Bài giảng Sức bền vật liệu 1 - Chương 1: Nội lực trong bài toán thanh - Trần Minh Tú

SỨC BỀN
VẬT LIỆU
Trần Minh Tú
Đại học Xây dựng
National University of Civil Engineering – Ha noi January 2013
Chương 1
NỘI LỰC TRONG BÀI TOÁN THANH
21/12/2013
Chương 1. Nội lực trong bài toán thanh
NỘI DUNG
1.1. Các thành phần ứng lực trên mặt cắt ngang
1.2. Biểu đồ nội lực – Pp mặt cắt biến thiên
1.3. Liên hệ vi phân giữa mô men uốn, lực cắt và
tải trọng phân bố
1.4. Phương pháp vẽ biểu đồ nội lực theo điểm
đặc biệt
1.5. Biểu đồ nội lực của dầm tĩnh định nhiều nhịp
1.6. Biểu đồ nội lực của khung phẳng
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
1.1. Các thành phần ứng lực trên mặt 
cắt ngang (1)
• Trong trường hợp tổng quát trên mặt
cắt ngang của thanh chịu tác dụng của
ngoại lực có 6 thành phần ứng lực:
y
z
xMx
My
Mz Qx
NZ
Qy
4(52) Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
1.1. Các thành phần ứng lực trên mặt 
cắt ngang (2)
• Bài toán phẳng: Ngoại lực nằm trong mặt
phẳng đi qua trục z (yOz) => Chỉ tồn tại
các thành phần ứng lực trong mặt phẳng
này: Nz, Mx, Qy
• Nz - lực dọc; Qy - lực cắt; Mx – mô men uốn
y
z
xMx
NZ
Qy
5(52) Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
1.1. Các thành phần ứng lực trên mặt 
cắt ngang (3)
Qui ước dấu các thành phần ứng lực
 Lực dọc: N>0 khi có chiều đi ra khỏi mặt cắt
 Lực cắt: Q>0 khi có chiều đi vòng quanh phần
thanh đang xét theo chiều kim đồng hồ
 Mô men uốn: M>0 khi làm căng các thớ dưới
N
N
Để xác định các thành phần ứng lực: PHƯƠNG PHÁP MẶT CẮT
6(52) Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
1.1. Các thành phần ứng lực trên mặt 
cắt ngang (4)
N
Q Q
M M
1
1
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
1.1. Các thành phần ứng lực trên mặt 
cắt ngang (5)
Cách xác định các thành phần ứng lực
 Giả thiết chiều các thành phần M, N, Q theo chiều
dương qui ước
 Thiết lập phương trình hình chiếu lên các trục z, y
và phương trình cân bằng mô men với trọng tâm
O của mặt cắt ngang
0 => N= ...Z 
0 => Q= ...Y 
0 => M= ...OM 
8(52) Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
1.1. Các thành phần ứng lực trên mặt 
cắt ngang (6)
Biểu thức quan hệ ứng lực - ứng suất
 Vì là bài toán phẳng nên chỉ tồn tại các thành phần 
ứng suất trong mặt phẳng zOy => ký hiệu 
 Các thành phần ứng lực trên mặt cắt ngang 
 dA(x,y) là phân tố diện tích của dt mặt cắt ngang A
,z zy  ( , )  
( )A
N dA 
( )A
Q dA 
( )A
M y dA 
ydA
x
y
z

x
9(52) Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
1.2. Biểu đồ nội lực (1)
Khi tính toán => cần tìm vị trí mặt cắt
ngang có trị số ứng lực lớn nhất =>
biểu đồ
Biểu đồ nội lực - là đồ thị biểu diễn sự
biến thiên của các thành phần ứng lực
theo toạ độ mặt cắt ngang
Các bước vẽ biểu đồ nội lực – Phương
pháp mặt cắt biến thiên
10(52) Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
1.2. Biểu đồ nội lực (2)
a. Xác định phản lực tại các liên kết
b. Phân đoạn thanh sao cho biểu thức của
các thành phần ứng lực trên từng đoạn là
liên tục
c. Viết biểu thức xác định các thành phần ứng
lực N, Q, M theo toạ độ mặt cắt ngang
bằng phương pháp mặt cắt
d. Vẽ biểu đồ cho từng đoạn căn cứ vào
phương trình nhận được từ bước (c)
e. Kiểm tra biểu đồ nhờ vào các nhận xét
mang tính trực quan, tính kinh nghiệm.
11(52) Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
1.2. Biểu đồ nội lực (3) 
Biểu đồ lực dọc, lực cắt vẽ theo qui ước
và mang dấu
Biểu đồ mô men luôn vẽ về phía thớ
căng
N, Q
z
M
z
12(52) Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
Ví dụ 1.1 (1)
Vẽ biểu đồ các thành phần
ứng lực trên các mặt cắt
ngang của thanh chịu tải
trọng như hình vẽ
GIẢI:
1. Xác định phản lực
VA VB
F
a b
C
 0A BM V a b Fa 
 0B AM V a b Fb 
 B
Fa
V
a b
 A
Fb
V
a b
Thử lại: 0Y 
13(52) Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
Ví dụ 1.1 (2)
F
a b
VA VB
C
1
1
Mặt cắt 1 – 1:
VA
z1
Q
M
N
0N 
10 z a 
0A A
Fb
Y Q V Q V
a b

Mặt cắt 2 – 2:
1
0 1 10A A
Fbz
M M V z M V z
a b

0N 
20 z b 
0B B
Fa
Y Q V Q V
a b

2
0 2 20B B
Faz
M M V z M V z
a b

2
2
VB
z2
Q
M
N
Đoạn AC
Đoạn BC
A B
14(52) Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
Ví dụ 1.1 (3)
Nhận xét 1
Tại mặt cắt có lực tập
trung => biểu đồ lực
cắt có bước nhảy, độ
lơn bước nhảy bằng
giá trị lực tập trung, xét
từ trái qua phải, chiều
bước nhảy cùng chiều
lực tập trung
F
a b
VA VB
Fb
a+b
a+b
Fa
+
N
M
Q
Fab
a+b
F
C
:
Fb
AC Q
a b
:
Fa
BC Q
a b
1:
Fbz
AC M
a b
2:
Faz
BC M
a b
15(52) Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
Ví dụ 1.2 (1)
L
q
VA VB
Vẽ biểu đồ các thành phần ứng lực
trên các mặt cắt ngang của thanh
chịu tải trọng như hình vẽ
GIẢI
1. Xác định các phản lực liên kết
2
. 0
2
A B
ql
M V l 
.
2
A
q l
V 
2
. 0
2
B A
ql
M V l 
.
2
B
q l
V 
Bài toán đối xứng:
.
2
A B
q l
V V 
Hoặc:
2. Biểu thức nội lực
Xét mặt cắt 1-1 
(0 ≤ z L)
.
2
ql
Q q z 
2. .
2 2
ql q
M z z 
1
1
Q
zVA
M
N
q
0AY Q qz V 
2
0 0
2
A
qz
M M V z 
16(52) Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
Ví dụ 1.2 (2)
 Nhận xét 2
Tại mặt cắt có lực cắt
bằng 0, biểu đồ mô
men đạt cực trị
L
q
VA VBqL/2
qL/2
+
Q
L/2
qL2/8
M
.
2
ql
Q q z 
2. .
2 2
ql q
M z z 
0
2
A
qL
z Q 
2
B
qL
z L Q 
0 0Az M 
0Bz L M 
2
qL
M ' qz 0
2
L
M ' z 
0M'' q 
2
2
8
max z L/
qL
M M
17(52) Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
Ví dụ 1.3 (1)
1. Xác định phản lực:
.( ) 0A BM V a b M 
.( ) 0B AM V a b M 
B
M
V
a b
A
M
V
a b
2. Lập các biểu thức ứng lực:
AC: Xét mặt cắt 1-1 ( 0 ≤ z1 a)
y A
M
Q V
a b
VA VB
a b
C
M
.x AM V z 
Q
VA
M
z1 VB
M
Q z2
1
1
2
2
Xét mặt cắt 2-2 ( 0 ≤ z2 b)
y A
M
Q V
a b
2.x BM V z 
18(52) Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
Ví dụ 1.3 (2)
a b
VA VB
M
(a+b) M
(a+b)Ma
(a+b)
Mb
(a+b)
M
Q
M
C
M
y A
M
Q V
a b
1.x AM V z 
AC: ( 0 ≤ z1 a)
y A
M
Q V
a b
BC: ( 0 ≤ z2 b)
2.x BM V z 
Nhận xét 3
Tại mặt cắt có mô men tập
trung, biểu đồ mô men có bước
nhảy, độ lớn bước nhảy bằng
giá trị mô men tập trung, xét từ
trái qua phải, mômen tập trung
quay thuận chiều kim đồng hồ
thì bước nhảy đi xuống
19(52) Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
1.3. Liên hệ vi phân giữa mô men uốn,
lực cắt và tải ngang phân bố (1)
• Xét dầm chịu tải phân bố
q(z)>0: hướng lên
Tách đoạn thanh có chiều
dài dz giới hạn bởi 2 mặt
cắt ngang 1-1 và 2-2
q(z)
1
1
2
2dz
Q Q+dQ
M M+dM
dz
Đạo hàm bậc hai của mô men uốn bằng đạo hàm bậc nhất của 
lực cắt và bằng cường độ tải trọng ngang phân bố
( ) 0Y Q dQ Q q z dz 
( )
dQ
q z
dz
( ) 0
2 2
dz dz
M M dM M Q dQ Q 
dM
Q
dz
2
2
( )
d M dQ
q z
dz dz
20(52) Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
1.3. Liên hệ vi phân giữa mô men uốn, 
lực cắt và tải ngang phân bố (2)
Ứng dụng
 Nhận dạng các biểu đồ Q, M khi biết qui luật
phân bố của tải trọng q(z). Nếu trên một đoạn
thanh biểu thức của q(z) bậc n thì biểu thức
lực cắt Q bậc (n+1), biểu thức mô men M bậc
(n+2)
 Tại mặt cắt có Q=0 => M cực trị
 Tính các thành phần Q, M tại mặt cắt bắt kỳ
khi biết giá trị của chúng tại mặt cắt xác định
• Qphải = Qtrái + Sq ( Sq – Dtích biểu đồ q)
• Mphải = Mtrái + SQ ( SQ – Dtích biểu đồ Q)
21(52) Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
qz
q(z)
A B
( )
B B
A A
dQ q z dz 
B A qQ Q S 
Sq
Q
z
Q(z)
A B
SQ
( )
B B
A A
dM Q z dz 
B A QM M S 
1.3. Liên hệ vi phân giữa mô men uốn, 
lực cắt và tải ngang phân bố (3)
22(52) Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
1.3. Liên hệ vi phân giữa mô men uốn, 
lực cắt và tải ngang phân bố (4)
23(52) Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
1.4. Vẽ biểu đồ nội lực theo điểm đặc biệt (1)
Cơ sở: Dựa vào mối liên hệ vi phân
giữa Q, M và q(z)
Biết tải trọng phân bố =>nhận xét dạng
biểu đồ Q, M => xác định số điểm cần
thiết để vẽ được biểu đồ
 q=0 => Q=const => QA=? (hoặc QB)
M bậc 1 => MA=? và MB=?
 q=const => Q bậc 1 => QA=? QB=?
M bậc 2 => MA=?; MB=?; cực trị?
tính lồi, lõm,..?
24(52) Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
1.4. Vẽ biểu đồ nội lực theo điểm đặc biệt (2)
Các giá trị QA, QB, MA, MB, cực trị - là giá trị 
các điểm đặc biệt. Được xác định bởi:
 Quan hệ bước nhảy của biểu đồ
 Phương pháp mặt cắt
 Qphải = Qtrái + Sq (Sq - Dtích biểu đồ q)
 Mphải = Mtrái + SQ (SQ - Dtích biểu đồ Q)
Ví dụ
25(52) Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
Ví dụ 1.4 (1)
Xác định phản lực q
F=qa
VA VB
.3 2 .2 . 0B AM V a qa a F a 
5
3
AV qa 
.3 2 . .2 0A BM V a qa a F a 
4
3
BV qa 
Xét đoạn AC:
2a a
C
q=const Q bậc 1
QA=VA
QC=VA+Sq=5qa/3-2qa=-qa/3
M bậc 2: MA=0
MC=MA+SQ=4qa
2/3; Mmax=25qa2/18 
5
3
qa
1
3
qa
+
5a/3
Mmax=25qa
2/18 
4qa2/3 
26(52) Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
Ví dụ 1.4 (2)
2a a
VA VB
C
5
3
qa
4
3
qa
1
3
qa
+
5a/3
Mmax=25qa
2/18 
4qa2/3 
Xét đoạn BC: q
F=qa
q= 0
Q = const
QB= - VB
M bậc 1:
MB=0
MC=MB-SQ=4qa
2/3
Q
M
27(52) Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
Biểu đồ Q, M các trường hợp chịu 
tải trọng đơn giản
28(52) Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
4.5. Biểu đồ nội lực dầm tĩnh định nhiều nhịp
Định nghĩa: Là hệ tĩnh định gồm tập hợp các dầm, nối với nhau 
bằng các liên kết khớp
Cách vẽ biểu đồ: 
- Phân biệt dầm chính và dầm phụ
- Dầm chính là dầm khi đứng độc lập vẫn chịu được tải trọng 
- Dầm phụ là dầm khi đứng độc lập không chịu được tải
trọng, phải tựa lên dầm chính mới chịu được tải trọng
-Tải trọng đặt lên dầm chính không ảnh hưởng tới dầm phụ,
tải trọng đặt trên dầm phụ sẽ truyền tới dầm chính thông
qua phản lực liên kết
- Vẽ biểu đồ cho dầm phụ trước rồi đến dầm chính, sau đó
ghép lại với nhau
29(52) Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
Ví dụ 1.5 (1)
Ví dụ 1.5: Vẽ biểu đồ nội lực cho dầm 
ghép tĩnh định sau: 
Bài giải:
Hệ dầm ABCD là hệ dầm ghép gồm:
+ Dầm phụ BCD
+ Dầm chính AB
1) Dầm phụ BCD:
- Xác định phản lực: 
F
a aa
A B
C
D
2
D
F
V R 
a aa
A R
B
B
C
D
VD
F
R
30(52) Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
0 ( )
2 2
C B Q
F Fa
M M S a 
(Q)2
F
2
F
(M)
2
Fa
0 ( )
2 2
C D Q
Fa Fa
M M S 
F
a aa
A B
C
D
B
C
D
VD
F
R
a. Đoạn BC: q(z)=0
=> Q=const => QB= R = F/2
=> M bậc nhất 0BM 
b. Đoạn CD: q(z)=0
=> Q=const => QD= -VD = - F/2
=> M bậc nhất 0DM 
Ví dụ 1.5 (2)
31(52) Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
2.) Dầm chính AB:
2
F
(Q)
2
Fa
(M)
F
a aa
A B
C
D
A R
B
Ví dụ 1.5 (3)
32(52) Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
a aa
A B
C
D
2
Fa
2
Fa
2
F
2
F
2
F
(Q)
(M)
3.) Biểu đồ ứng lực toàn hệ dầm ghép
Ví dụ 1.5 (4)
33(52) Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
4.6. Biểu đồ nội lực khung phẳng
Khung phẳng là hệ phẳng gồm những thanh nối
nhau bằng các liên kết cứng (là liên kết mà góc
giữa các thanh tại điểm liên kết không thay đổi
khi khung chịu lực)
Đối với các đoạn khung nằm ngang, biểu đồ các
thành phần ứng lực vẽ như qui ước với thanh
thẳng
Đối với các đoạn khung thẳng đứng, biểu đồ N,
Q vẽ về phía tùy ý và mang dấu. Biểu đồ mô men
vẽ về phía thớ căng
Để kiểm tra biểu đồ ta cần kiểm tra điều kiện cân
bằng các mắt khung: Tại mắt khung, nội lực và
ngoại lực thoả mãn điều kiện cân bằng tĩnh học.
34(52) Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
Ví dụ 1.6 (1)
K
a
a a a
M F
q
A
D
B
C
Ví dụ 5: Vẽ biểu đồ khung phẳng sau:
Biết M=qa2, F=2qa
Bài giải:
1. Xác định các phản lực:
Từ điều kiện cân bằng của khung ta có
0AM 
2
0
2 2 2
1
.2
2
1
.2 2 0
2
K
K
V a Fa M qa
V a qa qa qa
VK
VA
HA
7
4
KV qa 
0 AX H qa 
35(52) Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
36(52)
Ví dụ 1.6 (2)
0
2 2 2 2
3
.2 .2 .
2
3
.2 2 2 0
2
A A
A
a
V a H a qa M Fa
V a qa qa qa qa
0KM 
A
1
4
V qa 
2. Nhận xét dạng biểu đồ các thành 
phần ứng lực trên từng đoạn:
+ Biểu đồ lực dọc:
Bằng phương pháp mặt cắt dễ dàng xác định:
4
0
AB BC A
DK CD
qa
N N V
N N
a
a a a
M F
q
A
K
D
B
C
VK
VA
HA
1
4
qa
N
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
Ví dụ 1.6 (3)
Đoạn AB: q=const
Biểu đồ Q bậc nhất 
Cần xác định: QA = HA = qa
QB = QA+Sq = qa+(-q).a = 0
Biểu đồ M bậc hai 
Cần xác định: MA = 0
MB = MA+SQ = 0 + qa.a/2 = qa
2/2; 
tại B có Q = 0 => Mmax=qa
2/2
a
a a a
M F
q
A
K
D
B
C
VK
VA
HA
qa
Q(kN)
M(kNm)
2
2
qa
37(52) Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
Ví dụ 1.6 (4)
Đoạn BC: q=0
Biểu đồ Q=const 
 Cần xác định QB=0 
 2 / 2;
AB
B BM M qa 
2 2/ 2 0 / 2C B QM M S qa qa 
Biểu đồ M bậc nhất
 Cần xác định 
a
a a a
M F
q
A
K
D
B
C
VK
VA
HA
qa
Q(kN)
M(kNm)
21
2
qa
2
2
qa
38(52) Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
Ví dụ 1.6 (5)
Trên đoạn CD: q=0
Biểu đồ Q=const => Cần xác định
7 1
2
4 4
D KQ F V qa qa qa 
27
4
D KM V a qa 
2 27 1 3
4 4 2
C D QM M S qa qa a qa
Biểu đồ M bậc nhất => Cần xác định
a
a a a
M F
q
A
K
D
B
C
VK
VA
HA
qa
Q(kN)
27
4
qa
23
2
qa
2
2
qa
M(kNm)
2
2
qa
1
4
qa
39(52) Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
Ví dụ 1.6 (6)
Trên đoạn DK: q=0
Biểu đồ Q=const => Cần xác định
7
4
K KQ V qa 
0KM 
( ) 27
4
CD
D DM M qa 
a
a a a
M F
q
A
K
D
B
C
VK
VA
HA
Biểu đồ M bậc nhất => Cần xác định
Q(kN)
27
4
qa
M(kNm)
23
2
qa
2
2
qa
2
2
qa
1
4
qa
qa
7
4
qa
40(52) Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
Ví dụ 1.6 (7)
4. Xét cân bằng các mắt khung
Tại mắt C, biểu diễn các ngoại lực, các thành phần ứng lực trên hai mặt
cắt ngay sát C thuộc đoạn BC và CD theo chiều thực (căn cứ vào các biểu
đồ). Kiểm tra điều kiện cân bằng: Tại mắt khung tổng nội lực và ngoại lực
bằng không.
0; 0; 0CX Y M   
1
4
qa
23
2
qa
1
4
qa
2
2
qa
2qa
41(52) Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
42(52)
1
4
qa
23
2
qa
1
4
qa
2
2
qa
2qa
Biểu đồ nội lực của khung
1
4
qa
N
kN
1
4
qa
7
4
qa
qa
Q
kN
27
4
qa
23
2
qa
2
2
qa
2
2
qa
M
kNm
Ví dụ 1.6 (8)
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
4. Câu hỏi???
43(52) Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
E- mail:
tpnt2002@yahoo.com
44(52) Tran Minh Tu – University of Civil Engineering