Bài giảng Sức bền vật liệu 1 - Chương 4: Đặc trưng hình học mặt cắt ngang - Trần Minh Tú

SỨC BỀN
VẬT LIỆU
Trần Minh Tú
Đại học Xây dựng
National University of Civil Engineering – Ha noi January 2013
Chương 4
ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC MẶT CẮT NGANG
(3)25
Chương 4. Đặc trưng hình học của
mặt cắt ngang
4.1. Khái niệm chung
4.2. Mômen tĩnh và các mô men quán tính
4.3. Mô men quán tính một số hình đơn giản
4.4. Công thức chuyển trục song song
4.5. Ví dụ
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
(4)25
4.1. Khái niệm chung
• Kéo – nén đúng tâm:
ứng suất, biến dạng phụ thuộc vào
diện tích mặt cắt ngang
• Thanh tiết diện chữ nhật 
khả năng chịu lực theo hai 
phương x, y khác nhau
• Khả năng chịu lực của thanh phụ
thuộc vào diện tích, hình dáng,
cách sắp xếp, của mặt cắt
ngang
• Các đại lượng mà độ lớn phụ
thuộc vào hình dạng, kích thước
của mặt cắt ngang - đặc trưng
hình học của mặt cắt ngang
F
y
x
z
y
x
z
F
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
(5)25
4.1. Khái niệm chung
Hình dạng các mặt cắt ngang
Kích thước, hình dạng?
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
(6)25
4.2. Mômen tĩnh và các mô men
quán tính
• Hình phẳng, diện tích A
trong hệ trục Oxy. Phân
tố diện tích dA(x,y)
1. Mô men tĩnh của diện
tích A đối với trục Ox,
Oy:
• Thứ nguyên của mô men
tĩnh là [chiều dài3], giá trị
của nó có thể là dương,
bằng 0, hoặc âm.
( )
x
A
S ydA 
( )
y
A
S xdA 
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
(7)25
4.2. Mômen tĩnh và các mô men
quán tính
Trục trung tâm: trục có mô
men tĩnh của diện tích A
đối với nó bằng 0.
Trọng tâm: Giao điểm của
hai trục trung tâm => mô
men tĩnh của hình phẳng
đối với trục đi qua trọng
tâm bằng 0
Cách xác định trọng tâm C
(xC, yC) của hình phẳng:
y
C
S
x
A
 xC
S
y
A
xC
yC C
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
(8)25
xC
yC
x
y
C
dA
x0 x0
y0
y0
0 Cx x x 
0 Cy y y 
 0x C
A A
S ydA y y dA 
0x C C
A A
S y dA y dA y A 
x
C
S
y
A
4.2. Mô men tĩnh và các mô men quán tính
y
C
S
x
A
 xC
S
y
A
Giả sử C(xC, yC) là trọng tâm mặt cắt ngang
dA(x,y) trong hệ toạ độ xy
x0, y0 - hệ trục đi qua C
dA(x0,y0) trong hệ toạ độ x0y0
• Bài toán xác định trọng tâm
Ta có:
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
(9)25
4.2. Mô men tĩnh và các mô men quán tính
Cách xác định trọng tâm của
hình ghép từ nhiều hình đơn
giản
• Hình đơn giản: toạ độ trọng tâm dễ xác
định
• Chọn hệ trục ban đầu Oxy, biểu diễn
kích thước và toạ độ trọng tâm
C(xC, yC) trong hệ trục này
• Nếu mặt cắt ngang A ghép từ nhiều
hình đơn giản có diện tích Ai với tọa độ
trọng tâm mỗi hình đơn giản là
Ci( xCi,yCi) trong hệ toạ độ ban đầu, thì:
1
1
n
Ci i
y i
C n
i
i
x A
S
x
A
A


1
1
n
Ci i
x i
C n
i
i
y A
S
y
A
A


x
y
C1
C2
C3
xC1
yC1
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
(10)25
4.2. Mô men tĩnh và các mô menquán tính
Chú ý 
 Chọn hệ trục toạ độ ban đầu hợp lý: Nếu hình có trục
đối xứng thì chọn trục đối xứng làm một trục của hệ
trục tọa độ ban đầu, trục còn lại đi qua trọng tâm của
càng nhiều hình đơn giản càng tốt.
 Nếu hình bị khoét thì diện tích bị khoét mang giá trị
âm.
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
(11)25
4.2. Mô men tĩnh và các mô men quán tính
2. Mô men quán tính của mặt
cắt ngang A đối với trục x, y
• Thứ nguyên của mô men
quán tính là [chiều dài4], giá
trị của nó luôn luôn dương
3. Mô men quán tính độc cực
2
( )
x
A
I y dA 
2
( )
y
A
I x dA 
2
( )
p x y
A
I dA I I 
• Thứ nguyên của mô men quán tính độc cực là
[chiều dài4], giá trị của nó luôn luôn dương
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
(12)25
4.2. Mô men tĩnh và các mô men quán tính
4. Mô men quán tính ly tâm
Thứ nguyên của mô men quán tính
ly tâm là [chiều dài4], giá trị của
nó có thể là dương, bằng 0,
hoặc âm.
Hệ trục quán tính chính trung tâm của diện tích mặt cắt
ngang: là hệ trục quán tính chính, có gốc tọa độ trùng
với trọng tâm mặt cắt ngang.
Hệ trục quán tính chính của diện tích mặt cắt ngang:
là hệ trục mà mô men quán tính ly tâm của diện tích
mặt cắt ngang đối với nó bằng 0.
( )
xy
A
I xydA 
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
(13)25
4.2. Mô men tĩnh và các mô men quán tính
Tính chất:
 Nếu mặt cắt có 1 trục đối xứng thì bất cứ trục nào
vuông góc với trục đối xứng đó cũng lập với nó một
hệ trục quán tính chính
 0xy
A A
I xydA xy dA 
Nếu hình ghép từ n hình đơn giản:
1
n
i
x x
i
I I
 
1
n
i
y y
i
I I
 
1
n
i
x x
i
S S
 
1
n
i
y y
i
S S
 
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
1
n
i
xy xy
i
I I
 
(14)25
4.3. Mô men quán tính một số hình đơn giản
 Hình chữ nhật
 Hình tròn
 Hình tam giác
3
12
x
bh
I 
3
12
y
hb
I 
4 4
40,1
2 32
p
R D
I D
 
4 4
40,05
4 64
x y
R D
I I D
 
3
12
x
bh
I 
h
b
x
y
D
x
y
b
h
x
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
(15)25
4.4. Công thức chuyển trục song song
 Mặt cắt ngang ngang A trong
hệ trục ban đầu Oxy có các
đặc trưng hình học mặt cắt
ngang là Sx, Sy, Ix, Iy, Ixy.
 Hệ trục mới O'uv có O'u//Ox,
O'v//Oy và:
 Các đặc trưng hình học mặt
cắt ngang A trong hệ trục O'uv
là:
u x b v y a x
y
A
O
u
v
a
b
dA
x
u
y
v
.u xS S a A 
.v yS S b A 
22u x xI I aS a A 
22v y yI I bS b A 
uv xy y xI I aS bS abA 
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
(16)25
4.4. Công thức chuyển trục song song
Nếu O đi qua trọng tâm C:
2
u xI I a A 
2
v yI I b A 
uv xyI I abA 
C C
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
a > 0 – u ở phía dưới x
b > 0 - v ở phía trái y
(17)25
4.5. Công thức xoay trục
- Trong nhiều trường hợp, cần xác định các đặc trưng
hình học mặt cắt ngang trong hệ trục toạ độ xoay một
góc nào đó so với hệ trục ban đầu
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
(18)25
4.5. Công thức xoay trục
- Mặt cắt ngang ngang A trong hệ trục
ban đầu Oxy có các đặc trưng hình
học mặt cắt ngang là Sx, Sy, Ix, Iy, Ixy.
- Hệ trục mới O'uv xoay góc q ngược
chiều kim đồng hồ u
x
y
v
u xcos y sin
v x sin y cos
 
 
- Các đặc trưng hình học
mặt cắt ngang trong hệ trục
mới O'uv là Su, Sv, Iu, Iv, Iuv
x y x y
u xy
x y x y
v xy
x y
uv xy
I I I I
I cos I sin
I I I I
I cos I sin
I I
I sin I cos
 
 
 
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
Chú ý: chiều dương của 
(19)25
4.5. Công thức xoay trục
- Hệ trục quán tính chính có Iuv=0 => Vị
trí của hệ trục quán tính chính xác định
bởi góc 0:
xy
y x
I
tan
I I
 
0
2
2
- Các mô men quán tính đối với hệ trục
quán tính chính :
- Tương quan giữa Iu, Iuv và Ix,
Iy, Ixy tương tự như tương quan
giữa u, uv và x, y, xy
Vòng tròn Mohr quán tính
2
2
2 2 xy
x y x y
max, min
I I I I
I I
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
(20)25
4.6. Bài tập – Ví dụ 4.6.1
Ví dụ 4.6.1. Cho mặt cắt ngang có
hình dạng và kích thước như hình
vẽ.Xác định các mô men quán tính
chính trung tâm của mặt cắt ngang
Giải: Chọn hệ trục toạ độ ban đầu
x0y0 như hình vẽ. Chia mặt cắt ngang
làm hai hình đơn giản và1 2
1
2
x
0
y0
1. Xác định toạ độ trọng tâm, ta có:
- xC=0 (y0 - trục đối xứng)
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
(21)25
Ví dụ 4.6.1
1
2
x
0
y0
- Dựng hệ trục quán tính chính trung tâm Cxy
- Các mô men quán tính chính trung tâm:
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
(22)25
Ví dụ 4.6.2
Ví dụ 4.6.2. Cho hình phẳng có hình
dạng và kích thước như hình vẽ. Xác
định các mô men quán tính chính trung
tâm của hình phẳng
Giải: Chọn hệ trục toạ độ ban đầu x0y0
như hình vẽ. Chia hình phẳng làm hai
hình đơn giản và1 2
1
2
1
2
+
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
(23)25
Ví dụ 4.6.2
Ta có:
1. Xác định toạ độ trọng tâm:
i= Xi [m] yi [m] Ai [m
2] xiAi 
[m2]
yiAi 
[m2]
1 0,5 2,0 4 2 8
2 2,0 0,5 2 4 1
6 6 9

1
2
Ci i
C
i
x A
x ( m )
A


6
1
6
Ci i
C
i
y A
y , ( m )
A


9
1 5
6
2. Qua C, dựng hệ trục quán tính trung tâm Cxy:
C
y
x
1.5m
3. Các mô men quán tính đối với hệ trục quán
tính trung tâm Cxy:
a1= - 0,5m; b1=0,5m; a2=1m; b2= - 1m
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
(24)25
Ví dụ 4.6.2
1
2
x
y
.
A I , . , ( m )
.
I , . , ( m )
3
1 2 4
1
3
1 2 4
1 4
0 5 4 6 33
12
4 1
0 5 4 1 33
12


x
y
.
A I . , ( m )
.
I . , ( m )
3
2 2 4
2
3
2 2 4
2 1
1 2 2 17
12
1 2
1 2 2 67
12


4. Các mô men quán tính đối với hệ trục quán
tính chính trung tâm Cuv:
x x xI I I , , , ( m ) 
1 2 4
6 33 2 17 8 5
y y yI I I , , ( m ) 
1 2 4
1 33 2 67 4
xy xy xyI I I a b A a b A ( m ) 
1 2 4
1 1 1 2 2 2
0 3
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
(25)25
Ví dụ 4.6.2
4. Các mô men quán tính đối với hệ trục quán tính chính trung tâm Cuv:
2
2 4
1 10( )
2 2 xy
x y x yI I I I
I I m
2
2 4
2 2,5( )
2 2 xy
x y x yI I I I
I I m
5. Góc xác định hệ trục quán tính chính trung tâm Cuv:
xy
y x
I
tan ,
I I
 
0
2
2 1 333
'
'
0
1
0 0
2 1
26 34
90 116 34
1
2
C
y
x
1.5m
v
u
1
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
(26)25
4. Câu hỏi???
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
(27)25 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering