Bài giảng Sức bền vật liệu 1 - Chương 6: Thanh chịu uốn phẳng - Trần Minh Tú

SỨC BỀN
VẬT LIỆU
Trần Minh Tú
Đại học Xây dựng
National University of Civil Engineering – Ha noi January 2013
Chương 6
THANH CHỊU UỐN PHẲNG
NỘI DUNG
6.1. Khái niệm chung
6.2. Uốn thuần túy thanh thẳng
6.3. Uốn ngang phẳng thanh thẳng
SB1 – nghiên cứu ứng suất, biến dạng, 
chuyển vị trong thanh dưới tác dụng của 
các trường hợp chịu lực cơ bản 
Chương 2; 
Kéo (nén) 
đúng tâm
Chương 5: 
Xoắn
UỐN
3(71) Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
4(71)
July 2009
6.1. Khái niệm chung (1)
 Thanh chịu uốn: khi có tác dụng của ngoại lực trục
thanh thay đổi độ cong
 Dầm: thanh chịu uốn
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
6.1. Khái niệm chung (2)
 Giới hạn nghiên cứu: Dầm với mặt cắt ngang có ít nhất 1 trục
đối xứng (chữ I, T, chữ nhật, tròn,); mặt phẳng tải trọng trùng
mặt phẳng đối xứng của dầm => Uốn phẳng
 Mặt phẳng tải trọng: mặt phẳng chứa tải trọng và trục thanh
 Mặt phẳng quán tính chính trung tâm: mặt phẳng chứa trục
thanh và 1 trục quán tính chính trung tâm của mặt cắt ngang.
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering5(71)
July 2009
6(71)
July 2009
6.1. Khái niệm chung (3)
 Phân loại uốn phẳng
 Uốn thuần túy phẳng
 Uốn ngang phẳng
 Ví dụ: thanh chịu uốn
phẳng
 Trên đoạn BC: Mx≠0, Qy=0
=> Uốn thuần túy phẳng
 Trên đoạn AB,CD: Mx≠0,
Qy≠0
=> Uốn ngang phẳng
 F
F
FaFa
M x
Q y
F F
z
V VA D= F
= F
a b a
B C DA
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
7(71)
July 2009
6.2. Uốn thuần túy phẳng (1)
Uốn thuần túy phẳng
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
8(71)
July 2009
6.2. Uốn thuần túy phẳng (2)
1. Định nghĩa: Thanh gọi là chịu uốn thuần tuý nếu
trên các mặt cắt ngang của nó chỉ tồn tại thành
phần ứng lực là mômen uốn Mx (hoặc My) nằm
trong mặt phẳng quán tính chính trung tâm.
Tải trọng gây uốn: nằm trong mặt phẳng đi qua trục thanh
và vuông góc với trục thanh
2. Các giả thiết về biến dạng của thanh
a. Thí nghiệm
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
9(71)
July 2009
6.2. Uốn thuần túy phẳng (3)
Vạch trên bề mặt ngoài của thanh
• Hệ những đường thẳng // trục thanh
=> thớ dọc
• Hệ những đường thẳng vuông góc
với trục thanh => mặt cắt ngang
Cho thanh chịu uốn thuần túy phẳng
QUAN SÁT
• Các đường thẳng // trục thanh =>
đường cong // trục, khoảng cách giữa
các đường cong kề nhau không đổi
• Các đường thẳng vuông góc với trục
thanh => vẫn thẳng và vuông góc với
trục thanh
• Các thớ phía trên bị co (chịu nén),
các thớ dưới bị dãn (chịu kéo)
thớ dọcmặt cắt ngang 
M M
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
10(71)
July 2009
Biến dạng của thanh chịu uốn
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
11(71)
July 2009
6.2. Uốn thuần túy phẳng (4)
GIẢ THIẾT
a. Giả thiết mặt cắt ngang phẳng:
mặt cắt ngang trước biến dạng
là phẳng và vuông góc với trục
thanh thì sau biến dạng vẫn
phẳng và vuông góc với trục
b. Giả thiết về các thớ dọc: trong
quá trình biến dạng các lớp vật
liệu dọc trục không có tác
dụng tương hỗ với nhau
Vật liệu làm việc trong miền đàn
hồi
Tồn tại lớp trung hoà: gồm các
thớ dọc không bị dãn cũng
không bị co.
Đường trung hòa: Giao tuyến của
lớp trung hoà với mặt cắt
ngang
M M
Lớp trung hoà
Đường
trung hoà
Đường 
trung hoà
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
12(71)
July 2009
6.2. Uốn thuần túy phẳng (5)
3.Ứng suất trên mặt cắt ngang
a. Biến dạng dài của thớ dọc
có khoảng cách y đến thớ
trung hoà
Xét vi phân chiều dài của thớ
dọc dz = cd. Sau biến dạng
cd có độ dài là c’d’.
Biến dạng dài tỉ đối:
thớ trung hoà
c d
a b
c d
d 
dz
1 2
1 2
1 2
1 2
y
y
a b
 ' '
z
y d ddz c d cd y
dz cd d

z
y
 
 bán kính cong của thớ trung hoà
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
13(71)
July 2009
6.2. Uốn thuần túy phẳng (6)
b. Quan hệ ứng suất - biến dạng
Xét mặt cắt ngang bất kỳ, phân
tố diện tích dA chứa điểm K.
Tách phân tố lập phương chứa
điểm K.
Từ gt 1: góc vuông không thay
đổi => t=0
Từ gt 2: sx=sy=0
=> Trên mặt cắt ngang chỉ tồn
tại duy nhất ứng suất pháp sz
Theo định luật Hooke
y
z
x
dA s
x
y
z
K
K szsz
z zE s  z
y
E s
1
???? 
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
14(71)
July 2009
6.2. Uốn thuần túy phẳng (7)
c. Công thức tính ứng suất pháp
Tải trọng gây uốn nằm trong mặt
phẳng yOz và vuông góc với
trục thanh nên: Nz=My=0 và
Mx≠0. Ta có:
y
z
x
dA s
x
y
z
K
Mx
0z z
A A
E
N dA ydA s 
0x
A
ydA S 
Đường trung hoà đi qua trọng tâm 
của mặt cắt ngang 
0y z
A A
E
M x dA xydA s 
0xy
A
xydA I 
Hệ trục Oxy là hệ trục
quán tính chính trung tâm 
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
15(71)
July 2009
6.2. Uốn thuần túy phẳng (8)
Mx>0: căng thớ dưới
Mx<0: căng thớ trên
=> Để thuận tiện ta thường dùng
công thức tính toán
y
z
x
dA s
x
y
z
K
Mx
2
x z x
A A
E E
M y dA y dA I s 
1 x
x
M
EI
EIx – độ cứng của dầm chịu uốn
Mx – mô men uốn nội lực
 – bán kính cong của thớ trung hoà
z
y
E s
x
z
x
M
y
I
 s
Thay biểu thức của bán kính cong 
vào biểu thức xác định ứng suất pháp
y – tung độ điểm cần tính ứng suất
x
z
x
M
y
I
 s
thuộc vùng kéo
thuộc vùng nén
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
16(71)
July 2009
6.2. Uốn thuần túy phẳng (9)
d. Biểu đồ ứng suất pháp
 Các điểm càng xa ĐTH thì trị tuyệt đối ứng suất pháp
càng lớn
 Các điểm nằm trên ĐTH thì có sz=0
 Các điểm nằm trên đường thẳng // ĐTH thì có
sz=const
=> Biểu diễn sự biến thiên của ứng suất pháp theo
chiều cao mặt cắt ngang
 Biểu đồ ứng suất pháp là đường thẳng đi qua gốc
toạ độ => để vẽ được biểu đồ chỉ cần tính ứng suất
pháp tại điểm bất kỳ trên mặt cắt ngang
 Đánh dấu (+) để biểu diễn phần ứng suất kéo và dấu
(-) biểu diễn phần ứng suất nén
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
17(71)
July 2009
6.2. Uốn thuần túy phẳng (10)
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
18(71)
July 2009
66.2. Uốn thuần túy phẳng (11)
 Mặt cắt ngang có hai trục đối 
xứng
max
2
x x
x x
M Mh
I W
s 
min
2
x x
x x
M Mh
I W
s 
max mins s 
/ 2
x
x
I
W
h
 - mô men chống uốn của mặt cắt ngang
x
y
smin
smax
h/2
h/2
2
6
x
bh
W 
3
30,1
/ 2 32
x
x
I D
W D
D
 Hình chữ nhật: Hình tròn:
Hình vành khăn: 
3
4 3 41 0,1 1
/ 2 32
x
x
I D
W D
D
  
d
D
 với
z
Mx
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
19(71)
July 2009
6.2. Uốn thuần túy phẳng (12)
Mặt cắt ngang có 1 trục 
đối xứng
x
y
t
h
b smin
smax
ynmax
ykmax
max max
x xk
k
x x
M M
y
I W
s 
min max
x xn
n
x x
M M
y
I W
 s
max
k x
x k
I
W
y
max
n x
x n
I
W
y
ykmax - khoảng cách xa ĐTH nhất thuộc vùng chịu kéo
ynmax - khoảng cách xa ĐTH nhất thuộc vùng chịu nén
z
Mx
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
20(71)
July 2009
6.2. Uốn thuần túy phẳng (13)
4. Điều kiện bền
Dầm làm bằng vật liệu dẻo
Dầm bằng vật liệu giòn
Ba bài toán cơ bản
 Kiểm tra điều kiện bền: 
 Xác định kích thước của mặt cắt ngang: 
 Xác định tải trọng cho phép:
   max minmax ,s s s 
   max min ; k ns s s s 
 max
x
x
M
W
s s 
 
x
x
M
W 
s
 x xM Ws 
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
21(71)
July 2009
6.2. Uốn thuần túy phẳng (14)
Mặt cắt ngang có hình dáng hợp lý:
 Khả năng chịu lực của dầm lớn nhất
 Tiết kiệm vật liệu nhất
Dầm bằng vật liệu dòn: mặt cắt ngang hợp lý khi đồng 
thời thỏa mãn
Dầm bằng vật liệu dẻo:
 max max
x k
k
x
M
y
I
s s 
 min max
x n
n
x
M
y
I
s s 
 
 
max
max
 (*)
k
k
n
n
y
y
s
s
Mặt cắt ngang không
đối xứng qua trục x
thoả mãn đk (*)
   
k n
s s 
max
max
1
k
n
y
y
Mặt cắt ngang có 
hai trục đối xứng
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
22(71)
July 2009
6.2. Uốn thuần túy phẳng (15)
 Để tiết kiệm vật liệu
Từ biểu đồ ứng suất, càng xa ĐTH ứng suất càng lớn 
=> đưa vật liệu ra xa ĐTH
x
y
x
y y
x
y
x
Vật liệu dòn Vật liệu dẻo
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
23(71)
July 2009
6.3. Uốn ngang phẳng (1)
1. Định nghĩa
Thanh gọi là chịu uốn ngang
phẳng nếu trên các mặt cắt
ngang của nó đồng thời có cặp
ứng lực là mômen uốn Mx, lực
cắt Qy nằm trong mặt phẳng
quán tính chính trung tâm.
Giả thiết mặt cắt ngang phẳng 
không còn đúng
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
24(71)
July 2009
Biến dạng thanh chịu uốn ngang phẳng
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
25(71)
July 2009
6.3. Uốn ngang phẳng (2)
Hai thành phần ứng lực
Mx => ứng suất pháp
Qy => ứng suất tiếp
Ứng suất pháp
Trong đó
 Mx là mômen uốn nội lực trên mặt cắt ngang
 Ix là mômen quán tính của mặt cắt ngang đối
với trục quán tính chính trung tâm Ox
 y là tung độ của điểm tính ứng suất
Ghi chú: Mx > 0 khi làm căng thớ dưới và Mx < 0
khi làm căng thớ trên.
s x
z
x
M
y
I
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
26(71)
July 2009
6.3. Uốn ngang phẳng (3)
2. Ứng suất tiếp:
Với mặt cắt ngang dạng hình chữ nhật hẹp b<< h .
Ứng suất tiếp tuân theo giả thiết Zuravxki:
 Có phương // với phương lực cắt Qy, cùng chiều lực
cắt Qy
 Phân bố đều trên chiều rộng tiết diện
 Ký hiệu tzy
 Công thức Zuravxki ???
y
z
x
tzy
Qy
y
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
27(71)
July 2009
6.3. Uốn ngang phẳng (*)
 Tách phân tố giới hạn
bởi:
 Hai mặt cắt ngang
cách nhau dz
 Mặt cắt dọc // và cách
Oz khoảng y
y
dz
z
y
x
z
F
x
z y
dzy
x
y
Mặt cắt ngang
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
28(71)
July 2009
6.3. Uốn ngang phẳng (*)
Xét cân bằng phân tố
dz y
x
y
szph
sztr
tzy szph
s
ztr
M+dMM
Q
Q+dQ
0Z  zyt 
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
29(71)
July 2009
6.3. Uốn ngang phẳng (4)
 Công thức Zuravxki
t 
c
y x
zy
x c
Q S
I b
h
b=b
y
§THx
y
Ac
c
Qy là lực cắt theo phương y tại mặt cắt ngang.
Ix là mômen quán tính của mặt cắt ngang đối với trục x.
bc chiều rộng của mặt cắt ngang tại điểm tính ứng suất
là phần diện tích bị cắt (là phần diện tích giới hạn bởi chiều rộng mặt cắt
ngang tại điểm tính ứng suất và mép ngoài của mặt cắt ngang).
là mô men tĩnh của phần diện tích bị cắt
c
xS
CA
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
30(71)
July 2009
6.3. Uốn ngang phẳng (5)
Ứng suất tiếp trên mặt cắt 
ngang chữ nhật
bc=b; Ix=bh
3/12;
Sx
C=yC.A
C => x
y
h
b=
y
b
c
tmax
AC
2
21
2 2 2 2 4
c
x
h h b h
S y y b y
2 2
2 2
3 3
12 6
.
. 2 4 4
y y
zy
Q Qb h h
y y
bh b bh
t
 0
2
zy
h
y t 
ax
3
0 
2
y
m
Q
y
bh
t 
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
31(71)
July 2009
6.3. Uốn ngang phẳng (6)
Ứng suất tiếp trên mặt cắt 
ngang chữ I
Trong bảng thép định hình, đã
cho các kích thước h, b. s,
d, Ix, Sx – mô men tĩnh của ½
tiết diện. Ta có
- Phần bụng: bc=d y
x
h
s
b
y
d
t max
t 1
t 1
21 .
2
C
x xS S d y 
21 .
2
y
zy x
x
Q
S d y
I d
t
max0 => 
y x
x
Q S
y
I d
t 
2
1
1
=>
2 2 2
y
x
x
Qh h
y s S d s
I d
t
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
32(71)
July 2009
Phân bố ứng suất tiếp trên tiết diện chữ I
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
33(71)
July 2009
6.3. Uốn ngang phẳng (7)
4. Điều kiện bền
Xét tiết diện chữ nhật chịu uốn ngang phẳng. Biểu đồ 
ứng suất trên tiết diện:
K, N - trạng thái ứng suất đơn
C- trạng thái ứng suất trượt thuần túy
B- trạng thái ứng suất phẳng đặc biệt
x
y
N
K
C
B
Mx
z
maxt
mins
maxs
h
/2
h
/2
maxsmax
s
minsmins
maxt
maxt
ss
t
t
B
B
B
B
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
34(71)
July 2009
6.3. Uốn ngang phẳng (8)
 Kiểm tra bền cho trạng thái ứng suất đơn
Mặt cắt ngang nguy hiểm: mặt cắt có mô men uốn lớn
nhất (vật liệu dẻo: trị tuyệt đối của mô men lớn nhất,
vật liệu giòn: mô men âm và mô men dương lớn
nhất)
Vật liệu dẻo:
Vật liệu giòn:
   max minmax ,s s s 
   max min ; k ns s s s 
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
35(71)
July 2009
6.3. Uốn ngang phẳng (9)
 Kiểm tra bền cho trạng thái ứng suất trượt thuần túy
Mặt cắt nguy hiểm: Mặt cắt có trị tuyệt đối Qy lớn nhất
Vật liệu dẻo:
Vật liệu giòn: Dùng thuyết bền Mohr
 axmmax t t 
  0
n
t
t - nếu dùng thực nghiệm tìm t0
 
 
2
s
t - nếu dùng thuyết bền 3
 
 
3
s
t - nếu dùng thuyết bền 4
 
 max
1
k
s
t t
 
 
k
n
s
s
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
36(71)
July 2009
6.3. Uốn ngang phẳng (10)
 Kiểm tra bền cho trạng thái ứng suất phẳng đặc biệt
Mặt cắt ngang nguy hiểm: có trị tuyệt đối Mx và Qy
cùng lớn
Điểm kiểm tra: điểm có ứng suất pháp và ứng suất tiếp
cùng lớn (điểm tiếp giáp giữa lòng và đế với mặt cắt
ngang chữ I)
Dầm bằng vật liệu dẻo:
Dầm bằng vật liệu giòn:
s s t2 2t® z zy( ) 4( ) (TB3)
s s t2 2t® z zy( ) 3( ) (TB4)
 2 2
1 1
4
2 2
z z zy k
s s t s
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
37(71)
July 2009
BÀI TẬP – Ví dụ 6.1 (1)
ĐỀ BÀI: 
Cho dầm mặt cắt ngang chữ nhật chịu tải trọng như hình vẽ
• Vẽ biểu đồ các thành phần ứng lực
• Xác định ứng suất pháp cực đại tại mặt cắt ngang nguy hiểm
• Kiểm tra điều kiện bền cho dầm, biết [s]=1,5 kN/cm2
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
38(71)
July 2009
Ví dụ 6.1 (2)
BÀI GIẢI:
• Giải phóng liên kết và xác định các phản lực
 0 : 40kN 14kNy B B DF M R R  
• Dùng phương pháp mặt cắt
• Mặt cắt 1 - 1
1 1
1 1 1
0 20 kN 0 20kN
0 20kN 0m 0 0
yF Q Q
M M M


• Mặt cắt 2 - 2
2 2
2 2 2
0 20 kN 0 20kN
0 20kN 2.5m 0 50kN m
yF Q Q
M M M
 


• Mặt cắt 3 – 3
• Mặt cắt 4 – 4
• Mặt cắt 5 – 5
• Mặt cắt 6 – 6
3 3
4 4
5 5
6 6
26kN 50kN m
26kN 28kN m
14kN 28kN m
14kN 0
Q M
Q M
Q M
Q M
 
 
 
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
39(71)
July 2009
Ví dụ 6.1 (3)
• Từ biểu đồ các thành phần ứng lực ta 
thấy, mặt cắt ngang nguy hiểm tại B có:
max max26kN 50kN mBQ M M 
Q
kN
M
kNm
• Ứng suất pháp cực đại
221 1
6 6
6 3
3
max
max 6 3
0.080m 0.250m
833.33 10 m
50 10 N m
833.33 10 m
x
x
W b h
M
W
s
 
6 2
max 60.0 10 Pa=60MPa=6kN/cms 
• Ta thấy: smax > [s] => Dầm không thoả 
mãn điều kiện bền 
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
40(71)
July 2009
Ví dụ 6.2 (1)
Cho dầm mặt cắt ngang thép chữ I chịu tải trọng như hình
vẽ. Biết ứng suất cho phép của thép [s]=16 kN/cm2. Hãy
chọn số hiệu mặt cắt ngang thép theo điều kiện bền ứng
suất pháp của dầm.
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
41(71)
July 2009
Ví dụ 6.2 (2)
• Xác định phản lực liên kết tại A và D
 5m 60kN 1.5m 50kN 4m 0
58.0kN
58.0kN 60kN 50kN=0
52.0kN
A D
D
y A
A
M V
V
F V
V


• Vẽ biểu đồ lực cắt và mô men uốn nội lực.
52.0kN
60kN
8kN
A A
B A q
B
Q V
Q Q S
Q
• Mô men lớn nhất tại: 
Q = 0 => z = 2,6 m.
max
( ) 67.6kNmQM S AE 
Q
kN
58
66Mmax
M
kNm
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
42(71)
July 2009
Ví dụ 6.2 (3)
• Điều kiện bền theo ứng suất pháp của 
dầm:
 
max
min 2
6 3 3
67.6kN m
16kN/cm
422.5 10 m 422.5 m
M
W
c
s

 
 
max max
max x
x
M M
W
W
s s
s
• Chọn số hiệu thép từ bảng tra
3
xW [mm ]
I 27 371
I 27a 407
I 30 472
I 30a 518
I 33 597
Thep
30I
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
43(71)
July 2009
6.4. Chuyển vị của dầm chịu uốn (1)
1. Khái niệm chung
Đường đàn hồi: Đường
cong của trục dầm sau
khi chịu uốn
Trọng tâm mặt cắt ngang của
dầm
K - trước biến dạng
K’ – sau biến dạng
KK’ – chuyển vị của trọng tâm
mặt cắt ngang
Biến dạng bé: u(z)<<v(z)
v(z) => độ võng: y(z)=>
B
F
L
K
K’
K
K’
z
v(z)
u(z)
KK’
v(z) - chuyển vị đứng
u(z) - chuyển vị ngang
Độ võng của dầm chịu uốn là chuyển vị theo phương
thẳng đứng của trọng tâm mặt cắt ngang
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
44(71)
July 2009
6.4. Chuyển vị của dầm chịu uốn (2)
- Tại K’ dựng tiếp tuyến t với đường đàn hồi, đường
vuông góc với tiếp tuyến t tại K’=>
- Mặt cắt ngang dầm sau biến dạng tạo với mặt cắt
ngang dầm trước biến dạng góc => góc xoay z 
Góc xoay: góc hợp bởi mặt cắt ngang dầm trước và sau
biến dạng
Biến dạng bé: (z) = tg = y’(z) => Đạo hàm bậc nhất
của độ võng là góc xoay
B
F
L
K
K’
z
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
45(71)
July 2009
6.4. Chuyển vị của dầm chịu uốn (3)
•Gt: Khi chịu uốn vật
liệu thanh làm việc trong
miền đàn hồi:
2. Phương trình vi phân gần đúng của đường đàn hồi
( )1 x
x
M z
EI 
3
2 2
1 "( )
"( )
(1 ' )
y z
y z
y 
•Hình học giải tích:
Biến dạng bé
'' ( )x
x
M z
y
EI
z
M
M>0
''( ) 0y z 
z
M ''( ) 0y z 
M<0
( )
"( ) x
x
M z
y z
EI
 - Phương trình vi phân gần đúng đường đàn
hồi
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
46(71)
July 2009
6.4. Chuyển vị của dầm chịu uốn (4)
3. Các phương pháp xác định đường đàn hồi
a. Phương pháp tích phân trực tiếp
Từ phương trình vi phân gần đúng lấy tích
phân lần thứ nhất ta được góc xoay.
Tích phân lần thứ hai ta được biểu thức tính độ
võng
x
x
Mdy
z dz C
dz EI
x
x
M
y(z) dz C .dz D
EI
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
47(71)
July 2009
6.4. Chuyển vị của dầm chịu uốn (5)
trong đó C và D là hai hằng số tích phân, được xác định
nhờ vào điều kiện biên chuyển vị .
P
A BC
Điều kiện liên tục:
C C
y y 
C C
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
48(71)
July 2009
6.4. Chuyển vị của dầm chịu uốn (5b)
Nhược điểm: cồng kềnh về mặt toán học
khi dầm gồm nhiều đoạn, do phải giải hệ
phương trình để xác định các hằng số tích
phân (2n phương trình 2n ẩn số khi dầm
gồm n đoạn)
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
49(71)
July 2009
6.4. Chuyển vị của dầm chịu uốn (6)
VD 6.4.1: Xác định độ võng tại
đầu tự do của dầm công-xôn
chịu tác dụng của tải tập trung
như hình vẽ
Ta có: M F L z 
B
F
L-z
L
EI
z
 '' x
x x
F L zM (z)
y (z)
EI EI
2
x x
F L z) F z
z dz C Lz C
EI EI 2
2 3
x
F z z
y z L Cz D
EI 2 6
0 0 0z C 
0 0 0z y D 
2
B
x
FL
z L
2EI
Điều kiện biên
3
B
x
FL
y y z L
3EI
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
50(71)
July 2009
6.4. Chuyển vị của dầm chịu uốn (7)
b. Phương pháp tải trọng giả tạo
Liên hệ vi phân giữa các thành 
phần ứng lực và tải trọng phân bố
Liên hệ vi phân giữa độ võng, góc 
xoay và mô men uốn nội lực
2
2
( )
d M dQ
q z
dz dz
2
2
x
x
d y d M
dz dz EI
( ) x
x
M y
Q
M
q z
EI
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
51(71)
July 2009
6.4. Chuyển vị của dầm chịu uốn (8)
Dùng kỹ năng tìm lực cắt và mômen uốn nội lực khi biết
tải trọng phân bố để áp dụng vào bài toán tìm góc xoay
và độ võng.
 Tưởng tượng chọn một dầm không có thực - gọi là
dầm giả tạo và đặt tải trọng phân bố giả tạo
vào nó. Lực cắt và mômen uốn ở dầm giả tạo do tải trọng
giả tạo gây ra tại mặt cắt ngang nào đó chính là góc xoay
và độ võng ở dầm thực ban đầu tại mặt cắt ngang đó do tải
trọng thực gây ra. Quy tắc để chọn dầm giả tạo như sau
x
gt
x
M
q (z)
EI
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
52(71)
July 2009
6.4. Chuyển vị của dầm chịu uốn (9)
 Dầm giả tạo phải có chiều dài bằng chiều dài của dầm thực.
 Liên kết phải sao cho điều kịên biên về nội lực tại các liên kết
trên dầm giả tạo phải phù hợp với điều kiện biên về chuyển vị
trên dầm thực tại các vị trí đó.
y=0 y=0
0 0 Q 0
M =0gt
gt gt
gt
0Q
M =0
 0
y=0
0
y=0
 Q 0
gt
gt
M =0
Q 0
gt
gt
M =0
y=0
 0
 0
y=0y=0
0 
gtM =0
gt 0Q
M =0
Q 0
gt
gt
gt
gt
0Q
M =0
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
53(71)
July 2009
6.4. Chuyển vị của dầm chịu uốn (10)
Các bước thực hiện:
Vẽ biểu đồ mô men uốn trên dầm thực. Chia
tung độ biểu đồ cho độ cứng EI để có trị số
của tải trọng giả tạo.
Nếu Mx>0 thì qgt<0 (chiều hướng xuống);
Mx0 (chiều hướng lên)
Thay thế liên kết trên dầm thực bằng các liên
kết trên dầm giả tạo theo mẫu.
Tính Qgt và Mgt trên dầm giả tạo tại những
mặt cắt ngang cần xác định độ võng và góc
xoay trên dầm thực.
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
54(71)
July 2009
Bài tập - Ví dụ 6.4.1 (1)
Giải:
Bước1: Vẽ biểu đồ mô men uốn nội lực
A B
P
L/2 L/2
Ví dụ 6.2: Cho dầm có liên kết và chịu
tải trọng như hình vẽ. Xác định độ
võng tạitiết diện đặt lực P
PL
4
M
Bước 2: Xác định liên kết trên dầm giả
tạo, tải trọng giả tạo, M>0 nên tải trọng
giả tạo hướng xuống
4
gt
x x
M PL
q
EI EI
A B
PL
4EI
Bước 3: Xác định nội lực trên dầm giả
tạo tại tiêt diện cần tìm độ võng và góc
xoay
VAgt VBgt
2
Agt Bgt
x
PL
V V
16EI
A
mgt
Pgt
VAgt
L/2
2 3
gt
x x x
PL L PL L 1 L PL
y M . . . .
16EJ 2 4EJ 2 2 2 48EJ
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
55(71)
July 2009
Bảng tính diện tích một số hình đơn giản
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
56(71)
July 2009
6.4. Chuyển vị của dầm chịu uốn (10)
Phương pháp tải trọng giả tạo chỉ có ưu thế khi
biểu đồ mô men uốn trên dầm thực là các diện
tích dễ xác định trọng tâm và dễ tính diện tích.
e. Phương pháp thông số ban đầu để xác định
đường đàn hồi
Xét dầm chịu uốn ngang phẳng gồm n đoạn,
đánh số thứ tự 1,2,,i, i+1,..,n từ trái sang phải.
Độ cứng mỗi đoạn là E1I1, E2I2,, EnIn. Xét hai
đoạn kề nhau thứ i và i+1 có liên kết dạng đặc
biệt sao cho độ võng và góc xoay tại đây có
bước nhảy , tại mặt cắt ngang giữa hai đoạn có
lực tập trung và mô men tập trung, đồng thời lực
phân bố cũng có bước nhảy
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
57(71)
July 2009
6.4. Chuyển vị của dầm chịu uốn (11)
 Bằng các phép biến đổi toán học (khai triển Taylor hàm độ võng tại
z=a), sử dụng quan hệ vi phân giữa các thành phần ứng lực và tải
phân bố, ta nhận được công thức truy hồi của hàm độ võng (hàm độ
võng trên đoạn thứ i+1 được xác định khi biết hàm độ võng trên đoạn
thứ i)
 0
0F
0M
y0
y
Fa
aM
q0
iq
qi+1
z=a
i
y
i+1
y
(a)
(a)
(a)
i
(a)
i+1
z
 y
a
1 2 i i+1 n
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
58(71)
July 2009
6.4. Chuyển vị của dầm chịu uốn (12)
 Khi độ cứng của dầm EI=const trên cả chiều dài 
 Với
 độ võng đoạn thứ nhất
1
2 3 4 5
'
( ) ( ) ( )
1 ( ) ( ) ( ) ( )
...
2! 3! 4! 5!a
i i a a
a a a
y z y z y z a
z a z a z a z a
 M Q q q
EI
a aM M 
a aQ Q 
1( ) ( )a i iq q a q a 
' ' '
1( ) ( )a i iq q a q a 
2 3 4 5
'
1 0 0 0 0 0 0
1
( ) ...
2! 3! 4! 5!
z z z z
y z y z M Q q q
EI
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
59(71)
July 2009
6.4. Chuyển vị của dầm chịu uốn (13)
 Các thông số gọi là các thông 
số ban đầu và được xác định từ điều kiện biên.
 Chú ý: 
 Chiều dương của mô men tập trung, lực tập trung, tải 
trọng phân bố như hình vẽ.
 Nếu liên kết giữa hai đoạn thứ (i) và (i+1) là khớp 
treo thì 
 Nếu hai đoạn thứ (i) và (i+1) là liền nhau thì 
 Ví dụ
0ay 
0a ay 
'
0 0 0 0 0 0, , , , , ,...y M Q q q 
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
60(71)
July 2009
Bài tập – Ví dụ 6.4.2 (1)
Ví dụ 6.4.2:
Dùng phương pháp thông
số ban đầu, xác định độ
võng tại C và góc xoay tại D
của dầm chịu tải trọng như
hình vẽ.
Bài giải:
1. Xác định phản lực
2. Lập bảng thông số ban đầu
B
11
V qa
4
D
9
V qa
4
1 2 3
DB
M=qaP=4qa
aaa
2q
A C
2a
3a
z = 0 z = a z = 2a
0 0y 
0 0 
0 0M 
0 0Q 
0q q 
,
0 0q 
0ay 
0a 
0aM 
a BQ V 
aq q 
, 0aq 
0ay 
0a 
0aM 
aQ P 
, 0aq 
0aq 
Tìm yC => hàm độ võng y2
Tìm D => hàm góc xoay y3’
VB VD
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
61(71)
July 2009
Ví dụ 6.4.2 (2)
1
2 3 4 5
'
( ) ( ) ( )
1 ( ) ( ) ( ) ( )
...
2! 3! 4! 5!a
i i a a
a a a
y z y z y z a
z a z a z a z a
 M Q q q
EI
Công thức truy hồi:
 Xét đoạn 1(AB): 0 ≤ z ≤ a
4
1 o o
x
qz
y (z) y z
24EI
z = 0 z = a z = 2a
0 0y 
0 0 
0 0M 
0 0Q 
0q q 
,
0 0q 
0ay 
0a 
0aM 
a BQ V 
aq q 
, 0aq 
0ay 
0a 
0aM 
aQ P 
, 0aq 
0aq  Xét đoạn 2 (BC): a ≤ z ≤ 2a
4 4 3
B
2 o o
x x x
qz q(z a) V (z a)
y (z) y z
24EI 24EI 6EI
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
62(71)
July 2009
Ví dụ 6.4.2 (3)
z = 0 z = a z = 2a
0 0y 
0 0 
0 0M 
0 0Q 
0 0q 
,
0 0q 
0ay 
0a 
0aM 
a BQ V 
aq q 
, 0aq 
0ay 
0a 
0aM 
aQ P 
, 0aq 
0aq 
1
2 3 4 5
'
( ) ( ) ( )
1 ( ) ( ) ( ) ( )
...
2! 3! 4! 5!a
i i a a
a a a
y z y z y z a
z a z a z a z a
 M Q q q
EI
 Xét đoạn 3 (CD): 2a ≤ z ≤ 3a
4 4 3 3
B
3 o o
x x x x
qz q(z a) V (z a) P(z 2a)
y (z) y z
24EI 24EI 6EI 6EI
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
63(71)
July 2009
Ví dụ 6.4.2 (4)
Ta có phương trình độ võng trên từng đoạn:
4
1 o o
x
qz
y (z) y z
24EI
4 4 3
B
2 o o
x x x
qz q(z a) V (z a)
y (z) y z
24EI 24EI 6EI
4 4 3 3
B
3 o o
x x x x
qz q(z a) V (z a) P(z 2a)
y (z) y z
24EI 24EI 6EI 6EI
y0, 0 ???
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
64(71)
July 2009
Ví dụ 6.4.2 (5)
4
o
x
5qa
y
24EI
3
o
x
qa
6EI
4
C 2
x
7qa
y y (z 2a)
24EI
3
D 3
x
qa
y' (z 3a)
6EI
 Để xác định 2 thông số ban đầu là y0 và 0 ta xét điều kiện liên kết của dầm:
z = a => y1(z=a) = 0 
z = 3a => y3(z=3a) = 0
 Từ hai phương trình độ võng y1(z) và y3(z), áp dụng điều kiện biên:
 Từ đó tính được:
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
65(71)
July 2009
6.5. Bài toán siêu tĩnh (1) 
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
6.5. Bài toán siêu tĩnh (2) 
66(71)
July 2009
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
67(71)
July 2009
Câu hỏi ???
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
68(71)
July 2009
Thank You
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering