Bài giảng Sức bền vật liệu 1 - Chương 2: Thanh chịu kéo (nén) đúng tâm - Trần Minh Tú

11
SỨC BỀN
VẬT LIỆU
Trần Minh Tú
Đại học Xây dựng
National University of Civil Engineering – Ha noi January 2013
Chương 2
THANH CHỊU KÉO (NÉN) ĐÚNG TÂM
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 3(52)
Chương 2. Thanh chịu kéo (nén) đúng tâm
NỘI DUNG
2.1. Định nghĩa - nội lực
2.2. Ứng suất pháp trên mặt cắt ngang
2.3. Biến dạng - Hệ số Poisson 
2.4. Đặc trưng cơ học của vật liệu 
2.5. Thế năng biến dạng đàn hồi
2.6. Ứng suất cho phép và hệ số an toàn 
– Điều kiện bền 
2.7. Bài toán siêu tĩnh
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 4(52)
2.1. Định nghĩa
Định nghĩa: Thanh được gọi là chịu kéo hoặc nén
đúng tâm nếu trên mặt cắt ngang của nó chỉ tồn tại
một thành phần ứng lực là Nz (Nz>0 – đi ra khỏi mặt
cắt ngang)
bar pin
hanger
cable
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 5(52)
Ví dụ - các thanh chịu kéo (nén) đúng tâm
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 6(52)
Ví dụ - các thanh chịu kéo (nén) đúng tâm
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 7(52)
Ví dụ - các thanh chịu kéo (nén) đúng tâm
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 8(52)
2.1. Định nghĩa
Biểu đồ lực dọc:
Dùng phương pháp mặt cắt, xét cân
bằng một phần thanh, lực dọc trên
đoạn thanh đang xét xác định từ
phương trình cân bằng
0 ...zZ N 
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 9(52)
2.2. Ứng suất pháp trên mặt cắt ngang
1. Thí nghiệm
Vạch trên bề mặt ngoài
- Hệ những đường thẳng // trục thanh
thớ dọc
- Hệ những đường thẳng ┴ trục thanh
mặt cắt ngang
2. Quan sát
- Những đường thẳng // trục thanh
=> vẫn // trục thanh, k/c hai đường 
kề nhau không đổi
- Những đường thẳng ┴ trục thanh
=> vẫn ┴ , k/c hai đường kề nhau thay đổi
Giả thiết biến dạng
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 10(52)
2.2. Ứng suất pháp trên mặt cắt ngang
3. Các giả thiết về biến dạng
GT 1- Giả thiết mặt cắt ngang phẳng 
(Bernouli)
Mặt cắt ngang trước biến dạng là phẳng
và vuông góc với trục thanh, sau biến
dạng vẫn phẳng và vuông góc với trục
GT 2 - Giả thiết về các thớ dọc
Các lớp vật liệu dọc trục không có tác
dụng tương hỗ với nhau (không chèn
ép, xô đẩy lẫn nhau)
Ứng xử vật liệu tuân theo định luật Hooke (ứng suất tỉ lệ thuận 
với biến dạng)
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 11(52)
2.2. Ứng suất pháp trên mặt cắt ngang
4. Công thức xác định ứng suất
 Giả thiết 1 => t 0
 Giả thiết 2 => sx = sy =0
Trên mặt cắt ngang chỉ có ứng suất pháp sz 
 Theo định nghĩa - Lực dọc trên mặt cắt ngang: 
Theo định luật Hooke: 
Mà theo gt1: ez = const => sz = const 
z zEs e 
( )
z z
A
N dAs 
 z zN As 
z
z
N
A
s 
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 12(52)
2.3. Biến dạng - Hệ số Poisson
 Thanh chiều dài L chịu 
kéo đúng tâm 
DL - độ dãn dài tuyệt đối
 Phân tố chiều dài dz có 
độ dãn dài tuyệt đối Ddz 
(biến dạng dọc)
 Biến dạng dài tỉ đối
zN c
A
 onst
E
d
z
D
d
z
z
dz
dz
e
D
 zdz dzeD 
0 0
s
eD 
L L
z
z
dz
L dz
E
0
D 
L
zN dzL
EA
zN LL
EA
D 
EA -
độ cứng
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 13(52)
2.3. Biến dạng - Hệ số Poisson
 Thanh gồm nhiều đoạn chiều dài, độ cứng và lực 
dọc trên mỗi đoạn thứ i là Li, (EA)i, Nzi
zi
i
N
EA
 const 
n
zi i
i 1 i
N L
L
EA 
D 
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 14(52)
2.3. Biến dạng - Hệ số Poisson
HỆ SỐ POISSON
 Theo phương z trục thanh –
biến dạng dọc ez
 Theo hai phương x, y vuông
góc với z – biến dạng ngang
ex, ey
 Poisson tìm được mối liên hệ:
x y ze e e 
 - hệ số Poisson
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 15(52)
Hệ số Poisson
Vật liệu Hệ số Vật liệu Hệ số
Thép 0,25-0,33 Đồng đen 0,32-0,35
Gang 0,23-0,27 Đá hộc 0,16-0,34
Nhôm 0,32-0,36 Bê tông 0.08-0,18
Đồng 0,31-0,34 Cao su 0,47
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 16(52)
Bài 1: Cho các thanh chịu lực như hình vẽ.
Vẽ biểu đồ lực dọc, ứng suất và chuyển vị
của các mặt cắt ngang.
Biết a=1m; A3=1,5A2=2A1=15cm
2; F1=25kN;
F2=60 kN; q=10kN/m; E=10
4kN/cm2
Giải:
1 45( )AN R kN 
2) Nội lực trong các đoạn thanh:
- Đoạn AB:
1) Xác định phản lực:
Giải phóng liên kết ngàm tại A: RA
1 2 . 0AZ R F F q a 
2 1. 60 10.1 25 45( )AR F q a F kN 
- Đoạn BC:
2 2 60 45 15( )AN F R kN 
A3
BA
A2
F2 F1
A1
q
RA
C D
a aa
A
RA N1
BA
F2RA N2
Ví dụ 2.1 (1)
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 17(52)
Ví dụ 2.1 (2)
- Mặt cắt trong đoạn CD: 0 ≤ z ≤ a
3 2 . 15 10AN F R q z z 
4. Tính ứng suất trên các tiết diện:
- Đoạn AB:
2
3
45
3( / )
15
AB
AB
N
kN cm
A
s 
- Đoạn BC:
2
2
15
1,5( / )
10
BC
BC
N
kN cm
A
s 
- Đoạn CD:
2
1
2
1
0 15( )
15
2( / )
7,5
1( ) 25( )
25
3,33( / )
7,5
CD
CD
C
CD
CD
D
z N kN
N
kN cm
A
z m N kN
N
kN cm
A
s
s
a aa
BA
A2
F2 F1
A1
q
RA
C D
A3
z
BA
F2
q
RA
C
N3
3. Vẽ biểu đồ lực dọc
45
15 25
N
kN
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 18(52)
Ví dụ 2.1 (3)
4. Tính chuyển vị tại các đoạn:
- Chuyển vị đoạn AB: 0 ≤ z1 ≤ 100(cm)
1
41
1 A 1 14
30
45.
w w 0 3.10 ( )
. 10 .15.
z
ABN zdz z cm
E A
- Chuyển vị đoạn BC: 0 ≤ z2 ≤ 100(cm)
- Chuyển vị đoạn CD: 0 ≤ z3 ≤ 100(cm)
3 3
3 C 3 3
10 0
2
3 3
3
4
'
3 3
4
''
3
(15 10 )
w w 0,015
. 75000
15 5
w 0,015 ( )
75000
2.10
w (3 2 )
3
4.10
w 0
3
z z
CDN zdz dz
E A
z z
cm
z
a aa
BA
A2
F2 F1
A1
q
RA
C D
A3
2
2
2 B 2 4
20
4
2 2
15.
w w 0,03
. 10 .10
w 0,03 1,5.10 ( )
z
BCN zdz
E A
z cm
Hàm lõm quay xuống dưới.
3
1,5
s
kN/cm2
2 3,33
0,03 
0,015 
0,01167
w
cm
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 
Ví dụ 2.2 (1)
19(52)
b a
B
A2
F2
F1
A1
C D
Cho thanh có tiết diện thay đổi chịu tải
trọng dọc trục như hình vẽ.
1. Vẽ biểu đồ lực dọc.
2. Xác định trị số ứng suất pháp lớn nhất
3. Xác định chuyển vị theo phương dọc
trục của trọng tâm tiết diện D.
Biết F1=10kN; F2=25kN; A1=5cm
2; A2=8cm
2
a=b=1m; E=2.104kN/cm2
Bài giải
1. Dùng PP mặt cắt viết biểu thức lực dọc trên 
mỗi đoạn thanh
z1
F1
DNCD
1 10CDN F kN 
a
F2
F1
C D
z2
NBC
1 2 15BCN F F kN 
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 
Ví dụ 2.2 (2)
20(52)
b a
B
A2
F2
F1
A1
C D
10
N
kN
15
Biểu đồ lực dọc:
2. Xác định trị số ứng suất pháp lớn nhất
2
1
10
2( / )
5
CD
CD
N
kN cm
A
s 
2
2
15
1,875( / )
8
BC
BC
N
kN cm
A
s 
22( / )
max
kN cms 
3. Chuyển vị của điểm D
2 1
. .BC CD
D BD BC CD
N b N a
w L l l
EA EA
 D D D 
2 2
2
4
1 15.10 10.10
0,0625.10 ( )
2.10 8 5
Dw cm
=>Chuyển vị sang phải
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 21(52)
2.4. Đặc trưng cơ học của vật liệu
Đặc trưng cơ học của vật liệu:
 Là các thông số đánh giá khả năng chịu lực, chịu biến
dạng của vật liệu trong từng trường hợp chịu lực cụ
thể
Để xác định các đặc trưng cơ học của
vật liệu: tiến hành các thí nghiệm với
các loại vật liệu khác nhau
Vật liệu Vật liệu dẻo
Vật liệu giòn
Phá hủy khi biến dạng lớn
Phá hủy khi biến dạng bé
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 22(52)
Vật liệu dẻo, vật liệu giòn
Rất dẻo Dẻo vừa Dòn
Đặc điểm
phá hủy:
Lớn Trung bìnhĐặc điểm biến dạng: Bé
• Phân loại:
Báo trước
Không
báo trước
Luôn báo trướcDự báo biến dạng:
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 23(52)
TensileTestingofPlastic.mp4
Vật liệu dẻo, vật liệu giòn
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 24(52)
Vật liệu dẻo, vật liệu giòn
(c)2003 Brooks/Cole, a division of Thomson Learning, Inc. Thomson Learning™ is a trademark used herein under license.
Đồ thị ứng suất - biến dạng
(Giòn)
(Dẻo vừa)
(Rất dẻo)
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 25(52)
2.4. Đặc trưng cơ học của vật liệu
Mục tiêu làm thí nghiệm:
 Xác định khả năng chịu lực
 Xác định khả năng chịu biến dạng 
 Xác định các “tính chất vật liệu”
 Đặc trưng cơ học (g.h tỉ lệ, g.h chảy, g.h bền)
 Độ cứng, độ mềm, 
 Độ bền uốn, độ bền phá hủy,..
 Nhiệt độ, độ ẩm,
 Đồ thị ứng suất – biến dạng: không phụ thuộc vào 
kích thước mẫu thí nghiệm => Xác định cơ tính của 
vật liệu 
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 26(52)
Các loại máy thí nghiệm.
 Điện - Cơ.
 Thủy lực.
 Một chiều.
 Nhiều chiều
Các dạng thử nghiệm.
 Load control – apply force/time.
 Stroke control – apply displacement/time
 Torsion (torque control or angle control)
Đo lực bằng “load cell”
Đo biến dạng và chuyển vị
 Khung trượt lực
 Cảm biến chuyển vị (Extensometer)
 Cảm biến điện trở (single, rosette, array, ) 
 Cảm biến quang học (Optical 
extensometers)
Các phương pháp thực nghiệm (*)
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 27(52)
Các phương pháp thực nghiệm (*)
Thí nghiệm kéo – nén
 Mẫu thí nghiệm: hình dạng, kích thước qui định 
theo tiêu chuẩn (TCVN, ISO, ASTM,)
 Kẹp mẫu vào ngàm kẹp
 Gia tải, chú ý tốc độ gia tải chậm
 Ghi lại quan hệ lực kéo (nén) và biến dạng dài 
tương ứng
 Suy ra đồ thị quan hệ ứng suất pháp – biến dạng 
dài tỉ đối
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 28(52)
Thí nghiệm kéo – nén (*)
Máy đa năng
Mẫu kéo
Mẫu nén
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 29(52)
2.4. Đặc trưng cơ học của vật liệu
MẪU 
THÍ
NGHIỆM 
VÀ 
MÁY
KÉO -
NÉN
ĐÚNG
TÂM
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 30(52)
2.4. Đặc trưng cơ học của vật liệu
1. Thí nghiệm kéo mẫu vật liệu dẻo
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 31(52)
2.4. Đặc trưng cơ học của vật liệu
Đồ thị kéo mẫu vật liệu dẻo
qui ước (A0 không đổi)
thực (A0 thay đổi)
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 32(52)
2.4. Đặc trưng cơ học của vật liệu
Đồ thị chia 3 giai đoạn
1. Giai đoạn tỉ lệ: ứng suất tỉ lệ bậc nhất với biến dạng dài tỉ đối
Ứng suất lớn nhất - giới hạn 
tỉ lệ stl
Giới hạn chảy sch –
giá trị ứng suất lớn nhất
2. Giai đoạn chảy: ứng suất
không tăng nhưng biến dạng
tăng 
3. Giai đoạn củng cố: quan 
hệ ứng suất - biến dạng là 
phi tuyến (CDE)
Giới hạn bền sb –
giá trị ứng suất lớn nhất
stl, sch, sb - đặc trưng cơ học
của vật liệu 
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 33(52)
stl, sch, sb - đặc trưng về tính bền của vật 
liệu. Đặc trưng cho tính dẻo:
Biến dạng dài tỷ đối
Độ thắt tỷ đối
2.4. Đặc trưng cơ học của vật liệu
1 0
0
100%
L L
L
e
1 0
0
A
100%
A
A

L1 - Chiều dài mẫu sau khi đứt
L0 - Chiều dài mẫu trước khi đứt
A1 - Diện tích chỗ thắt khi đứt
A0 - Diện tích tiết diện trước khi đứt
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 34(52)
Vật liệu K.L 
riêng 
(kg/m3)
Young’s Modulus 
E
(109N/m2)
Giới hạn bền sb
(106N/m2)
Giới hạn chảy
sch
(106N/m2)
Thép 7860 200 400 250
Nhôm 2710 70 110 90
Kính 2190 65 50 
Bê tông 2320 30 40 
Gỗ 525 13 50 
Xương 1900 9 170 
Polystyrene 1050 3 48 
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 35(52)
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 36(52)
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 37(52)
2.4. Đặc trưng cơ học của vật liệu
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 38(52)
Đồ thị kéo vật liệu dẻo
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 39(52)
2.4. Đặc trưng cơ học của vật liệu
2. Thí nghiệm nén mẫu vật liệu dẻo
s
eO
Nén
F
F
Kéo
sch
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 40(52)
2.4. Đặc trưng cơ học của vật liệu
3. Thí nghiệm kéo - nén mẫu vật liệu giòn
- Không xác định được giới hạn tỉ lệ
và giới hạn chảy, chỉ xác định được
giới hạn bền
s
e
Nén
Kéo
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 41(52)
2.4. Đặc trưng cơ học của vật liệu
Xác định môđun đàn hồi kéo (nén)
• Định luật Hooke
Es e 
• E – mô đun đàn hồi
(mô đun Young)
jE = tg j
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 42(52)
2.4. Đặc trưng cơ học của vật liệu
KẾT LUẬN
Vật liệu dẻo: khả năng chịu kéo và nén
như nhau
Vật liệu giòn: Khả năng chịu nén lớn
hơn nhiều so với khả năng chịu kéo
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 43(52)
2.5. Thế năng biến dạng đàn hồi
• Xét thanh chịu kéo (nén) đúng tâm
• Phân tố công ngoại lực trên chuyển vị dz
công này bằng phần diện tích trên đồ thị trong 
khoảng dz.
dA Pdz 
• Công ngoại lực cho biến dạng z1:
1
0
x
A P dz 
1
21 1
1 1 12 2
0
z
A kz dz kz Pz 
• Trong miền đàn hồi
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 44(52)
2.5. Thế năng biến dạng đàn hồi
 Trong miền đàn hồi, nếu bỏ nguyên nhân gây biến dạng => vật thể
trở về hoàn toàn hình dạng ban đầu
 Năng lượng làm cho vật thể phục hồi hình dạng ban đầu: thế năng
biến dạng đàn hồi U
 Định luật bảo toàn năng lượng
21
2 2
P L
U A P L
EA
 D 
- Thế năng biến dạng đàn hồi trên một đơn vị thể tích –
Thế năng biến dạng đàn hồi riêng
1
2
U
u
V
se 
Năng lượng mà hệ nhận được từ bên
ngoài sẽ hoàn toàn chuyển hoá thành
thế năng biến dạng đàn hồi tích luỹ
trong hệ
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 45(52)
2.6. Ứng suất cho phép - Hệ số an toàn –
Điều kiện bền
 Thí nghiệm => ứng suất nguy hiểm s0 – tương ứng 
với thời điểm vật liệu mất khả năng chịu lực
s0
sch – vật liệu dẻo
sb – vật liệu giòn
- Khi tính toán, không bao giờ tính theo ứng suất nguy hiểm: vật liệu 
không đồng nhất, điều kiện làm việc thực tế khác với PTN, tải trọng 
vượt quá thiết kế,=> Hệ số an toàn
s0
Nguy hiể
m
- Vật liệu làm việc an toàn khi ứng suất xuất hiện chưa vượt quá ứng 
suất nguy hiểm
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 46(52)
2.6. Ứng suất cho phép - Hệ số an toàn –
Điều kiện bền
Dùng trị số ứng suất cho phép để tính
toán:
n - hệ số an toàn - đặc trưng cho khả
năng dự trữ về mặt chịu lực (n>1)
n = n1.n2.n3
• n1- hệ số kể đến sự đồng nhất của vật liệu
• n2 - hệ số kể đến điều kiện làm việc, phương pháp
tính toán,
• Các hệ số lấy theo qui phạm
  0
n
s
s 
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 47(52)
2.6. Ứng suất cho phép - Hệ số an toàn –
Điều kiện bền
Điều kiện để thanh làm việc an toàn => Điều
kiện bền
 Vật liệu dẻo:
 Vật liệu giòn:
 Kéo (nén) đúng tâm
    chzmax z minmax ,
n
s
s s s
 
k
b
zmax k n
s
s s 
 
n
b
z min n n
s
s s 
 zz
N
A
s s 
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 48(52)
2.6. Ứng suất cho phép - Hệ số an toàn –
Điều kiện bền
Ba bài toán cơ bản
a. Bài toán kiểm tra điều kiện bền
b. Bài toán chọn kích thước mặt cắt ngang
c. Bài toán tìm giá trị cho phép của tải trọng
 z 0
N
A n
s
s s 
 .zN As 
 
zN
A
s
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 49(52)
2.7. Bài toán siêu tĩnh
Hệ siêu tĩnh: là hệ mà ta không thể xác
định được hết các phản lực liên kết và
nội lực trong hệ nếu chỉ nhờ vào các
phương trình cân bằng tĩnh học
Số ẩn số > số phương trình cân bằng
viết thêm phương trình bổ sung
phương trình biến dạng
Ví dụ
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 50(52)
Bài 2.3: Một thanh có mặt cắt thay đổi bậc
bị ngàm cứng hai đầu, chịu lực P và lực ph
ân bố đều có cường độ q = P/a như hình v
ẽ. Mô đun đàn hồi của vật liệu là E, diện tí
ch mặt cắt ngang của các đoạn ghi trên hì
nh vẽ. Vẽ biểu đồ nội lực của thanh.
Tính smax, wB, wC.
Giải:
A
RA
A
B C
D
0,6A 0,8A
a/3 a/3 a/3
P
q
RD
1. Giả sử phản lực tại ngàm A, D là RA, RD
Phương trình cân bằng:
. 4
3 3
A D
q a P
R R P (1) Bài toán siêu tĩnh
1 2 3 0ADL L L LD D D D (2)
Điều kiện biến dạng:
123
3
31 1 2 2
1 2 30
0
l
AD
N dzN l N l
L
EA EA EA
D (3)
Ví dụ 2.3 (1)
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 51(52)
Ví dụ 2.3 (2)
B C
D
P
q
RDN3
z
* Bằng phương pháp mặt cắt, xác định nội lực
trong các đoạn
1 DN R 
2 DN R P 
* Đoạn AB: 0 z a/3 3 D
P
N R P z
a
Thay vào (3) ta có: 
/3 /3
3
3
30 0
7
( ) ( )
6
0.6 0.6 3
a a D D
P
R P z R P
N aaL dz dz
EA EA EA
D 
7
( )( / 3)
.( / 3) ( ).( / 3) 6 0
0.8 0.6
D
D D
AD
R P a
R a R P a
L
EA EA EA
D
RDN1
C
P RDN2
D
RA
A
B
C
D
0,6A 0,8A
a/3 a/3 a/3
P
q
RD
12
3
0,8156DR P 0,5177AR P 
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 52(52)
*Từ đó ta có biểu đồ lực dọc 
như hình bên
A
B C
D
0,6A 0,8A
a/3 a/3 a/3
P
q
RD
A
0,8156P
0,1844P
0,5177P
2 2
B
2
0,1844
3W W 0,2718 0,3486
0,8
C
a
P
N l Pa Pa
EA EA EA EA
1 1
C D
1
. 0,8156
W W 0,2718
3
N L Pa Pa
EA EA EA
Ứng suất lớn nhất:
Chuyển vị điểm B và C là:
1 0,8156N P 
2 0,1844N P 
3 0,1844
P
N P z
a
 0 / 3z a 
1
1max
1
0,8156N P
A A
s 
2
2 max
2
0,1844
0,2305
0,8
N P P
A A a
s 
3
3 max
3
0,5177
0,8628
0,6
N P P
A A a
s 
max 0,8628
P
a
s 
(Chuyển dịch sang trái)
(Chuyển dịch sang trái)
N
kN
Ví dụ 2.3 (3)
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 53(52)
Ví dụ 2.4 (1)
D
2A
B C
A
a 3a
P
RB RD
Cho thanh tiết diện thay đổi chịu tải trọng 
như hình vẽ. Vẽ biểu đồ lực dọc.
Bài giải
1. Giả sử phản lực tại ngàm B và D có 
phương, chiều như hình vẽ. 
Pt cân bằng: 
B DR R P (1) Bài toán siêu tĩnh
0BD BC CDL L LD D D (2)
Điều kiện biến dạng:
3
0
2
BC CD
BD
N a N a
L
EA EA
D (3)
RD
NCD
NBC
C
P RD
D
CD DN R BC DN R P 
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 54(52)
Ví dụ 2.4 (2)
RB
D
2A
B C
A
a 3a
P
RD
 .3
0
2
D D
R P a R a
EA EA
 2 3 0D DR P R 
2
5
DR P 
2
5
CDN P 
3
5
BCN P 
2
5
P
3
5
P
N
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 55(52)
Ví dụ 2.5 (1)
Bài 2.3: Cho hệ thanh chịu lực như hình vẽ.
Xác định lực dọc trong các thanh và chuyển
vị điểm C. Biết độ cứng các thanh là EA,
chiều cao h
Giải:
1. Xác định lực dọc:
Tách nút C: Lực dọc N1, N2
Phương trình cân bằng:
1 2
1 2
0 sin sin 0X N N
N N
 
1 2
1
0 os o 0
2 os
Y N c N c P
N c P
 
(1)
(2)
1 2(1) (2)
2cos
P
N N 
EA EA
P
D
C
E
 h
P
C
N1 N2
X
Y
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 56(52)
Ví dụ 2.5 (2)
2. Xác định chuyển vị tại C:
EA EA
D
C
E
 h
C’
Do hệ đối xứng, C di chuyển theo phương 
thẳng đứng xuống C’.
Khi đó ta có:
1LD
yC 
1
C
L
y
cos
D
1 1
1
N L
L
EA
D 
1
2cos
P
N 
Mà
1
cos
h
L 
1 22
Ph
L
EAcos
 D 
32
C
Ph
y
EAcos
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 57(52)
Bài 2.4: Cho hệ thanh chịu lực như hình vẽ.
Xác định lực dọc trong các thanh.Tìm chuyển vị
điểm C. Biết A=5cm2 , E =2.104kN/cm2,
P= 50kN, H=4m
Giải:
1. Xác định lực dọc:
Tách nút C ta được N1, N2, N3
Phương trình cân bằng:
1 3
1 3
0 sin30 sin30 0o oX N N
N N

(1)
(2)
1 3 2
1 2
0 ( ). os30 0
3
oY N N c N P
N N P

N3
30o 30o
C
N1
N2
P
Điều kiện biến dạng
o
1 3 2 2
3
os30
2
L L L c LD D D D
1 2
1 2
2 .3 3
2 43
N H N H
N N
EAEA
A A
30o 30
o
C
A
P
H
(3)
A A
30o 30
o
C
A
P
H
2LD
1LD
Ví dụ 2.6 (1)
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 58(52)
Ví dụ 2.6 (2)
1 3
2
0,3263 16,315( )
0,435 21,75( )
N N P kN
N P kN
2
2 4
. 21,75.400
' 0,087( )
2.10 .5
C
N H
y CC L cm
EA
 D 
Chuyển vị điểm C là:
Từ (1)(2)(3) ta giải ra được lực dọc trong các thanh là
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 59(52)
Bài 2.7: Cho hệ thanh chịu lực như
hình vẽ.
1. Xác định lực dọc trong các thanh.
2. Tìm chuyển vị theo phương thẳng
đứng của điểm C.
Biết ABD = ACE =5cm
2; E =2.104kN/cm2
P= 50kN; L=2m; Thanh AC tuyệt đối cứng
.Giải:
VÍ DỤ 2.7 (1)
L
P
LL
L/2
E
B
D
CA
1. Xác định lực dọc trong các thanh.
Dùng phương pháp mặt cắt đơn giản: giữ lại 
phần có thanh AC:
3
0 . .2 . 0
2
A BD CE
L
M N L N L P 
PNN CEBD 342 (1)
PL/2
B CA
LL
NBD NCE
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 
Ví dụ 2.7 (2)
60(52)
(2)
.1 1
.
2 . 2
CEBD BD BD
CE BD CE CE
E AL N L
L E A N L
D
D
1
2
2
BD
BD CE
CE
N
N N
N
;30
;15
KNN
KNN
CE
BD
;06,0' cm
EA
LN
LCC
CE
CECE
CE D 
PL/2
B CA
NCENBD
C’
B’
=> Hệ siêu tĩnh => Phương trình biến dạng
' 1
' 2 2
BB L
CC L
2. Tìm chuyển vị theo phương thẳng đứng của điểm C.
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 61(52)
4. Câu hỏi ???
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 62(52)