Bài giảng môn Xử lý số tín hiệu - Chương 3: Biểu diễn tín hiệu và hệ thống trong miền tần số liên tục

BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG TRONG MIỀN 
TẦN SỐ LIÊN TỤC
3.1 BIẾN ĐỔI FOURIER 
3.2 CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI FOURIER
3.3 QUAN HỆ GIỮA BIẾN ĐỔI Z & F
3.4 BIỂU DIỄN HỆ THỐNG TRONG MIỀN TẦN SỐ
3.5 LẤY MẪU & KHÔI PHỤC TÍN HIỆU
Chương 3:
1
3.1 BIẾN ĐỔI FOURIER TÍN HIỆU RỜI RẠC
3.1.1 ĐỊNH NGHĨA BIẾN ĐỔI FOURIER:
• Ký hiệu:
x(n) X(ej) hay X(ej) = FT{x(n)}
X(ej) x(n) hay x(n) = FT-1{X(ej)} 
 F
1 
 F
Trong đó:  - tần số của tín hiệu rời rạc
• Biến đổi Fourirer của dãy x(n): 
n
njj enxeX  )()(
jj j j arg X ( e )X ( e ) X( e ) e
  
/X(ej)/ - phổ biên độ
argX(ej) - phổ pha
2
• Nhận thấy X(ej) tuần hoàn với chu kỳ 2 , thật vậy:

n
njj enxeX )2()2( )()(   )()(  j
n
nj eXenx 
Áp dụng kết quả:
2
0 
j ( l n ) : l ne d
: l n

 
1
2
j j nx( n ) X( e )e d
 

 j j n
n
X e x( n )e 
 j le d  
 ejld
 j l n
n
x( n ) e d


  
Biến đổi Fourier ngược:
3
Ví dụ 3.1.1: Tìm biến đổi F của các dãy:
1:)()(1 anuanx
n
nj
n
nj enuaeX  
 )()(1 
0n
njae 
jae 
1
1
1:)1()(2 anuanx
n
nj
n
nj enuaeX  
 )1()(2 
1
1
n
njea 
 
1
1
m
mjea  1
0
1 
m
mjea 
jea 11
1
1
jae 
1
1
4

n
njjω enxeX )()(
3.1.2 ĐIỀU KIỆN TỒN TẠI BIẾN ĐỔI FOURIER

n
njenx )( 
n
nx )(
Vậy, để X() hội tụ thì điều kiện cần là: 
 n
nx )(
Các tín hiệu thỏa điều kiện hội tụ là tín hiệu năng lượng, 
thậy vậy:

n
x nxE
2
)(
2
)( 
 
 n
nx
Nếu: 
 n
nx )( 
 n
x nxE
2
)(
5
Ví dụ 3.1.2: Xét sự tồn tại biến đổi F của các dãy:

 n
nx )(1
)()( );()( );(2)( );(5.0)( 4321 nrectnxnunxnunxnunx N
nn 

n
n nu )()5.0( 
0
)5.0(
n
n 2
5.01
1

 n
nx )(2 
n
n nu )(2 
 0
2
n
n

 n
nx )(3 
n
nu )(

 n
nx )(4 
n
N nrect )(
 
 0
)(
n
nu
Nnrect
N
n
N 
1
0
)(
X2(e
j) không tồn tại
X3(e
j) không tồn tại
6
3.2 CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI FOURIER
3.2.1 Tuyến tính
 )()( jF eXnx 11  
)()()()(  jjF eXaeXanxanxa 22112211   
Nếu:
Thì:
 )()( jF eXnx 22  
3.2.2 Dịch theo thời gian
 )()( jF eXnx  Nếu:
Thì: )()( 0
n-j  jF eXennx   0
7
Ví dụ 3.2.1: Tìm biến đổi F của dãy (n) và (n-2)
1   
n
njjF eneXnnx   )()()()(
3.2.3 Liên hiệp phức
 )()( jF eXnx  Nếu:
 )(*)(* jF eXnx  Thì:
Áp dụng tính chất dịch theo thời gian:
 2222 jjjF eeXenxn   )()()(
8
3.2.4 Đảo biến số
 )()( jF eXnx  
 )()( jF eXnx   
Nếu:
Thì:
Ví dụ 3.2.2: Tìm biến đổi F của dãy y(n)=2nu(-n)
)()( nunx
n
2
1
2ny( n ) x( n ) u( n ) 
Theo ví dụ 3.1.1, có kết quả:


j
jF
e
eX
  
)/(
)(
211
1


j
jF
e
eX
)/(
)(
211
1
   
9
3.2.5 Vi phân trong miền tần số
1
1
1
   
a;)()()(


j
jFn
ae
eXnuanx
 )()( jF eXnx  
 )(


d
)dX(e
jnxn
j
F 
1
1
2
   
a
ae
ae
d
edX
jeGnnxng
j
jj
jF ;
)(
)()()(





Nếu:
Ví dụ 3.2.3: Tìm biến đổi F của g(n)=nanu(n); /a/<1
Thì:
10
3.2.6 Dịch theo tần số
1
1
1
   
a;)()()(


j
jFn
ae
eXnuanx
 )()( jF eXnx  
 ][)( )-( 00  jFnj eXnxe  
Nếu:
Ví dụ 3.2.4: Tìm biến đổi F của y(n)=ancos(0n)u(n); /a/<1
Thì:
 njnjnn eenuannuany 00
2
1
0
 )()cos()()(
 njnj eenxny 00
2
1  )()(
11
3.2.7 Tích 2 dãy
 )()( jF eXnx 11  
  
 
'][)()()( )'(' deXeXnxnx jjF 2121
2
1
Thì:
Nếu:
 ][][)( )()( 00
2
1  jjj eXeXeY
 )()(
)(
)()( 00 1
1
1
1
2
1


jj
j
aeae
eY
 )()( jF eXnx 22  
 
'][)( )'(' deXeX jj 12
2
1
 F
12
3.2.8 Tổng chập 2 dãy
 )()( jF eXnx 11  
)()()(*)(  jjF eXeXnxnx 2121  Thì:
Nếu: )()( jF eXnx 22  
Ví dụ 3.2.5: Tìm y(n)=x(n)*h(n) biết x(n)=h(n)=(n+2)+(n-2)
 22 )()( jjjj eeeHeX 
Theo ví dụ 3.2.1, có kết quả:
222 )( )()()(  jjjjj eeeHeXeY  44 2 jj ee 
)]([)(*)()( 1 YFnhnxny 
)4()(2)4()( nnnny 
13
- gọi là phổ mật độ năng lượng
3.2.9 Quan hệ Parseval
 )()( jF eXnx 11  

 deXeXnxnx jj
n
  
 )()()()( ** 2121
2
1
Thì:
Nếu: )()( jF eXnx 22  
(*)
Biểu thức (*) còn gọi là quan hệ Parseval
Nhận xét:
Nếu: )()()( 21 nxnxnx 
Theo quan hệ Parseval, ta có: 

 deXnx j
n
  
22
2
1
)()(
Với:
2
)()(  jjxx eXeS 
14
3.2.10 Tương quan các tín hiệu
 )()( jF eXnx 11  
1 2 1 2 1 2
j j j
x x x xFT r R ( e ) X ( e )X ( e )
   Thì:
Nếu: )()( jF eXnx 22  
 Vậy biến đổi Fourier của hàm tự tương quan sẽ bằng 
phổ mật độ năng lượng, quan hệ này còn được gọi là 
định lý Weiner-Khintchine
Nhận xét:
Nếu: )()()( 21 nxnxnx 
2
j j j j j
xx xxR ( e ) X( e )X ( e ) X( e ) S ( e )
     
15
TỔNG KẾT CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI FOURIER
x(n) X()
a1x1(n)+a2x2(n) a1X1(e
j)+a2X2(e
j)
x(n-n0) e
-jn0 X(ej)
ej0n x(n) Xej (- 0)
nx(n) jdX(ej)/d
x(-n) X(e-j)
x*(n) X*(e-j)
x1(n)x2(n) 1 2
1
2
' 'j j( ) 'X ( e )X e d
  

1 2
1
2
j * jX ( e )X ( e )d
  

 1 2
*
n
x ( n )x ( n )

16
TỔNG KẾT CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI FOURIER
x(n) X()
21
2
jX ( e ) d
 

2
n
x( n )

1 2 1 2x x
m
r ( n ) x (m )x (m n )
  1 2j jX ( e )X ( e )  
2j j j
xx xxR ( e ) X( e ) S ( e )
   1 2x xr ( n )
17
3.3 QUAN HỆ GIỮA BIẾN ĐỔI FOURIER & Z
F j j n
n
x( n ) X ( e ) x( n )e 
 
Hay biến đổi Fourier chính là 
biến đổi Z được lấy trên vòng 
tròn đơn vị theo biến số 
Z n
n
x( n ) X ( z ) x( n )z
 
j
j
z e
X( e ) X( z ) 

/z/=
1
Re(z)
ROC X(z)
Im(z)
/z/=1

• Nếu ROC[X(z)] có chứa /z/=1
 X(ej)=X(z) với z=ej
• Nếu ROC[X(z)] không chứa /z/=1
 X(ej) không hội tụ
18
Ví dụ 3.3.1: Tìm biến đổi ZT & FT của các dãy:
x1(n)=(0.5)
nu(n) x2(n)=2
nu(n)
5.0;
5.01
1
)(
11
z
z
zX
Do ROC[X1(z)] có chứa /z/=1, nên:


 jez
j
e
zXeX j 
5.01
1
)()( 11
2;
21
1
)(
12
z
z
zX
Do ROC[X2(z)] không chứa /z/=1, nên X2(e
j) không tồn tại
19
3.4 BIỂU DIỄN HỆ THỐNG TTBB RỜI RẠC
TRONG MIỀN TẦN SỐ
3.4.1 Định nghĩa đáp ứng tần số
h(n)x(n) y(n)=x(n)*h(n)Miền n:
Miền : H(ej)X(ej) Y(ej)=X(ej)H(ej)
F
h(n) F H(ej)=Y(ej)/X(ej): gọi là đáp ứng tần số
j j j ( )H( e ) H( e ) e   
Nếu H(ej) biểu diễn dạng môdun và pha:
)( jeH
( ) 
- Đáp ứng biên độ
- Đáp ứng pha
20
Ví dụ: 3.4.1: Tìm H(), vẽ đáp ứng biên độ & pha, biết:
h(n)=rect4(n)
Biến đổi Fourier của h(n):
nj
n
j enrecteH  
 )()( 4 


j
j
n
nj
e
e
e
 
1
1 43
0
)(
)(
)(
2/2/2/
222



jjj
jjj
j
eee
eee
eH
2/3
)2/sin(
)2sin( 

 je 
)2/sin(
)2sin(
)(


 A
2
2
j sin( )H( e )
sin( / )
 

3 2 0
3 2 0
/ : A( )
( )
/ : A( )
 
 
 
với
21
- - /2 0 /2 3 /2 2 
4
/H(ej)/
3 /4
argH(ej)
-3 /4
- - /2 0 /2 3 /2 2 
- /2
- /4
22
3.4.2 Đáp ứng tấn số của các hệ thống ghép nối
a. Ghép nối tiếp:
 Miền  :
h2(n)x(n) y(n)h1(n)
x(n) y(n)h(n)=h1(n)*h2(n)

 Miền n:
H2(e
j)X(ej) Y(ej)H1(e
j)
X(ej) Y(ej)H(ej)=H1(e
j)H2(e
j)

Theo tính chất tổng chập: h1(n)*h2(n)
F H1(e
j)H2(e
j)
23
b. Ghép song song:
 Miền :

h2(n)
x(n) y(n)
h1(n)
+
x(n) y(n)h1(n)+h2(n)
 Miền n:

H2(e
j)
X(ej) Y(ej)
H1(e
j)
+
X(ej) Y(ej)H1(e
j)+H2(e
j)
24
3.4.3 Đáp ứng ra hệ thống với tín hiệu vào hàm mũ phức
)()()(*)()(*)()( mnxmhnxnhnhnxny
m
 
)()()( mnj
m
Aemhny 
  )()()(  jmj
m
nj eHnxemhAe 

Ví dụ: 3.4.2: Tìm y(n) biết x(n)=2ejn /3 và h(n)=0.5nu(n)
3
2
1
1
1
2)()()( 3



 j
nj
e
eHnxny
3
3
2
1
1
2
j
nj
e
e
Xét tín hiệu vào có dạng mũ phức: x(n)=Aejn
25
3.4.4 Đáp ứng ra hệ thống với tín hiệu vào hàm cos,sin
 njnj eeAnAnx 00
2
)cos()( 0
 
 njjnjjj eeHeeHAeHnxny 00000 )()(
2
)()()(  
  njjnjjnjj eeHAeeHeeHAny 000000 )(Re.)(*)(
2
)(  
Xét tín hiệu vào có dạng hàm cos:
Biểu diễn đáp ứng tần số dưới dạng môđun & pha:
)()()(  jjj eeHeH 
   )(cos)()(Re.)( 00000  neHAeeHAny jnjj
26
 njnj ee
j
A
nAnx 00
2
)sin()( 0
 
Tương tự với tín hiệu vào có dạng hàm sin:
Ta cũng được kết quả:
   )(sin)()(Im.)( 00000  neHAeeHAny jnjj
Tổng quát:
 2221110 sincos)(   nAnAAnx
  
  2222
1111
0
0
sin 
cos)(
2
1
 
 


neHA
neHAeHAny
j
jj
27
Ví dụ: 3.4.3: Tìm y(n) biết: h(n)=(0.5)nu(n)
x(n)=10 + 20sin(n /2) - 30cos( n + /4)


j
j
e
eH
5.01
1
)(
2
5.01
1
)( 0 
 jeH
Tín hiệu vào chứa 3 thành phần tần số:  = 0, /2 và 
  = 0:
148.02 894.0
5.01
1
)( j
j
e
j
eH 
   = /2 :
0
3
2
5.01
1
)( jj eeH 
   = :
4
os20 148.0
2
sin88.1720)(
ncnny
28
3.5 LẤY MẪU VÀ KHÔI PHỤC TÍN HiỆU
3.5.1 Khái niệm lấy mẫu tín hiệu
Mã hóa xd(n)
Rời rạc 
hóa
xa(t)
x(n) Lượng 
tử hóa
xq(n)
Chuyển xung
sang mẫu
xa(nTs)= x(n)xa(t) X
sa(t)
xs(t)
 Quá trình lấy mẫu tín hiệu
 Quá trình biến đổi tín hiệu tương tự -> tín hiệu số
29
Tín hiệu tương tự
xa(t)
t
0
xa(nTs)
n
0 Ts 2Ts 
Tín hiệu rời rạcTín hiệu được lấy mẫu
xs(t)
n
0 Ts 2Ts 
t
0
Chuỗi xung lấy mẫu
Ts 2Ts 

n
sa nTtts )()( 
30
3.5.2 Quan hệ giữa tần số tín hiệu rời rạc và tương tự
 tAtxa  cos )cos( ssa TnAnTx  
Lấy mẫu
t = nTs
 )cos()cos()( nATnAnTxnx ssa   sT  
Trong đó:  - tần số của tín hiệu rời rạc
 - tần số của tín hiệu tương tự
Ts - chu kỳ lấy mẫu 
31
3.5.3 Quan hệ giữa phổ tín hiệu rời rạc và
phổ tín hiệu tương tự
 s a s
ms
F
X f X F X ( F mF )
F

Ví dụ: 3.5.1: Hãy vẽ phổ biên độ
tín hiệu rời rạc, biết phổ biên độ
tín hiệu tương tự cho như hình
vẽ, với các tốc độ lấy mẫu:
a)Fs>2FM b) Fs=2FM c) Fs<2FM
Trong đó: X(f) – phổ của tín hiệu rời rạc
Xa(F) – phổ của tín hiệu tương tự
/Xa(F)/
F
0-FM FM
1
32
/X(F/Fs)/
F
0-FM FM-Fs Fs
Fs
a) Fs>2FM
F
0-FM FM-Fs Fs
/X(F/Fs)/
Fs
b) Fs=2FM
F
0-FM FM-Fs Fs
/X(F/Fs)/
Fs
2Fs-2Fs
c) Fs<2FM
33
3.5.4 Định lý lấy mẫu
“Tín hiệu tương tự xa(t) có dải phổ hữu hạn (-FM ,FM) chỉ
có thể khôi phục 1 cách chính xác từ các mẫu xa(nTs)
nếu tốc độ lấy mẫu thỏa Fs ≥ 2FM”
Ví dụ 3.5.2: Xác định tốc độ Nyquist của tín hiệu tương tự
• Fs =2FM=FN: Tốc độ (tần số) Nyquist
ttttxa 12000cos106000sin52000cos3)( 
Tín hiệu có các tần số: F1=1 kHz, F2=3 kHz, F3=6 kHz
FM=max{F1, F2, F3}=6 kHz FN =2FM = 12 kHz
34
3.5.5 Khôi phục lại tín hiệu tương tự
• Để khôi phục lại tín hiệu tương tự xa(t) thì phổ của tín
hiệu được khôi phục phải giống với phổ ban đầu của xa(t).
• Vì phổ của tín hiệu lấy mẫu là sự lặp lại vô hạn của phổ
tín hiệu tương tự, nên cần phải giới hạn lại bằng cách
người ta cho các mẫu xa(nTs) đi qua mạch lọc thông thấp
lý tưởng trong điều kiện thỏa định lý lấy mẫu có đáp ứng
tần số:
 : 0
2
f
2
f
 - : /1
)(
ss fF
fH slp
ở các tần số khác
35
)(
])(sin[
)()()()(
ss
ss
n
salpsaa
nTtF
nTtF
nTxthnTxtx
 
Low pass Filter
hlp(t)
xa(nTs) xa(t)=xa(nTs)*hlp(t)
tf
tf
dfefHdeHth
s
sftj
lp
tj
lplp 
 sin)()(
2
1
)( 2  

Công thức nội suy, cho phép khôi phục xa(t) từ xa(nTs)
36