Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán - Chương 7: Ước lượng các số đặc trưng tổng thể

 CHệễNG 7 
ệụực lửụùng caực soỏ ủaởc trửng toồng theồ 
 * Khoõng theồ tớnh ủửụùc caực soỏ ủaởc trửng toồng theồ. 
Tửứ moọt maóu cuù theồ, ta ửụực lửụùng ủaởc trửng toồng theồ θ 
baống caựch tuyeõn boỏ θ laứ θo (ửụực lửụùng ủieồm) hoaởc 
tuyeõn boỏ θ thuoọc moọt khoaỷng (ửụực lửụùng khoaỷng). 
 1. ệụực lửụùng ủieồm 
 Ta tuyeõn boỏ moói soỏ ủaởc trửng ửựng vụựi moọt maóu 
cuù theồ laứ soỏ ủaởc trửng tửụng ửựng cuỷa toồng theồ. 
1.1 ệụực lửụùng ủieồm trung bỡnh toồng theồ à 
 Trung bỡnh toồng theồ à ủửụùc ửụực lửụùng bụỷi trung 
bỡnh maóu ngaóu nhieõn X . 
 Coõng thửực ửụực lửụùng naứy coự tớnh chaỏt: 
 Khoõng cheọch: Kyứ voùng cuỷa sai soỏ khi ửụực lửụùng 
baống 0, tửực laứ E(X – à) = 0. 
 Hieọu quaỷ: Phửụng sai cuỷa (X – à) laứ nhoỷ nhaỏt 
trong caực coõng thửực ửụực lửụùng à. 
 Vửừng: X caứng gaàn à khi kớch thửụực maóu caứng 
lụựn. 
 1.2 ệụực lửụùng ủieồm phửụng sai toồng theồ σ2 
 Phửụng sai toồng theồ σ2 ủửụùc ửụực lửụùng bụỷi 
phửụng sai maóu ngaóu nhieõn S2. 
 Coõng thửực ửụực lửụùng ủieồm naứy laứ khoõng cheọch, 
vửừng. 
1.3 ệụực lửụùng ủieồm tyỷ leọ toồng theồ p 
 Tyỷ leọ toồng theồ p ủửụùc ửụực lửụùng baống vụựi tyỷ leọ 
maóu ngaóu nhieõn F. 
 Coõng thửực ửụực lửụùng ủieồm naứy laứ khoõng cheọch. 
 Vớ duù 
 ẹo chieàu cao (m) cuỷa 50 caõy rửứng ta coự baỷng: 
Chieàu cao Soỏ lửụùng Chieàu cao Soỏ lửụùng 
6,25–6,75 1 8,25–8,75 18 
6,75–7,25 2 8,75–9,25 9 
7,25–7,75 5 9,25–9,75 3 
7,75–8,25 11 9,75–10,2 1 
 ệÙụực lửụùng chieàu cao trung bỡnh, ủoọ leọch chuaồn 
vaứ tyỷ leọ caõy cao tửứ 7,75m ủeỏn 8,75m. 
 2. ệụực lửụùng khoaỷng 
 Xeựt maóu ngaóu nhieõn X1, X2, ..., Xn. Choùn 2 thoỏng 
keõ 
1
ˆ
θ , 
2
ˆ
θ , tửực laứ laọp 2 haứm n-bieỏn X1, X2, ..., Xn. Soỏ 
ủaởc trửng toồng theồ θ ủửụùc xem thuoọc khoaỷng [ 
1
ˆ
θ , 
2
ˆ
θ ] 
(khoaỷng tin caọy) vụựi xaực suaỏt 1–α. 1–α goùi laứ ủoọ 
tin caọy. 
 Vụựi ủoọ tin caọy 1–α tửứ 95% trụỷ leõn, ta cho raống 
bieỏn coỏ 
1
ˆ
θ ≤ θ ≤ 
2
ˆ
θ chaộc chaộn xaỷy ra trong thửùc teỏ. 
Ghi chuự 
 Ta cuừng coự theồ xeựt khoaỷng ửụực lửụùng moọt phớa 
 2.1 ệụực lửụùng khoaỷng trung bỡnh toồng theồ à 
 Xeựt maóu ngaóu nhieõn X1, X2,, Xn vaứ ủoọ tin caọy 
1–α. 
 Ta choùn khoaỷng ngaóu nhieõn daùng (X − ε, X + ε) 
ủeồ ửụực lửụùng à. ε goùi laứ ủoọ chớnh xaực cuỷa ửụực lửụùng. 
 ẹeồ tỡm khoaỷng ngaóu nhieõn ửụực lửụùng à, ta caàn 
xaực ủũnh coõng thửực tớnh ủoọ chớnh xaực ε. 
 TH1 n ≥ 30 vaứ bieỏt phửụng sai toồng theồ σ2 
 Xeựt Z = 
X
/ n
− à
σ
. Neỏu X coự phaõn phoỏi Chuaồn thỡ Z 
coự phaõn phoỏi Chuaồn Chớnh taộc. Neỏu chửa bieỏt quy 
luaọt phaõn phoỏi cuỷa X thỡ tửứ giaỷ thieỏt n ≥ 30, ta xaỏp 
xổ Z vụựi phaõn phoỏi Chuaồn Chớnh taộc. 
 Ta coự: 
 P(X – ε < à < X + ε) = 1−α 
 ⇔ P(X – à ε) = α 
 ⇔ P(
X
/ n
− à
σ
 > 
/ n
ε
σ
) = α ⇔ P(Z>
/ n
ε
σ
) = α 
 ⇔ P(Z > 
/ n
ε
σ
) + P(Z < −
/ n
ε
σ
) = α 
 ⇔ 2P(Z > 
/ n
ε
σ
) = α ⇔ P(Z > 
/ n
ε
σ
) = α/2 
 ẹaỳng thửực cuoỏi chửựng toỷ 
/ n
ε
σ
 laứ phaõn vũ mửực 
α/2 cuỷa phaõn phoỏi Chuaồn Chớnh taộc. Vaọy: 
/ n
ε
σ
 = zα/2 ⇒ ε = / 2z
n
α
σ
 Laỏy maóu cuù theồ kớch thửụực n, ta tớnh ủửụùc giaự trũ 
ε vaứ do ủoự tỡm ủửụùc khoaỷng tin caọy (x−ε, x+ε) vụựi ủoọ 
tin caọy 1–α ủeồ ửụực lửụùng à. 
 TH2 n < 30, bieỏt phửụng sai toồng theồ σ2 vaứ X 
 coự phaõn phoỏi Chuaồn 
 Luực naứy 
X
/ n
− à
σ
 coự phaõn phoỏi Chuaồn Chớnh taộc. 
Vaọy taỏt caỷ laọp luaọn cuừng nhử coõng thửực neõu treõn ủeàu 
aựp duùng ủửụùc. 
 TH3 n ≥ 30 vaứ chửa bieỏt phửụng sai toồng 
 theồ σ2 
 Luực naứy 
X
S / n
− à
 coự phaõn phoỏi Student baọc tửù do 
(n–1). Theo giaỷ thieỏt n ≥ 30, phaõn phoỏi Student ủửụùc 
xaỏp xổ vụựi phaõn phoỏi Chuaồn Chớnh taộc; hụn nửừa, S 
cuừng ủửụùc xaỏp xổ bụỷi s. Vaọy taỏt caỷ laọp luaọn cuừng nhử 
coõng thửực neõu treõn ủeàu aựp duùng ủửụùc, mieón laứ thay σ 
bụỷi s khi tớnh ε ửựng vụựi maóu cuù theồ. 
 TH4 n ≤ 30, chửa bieỏt phửụng sai toồng theồ 
 σ2, X coự phaõn phoỏi Chuaồn 
 Luực naứy 
X
S / n
− à
 coự phaõn phoỏi Student baọc tửù do 
(n–1). Taỏt caỷ laọp luaọn treõn cuừng aựp duùng ủửụùc cho 
phaõn phoỏi Student. Coõng thửực tớnh ủoọ chớnh xaực ε 
ửựng vụựi maóu cuù theồ luực naứy laứ coõng thửực ủaừ bieỏt 
nhửng thay σ bụỷi s vaứ thay zα/2 bụỷi tα/2(n–1). 
 Toựm taột – Khoaỷng tin caọy trung bỡnh toồng theồ à 
 Cho trửụực moọt maóu cuù theồ kớch thửụực n vaứ ủoọ tin 
caọy 1–α. Trung bỡnh toồng theồ à ủửụùc ửụực lửụùng thuoọc 
khoaỷng tin caọy (x−ε, x+ ε). ẹoọ chớnh xaực ε ủửụùc tớnh 
theo coõng thửực goàm hai trửụứng hụùp sau: 
 n > 30 hoaởc "n ≤ 30, bieỏt σ2 vaứ toồng theồ coự 
 phaõn phoỏi Chuaồn" 
ε = / 2z
n
α
σ
 (σ ≈ s) 
 n ≤ 30, chửa bieỏt σ2 vaứ toồng theồ coự phaõn 
 phoỏi Chuaồn 
ε = /2
s
t (n 1)
n
α − 
 Excel 
 ε trong trửụứng hụùp ủaàu ủửụùc tớnh theo coõng thửực 
=CONFIDENCE(α, σ, n) 
Vớ duù 
(1) Thoỏng keõ veà tuoồi thoù (giụứ) cuỷa moọt soỏ boựng ủeứn 
do moọt nhaứ maựy saỷn xuaỏt ta coự baỷng: 
Tuoồi thoù Soỏ boựng ủeứn Tuoồi thoù Soỏ boựng ủeứn 
1000–1100 4 1600–1700 42 
1100–1200 10 1700–1800 32 
1200–1300 16 1800–1900 26 
1300–1400 20 1900–2000 14 
1400–1500 36 2000–2100 8 
1500–1600 48 
 Laỏy trung ủieồm moói khoaỷng. Ta coự: 
 n = 256 x= 1.587,50 s2 = 51.450,98 ⇒ s = 226,83 
a) Tớnh tuoồi thoù trung bỡnh cuỷa boựng ủeứn vụựi ủoọ tin 
caọy 95%. 
 1−α = 95% ⇒ zα/2 = z0,025 = 1,96 
=NORMSINV(1–.025) 
 ⇒ ε = / 2
s
z
n
α = 27,79 
Tuoồi thoù trung bỡnh cuỷa boựng ủeứn laứ 1.587,50 ± 27,79 
giụứ (ủoọ tin caọy 95%). 
 b) Neỏu muoỏn ủoọ tin caọy ủaùt ủeỏn 98% vaứ ủoọ chớnh 
xaực nhử treõn thỡ phaỷi coự soỏ lieọu veà tuoồi thoù cuỷa bao 
nhieõu boựng ủeứn? 
 1−α = 98% ⇒ zα/2 = z0,01 = 2,33 
=NORMSINV(1–0,01) 
Tửứ coõng thửực tớnh ε ta coự: 
 n = 
2
/2
s
zα
 
 ε 
= 360,66 ≈ 361 
Phaỷi coự soỏ lieọu cuỷa 361 boựng ủeứn. 
 c) Neỏu laỏy ủoọ chớnh xaực laứ 20 giụứ vaứ duứng soỏ lieọu 
ủieàu tra 256 boựng ủeứn nhử treõn thỡ ủoọ tin caọy ủaùt 
bao nhieõu? 
 s = 226,83 n = 256 ε = 20 
Tửứ coõng thửực tớnh ε ta coự: 
 zα/2 = 
n
s
ε ≈ 1,41 
 ⇒ α/2 = 0,5 – Φ(1,41) = 0,5 – 0,42 ⇒ 1–α = 84% 
Khi ủoọ chớnh xaực laứ 20 thỡ ủoọ tin caọy laứ 84%. 
 (2) Troùng lửụùng cuỷa moọt saỷn phaồm laỏy ngaóu nhieõn 
taùi moọt nhaứ maựy laứ moọt ẹLNN coự phaõn phoỏi Chuaồn. 
Caõn 20 saỷn phaồm laỏy ngaóu nhieõn thỡ tớnh ủửụùc trung 
bỡnh troùng lửụùng cuỷa moọt saỷn phaồm laứ 1.100g vaứ ủoọ 
leọch chuaồn laứ 25,649g. ệụực lửụùng troùng lửụùng moọt 
saỷn phaồm cuỷa nhaứ maựy naứy vụựi ủoọ tin caọy 98%. 
 n = 20 (< 30) x = 1.100 s = 25,649 
 1−α = 98% ⇒ tα/2(n–1) = t0,01(19) = 2,539 
=TINV(.01*2; 19) 
 ⇒ ε = /2
s
t (n 1)
n
α − = 14,56 
Troùng lửụùng moọt saỷn phaồm laứ 1.100 ± 14,56 g (ủoọ tin 
caọy 98%). 
 2.2 ệụực lửụùng khoaỷng tyỷ leọ toồng theồ p 
 Xeựt maóu ngaóu nhieõn X1, X2,, Xn vaứ ủoọ tin caọy 
1−α. 
 Ta tỡm khoaỷng ngaóu nhieõn daùng (F−ε, F+ε) ủeồ 
ửụực lửụùng p. ε goùi laứ ủoọ chớnh xaực cuỷa ửụực lửụùng. 
 Caàn xaực ủũnh coõng thửực tớnh ủoọ chớnh xaực ε. 
 Xeựt n ≥ 30. Z = 
−
−
F p
p(1 p) / n
 ủửụùc xaỏp xổ vụựi 
phaõn phoỏi Chuaồn Chớnh taộc. Ta coự: 
 P(F−ε < p < F+ε) = 1−α 
 ⇔ P(F – p ε) = α 
 ⇔ P(
−
−
F p
p(1 p) / n
 > 
ε
−p(1 p) / n
) = α 
 ⇔ P(Z > 
ε
−p(1 p) / n
) = α 
 ⇔ P(Z > 
ε
−p(1 p) / n
) = α/2 
 ẹaỳng thửực cuoỏi chửựng toỷ 
ε
−p(1 p) / n
 laứ phaõn vũ 
mửực α/2 cuỷa phaõn phoỏi Chuaồn Chớnh taộc. Theo giaỷ 
thieỏt n > 30, p ủửụùc xaỏp xổ bụỷi F. Vaọy: 
ε = α −/ 2z F(1 F) / n 
 Laỏy maóu cuù theồ kớch thửụực n, ta tớnh ủửụùc giaự trũ 
ε vaứ do ủoự tỡm ủửụùc khoaỷng tin caọy (f−ε, f+ε) vụựi ủoọ 
tin caọy 1−α ủeồ ửụực lửụùng p. 
 Toựm taột – Khoaỷng tin caọy tyỷ leọ toồng theồ p 
 Cho trửụực moọt maóu cuù theồ kớch thửụực n (n ≥ 30) 
vaứ ủoọ tin caọy 1−α. Tyỷ leọ toồng theồ p ủửụùc ửụực lửụùng 
thuoọc khoaỷng tin caọy (f−ε, f+ε). ẹoọ chớnh xaực ε ủửụùc 
tớnh theo coõng thửực: 
ε = / 2
f(1 f)
z
n
α
−
 Vớ duù 
 ẹieàu tra thu nhaọp haứng thaựng cuỷa 100 coõng 
nhaõn gaởp ngaóu nhieõn taùi moọt nhaứ maựy thỡ thaỏy coự 
81 laàn ủửụùc traỷ lụứi laứ treõn 3 trieọu ủoàng/thaựng. 
Ta coự: n = 100 f = 81% 
a) ệụực lửụùng tyỷ leọ coõng nhaõn ủaùt mửực thu nhaọp 
treõn vụựi ủoọ tin caọy 96%. 
 1−α = 96% ⇒ zα/2 = z0,02 = 2,0537 
=NORMSINV(1–.02) 
 ⇒ ε = / 2
f (1 f )
z
n
α
−
 = 8,06% 
Tyỷ leọ coõng nhaõn ủaùt mửực thu nhaọp treõn 3 trieọu 
ủoàng/thaựng tửứ 72,94% ủeỏn 89,06% (ủoọ tin caọy 96%). 
 b) Neỏu muoỏn ủoọ tin caọy ủaùt ủeỏn 98% vaứ ủoọ chớnh 
xaực nhử treõn thỡ phaỷi ủieàu tra theõm bao nhieõu coõng 
nhaõn nửừa? 
 1−α = 98% ⇒ zα/2 = z0,01 = 2,3263 
=NORMSINV(1–.01) 
Tửứ coõng thửực tớnh ε ta coự: 
 n = 
2
/2z f (1 f )α
 
− ε 
 = 128,21 ≈ 129 
Phaỷi ủieàu tra theõm 129−100 = 29 coõng nhaõn. 
 c) Neỏu laỏy ủoọ chớnh xaực laứ 7% vaứ duứng soỏ lieọu ủieàu 
tra 100 coõng nhaõn nhử treõn thỡ ủoọ tin caọy ủaùt ủửụùc 
bao nhieõu? 
 n = 100 f = 81% ε = 7% 
 Tửứ coõng thửực tớnh ε ta coự: 
 zα/2 = 
n
f (1 f )
ε
−
 ≈ 1,78 ⇒ α/2 = 0,5 – Φ(1,78) 
 ⇒ α/2 = 0,0375 ⇒ 1–α = 92,5% 
Khi ủoọ chớnh xaực laứ 7% thỡ ủoọ tin caọy laứ 92,5%. 
 2.3 ệụực lửụùng khoaỷng phửụng sai toồng theồ σ2 
 Xeựt maóu ngaóu nhieõn X1, X2,, Xn vaứ ủoọ tin caọy 
1–α. 
 Ta tỡm khoaỷng ngaóu nhieõn daùng (a, b) ủeồ ửụực 
lửụùng σ2. 
 Ta chổ xeựt toồng theồ coự phaõn phoỏi Chuaồn. 
 TH1 chửa bieỏt trung bỡnh toồng theồ à 
 Luực naứy 
2
2
(n 1)S−
σ
 coự phaõn phoỏi Chi Bỡnh n–1 
baọc tửù do. Ta coự: 
 P(a b) + P(σ2 < a) = α 
 ẹeồ coự ủaỳng thửực treõn, ta choùn P(σ2 > b) = α/2 vaứ 
P(σ2 < a) = α/2. Ta coự: 
 P(σ2 > b) = α/2 
 ⇔ P(
2
2
(n 1)S−
σ
 < 
2(n 1)S
b
−
) = α/2 
 ⇔ P(
2
2
(n 1)S−
σ
 > 
2(n 1)S
b
−
) = 1–α/2 
 ẹaỳng thửực treõn chửựng toỷ 
2(n 1)S
b
−
 laứ phaõn vũ 
mửực 1–α/2 cuỷa phaõn phoỏi Chi Bỡnh n–1 baọc tửù do. 
Vaọy: 
2(n 1)S
b
−
 = χ21–α/2 ⇒ b = 
−α
−
χ
2
2
 1 /2
(n 1)S
 Tửụng tửù: 
 P(σ2 < a) = α/2 ⇔ P(
2
2
(n 1)S−
σ
 > 
2(n 1)S
a
−
) = α/2 
 ẹaỳng thửực treõn chửựng toỷ 
2(n 1)S
a
−
 laứ phaõn vũ 
mửực α/2 cuỷa phaõn phoỏi Chi Bỡnh n–1 baọc tửù do. Vaọy: 
2(n 1)S
a
−
 = χ2α/2 ⇒ a = 
α
−
χ
2
2
 /2
(n 1)S
 Laỏy maóu cuù theồ kớch thửụực n, ta tớnh ủửụùc giaự trũ 
a, b vaứ do ủoự tỡm ủửụùc khoaỷng tin caọy [a, b] vụựi ủoọ 
tin caọy 1–α ủeồ ửụực lửụùng σ2. 
 TH2 bieỏt trung bỡnh toồng theồ à 
 Luực naứy 
( )2n i
2
i 1
X
=
− à
σ
∑ coự phaõn phoỏi Chi Bỡnh n 
baọc tửù do. Laọp luaọn tửụng tửù treõn, ta choùn ủửụùc: 
a = 
( )
=
α
− à
χ
∑
n 2
i
i 1
2
 /2
X
 b = 
( )
=
−α
− à
χ
∑
n 2
i
i 1
2
 1 /2
X
Toựm taột – Khoaỷng tin caọy phửụng sai toồng theồ σ 2 
 Xeựt toồng theồ laứ ẹLNN coự phaõn phoỏi Chuaồn. Cho 
trửụực moọt maóu cuù theồ kớch thửụực n vaứ ủoọ tin caọy 1–α. 
Phửụng sai toồng theồ σ2 ủửụùc ửụực lửụùng thuoọc khoaỷng 
tin caọy [a, b]. a vaứ b ủửụùc tớnh theo coõng thửực goàm 
hai trửụứng hụùp sau: 
 Chửa bieỏt trung bỡnh toồng theồ à 
 a = 
2
2
/2
(n 1)s
(n 1)α
−
χ −
 vaứ b = 
2
2
1 /2
(n 1)s
(n 1) −α
−
χ −
 Bieỏt trung bỡnh toồng theồ à 
a = 
( )
n 2
i
i 1
2
/2
x
(n)
=
α
− à
χ
∑
 vaứ b = 
( )
n 2
i
i 1
2
/2
x
(n)
=
−α
− à
χ
∑
1
Vớ duù 
 Lửụùng nguyeõn lieọu duứng ủeồ saỷn xuaỏt moọt saỷn 
phaồm A laứ moọt ẹLNN coự phaõn phoỏi Chuaồn. Quan saựt 
moọt soỏ saỷn phaồm ngaóu nhieõn taùi moọt nhaứ maựy ta coự 
baỷng sau: 
Nguyeõn Lieọu (g) 19,0 19,5 20,0 20,5 
Soỏ saỷn phaồm 5 6 14 3 
 Haừy ửụực lửụùng phửụng sai vụựi ủoọ tin caọy 95% 
trong trửụứng hụùp: 
a) Bieỏt lửụùng nguyeõn lieọu tieõu hao ủeồ saỷn xuaỏt moọt 
saỷn phaồm trung bỡnh laứ 20g. 
b) Chửa bieỏt lửụùng tieõu hao nguyeõn lieọu trung bỡnh. 
a) Do ủaừ bieỏt à = 20 neõn ta caàn tớnh ( )
n 2
i
i 1
x
=
− à∑ . 
Do baỷng soỏ lieọu coự taàn soỏ neõn ta laọp baỷng ủeồ tớnh 
( )
n 2
i
i 1
x
=
− à∑ theo coõng thửực Σnixi2 – 2àΣnixi + nà2: 
xi ni nixi nixi
2 
19,0 5 95 1.805,00 
19,5 6 117 2.281,50 
20,0 14 280 5.600,00 
 20,5 3 61,5 1.260,75 
Σ 28 553,5 10.947,25 
 ( )
n 2
i
i 1
x
=
− à∑ = Σnixi2 – 2àΣnixi + nà2 = 7,25 
 Theo giaỷ thieỏt: n = 28 1−α = 95% 
 ⇒ χ2(n)α/2 = χ
2(28)0,025 = 44,4608 
=CHIINV(0,025; 28) 
 ⇒ χ2(n)1–α/2 = χ
2(28)0,975 =15,3079 
=CHIINV(0,975; 28) 
 ⇒ a = 
( )
n 2
i
i 1
2
/2
x
(n)
=
α
− à
χ
∑
 
 0,1631 
 b = 
( )
−
n 2
i
i 1
2
/2
x
(n)
=
α
− à
χ
∑
1
 
 0,4736 
Vụựi ủoọ tin caọy 95% thỡ 0,1631 ≤ σ2 ≤ 0,4736. 
b) Tửứ soỏ lieọu treõn baỷng ta tớnh ủửụùc: 
 s2 = [Σnixi2 – (Σnixi)2/n]/(n–1) = 0,2126. 
 Theo giaỷ thieỏt: n = 28 1−α = 95% 
 ⇒ χ2(n–1)α/2 = χ
2(27)0,025 = 43,1945 
=CHIIN(0,025; 27) 
 ⇒ χ2(n–1)1–α/2 = χ
2(27)0,975 = 14,5734 
=CHIIN(0,975; 27) 
 ⇒ a = 
2
2
/2
(n 1)s
(n 1)α
−
χ −
 
 0,1329 
 b = 
2
2
1 /2
(n 1)s
(n 1) −α
−
χ −
 
 0,3939 
Vụựi ủoọ tin caọy 95% thỡ 0,1329 ≤ σ2 ≤ 0,3939.