Bài giảng Sức bền vật liệu 1 - Chương 5: Thanh chịu xoắn thuần túy - Trần Minh Tú

SỨC BỀN
VẬT LIỆU
Trần Minh Tú
Đại học Xây dựng
National University of Civil Engineering – Ha noi January 2013
Chương 5
THANH CHỊU XOẮN THUẦN TÚY
3(31)
March 2009
NỘI DUNG
5.1. Khái niệm chung
5.2. Ứng suất trên mặt cắt ngang 
5.3. Biến dạng của thanh tròn chịu xoắn
5.4. Điều kiện bền 
5.5. Điều kiện cứng
5.6. Thế năng biến dạng đàn hồi
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
4(31)
March 2009
Ví dụ thanh chịu xoắn
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
5(31)
March 2009
Ví dụ thanh chịu xoắn
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
6(31)
March 2009
5.1. Khái niệm chung (1)
1. Định nghĩa
Thanh chịu xoắn thuần túy
là thanh mà trên các mặt
cắt ngang của nó chỉ có
một thành phần ứng lực là
mô men xoắn Mz nằm
trong mặt phẳng vuông
góc với trục thanh.
Ví dụ: Các trục truyền động, các
thanh trong kết cấu không gian,
Ngoại lực gây xoắn: mô
men tập trung, mô men
phân bố, ngẫu lực trong
mặt cắt ngang
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
7(31)
March 2009
5.1. Khái niệm chung (2)
y
x
z
F
A
B C
Q1
Q2
1
T
1
t 2
T
t
2
Ví dụ thanh chịu xoắn
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
8(31)
March 2009
5.1. Khái niệm chung (3)
 Xác định mô men xoắn nội
lực trên mặt cắt ngang –
PHƢƠNG PHÁP MẶT CẮT
 Qui ước dấu của Mz
Nhìn từ bên ngoài vào mặt cắt
ngang, nếu Mz có chiều thuận
chiều kim đồng hồ thì nó mang
dấu dƣơng và ngƣợc lại.
 Mz nội lực trên mặt cắt ngang
bằng tổng mô men quay đối với
trục thanh của những ngoại lực
ở về một bên mặt cắt
zM
> 0
0zM  Mz =
2. Biểu đồ mô men xoắn nội lực
y
z
x
z
y
x
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
9(31)
March 2009
5.2. Ứng suất trên mặt cắt ngang (1)
1. Thí nghiệm
Vạch trên bề mặt ngoài
- Hệ những đường thẳng
// trục thanh
- Hệ những đường tròn
vuông góc với trục thanh
- Các bán kính
QUAN SÁT
- Các đường // trục thanh
=> nghiêng đều góc g so
với phương ban đầu
- Các đường tròn vuông
góc với trục thanh =>
vuông góc, khoảng cách
2 đường tròn kề nhau
không đổi
- Các bk trên bề mặt
thanh vẫn thẳng và có độ
dài không đổi
g
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
10(31)
March 2009
5.2. Ứng suất trên mặt cắt ngang (2)
GIẢ THIẾT
Gt1 – Gt mặt cắt ngang phẳng: mặt cắt ngang
trước biến dạng là phẳng và vuông góc với
trục thanh thì sau biến dạng vẫn phẳng và
vuông góc với trục. Khoảng cách giữa 2 mặt
cắt ngang là không đổi.
Gt2 – Gt về các bán kính: Các bán kính trước
và sau biến dạng vẫn thẳng và có độ dài
không đổi.
Vật liệu làm việc tuân theo định luật Hooke
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
11(31)
March 2009
Thanh tròn chịu xoắn
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
12(31)
March 2009
5.2. Ứng suất trên mặt cắt ngang (3)
2. Công thức tính ứng suất
 Từ gt1 => ez=0 =>z=0
 Từ gt2 => ex=ey=0 => x=y=0
Trên mặt cắt ngang chỉ có ứng 
suất tiếp
 Ứng suất tiếp có phƣơng vuông góc
với bán kính, chiều cùng chiều mô
men xoắn nội lực
= ???
dA
d
 d
 
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
13(31)
March 2009
5.2. Ứng suất trên mặt cắt ngang (4)
Tìm ứng suất tiếp tại điểm
trên mặt cắt ngang cách tâm
khoảng với Mz nội lực đã
biết
- Xét hai mặt cắt ngang cách
nhau vi phân chiều dài dz.
 
dz
dz
g d 
A B
O
a b
c
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
14(31)
March 2009
5.2. Ứng suất trên mặt cắt ngang (5)
 Trước biến dạng :
ab//Oz; Ob = 
 Chịu xoắn: ab => ac
 d - góc xoắn tương đối
giữa hai mặt cắt ngang
cách nhau dz
 g - góc trượt (biến dạng
góc) của thớ cách trục
thanh khoảng 
 - góc xoắn tỉ đối
dz
A B
O
a b
c
d
dz

g 
d 
bc d
tg
ab dz
g g 
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
15(31)
March 2009
5.2. Ứng suất trên mặt cắt ngang (6)
Theo định luật Hooke
Mặt khác
d
G G
dz
 g 
2
z p
A A
d d
M dA G dA G I
dz dz
 
z
p
Md
dz GI
 
z
p
M
I
  – toạ độ điểm tính ứng suất
Ip – mô men quán tính độc 
cực của mặt cắt ngang
Mz – mô men xoắn nội lực
zM
max

K
O
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
16(31)
March 2009
5.2. Ứng suất trên mặt cắt ngang (7)
 Biến thiên của ứng suất tiếp theo
khoảng cách là bậc nhất =>
Biểu đồ ứng suất tiếp
 Những điểm nằm trên cùng
đƣờng tròn thì có ứng suất tiếp
nhƣ nhau.
 Ứng suất tiếp cực đại trên chu vi
mặt cắt ngang
 Wp =Ip/R là mô men chống xoắn
của mặt cắt ngang
ax .
W
z z
m
p p
M M
R
I
 
4
3W / / 2 0,2
32
p
D
D D
 3 4W 0,2 1p D  
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
17(31)
March 2009
5.3. Biến dạng của thanh tròn (1)
 Đã có:
 Góc xoắn (góc xoay) tương
đối giữa hai mặt cắt ngang A
và B L
g
A B
O
a b
c
 
0
A L
z z
AB
p pB
M dz M dz
rad
GI GI
G – mô-đun đàn hồi khi trƣợt của vật liệu 
GIp – là độ cứng chống xoắn của mặt cắt ngang
z
p
Md
dz GI
 
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
18(31)
March 2009
5.3. Biến dạng của thanh tròn (2)
 Khi trên đoạn AB chiều dài L có
z
AB
p
M L
GI
 Khi đoạn AB gồm n đoạn, trên mỗi đoạn
thứ i có chiều dài li : 
constz
p i
M
GI
1
n
z
AB i
i p i
M
l
GI

z
p
M
const
GI
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
19(31)
March 2009
Bài tập - Ví dụ 5.1
 Cho trục tròn có diện tích
mặt cắt ngang thay đổi
chịu tác dụng của mô
men xoắn ngoại lực như
hình vẽ
1. Vẽ biểu đồ mô men xoắn nội
lực
2. Xác định trị số ứng suất tiếp
lớn nhất
3. Tính góc xoắn của mặt cắt
ngang D
Biết M=5kNm; a=1m;
D=10cm; G=8.103 kN/cm2
2a
B
a
C D
D
M 3M
2
D
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
20(31)
March 2009
Bài tập - Ví dụ 5.1
1. Biểu đồ mô men xoắn
Đoạn CD 
Đoạn BC
2a
B
a
C D
D
M 3M
2
D
D
3MM
CD
z
z1
C D
D
M 3M
z2 a
M
BC
z
Mz
kNm
15
10
 10 z a
3 15CDzM M kNm 
2 10BCzM M kNm 
 20 2 z a
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
21(31)
March 2009
Ví dụ 5.1
2. Trị số ứng suất tiếp lớn nhất
3. Góc xoắn tại D
2a
B
a
C D
D
M 3M
2
D
Mz
kNm
15
10
2
max 2
3 3
15 10
7,5( / )
0,2 0,2 10CD
CD
zM kN cm
D

2
max 2
3 3
10 10
0,625( / )
0,2 200,2 2
BC
BC
zM kN cm
D

D BC CD 
2CD BCz z
D CD BC
p p
M a M a
GI GI
2 2 2 2
3 4 3 4
15 10 10 10 10 2 10
0,02( )
8 10 0,1 10 8 10 0,1 20
D rad
2
max 7,5( / )kN cm 
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
22(31)
March 2009
(*)Phân tích trạng thái ứng suất
• Các phân tố với các mặt song song và
vuông góc với trục chỉ chịu trƣợt thuần
túy. ứng suất pháp và ứng suất tiếp hoặc
đồng thời cả hai có thể tồn tại trên các
mặt
• Phân tố a chỉ chịu trƣợt thuần túy. 
• Phân tố chịu ứng suất kéo trên hai mặt 
và chịu ứng suất nén trên hai mặt
max
0
0max
45
0max0max
2
2
245cos2
o 



A
A
A
F
AAF
• Xét phân tố nghiêng góc 450 so với trục,
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
23(31)
March 2009
(**)Phân tích trạng thái ứng suất
• Vật liệu dẻo, độ bền trƣợt kém
thƣờng bị phá hủy do cắt. Vật
liệu dòn chịu kéo kém hơn chịu
cắt.
• Khi chịu xoắn, mẫu vật liệu dẻo
bi phá hủy tại mặt cắt có ứng
suất tiếp lớn nhất – mặt cắt
ngang.
• Khi chịu xoắn, mẫu vật liệu dòn
bị phá hủy theo phƣơng có biến
dạng kéo lớn nhất – phƣơng xiên
góc 450 so với trục
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
24(31)
March 2009
5.4. Điều kiện bền - Điều kiện cứng
1. Điều kiện bền
2. Điều kiện cứng 
 ax
pW
z
m
M
max max  
  0
n

 - nếu dùng thực nghiệm tìm 0
 
 
2

 - nếu dùng thuyết bền 3
 
 
3

 - nếu dùng thuyết bền 4
  ax
ax
 /zm
p m
M
rad m
GI
 
Nếu [] cho bằng độ/m => đổi ra rad/m
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
25(31)
March 2009
5.4. Điều kiện bền - Điều kiện cứng
3. Ba bài toán cơ bản:
a) Bài toán 1: Kiểm tra điều kiện bền (hoặc điều kiện
cứng)
b) Bài toán 2: Chọn kích thƣớc thanh theo điều kiện
bền (hoặc điều kiện cứng)
c) Bài toán 3: Xác định giá trị cho phép của tải trọng
tác dụng (là giá trị lớn nhất của tải trọng đặt lên hệ
mà thanh vẫn đảm bảo điều kiện bền hoặc điều kiện
cứng)
 ax
pW
z
m
M
  
 p
W z
M

 pW .zM  
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
26(31)
March 2009
5.5. Bài toán siêu tĩnh
Bài toán siêu tĩnh
 Là bài toán mà nếu chỉ dùng các phương trình cân
bằng tĩnh học thì ta không thể xác định hết các phản
lực, cũng như các thành phần nội lực trong thanh.
 Phương pháp giải: Viết thêm phương trình bổ sung
– phương trình biểu diễn điều kiện biến dạng
 Ví dụ: Vẽ biểu đồ mô men xoắn nội lực
A
M
B2
d d
a 2a
D
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
27(31)
March 2009
5.5. Bài toán siêu tĩnh
 Giả sử phản lực tại ngàm MA,
MD có chiều như hình vẽ.
 Ta có: MA + MD = M (1)
 Điều kiện biến dạng
 AD = 0 (2)
d
a 2a
D
M MA D
A
M
B2
d
D
M DM
z
z
CD
2AB BDz z
AD AB BD AB BD
p p
M a M a
GI GI
BD
z DM M 
AB
z DM M M 
4 4
2
0
0,10,1 2
D D
AD
M M a M a
G dG d
1 32
; 
33 33
D AM M M M 
Mz
M/33
32M/33
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
28(31)
March 2009
5.6. Thế năng biến dạng đàn hồi
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
29(31)
March 2009
5.7. Xoắn thanh tiết diện chữ nhật (1)
• Ở tâm và ở các góc ứng suất tiếp bằng
0, ở phía ngoài ứng suất hƣớng theo
chu tuyến. Biểu đồ ứng suất tiếp dọc
theo chu tuyến nhƣ hình vẽ. Ứng suất
tiếp lớn nhất tại điểm giữa cạnh dài...
• Bài toán xoắn thanh tiết diện chữ nhật:
giải theo LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI.
b
a
1

max

• Khi biến dạng, giả thiết mặt cắt ngang
phẳng không còn đúng: bị vặn, xoắn..
ax 2
0W
z z
m
x
M M
ab

1 max g 30
z z
x
M M
GI Gab


 • Góc xoắn
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
30(31)
March 2009
5.7. Xoắn thanh tiết diện chữ nhật (2)
• Các hệ số , , g phụ thuộc vào tỉ số a/b (a >>b)
a/b 1 2 3 4 6 8 10 ∞
 0,203 0,246 0,267 0,282 0,299 0,307 0,313 0,333
 0,141 0,299 0,263 0,281 0,299 0.307 0,313 0,333
g 1,000 0,795 0,753 0,745 0,743 0,742 0,742 0,742
• Khi tỉ số a/b lớn thì các hệ số , , g =1/3=0,333
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
31(31)
March 2009
Ôn tập
Kéo (nén) đúng tâm Xoắn thuần túy
Nội lực Nz Mz
Ứng suất
Phân bố
ứng suất 
z
z
N
A
 z
p
M
I
 
z const 
max
z
p
M
W
 
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
32(31)
March 2009
Ôn tập
Kéo (nén) đúng tâm Xoắn thuần túy
Định luật 
Hooke
Biến dạng
Biến dạng
z zE e G g 
0
L
z zN dz N LL
EA EA
0
L
z z
p p
M dz M L
GI GI
 1 1
n n
zi i
i
i i i
N L
L L
EA 
  
 1 1
n n
zi i
i
i i p i
M L
GI
  
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
33(31)
March 2009
Câu hỏi ???
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
34(31)
March 2009
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering