
=
Là các hệ số 
phụ thuộc vào 
loại liên kết ở 
hai đầu thanh
 2
2
2
2
2
th
L
EJ
L
EJ
mP

=
= minmin

=
1
mvà
Ứng suất trong thanh
 2
22
2
2
th
th
L
Ei
FL
EJ
F
P

=

== minmin
F
J
i2 minmin =
2
2
th
E

=
mini
L
=
Ứng suất trong thanh
 th càng lớn thì tính ổn định của thanh càng cao
 th càng bé thì thanh càng dễ mất ổn định
 th phụ thuộc vào E, 
( độ mảnh của thanh là hệ số phụ thuộc vào 
đặc trưng hình học mặt cắt ngang và liên kết của 
thanh)
2
2
2
2



EF
P
F
PE
th
th
th = ==
Giới hạn của công thức Ơle
0
tl
2
tl2
2
th
EE
=

   

=
0 Điều kiện để áp dụng công thức Ơle
>0 : thanh có độ mảnh lớn 
<0 : thanh có độ mảnh vừa và bé
0 hoàn toàn phụ thuộc vào vật liệu
Ví dụ 1
Kiểm tra độ ổn định của 
cột làm bằng thép CT3 
có: tl=210MN/m
2, 
E=2.1011N/m2, kôđ=3, 
P=150kN
Ví dụ 1
 Đặc trưng thép I24a: F=37,5cm2,
Jy=Jmin=260cm
4, iy=imin=2,63cm
 =0,5 (thanh ngàm 2 đầu)
 Độ mảnh thanh
 Độ mảnh giới hạn của thép CT3
142
632
750x50
i
L
==

=
,
,
min
10010.
210
102 6
1122
0 ==
-xxE
th


Ví dụ 1
 > 0 nên thanh có độ mảnh lớn, dùng công thức Ơle để 
tính Pth
 Tải trọng cho phép theo điều kiện ổn định
 P > [P] nên thanh không đảm bảo độ ổn định
kN
EF
Pth 367
142
5,37.10.2.
2
42
2
2
===

  kN122
3
367
k
P
P
ôđ
th ===
Tính ổn định ngoài miền đàn hồi
Thanh có độ mảnh vừa và bé (<0): khi bị mất ổn 
định vật liệu làm việc ngoài giới hạn đàn hồi, 1 là 
trị số giới hạn của thanh có độ mảnh vừa
 Thanh có độ mảnh vừa 1≤<0
th=a - b (công thức Iaxinski)
a, b: hằng số phụ thuộc vào vật liệu
 Thanh có độ mảnh bé ≤1
th= 0= ch vật liệu dẻo
th= 0= b vật liệu dòn
Ví dụ 2
Tính lực tới hạn của cột làm bằng thép CT3, mặt cắt 
ngang chữ I22a. Cột có liên kết khớp 2 đầu, 
E=2,1x104kN/cm2. Xét hai trường hợp:
Cột cao 3m
Cột cao 2,25m
Thép CT3 có 0=100; a=33,6kN/cm
2; b=0,147kN/cm2
Ví dụ 2
Đặc trưng thép I22a: F=32,4cm2, iy=imin=2,5cm
Thanh khớp 2 đầu nên =1
1. Cột cao 3m
 Độ mảnh thanh
Ứng suất tới hạn
 Lực tới hạn
0120
52
300x1
i
L
 ==

=
,min
22
42
2
2
th
cm
kN
314
120
10x12xE
,
,
=
=

=
kN463432x314FP thth === ,,.
Ví dụ 2
2. Cột cao 2,25m
 Độ mảnh thanh
Ứng suất tới hạn
 Lực tới hạn
090
52
225x1
i
L
 ==

=
,min
2
th cmkN42090x1470633ba /,,, =-=-=
22 cmkN1470bcmkN633a /,,/, ==
kN660432x420FP thth === ,,
Tính thanh chịu nén 
bằng phương pháp thực hành
 Điều kiện bền của thanh chịu nén
 Đ.kiện ổn định của thanh chịu nén
  a
nF
P 0
n

= 
  'a
kF
P
ôđ
th
ôđ

= 
 
 
1
k
n
ôđ0
th
n
ôđ j


=


=j ,
      b
F
P
hay nnôđ j j= 
Nhận xét
 j gọi là hệ số giảm ứng suất cho phép, phụ thuộc 
vào: vật liệu, độ mảnh, hệ số an toàn về bền và ổn 
định
 Từ (a), (b) ta thấy do j<1 nên nếu điều kiện ổn 
định thỏa thì điều kiện bền đương nhiên thỏa 
 chỉ cần tính thanh chịu nén theo điều kiện ổn 
định theo (b)
 Từ (b) có 3 bài toán cơ bản
      b
F
P
hay nnôđ jj =
Ba bài toán cơ bản
 Định tải trọng cho phép [P]=jF[]
 Kiểm tra điều kiện ổn định P≤jF[]
 Định kích thước mặt cắt ngang
Xác định kích thước mặt cắt ngang
 Giả thuyết j0 F theo 
 Từ F  theo công thức 
 Từ  tra bảng được trị số j0’
+ Nếu j0’ j0 giả thuyết ban đầu thì 
tính lại từ đầu với :
+ Nếu j0’ j0 tiến hành kiểm tra theo 
điều kiện ổn định.
F
J
i
i
L
== min
min
,


2
'00
1
jj
j
=
   nôđ
F
P
j = 
Ví dụ 3
Kiểm tra điều kiện 
ổn định của cột AB. 
Cột bằng thép CT3 
có []=16kN/cm2, 
mc ngang chữ I 
N030
Ví dụ 3
Thép I30 : F=46,5cm2, Jy=Jmin=337cm
4, iy=imin=2,29cm
Thanh khớp 2 đầu nên =1
 Độ mảnh cột
 Tra bảng và nội suy đường thẳng được j=0,326
 Lực nén cho phép cột
 Lực nén trong cột do tải trọng gây ra
Đảm bảo điều kiện ổn định
5148
692
400x1
i
L
,
,min
==

=
    kN242165463260FN n ==j= .,.,
kN215
8
510201040480
N =
=
....
 NN 
Ví dụ 4
Cột có chiều dài 1,5m; 
một đầu ngàm, một đầu 
tự do (=2). Lực nén 
300kN. Mặt cắt ngang có 
dạng hình vẽ. Cột làm 
bằng thép CT3 có 
[]n=16kN/cm
2. Chọn 
kích thước a để cột 
không mất ổn định
Ví dụ 4
Bước 1: Giả thuyết chọn j0=0,5
 Công thức 
 Mặt cắt ngang của cột cho
 
2
0
5,37
165,0
300
cm
x
P
F
n
tính ===
j
aaiaJaF 696,0
60
29
,
12
29
,5 min
4
min
2 ====
,74,2
5
5,37
5
cm
F
a === cm190742x6960i == ,,min
Ví dụ 4
158
91
250x2
i
L
0 ==

=
,min
 
,47
16398,0
300 2
1
cm
x
P
F
n
can ===
j
cm073
5
47
5
F
a ,===
Tra bảng j0’=0,296 khác j0=0,5, cần chọn lại
Bước 2: Giả thuyết
398,0
2
296,05,0
2
'00
1 =
=
=
jj
j
38,0
2
360,0398,0
2 =
=j
 
2
3
4,49
1638,0
300
cm
x
P
F
n
cân ===
j
Tra bảng j’1=0,36 khác j1=0,398 (chọn lại lần 3)
Bước 3: giả thuyết 
cm143
5
449
5
F
a ,
,
===
140
14,2
1502
14,207,3696,0 1min == ==
x
cmxi 
Ví dụ 4
 Tra bảng j‘2=0,372 0,38=j2
 Ta chọn a=3,14cm và kiểm tra lại điều kiện ổn 
định. Ta có lực nén cho phép của cột
 Lực tác dụng N=300kN > [N]=293kN nhưng 
không vượt quá 2% nên chấp nhận
137
19,2
2502
19,214,3696,0
min
2min === ==
x
i
L
cmxi


    kN293143x5x16x3720FN 2n ==j= ,,
Ví dụ 5
Một cột gỗ mặt cắt ngang chữ nhật 8x28cm2 chịu lực 
nén P và liên kết 2 đầu ngàm. Định lực P để cột không 
mất ổn định, []=10MN/m2
Ví dụ 5
 bxh=8x28 có
 bxh=28x8 có
 Độ mảnh thanh trong mp 
có độ cứng bé nhất:
 Độ mảnh thanh trong mp 
có độ cứng lớn nhất
12
28
12
==
h
iX
12
8
12
==
b
iY
65
8
12.3005,0
===
x
i
L
y
y
Y


3,74
28
12.3002
===
x
i
L
x
x
X


Ví dụ 5
x>y nên thanh sẽ cong trong mp có độ 
cứng bé, dùng x để tính toán ổn định 
x=74,3 nên j=0,548
Lực nén cột 
[P]= j[]F=0,548x10x8x28x10-4=0,123MN
Hình dáng hợp lý của mặt cắt khi chịu nén 
 Thanh chịu nén thỏa bền: cần mặt cắt ngang có F tối 
thiểu, hình dáng mặt cắt nói chung không quan trọng.
 Thanh chịu nén thỏa ổn định: cần chú ý đến hình dáng 
mặt cắt, thỏa điều kiện sau:
+ imin=imax hay Jmin=Jmax thanh sẽ chống lại sự mất ổn định 
theo mọi phương. Mặt cắt hợp lý là tròn hoặc đa giác 
đều.
+ Các mômen quán tính chính trung tâm của mặt cắt 
ngang càng lớn càng tốt, thường chọn mặt cắt rỗng.
Ví dụ 6
Cột ghép 2 thép chữ U số 
5 dài 2m, liên kết khớp 
hai đầu. Vật liệu có 
[]=16kN/cm2. 
Xác định khỏang cách a 
sao cho mặt cắt hợp lý và 
lực nén cho phép [P]
Ví dụ 6
 Đặc tính hình học của mặt cắt 
Jx0x0=8,41cm
4, Jy0y0=26,1cm
4, F=6,9cm2;z0=1,36cm
Mômen quán tính đối với các trục
 Điều kiện mặt cắt hợp lý
 =
2
xx 361
2
a
964182J ,,,
4
yy cm2521262J ,,. ==
cm480aJJ yyxx ,= =
Ví dụ 6
Định tải cho phép
Độ mảnh
 Tra bảng chọn j = 0,576
 Lực nén cột là
941
F
J
iii yyyx ,min ====
103
941
2001
i
L
==

=
,
.
min
    kN1812796x2x16x5760FP ,,, ==j=