Bài giảng Sức bền vật liệu 1 - Chương 3: Trạng thái ứng suất - Trần Minh Tú

SỨC BỀN
VẬT LIỆU
Trần Minh Tú
Đại học Xây dựng
National University of Civil Engineering – Ha noi January 2013
Chƣơng 3
TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT
3(38)
Chƣơng 3. Trạng thái ứng suất
3.1. Khái niệm về trạng thái ứng suất tại một điểm
3.2. Trạng thái ứng suất phẳng
3.3. Vòng tròn Mohr ứng suất
3.4. Trạng thái ứng suất phẳng đặc biệt
3.5. Trạng thái ứng suất khối
3.6. Quan hệ ứng suất – biến dạng.
Định luật Hooke
3.6. Điều kiện bền cho phân tố ở TTƢS phức tạp –
Các thuyết bền
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
4(38)
3.1. Khái niệm về trạng thái ứng suất tại một điểm (1)
a. Khái niệm
 Ứng suất
• điểm K(x,y,z)
• mặt cắt (pháp tuyến n)
 Mặt cắt bất kỳ đi qua K
• ứng suất pháp s
• ứng suất tiếp t
 Qua K: vô số mặt cắt
Trạng thái ứng suất tại một điểm là tập hợp
tất cả những thành phần ứng suất trên tất
cả các mặt đi qua điểm đó
K
x
y
z
n


Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
5(38)
Để nghiên cứu TTƢS
tại một điểm => tách ra
phân tố lập phƣơng vô
cùng bé chứa điểm đó
=> gắn hệ trục xyz =>
trên mỗi mặt vuông
góc với trục có 3 thành
phần ứng suất: 1 tp
ứng suất pháp và 2
thành phần ứng suất
tiếp
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
3.1. Khái niệm về trạng thái ứng suất tại một điểm (2)
6(38)
Chín thành phần ứng suất tác dụng
trên 3 cặp mặt vuông góc với ba trục
tạo thành ten-xơ ứng suất
s
s t t
t s t
t t s
x xy xz
yx y yz
zx zy z
T
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
3.1. Khái niệm về trạng thái ứng suất tại một điểm (3)
7(38)
b. Mặt chính – ứng suất chính –
phƣơng chính
• Mặt chính: Là mặt không có
tác dụng của ứng suất tiếp.
• Phƣơng chính: là phƣơng
pháp tuyến của mặt chính.
• Ứng suất chính: là ứng suất
pháp tác dụng trên mặt
chính.
• Phân tố chính: ứng suất tiếp
trên các mặt bằng 0
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
3.1. Khái niệm về trạng thái ứng suất tại một điểm (4)
8(38)
d) Qui ƣớc gọi tên các ứng suất chính:
Tại 1 điểm luôn tồn tại ba mặt chính
vuông góc với nhau với ba ứng suất
chính tƣơng ứng ký hiệu là
Theo qui ƣớc:
e) Phân loại TTƢS
- TTƢS đơn
- TTƢS phẳng
- TTƢS khối
1 2 3s s s 
1 2 3, ,s s s
Nghiên cứu trạng thái ứng suất phẳng
3s
1s
2s
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
3.1. Khái niệm về trạng thái ứng suất tại một điểm (5)
9(38)
- Trạng thái ứng suất đơn: Hai
trong 3 ứng suất chính bằng 0
- Trạng thái ứng suất phẳng: Một
trong 3 ứng suất chính bằng 0
- Trạng thái ứng suất khối: Cả 3
ứng suất chính khác 0
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
3.1. Khái niệm về trạng thái ứng suất tại một điểm (6)
10(38)
3.2. TTƢS phẳng (1)
Mặt vuông góc với trục z là mặt chính có ứng
suất chính = 0 Chỉ tồn tại các thành phần
ứng suất trong xOy
sx
txy
sy
x
y
z
tyx
x
y
sx
txy
sy
O
tyx
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
11(38)
3.2. TTƢS phẳng (2)
 Qui ƣớc dấu
 Ứng suất pháp dương khi có chiều đi ra khỏi phân tố
 Ứng suất tiếp có chiều dương khi đi vòng quanh
phân tố theo chiều kim đồng hồ
a) Định luật đối ứng của ứng suất tiếp
Ứng suất tiếp trên hai mặt bất kỳ vuông góc với nhau
có trị số bằng nhau, có chiều cùng đi vào cạnh chung
hoặc cùng đi ra khỏi cạnh chung.
TTƯS phẳng xác định bởi: sx ,sy, txy
zM 0  |txy| = |tyx|
C txy
tyx
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
12(38)
3.2. TTƢS phẳng (3)
b) Ứng suất trên mặt nghiêng (//z)
Mặt nghiêng có pháp tuyến u hợp
với phƣơng ngang x góc a (a > 0:
từ x quay đến u theo chiều ngƣợc
chiều kim đồng hồ)
dyds
a
x
y u
s
y
s
x
t
xy
t
yx
t
uv
s
u
z
y
x
s
x
s
y
s
z
t
xy
t
xz
t
yx
t
yz
t
zy
t
zx
v
z
u
y
s
x
s
y
t
xy
t
yx
s
u
t
uv
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
13(38)
Qui ƣớc dấu：
 a >0 - chiều ngược kim đồng hồ ；
0uF 
2
2
cos cos sin
sin sin cos 0
u x xy
y yx
A A A
A A
s s a t a a
s a t a a
 su >0 - hướng ra
 t uv - thuận chiều kim đồng 
hồ
2
uv xy x
2
yx y
τ A- τ Acos α - σ Acosαsinα
+τ Asin α+σ Asinαcosα=0
vF 0 
3.2. TTƢS phẳng (*)
sy
x
y
sx
txy
sy
O
u
sy
tyx
sx
v
u
a
A
Acosa
Asina
su
tuv
a
txy
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
14(38)
3.2. TTƢS phẳng (4)
TTƢS phẳng
x y x y
u xycos sin
s s s s
s a t a
 2 2
2 2
x y
uv xysin2 cos 2
2
s s
t a t a
tyx
sysx
su
tuv
a
sy
sx
txy
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
a >0 - chiều ngược kim đồng hồ
15(38)
3.2. TTƢS phẳng (5)
c) Ứng suất pháp cực trị là các ứng suất chính
• Ứng suất pháp cực trị khi:
• Các ứng suất chính (phương chính) xác định từ đk: 
a) Từ (1) và (2): 
uv 0 =>t 
(1)
0 (d.p.c.m)a a
xyu
x y
2d
0 => tg2 =-
d
ts
a
a s s
xy
0
x y
2
tg2 =-
t
a
s s 
(2)
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
16(38)
3.2. TTƢS phẳng (6)
 Ứng suất pháp cực trị là các ứng suất chính
 Hai phương chính vuông góc với nhau 
0
01,02 0
0 90
a
a
a
0
21
2
xy
x y
arctg
t
a
s s
2
2
1,2(3)
2 2 xy
x y x y
max, min
s s s s
s s t
2
2
xy
x y
tg
t
a
s s
Hoặc:
1
max
xy
y
tg
t
a
s s
2
min
xy
y
tg
t
a
s s
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
17(38)
3.2. TTƢS phẳng (7)
d) Ứng suất tiếp cực trị: mặt có ứng suất tiếp
cực trị hợp với mặt chính góc 450
e) Bất biến của TTƢS phẳng: tổng các ứng suất
pháp trên hai mặt bất kỳ vuông góc với nhau tại
một điểm có giá trị không đổi
2
2
2
s s
t t
xy
x y
max,min
s s s s x y u v const
x y 0
0
xy
d
0 => tg2 = => = 45
d 2
s st
  a
a t
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
18(38)
3.3. Vòng tròn Mohr ứng suất (1)
 Biết TTƢS tại một điểm => các thành phần ứng suất
trên mặt nghiêng, ứng suất chính, phƣơng chính
theo công thức : PHƢƠNG PHÁP GIẢI TÍCH
 Bằng đồ thị => vòng tròn Mohr ứng suất
Pt đƣờng tròn
Tâm bán kính
 - cos2 sin 2
2 2
 sin 2 cos2
2
x y x y
u xy
x y
uv xy
s s s s
s a t a
s s
t a t a
( )2 ( )2
( )2 ( )2
2 2
2 2 - 
2 2
x y x y
u uv xy
s s s s 
s t t 
,0
2
x y
I
s s 
2
2
2
x y
xyR
s s 
 t 
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
19(38)
3.3. Vòng tròn Mohr ứng suất (2) –
Cách dựng vòng tròn Mohr
O
B AI
s1
sx
s
y
s2
M
txy
su
tuv
a
u
s
x
s
y
s
y
t
xy
t
yx
t
yx
t
xy
s
x
a
u
su
tuv
tmin
tmax
u1
u2
R
K
`
a01
a02
Điểm cực
TTƢS phẳng
( ,y xyM s t
,0
2
x y
I
s s 
2
2
2
x y
xyR
s s 
 t 
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
20(38)
3.4. TTƢS phẳng đặc biệt (1)
t zy
tyz
s zs z
TTƯS phẳng mà 1 trong 2 thành phần ứng suất pháp sx, sy
bằng 0 => ký hiệu các thành phần ứng suất: s và t
ss
t
t
tt s
t
s
t
I
smaxsmin
max,min 3
2
2
1,
2 2
s s 
 t 
s s 2
21
ax
3
m
2 2
s s s 
 t 
t 
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
21(38)
3.4. TTƢS phẳng đặc biệt (2)
txyC
tyx
txy
tyx
x ys s 0
t
s
s
min
max
t
smin smax
 TTƯS trượt thuần túy: trên các mặt của phân
tố chỉ có ứng suất tiếp
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
22(38)
3.5. TTƢS khối (1)
TTƢS khối có cả 3 thành phần ứng suất
chính s1, s2, s3 ≠ 0
Ứng với mỗi cặp ứng suất (s1, s2), (s1, s3),
(s2, s3) ta vẽ đƣợc 3 vòng tròn có tâm C1, C2,
C3.
LTĐH đã chứng minh:
 ứng suất trong mặt cắt nghiêng bất kỳ (không //
với mặt chính nào) tương ứng với 1 điểm nằm
trong vùng gạch chéo
 Các điểm nằm trên chu vi đường tròn C1(s1, s2),
tương ứng với các thành phần ứng suất trên trên
mặt // với phương chính còn lại s3
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
23(38)
3.5. TTƢS khối (2) 
s1
x
y
z
s2
s3
b
a s
t
1s2s3s
C1C2 C3
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
24(38)
Cho phân tố ở TTƯS phẳng có các
thành phần ứng suất trên các mặt
như hình vẽ. Tìm phương chính,
ứng suất chính của TTƯS tại điểm
đó. Biết β =60o
GiẢI
210 / ;u kN cms 
u
6KN/cm2
4KN/cm2
10KN/cm2
β
6KN/cm2
4KN/cm2
β
x
y
Gắn hệ trục xy cho phân tố như hình vẽ
Pháp tuyến u của mặt nghiêng tạo với
phương ngang góc a
aTa có: 24 / ;y kN cms 
26 / ;xy kN cmt 
150oa 
Ví dụ 3.1 (1) 
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
25(38)
Ví dụ 3.1 (1) 
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
ata
ssss
s 2sin2cos
22
xy
yxyx
u 
218,928 /x kN cms 
Phương chính:
2
2
xy
x y
tg
t
a
s s
Lại có:
u
6KN/cm2
4KN/cm2
β
x
y
a
1 2 119,4 ; 90 109,4
o o oa a a 
2
2
min
max
22
xy
yxyx
t
ssss
s 
Ứng suất chính: 2
max /041,21 cmKN s
2
min /887,1 cmKN s
26(38)
3.6. Quan hệ ứng suất – biến dạng (1)
1. Trạng thái ứng suất đơn
E
x
x
s
 xy
E
s

 
xz
E
s

 
2. Trạng thái ứng suất trượt thuần túy
G
xy
xy
t
 0 zxyz 
x
y
z
sx
x
y
z
tx y
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
27(38)
3.6. Quan hệ ứng suất – biến dạng (2)
(  
zyx
zyx
x
E
EEE
sss
s

s

s

1
sy
x
y
z
sz
txy
sx
3. Trạng thái ứng suất tổng quát
- Theo nguyên lý cộng tác dụng
- Gt: biến dạng dài chỉ sinh ra ứng
suất pháp, biến dạng góc làm phát
sinh ứng suất tiếp
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
28(38)
3.6. Quan hệ ứng suất – biến dạng (3) 
a. Quan hệ ứng suất pháp – biến dạng dài
b. Quan hệ ứng suất tiếp – biến dạng góc
với E, , G là mô đun đàn hồi kéo (nén), hệ số
Poisson, mô đun đàn hồi trượt, liên hệ với nhau
bởi công thức:
( 
1
x x y z
E
 s  s s 
( 
1
y y x z
E
 s  s s 
( 
1
z z x y
E
 s  s s 
xy
xy
G
t
 xz
xz
G
t
 
yz
yz
G
t
 
( 2 1
E
G

(  
1322
1
sss 
E
(  
1233
1
sss 
E
(  
3211
1
sss 
E
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
29(38)
3.6. Quan hệ ứng suất – biến dạng (3)
Trạng thái ứng suất phẳng:
1
x x y
E
 s s 
1
y y x
E
 s s 
 1 1 2
1
E
 s s 
 2 2 1
1
E
 s s 
xy
xy
G
t
 
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
30(38)
3.6. Quan hệ ứng suất – biến dạng (4)
c. Quan hệ ứng suất pháp – biến dạng thể tích
321 aaaV 
)(a)(a)(aV 3322111 111  
321
1  
V
VV
x y z( ) ( )
E E
 
 s s s s s s
 1 2 3
1 2 1 2
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
31(38)
3.6. Quan hệ ứng suất – biến dạng (5)
3. Thế năng biến dạng đàn hồi
s2
s3
s1u u us t s t 
1 1
2 2
Xét phân tố chính: t=0 =>
332211
2
1
2
1
2
1
sss u
(  
312321
2
3
2
2
2
1 2
2
1
sssssssss 
E
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
32(38)
3.6. Quan hệ ứng suất – biến dạng (6)
s2
s3
s1
a
c
s3 -stb
s1-stb
s2-stb
stb
b
stb
stb
=
Biến dạng => thay đổi
Hình dạng
Thể tích
tb ( )s s s s 1 2 3
1
3
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
33(38)
3.6. Quan hệ ứng suất – biến dạng (7)
hd ttu u u =
ttu
E

s s s
 21 2 3
1 2
( )
6
( ( ( hdu
E

s s s s s s
2 2 2
1 2 2 3 3 1
1
6
TNBDĐH riêng u
TNBĐ hình dạng uhd
TNBĐ thể tích utt
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
34(38)
3.7. Các thuyết bền (1)
A. Khái niệm về các thuyết bền
- TTƢS đơn (kéo – nén đúng tâm):
điều kiện bền:
P
M
- TTƢS trƣợt thuần túy:
  0max
k
k n
s
s s   0min
n
n n
s
s s
  0max
n
t
t t
- Giá trị các ứng suất cho phép xác
định theo ứng suất nguy hiểm => từ
thực nghiệm
TTƯS phức tạp: cần phải thực nghiệm để xác định những ứng
suất nguy hiểm cho TTƯS tương ứng => không thực hiện được
???
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
35(38)
3.7. Các thuyết bền (2)
 Lý do:
 Số lượng thí nghiệm lớn (để đáp ứng được các tỉ lệ giữa các
ứng suất chính có thể xảy ra trong thực tế)
 Kỹ thuật thí nghiệm chưa thực hiện được
 Không tiến hành thực nghiệm đƣợc =>
Không biết nguyên nhân gây ra sự phá hoại
vật liệu => Giả thiết
 Thuyết bền: Các giả thiết về nguyên nhân
gây ra sự phá hoại vật liệu
 Các nguyên nhân có thể: ứng suất, biến
dạng, thế năng biến dạng đàn hồi,
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
36(38)
3.7. Các thuyết bền (3)
B. Các thuyết bền
a. Thuyết bền 1 - Thuyết bền ứng suất
pháp lớn nhất
• Nguyên nhân vật liệu bị phá hoại là do ứng suất
pháp lớn nhất của phân tố ở TTƯS phức tạp đạt
tới ứng suất pháp nguy hiểm của phân tố ở
TTƯS đơn
• Điều kiện bền
• Hạn chế: Chỉ phù hợp với vật liệu giòn, và TTƯS đơn
 1 1t ks s s  1 3t ns s s 
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
37(38)
3.7. Các thuyết bền (4)
b. Thuyết bền 2 - Thuyết bền biến dạng dài
tƣơng đối lớn nhất (Mariotte)
• Nguyên nhân vật liệu bị phá hoại là do biến
dạng dài tương đối lớn nhất của phân tố ở TTƯS
phức tạp đạt tới biến dạng dài tương đối ở trạng
thái nguy hiểm của phân tố ở TTƯS đơn
• Điều kiện bền:
• Chỉ phù hợp với vật liệu giòn
(  2 1 2 3t ks s  s s s 
(  2 3 1 2t ns s  s s s 
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
38(38)
3.7. Các thuyết bền (5)
c. Thuyết bền 3 - Thuyết bền ứng suất
tiếp lớn nhất (Tresca-Saint Venant)
• Nguyên nhân vật liệu bị phá hoại là do ứng suất
tiếp lớn nhất của phân tố ở TTƯS phức tạp đạt
tới ứng suất tiếp nguy hiểm của phân tố ở TTƯS
đơn
• Điều kiện bền:
• Phù hợp với vật liệu dẻo. Thường sử dụng trong
ngành cơ khí
 3 1 3t s s s s
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
39(38)
3.7. Các thuyết bền (6)
d. Thuyết bền 4 - Thuyết bền thế năng biến đổi
hình dáng cực đại (Huber – Von Mises)
• Nguyên nhân vật liệu bị phá hoại là do thế năng
biến đổi hình dáng của phân tố ở TTƯS phức
tạp đạt tới thế năng biến đổi hình dáng ở trạng
thái nguy hiểm nguy hiểm của phân tố ở TTƯS
đơn
• Điều kiện bền:
• Phù hợp với vật liệu dẻo. Sử dụng trong ngành
kỹ thuật xây dựng và cơ khí chế tạo.
 2 2 24 1 2 3 1 2 1 3 2 3t ks s s s s s s s s s s 
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
40(38)
3.7. Các thuyết bền (7)
e. Thuyết bền 5 - Thuyết bền Mohr
• Dựa vào kết quả thí nghiệm => Vẽ vòng tròn
ứng suất giới hạn => Vẽ đường bao => Xác định
miền an toàn của vật liệu
• Điều kiện bền:
• Chỉ phù hợp vật liệu giòn
 
 
 5 1 3
k
t k
n
s
s s s s
s
 [s] n
su
uvt
[s ]kO2
O3 O1
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
 °¢ ÍÐ •Äª ¶û (O.Mohr),1835¡« 1918
41(38)
4. Câu hỏi???
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
42(38)
tpnt2002@yahoo.com
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering