Bài giảng Quy luật phân phối của đại lượng ngẫu nhiên liên tục

QUY LUẬT PHÂN PHỐI CỦA 
ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN LIÊN TỤC.
- PHÂN PHỐI CHUẨN
- PHÂN PHỐI CHI BÌNH PHƯƠNG
- PHÂN PHỐI STUDENT
4.4.PHÂN PHỐI CHUẨN
X là ĐLNN liên tục có hàm mật độ
Thì X được gọi là có phân phối chuẩn chuẩn 
tắc. 
Ký hiệu: X~N(0,1)
+∞<<−∞=
−
xexf
x
;
2
1)( 2
2
π
x
0
HÀM LAPLACE
dzex
x z
∫
−
=Φ
0
2
2
2
1)(
π
5,0)(:4.
)()(.
)(5,0)(.
=Φ>
Φ−=−Φ
Φ+=
xx
xx
xxF
0 x
)(xΦ
z
CHÚ Y ́:
X~N(0,1)
Sử dụng hàm LAPLACE
)(.21)|(|1)|(|*
)(.2)|(|*
)(5,0)(*
)(5,0)(*
)()()(*
ααα
αα
αα
αα
αββα
Φ−=≤−=>
Φ=<
Φ−=<
Φ+=<
Φ−Φ=<<
XPXP
XP
XP
XP
XP
CHÚ Y ́:
Sử du ̣ng ha ̀m LA PLACE
),(~ 2σµNX
)|(|1)|(|*
)()()|(|*
)(5,0)(*
)(5,0)(*
)()()(*
αα
σ
µα
σ
µαα
σ
µαα
σ
µαα
σ
µα
σ
µββα
≤Φ−=>
−−
Φ−
−
Φ=<
−
Φ+=<
−
Φ−=>
−
Φ−
−
Φ=<<
XXP
XP
XP
XP
XP
px
pxNORMSDISTdzexXP
NX
x z
===< ∫ ∞−
−
)(
2
1)(
)1,0(~
2
2
1
π
SỬ DỤNG EXCEL
X~N(0,1)
)()(*
)|(|1)|(|*
1)(*2)|(|*
)()()(*
)(1)(*
)()(*
pNORMSINVxpxXP
xXPxXP
xNORMSDISTxXP
aNORMSDISTbNORMSDISTbXaP
xNORMSDISTxXP
xNORMSDISTxXP
=⇒=<
≤−=>
−=<
−=<<
−=>
=<
SỬ DỤNG EXCEL:
),(~ 2σµNX
),,()(*
)1,,,()1,,,()(*
)1,,,(1)(*
)1,,,()(*
σµ
σµσµ
σµ
σµ
pNORMINVxpxXP
aNORMDISTbNORMDISTbXaP
xNORMDISTxXP
xNORMDISTxXP
=⇒=<
−=<<
−=>
=<
VD:
X~N(0,1)
i) TRA BẢNG HÀM LAPLACE
II) SỬ DỤNG EXCEL
9902,0)4951,0(2)58,2(.2)58,2|(|*
0250,04750,05,0)96,1(5,0)96,1(*
8185,03413,04772,0)1()2()1()2()21(*
9505,05,04505,05,0)65,1()65,1(*
==Φ=<
=−=Φ−=<
=+=Φ+Φ=−Φ−Φ=<<−
=+=+Φ=<
XP
XP
XP
XP
99012,01)58.2(*2)58,2|(|*
024998,0)96.1(1)96,1(1)96,1(*
818595,0)1()2()21(*
950529,0)65.1()65,1(*
=−=<
=−=≤−=<
=−−=<<−
==<
NORMSDISTXP
NORMSDISTXPXP
NORMSDISTNORMSDISTXP
NORMSDISTXP
VD:
X(năm) là tuổi thọ của một sản phẩm điện tử 
có phân phối chuẩn với trung bình là 8 năm, 
độ lệch chuẩn là 2 năm. Sản phẩm được bảo 
hành 2 năm.
1) Tính tỷ lệ sản phẩm cần bảo hành. 
2) Trong năm 2008, hãng bán được 20 ngàn
sản phẩm.Theo Anh Chị có bao nhiêu sản 
phẩm cần bảo hành.
3) Nếu tỷ lệ sản phẩm cần bảo hành là
0,002; thì thời gian bảo hành là bao nhiêu?
VD:
X(g) là trọng lượng của một loại trái cây có 
phân phối chuẩn.Kiểm tra 1000 trái thấy có:
106 trái có trọng lượng trên 300g
40 trái có trọng lượng dưới 180g
1) Tính trọng lượng trung bình và độ lệch 
chuẩn của loại trái cây trên.
2) Trong 1000 trái cây trên có bao nhiêu trái
có trọng lượng trong khoảng từ 200g-220g.
VD: 
X(kwh) la ̀ lượng điện một hộ dân sử dụng trong 
một tháng có phân phối chuẩn 
Giá tiền điện là 1 ngàn đồng /kwh nếu sử dụng 
trong định mức 70kwh. 
Nếu sử dụng vượt định mức thì phải trả 3 ngàn 
đồng cho 1 kwh vượt định mức.
Gọi Y là số tiền một hộ phải trả trong 1 tháng.
1) Tính P(160<Y<220)
2) Tính P(Y>70)
3) Thành phố có 500 ngàn hộ, theo Anh Chị tin
chắc nhất có bao nhiêu hộ sử dụng vượt
định mức
))40(,60(~ 2kwhkwhNX
GIẢI:
1)
092,0)1()5,1()
40
60100()
40
60120(
)100()120()120100(
)2201403160()220160(
70:;1403
70:;1*
70:;3*)70(70
70:;1*
=Φ−Φ=
−
Φ−
−
Φ=
−
Φ−
−
Φ=<<=
<−<=<<



>−
≤
=



>−+
≤
=
σ
µ
σ
µXP
XPYP
XkhiX
XkhiX
Y
XkhiX
XkhiX
Y
2)
3)
Z: số hộ sử dụng vượt định mức trong 500 ngàn 
hộ
Z~B(500.000; 0,4013)
Số hộ tin chắc nhất sử dụng vượt định mức
=MOD(Z)=200.650 hộ
4013,0)25,0(5,0)70(5,0
)70()701403()70(
=Φ−=
−
Φ−=
>=>−=>
σ
µ
XPXPYP
4.4.2.TÍNH XẤP Xỉ PHÂN PHỐI NHỊ 
THỨC BỞI PHÂN PHỐI CHUẨN
X~B(n,p)
.Nếu n lớn ( n≥30 )
.p không gần 0 hoặc không gần 1 
Có thể tính xấp xỉ phân phối nhị thức bởi phân 
phối chuẩn
X~N(np,npq)
)5,0()5,0()( 1221 npq
npk
npq
npkkXkP −−Φ−−+Φ=≤≤
VD:
Theo một khảo sát về mức độ hài lòng của 
người dân với các dịch vụ công, tỷ lệ người 
dân than phiền về dịch vụ cấp chủ quyền 
nhà là 40%.
Tính xác suất trong 100 hộ được hỏi có:
a) Từ 40 đến 50 hộ than phiền.
b) Ít nhất 50 hộ than phiền.
c) Nhiều nhất 60 hộ than phiền.
GIẢI:
X: số hộ than phiền, X~B(100;0,40)
a) NX: n=100 lớn, p=0,40
Tính xấp xỉ bởi phân phối chuẩn
a) 
b)
c)
4794,0)40()50()5040( =−Φ−−Φ=≤≤
npq
np
npq
npXP
0206,0)50()100()50( =−Φ−−Φ=≥
npq
np
npq
npXP
99998,0)0()60()60( =−Φ−−Φ=≤
npq
np
npq
npXP
VD:
Trường Đại học KTTC có 300 sinh viên ,căng 
tin của trường phục vụ cơm trưa cho sinh viên 
theo hai ca:
ca 1 : từ 11.00 giờ – 11.30 giờ.
ca 2 : từ 11.40 giờ - 12.10 giờ.
Sinh viên có thể chọn bất kỳ ca nào để dùng 
cơm.
Theo Anh Chị căng tin cần có ít nhất bao 
nhiêu chỗ ngồi để xác suất căng tin luôn 
luôn đáp ứng đủ chỗ ngồi cho sinh viên đến 
dùng cơm trưa không bé hơn 95%.
VD: X(mm) độ dài của một trục xe đạp có phân phối 
chuẩn, với độ lệch chuẩn là 0,2mm. Sản phẩm được 
xem là đạt tiêu chuẩn, nếu độ dài sai lệch so với độ 
dài trung bình không quá 0,3mm.
a) Tính xác suất chọn ngẫu nhiên một sản phẩm thì 
được sp đạt yêu cầu.
b) Một cửa hàng nhận về 100 sp. Tính xác suất có ít 
nhất 90 sp đạt yêu cầu.
c) Trong quá trình kiểm tra có thể bị nhầm lẩn:
i)Nếu sp tốt mà bị loại thì mắc sai lầm loại 1.
ii)Nếu sp xấu mà được nhận thì mắc sai lầm loại 2
Xác suất mắc sai lầm loại 1 là 1%,Xác suất mắc sai 
lầm loại 2 là 2%. Tính xác suất không bị nhầm lẩn 
trong 1lần kiểm tra.
d) Tính xác suất khi kiểm tra 100 sp có nhiều nhất 10
lần bị nhầm lẩn.
4.5.PHÂN PHỐI CHI BÌNH PHƯƠNG
4.5.1. X là ĐLNN liên tục có hàm mật độ là:
được gọi là có phân phối chi bình phương, 
với bậc tự do là k
Ký hiệu:







≤
>
Γ=
−
−
0:;0
0:;
)
2
(2)( 2
1
22
2
xkhi
xkhi
k
xe
xf k
nx



==
==
kXVar
kXE
2)(
)(
2σ
µ
)(~ 2 kX χ
n=1
n=4
CHI BÌNH PHƯƠNG
p2
pχ
pP p => )(
22 χχ
)(~ 2 nX χ
EXCEL:
),()(*
),(1)(1)(*
),()(*
)(~
2
22
2
2
npCHIINVxpxP
nxCHIDISTxPxP
nxCHIDISTxP
nX
=⇒=>
−=≥−=<
=>
χ
χχ
χ
χ
VD:
TRA BẢNG:
)48,20025,0)((
483,20025,0)(*
)558,299,0)((
558,299,0)(*
025,0975,01)247,3(1)247,3(*
90,0)865,4(*
)10(~
2
2
025,0
2
025,0
2
2
2
99,0
2
99,0
2
22
2
2
=⇒=>
=⇒=>
=⇒=>
=⇒=>
=−=>−=≤
=>
xxP
P
xxP
P
PP
P
X
χ
χχχ
χ
χχχ
χχ
χ
χ
VD: SỬ DỤNG EXCEL 
)865182,4)10,90.0(90,0)((
865182,4)10,90.0(
90,0)(*
990003,0009997,01
)10,558.2(1
)558,2(1)558,2(*
974999,0)10,247.3()247,3(*
)10(~
2
2
22
22
2
2
==⇒=>
==⇒
=>
=−=
−=
=>−=≤
==>
CHIINVxxP
CHIINV
P
CHIDIST
PP
CHIDISTP
X
p
p
χ
χ
χχ
χχ
χ
χ
4.5.2.ĐỊNH LÝ: 
Nếu là các ĐLNN độc lập có phân 
phối chuẩn tắc .
Thì có phân phối chi bình 
phương, với bậc tự do là k.
CHÚ Ý:
Nếu ; độc lập
Thì
nXXX ,...,, 21
22
2
2
1 ... nXXXX +++=




)(~
)(~
2
2
1
2
1
kX
kX
χ
χ
)(~ 21
2
21 kkXXX ++= χ
21, XX
4.6.PHÂN PHỐI STUDENT
4.6.1.ĐN:
X là ĐLNN liên tục có hàm mật độ là:
được gọi là có phân phối STUDENT với bậc tự 
do là k
Ký hiệu: 
Rx
kk
k
xk
xf
k
∈
Γ
+
+
Γ
=
+−
;
)
2
(
)1)(
2
1(
)(
2
)1(2
π




−
==
==
2
)(
0)(
)(~
2
k
kXVar
XE
kTX
σ
µ
X~T(n)
TRA BẢNG:
EXCEL:
p 
))((
)()( ,
pxTP
ptTPtTP ppn
=>
=>=>
pt
),()|(|
)2,,()|(|
)1,,()(
npTINVxpxTP
nxTDISTxTP
nxTDISTxTP
=⇒=>
=>
=>
CHÚ Ý:
Sử dụng bảng phân phối STUDENT
X~T(k)
VD:
X~T(10)
P(T>2,2281)=0,025
P(T≤1,372)=1-P(T>1,372)=1-0,10=0,90
P(|T|>2,2281)=0,05 
P(T>x)=0,05 thì x= 1,8125
P(Tx)=0,10 suy ra x=1,3722
P(|T|>x)=0,10 suy ra x=1,8125 
pxTPptTP p =>⇔=> )()(
VD: SỬ DỤNG EXCEL
X~T(10)
812461,1)10,10.0(10,0)|(|
228139,2)10,05.0(05,0)|(|
050003,0)2,10,2281.2()2281,2|(|
900002,0)3722.1(1)3722,1(1)3722,1(
025002,0)1,10,2281.2()2281,2(
==⇒=>
==⇒=>
==>
=−=>−=≤
==>
TINVxxTP
TINVxxTP
TIDISTTP
TDISTTPTP
TDISTTP
4.6.2.ĐỊNH LÝ:
Nếu X,Y độc lập
Thì: có phân phối STUDENT
bậc tự do là kk
Y
XT =



)(~
)1,0(~
2 kY
NX
χ