Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán - Chương 1: Biến cố-Các công thức tính xác suất

LÝ THUYẾT XÁC SUẤT 
CHƯƠNG 1 
Biến cố – Các công thức tính xác suất 
1. Phép thử và biến cố 
1.1 Khái niệm 
 Phép thử ngẫu nhiên. 
 Không gian mẫu Ω. 
 Biến cố. 
 Biến cố A xảy ra. 
 Biến cố chắc chắn Ω. Biến cố không thể ∅. 
Ví dụ 
“Tung xúc sắc và xem mặt nào xuất hiện". 
1 chấm: ω1, 2 chấm: ω2,..., 6 chấm: ω6. 
Không gian mẫu Ω = {ω1, ω2,, ω6}. 
A = {ω1, ω6} là một biến cố. 
1.2 Các phép toán biến cố 
 Biến cố là tập hợp. Dựa theo các phép toán và 
quan hệ trên tập hợp ta có các phép toán biến cố. 
1.2.1 Biến cố kéo theo, biến cố tương đương 
 A ⊂ B: A kéo theo B, ký hiệu A ⇒ B. 
 A = B: A và B tương đương, ký hiệu A = B. 
1.2.2 Biến cố tổng 
 A+B (A∩B) xảy ra khi A hay B xảy 
ra. 
 A1 + A2 +...+ An (
n
i
i 1
A
=
∑ hay 
n
i
i 1
A
=
∪ ) xảy ra khi có 
một biến cố Ai xảy ra. 
 Nếu A1 + A2 +...+ An = Ω thì A1, A2, ..., An gọi là 
họ biến cố đầy đủ. 
 Kết quả phép thử phải xảy ra một biến cố trong 
họ đầy đủ. 
1.2.3 Biến cố hiệu 
 A–B (A\B) xảy ra khi biến cố A xảy 
ra nhưng biến cố B không xảy ra. 
 A= Ω–A gọi là biến cố đối lập của A. 
Một biến cố không xảy ra thì biến cố đối 
lập với nó xảy ra. 
1.2.4 Biến cố tích 
 A.B (A∪B) xảy ra khi A và B đồng 
thời xảy ra. 
 A1.A2...An (
n
i
i 1
A
=
∏ hay 
n
i
i 1
A
=
∩ ) xảy ra khi mọi biến 
cố Ai đều xảy ra đồng thời. 
 Nếu A.B = ∅ ta nói hai biến cố A và 
B là xung khắc. 
 Một biến cố xảy ra thì biến cố xung khắc với nó 
không xảy ra. 
 A1, A2, ..., An là họ biến cố xung khắc từng đôi 
nếu hai biến cố bất kỳ trong họ là xung khắc. 
Ghi chú 
 Trong hai biến cố đối lập phải xảy ra một. 
 Hai biến cố xung khắc có thể đều không xảy ra. 
 Phải xảy ra một và chỉ một biến cố trong họ đầy 
đủ và xung khắc từng đôi. 
 A và A là họ biến cố đầy đủ và xung khắc từng 
đôi. 
Ví dụ 
Xét phép thử tung xúc sắc. 
 {ω1} và {ω2} là hai biến cố xung khắc. 
 {ω1, ω3, ω3} và {ω2, ω4, ω6} là hai biến cố đối lập. 
 {ω1}, {ω2}, ..., {ω6} là họ đầy đủ và xung khắc 
từng đôi. 
Ví dụ 
(1) Trong lớp có sinh viên giỏi Toán, giỏi Anh văn. 
Gặp ngẫu nhiên một sinh viên trong lớp. 
 Gọi A là biến cố "sinh viên này giỏi Toán", B là 
biến cố "sinh viên này giỏi Anh văn". 
 A+B là biến cố "gặp sinh viên giỏi Toán hay giỏi 
Anh văn". (giỏi ít ra là một môn). 
 A.B là biến cố "gặp sinh viên giỏi Toán và giỏi 
Anh văn". (giỏi cả hai môn). 
 A+B là biến cố "gặp sinh viên không phải giỏi 
Toán hay giỏi Anh văn". (không giỏi môn nào cả). 
 A .B là biến cố "gặp sinh viên không giỏi Toán 
và không giỏi Anh văn". (không giỏi môn nào cả). 
 A.B là biến cố "gặp sinh viên không phải giỏi 
Toán và giỏi Anh văn". (không giỏi cả hai môn). 
 A+B là biến cố "gặp sinh viên không giỏi Toán 
hay không giỏi Anh văn". (không giỏi cả hai môn). 
 AB, AB, AB+AB là gì ? 
Ghi chú 
 Ta luôn luôn có: 
 A+B+... = A .B... A.B... = A+B+... 
(2) Lấy ngẫu nhiên 3 sản phẩm từ một lô hàng rồi 
đếm xem đã lấy được bao nhiêu phế phẩm. 
 Gọi Ao (A1, A2, A3) là biến cố "có 0 (1, 2, 3) phế 
phẩm (trong 3 sản phẩm đã lấy ra)". 
 A là biến cố "có tối đa 1 phế phẩm". 
 B là biến cố "có ít nhất 1 phế phẩm". 
 A = Ao + A1 
 B = A1 + A2 + A3 = A o 
Ao, A1, A2, A3 là họ đầy đủ, xung khắc từng đôi. 
Ghi chú 
 Gọi X là số phế phẩm thì: 
 A = (X ≤ 1) = (X = 0) + (X = 1) 
 B = (X ≥ 1) = (X = 1) + (X = 2) + (X = 3) = ( =X 0) 
(3) Hộp I (II) đều có một số bi trắng và bi đen. Lấy 
1 bi từ hộp I bỏ vào hộp II rồi lấy 1 bi từ hộp II bỏ 
vào hộp I. 
 Gọi A1 (A2) là biến cố "lấy được bi trắng từ hộp 
I (II)". 
 B là biến cố "số bi trắng và bi đen của hộp I 
không đổi". 
 B = A1.A2 + 1A . 2A . 
 Lưu ý A1.A2 và 1A . 2A là hai biến cố xung khắc. 
(4) Mua 3 bao gạo, mỗi bao từ một cửa hàng khác 
nhau. 
 Gọi A1 (A2, A3) là biến cố "bao gạo mua từ cửa 
hàng I, (II, III) là bao gạo tốt". 
 A là biến cố "mua được 2 bao gạo tốt". 
 A = A1.A2. 3A + A1. 2A .A3 + 1A .A2. A3 
 Lưu ý A1.A2. 3A , A1. 2A .A3, 1A .A2.A3 là họ biến cố 
xung khắc từng đôi. 
Ghi chú 
 Gọi X là số bao gạo tốt mua được thì: 
 (X = 2) = A1.A2. 3A + A1. 2A .A3 + 1A .A3. A3 
(5) Gieo đồng xu nhiều lần, đếm số mặt sấp, đến 
khi được mặt sấp 2 lần thì ngừng. 
 Gọi X là số lần gieo. 
 Gọi S1 (S2, ...) là biến cố "được mặt sấp tại lần 
gieo I (II, ...)". 
 (X = 3) = S1 2S S3 + 1S S2S3 
(6) Một lô sản phẩm được kiểm tra bằng cách lấy 
ngẫu nhiên 15 sản phẩm rồi đếm số chính phẩm. 
Nếu có từ 8 chính phẩm trở lên thì lô hàng đạt yêu 
cầu. Nếu không đạt yêu cầu nhưng số chính phẩm 
trên 5 thì trả lại 15 sản phẩm, lấy ngẫu nhiên 20 
sản phẩm rồi đếm số chính phẩm. Nếu có từ 10 
chính phẩm trở lên thì lô hàng đạt yêu cầu. 
 Gọi A là biến cố "lô hàng đạt yêu cầu". 
Gọi X (Y) là số chính phẩm có trong 15 (20) sản 
phẩm được lấy ra. 
 A = (X ≥ 8) + (5 < X < 8).(Y ≥ 10) 
2. Định nghĩa xác suất 
2.1 Khái niệm 
 Để đo khả năng xảy ra của một biến cố sau 
phép thử, biến cố được gán một con số trong khoảng 
[0, 1] sao cho biến cố càng dễ xảy ra thì con số này 
càng lớn. Giá trị được gán vào biến cố A gọi là xác 
suất của biến cố A, ký hiệu P(A). Hàm P phải thoả 
các tính chất: 
 (i) P(Ω) = 1 
 (ii) P(A+B) = P(A) + P(B) nếu A.B = ∅ 
 Có 3 định nghĩa xác suất thoả các điều kiện 
trên và chúng đều tương thích nhau. 
Tuỳ trường hợp cụ thể của phép thử, ta sẽ vận dụng 
định nghĩa thích hợp để việc tính xác suất được 
thuận lợi. 
2.2 Định nghĩa cổ điển của xác suất 
 Phép thử có hữu hạn kết quả và khả năng xảy 
ra của mỗi kết quả là như nhau (đồng khả năng). 
 n: số kết quả đồng khả năng (n trường hợp). 
 Biến cố A gồm m kết quả (m trường hợp thuận 
lợi). 
 Xác suất của biến cố A được định nghĩa là: 
P(A) = 
m
n
 n cũng chính là số phần tử của không gian mẫu 
Ω còn m là số phần tử của biến cố A. 
Ví dụ 
 Tung con xúc sắc. Có 6 biến cố đồng khả năng 
xảy ra (n = 6). Gọi A là biến cố xuất hiện mặt chẳn 
thì A có 3 trường hợp thuận lợi (m = 3). Vậy: 
 P(A) = 
3
6
 = 50%. 
2.3 Định nghĩa xác suất theo thống kê 
 Thực hiện phép thử n lần, quan sát thấy biến cố 
A xuất hiện m lần. (m : tần số xuất hiện A). tỷ số 
fn(A) = 
m
n
 gọi là tần suất xuất hiện biến cố A. Khi số 
phép thử rất lớn, fn(A) sẽ gần bằng một giá trị cố 
định P(A). P(A) được định nghĩa là xác suất của biến 
cố A. 
 Người ta chứng minh được rằng fn(A) luôn luôn 
hội tụ về P(A) theo nghĩa: 
n
n
0, lim P( f (A) P(A) ) 1
→∞
∀ε > − < ε = 
 Trong thực tế, khi n đủ lớn, fn(A) được xem là 
P(A). 
Ví dụ 
(1) Kiểm tra ngẫu nhiên 200 sản phẩm của một 
nhà máy thì thấy có 7 phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên 
một sản phẩm của nhà máy này. Xác suất của biến 
cố "gặp phế phẩm" là 7/200 = 3,5%. 
(2) Trong 80 lần đá phạt đền của một cầu thủ thì có 
62 lần đá vào. Xác suất đá thành công quả phạt đền 
của cầu thủ này là 62/80 = 77,5%. 
2.4 Định nghĩa xác suất theo tiên đề 
 Xét một tập hợp Ω gọi là không gian mẫu. Một 
σ-đại số là một họ A gồm các tập con của Ω thỏa: 
 (i) Ω ⊂ A 
 (ii) A ∈ A ⇒ A∈ A 
 (iii) Ai∈A (i=1, 2, ...) ⇒ i
i 1
A
+∞
=
∑ ∈ A 
 Xác suất trên (Ω, A) là hàm P: A → [0, 1] thoả: 
 (i) P(Ω) = 1 
 (ii) P( i
i 1
A
+∞
=
∑ ) = i
i 1
P(A )
+∞
=
∑ Ai∈A và Ai.Aj = ∅ ∀i≠j 
 (Ω, A, P) gọi là một không gian xác suất. Mỗi 
phần tử thuộc A gọi là một biến cố. 
Bài tập So sánh ưu điểm, nhược điểm của các định 
nghĩa. 
2.5 Một số nguyên lý xác suất 
 Nguyên lý xác suất nhỏ: biến cố có xác suất 
nhỏ (từ 5% trở xuống) không xảy ra trong thực tế. 
 Nguyên lý xác suất lớn: biến cố có xác suất 
lớn (từ 5% trở lên) chắc chắn xảy ra trong thực tế. 
 Nguyên lý hợp lý tối đa: nếu trong bài toán 
có (các) tham số chưa biết thì (các) tham số này phải 
có giá trị sao cho xác suất của (các) biến cố đã xảy ra 
có giá trị lớn nhất. 
3. Các ví dụ tính XS theo định nghĩa cổ điển 
(1) Một lớp gồm 22 nữ và 28 nam. Gặp ngẫu nhiên 
một sinh viên. Tính xác suất gặp được sinh viên nữ. 
Gặp ngẫu nhiên một sinh viên thì có 50 trường hợp 
xảy ra (n = 50). Gặp được sinh viên nữ thì có 22 
trường hợp thuận lợi (m = 22). 
Xác suất cần tính là p = 
22
50
 = 44%. 
(2) Một hộp gồm 6 chính phẩm và 4 phế phẩm. Lấy 
ngẫu nhiên ra 3 sản phẩm (lấy không hoàn lại). 
Tính xác suất lấy được (đúng) 2 chính phẩm. 
Số trường hợp xảy ra khi lấy ra 3 sản phẩm từ 10 
sản phẩm là n = 310C . 
Biến cố "lấy được đúng 2 chính phẩm trong 3 sản 
phẩm" là biến cố "lấy được 2 chính phẩm" và "lấy 
được 1 phế phẩm". Số trường hợp lấy được 2 chính 
phẩm từ 6 chính phẩm là 26C . Số trường hợp lấy được 
1 phế phẩm từ 4 phế phẩm là 14C . Vậy số trường hợp 
thuận lợi là m = 26C .
1
4C . 
Xác suất cần tính p = 
2 1
6 4
3
10
C .C
C
 = 
60
120
 = 50%. 
 Mô hình trên thường gặp trong các bài toán xác 
suất. Tổng quát hoá, ta có: 
Công thức siêu bội 
Tập hợp có N phần tử trong đó có M phần tử tốt. 
Lấy ngẫu nhiên n phần tử. Gọi X là số phần tử tốt 
lấy được. 
P(X=k) = 
k n k
M N M
n
N
C C
C
−
− 
4. Các công thức tính xác suất 
4.1 Công thức cộng 
P(A+B) = P(A) + P(B) – P(A.B) 
 * P(A ) = 1 – P(A) 
 * P(A+B+C) = P(A) + P(B) + P(C) 
– P(A.B) – P(B.C) – P(C.A) + P(A.B.C) 
 * P(A1+A2++An) = P(A1) + P(A2) +  + P(An) 
A1, A2,..., An xung khắc từng đôi 
Ví dụ 
(1) Một lô hàng gồm 8 chính phẩm và 2 phế phẩm. 
Lấy ngẫu nhiên 6 sản phẩm. Tính xác suất lấy được 
không quá 1 phế phẩm. 
Lấy được không quá 1 phế phẩm tức là có đúng một 
phế phẩm hoặc không có phế phẩm. Đặt: 
A là biến cố "không có phế phẩm trong 6 sản phẩm 
lấy ra". 
B là biến cố "có 1 phế phẩm trong 6 sản phẩm lấy 
ra". 
A, B là 2 biến cố xung khắc (chúng không thể xảy ra 
đồng thời). 
Xác suất cần tính là P(A+B). Ta có: 
 P(A) = 
6
8
6
10
C
C
 = 
14
105
 P(B) = 
1 5
2 8
6
10
C .C
C
 = 
56
105
Theo công thức cộng và do A, B xung khắc: 
 P(A+B) = P(A) + P(B) = 
14
105
 + 
56
105
 ≈ 67% 
(2) Một giỏ cam gồm 12 trái trong đó có 7 trái cam 
ngon. Mua ngẫu nhiên 6 trái. Tính xác suất có được 
ít ra 2 trái cam ngon. 
(3) Một lớp 50 học sinh trong đó có 20 học sinh giỏi 
Toán, 30 giỏi Văn, 10 giỏi cả hai môn. Gặp ngẫu 
nhiên một học sinh trong lớp. Tính xác suất gặp 
được học sinh giỏi ít ra là một môn. 
(4) Một lớp gồm 50 sinh viên thi 2 môn. Có 40 sinh 
viên đạt môn I, 30 sinh viên đạt môn II, 5 sinh viên 
không đạt cả hai môn. Gặp ngẫu nhiên một sinh 
viên. Tính xác suất sinh viên này đạt cả hai môn. 
4.2 Công thức nhân 
4.2.1 Xác suất có điều kiện 
 Xác suất của biến cố A khi biết biến cố B đã xảy 
ra gọi là xác suất có điều kiện của biến cố A khi biết 
B, ký hiệu P(A/B). 
Ví dụ 
 Xét phép thử tung xúc sắc. A là biến cố "xuất 
hiện mặt có số chấm lớn hơn 3", B là biến cố "xuất 
hiện mặt chẳn". Tính P(A/B). 
Khi đã biết biến cố B xảy ra thì các trường hợp về 
số chấm xuất hiện là 2, 4, 6. Các trường hợp thuận 
lợi cho biến cố A lúc này là 4, 6. Vậy P(A/B) = 2/3. 
4.2.2 Tính độc lập của biến cố 
 Nếu P(A/B) = P(A) thì biến cố A gọi là độc lập 
với biến cố B. Do A độc lập với B thì B cũng độc lập 
với B nên ta nói A, B là hai biến cố độc lập với 
nhau. Lúc này việc biết hay chưa biết biến cố này 
xảy ra không làm thay đổi xác suất của biến cố kia. 
 Họ biến cố A1, A2, ..., An gọi là độc lập toàn 
phần nếu mỗi biến cố Ai độc lập với mọi tổ hợp tích 
của các biến cố còn lại trong họ. 
Ví dụ 
 Tung đồng xu 2 lần. Gọi A (B) là biến cố được 
mặt sấp tại lần tung I (II). 
Tính P(B): Các trường hợp là SS, SN, NS, NN. Các 
trường hợp thuận lợi là SS, NS. Vậy P(B) = 1/2. 
Tính P(B/A): Khi biết lần I đã ra mặt sấp thì các 
trường hợp là SN, SS. Các trường hợp thuận lợi là 
SS. Vậy P(B/A) = 1/2. 
Do P(B) = P(B/A) nên hai biến cố "lần I tung được 
mặt sấp", "lần II tung được mặt sấp" là độc lập nhau. 
4.2.3 Công thức nhân 
P(A.B) = P(A).P(B/A) = P(B).P(A/B) 
 * P(A/B) = 
P(A.B)
P(B)
 = 
P(B/A).P(A)
P(B)
 * P(A.B.C) = P(A).P(B/A).P(C/A.B) 
 * P(A1.A2...An) = P(A1).P(A2)...P(An) 
A1, A2,..., An độc lập toàn phần. 
Ví dụ 
(1) Hộp I có 2 bi trắng và 10 bi đen, hộp II có 8 bi 
trắng và 4 bi đen. Lấy ra một bi từ mỗi hộp. Tính 
xác suất được cả 2 bi trắng. 
Gọi A là "lấy được bi trắng từ hộp I", B là "lấy được 
bi trắng từ hộp II" thì 2 biến cố này độc lập. Xác 
suất cần tính là P(A.B). Theo công thức nhân: 
 P(A.B) = P(A).P(B) = 
2
12
×
8
12
 ≈ 11% 
(2) Một xạ thủ bắn 2 phát vào bia. Xác suất bắn 
trúng phát I là 90%, xác suất bắn trúng cả 2 phát là 
80%. Tính xác suất phát II bắn trúng nếu biết phát I 
đã bắn trúng. 
(3) Một người muốn mua 2 món hàng bằng cách đấu 
giá. Xác suất mua được món hàng I (II) là 90% 
(85%). Nếu biết đã mua được món hàng I thì xác 
suất mua được món hàng II là 92%. Tính xác suất 
người này mua được món hàng I nếu biết người này 
đã mua được món hàng II. 
(4) Biết rằng 80% sinh viên đạt điểm khá giỏi là đã 
làm đầy đủ các bài tập về nhà. Lớp có 16% sinh viên 
đã làm đầy đủ các bài tập về nhà. Vậy việc đã làm 
đầy đủ các bài tập về nhà làm tăng khả năng đạt 
điểm khá giỏi lên bao nhiêu lần? 
Gặp ngẫu nhiên một sinh viên, gọi G là "sinh viên 
đạt điểm khá giỏi", B là "sinh viên làm đầy đủ các 
bài tập về nhà". Tỷ lệ cần tính là P(G/B)/P(G). Ta có: 
 P(B/G) = 80% P(B) = 16% 
P(G/B) P(B/G)
P(G) P(B)
= = 80%/16% = 5 
Việc đã làm đầy đủ các bài tập về nhà làm tăng khả 
năng đạt điểm khá giỏi lên 5 lần. 
(5) Một người tìm việc làm bằng cách nộp đơn xin 
việc tại 3 công ty. Xác suất được nhận vào làm việc 
lần lượt là 90%, 88%, 85%. Tính xác suất người này 
xin được việc làm. 
(6) Một câu hỏi trắc nghiệm có 4 câu trả lời trong 
đó chỉ có một câu đúng. Một thí sinh làm 5 câu hỏi 
trắc nghiệm và đều chọn câu trả lời một cách ngẫu 
nhiên. Tính xác suất thí sinh này đúng được 2 câu. 
Gọi A là biến cố "thí sinh chọn đúng câu trả lời" thì 
p = p(A) = 1/4 và P(A ) = 1 – p. 
Sau khi thí sinh trả lời xong 5 câu hỏi trắc nghiệm 
thì biến cố xảy ra có dạng B1.B2.B3.B4.B5 trong đó Bi 
là A hoặc là A . Do thí sinh này chọn ngẫu nhiên 
nên việc trả lời mỗi câu trắc nghiệm sẽ độc lập, tức 
là họ biến cố B1, B2, B3, B4, B5 độc lập toàn phần. 
Vậy: 
 P(B1.B2.B3.B4.B5) = P(B1).P(B2).P(B3).P(B4).P(B5) 
Để chọn đúng được 2 câu, trong 5 vị trí Bi phải có 
đúng 2 vị trí là A và 3 vị trí còn lại là A . Vậy xác 
suất của biến cố dạng B1.B2.B3.B4.B5 là: 
 P(B1.B2.B3.B4.B5) = p
2(1 – p)3 
Các biến cố ta quan tâm có dạng "chọn ra 2 vị trí để 
ghi A, 3 vị trí còn lại ghi A " nên sẽ có 25C biến cố 
dạng này. Ngoài ra chúng xung khắc từng đôi vì có 
khác một vị trí A thì không thể xảy ra đồng thời. 
Theo công thức cộng, xác suất cần tính là: 
 p2 = 
2
5C .p
2(1 – p)3 ≈ 26% 
 Mô hình trên thường gặp trong các bài toán xác 
suất. Tổng quát hoá, ta có: 
Công thức Nhị thức (Bernoulli) 
Sau phép thử biến cố A xảy ra với xác suất p. Lập 
lại phép thử n lần độc lập. Gọi X là số lần xảy ra 
biến cố A. 
P(X=k) = k k n knC p (1 p)
−
− 
4.3 Công thức Xác Suất Đầy Đủ 
 A1, A2,..., An là họ biến cố đầy đủ và xung khắc 
từng đôi, B là một biến cố. 
P(B) = 
n
i i
i 1
P(B/A ).P(A )
=
∑ 
 Công thức cũng đúng nếu họ A1, A2, ..., An xung 
khắc từng đôi và B ⊂ A1+A2+...+An. 
Ví dụ 
(1) Một lớp có 50 nam và 70 nữ. Tỷ lệ nam biết luật 
bóng đá là 90%, của nữ là 60%. Gặp ngẫu nhiên một 
sinh viên trong lớp. Tính xác suất sinh viên này biết 
luật bóng đá. 
Gọi B là "gặp được sinh viên biết luật bóng đá", A1 
là "gặp sinh viên nam", A2 là "gặp sinh viên nữ". A1, 
A2 là họ đầy đủ và xung khắc từng đôi. Xác xuất cần 
tính là P(B). Ta có: 
 P(A1)=
50
120
 P(A2)=
70
120
 P(B/A1)=90% P(B/A2)=60% 
Theo công thức Xác Suất Đầy Đủ: 
 P(B) = P(B/A1).P(A1) + P(B/A2).P(A2) ≈ 73% 
(2) Nhà máy gồm 3 phân xưởng cùng sản xuất một 
loại sản phẩm. Phân xưởng I sản xuất 20% sản 
phẩm với tỷ lệ phế phẩm là 0,1%, phân xưởng II sản 
phẩm 30% với tỷ lệ phế phẩm là 0,5%, nhà máy III 
sản xuất 50% với tỷ lệ phế phẩm là 0,6%. Lấy ngẫu 
nhiên một sản phẩm của nhà máy, tính xác suất gặp 
phế phẩm. 
4.4 Công thức Bayes 
 A1, A2, ..., An là họ biến cố đầy đủ và xung khắc 
từng đôi, B là một biến cố. 
P(Ai/B) = i i
P(B/A ).P(A )
P(B)
Ví dụ 
(1) Một hộp gồm 4 bi trắng và 2 bi đen. Lấy lần 
lượt ra 2 viên bi không hoàn lại. Tính xác suất lần I 
lấy được bi trắng nếu biết lần II lấy được bi trắng. 
Gọi B là "lần II lấy được bi trắng", A1 là "lần I lấy 
được bi trắng", A2 là "lần I lấy được bi đen". A1, A2 là 
họ đầy đủ và xung khắc từng đôi. Xác suất cần tính 
là P(A1/B). Ta có: 
 P(A1) = 
4
6
 P(A2) = 
2
6
 P(B/A1) = 
3
5
 P(B/A2) = 
4
5
Theo công thức Bayes: 
 P(B) = P(B/A1).P(A1) + P(B/A2).P(A2) = 
2
3
 P(A1/B) = 
P(B A ) P(A )
P(B)
1 1/ .
 = 60% 
(2) Số sản phẩm phân xưởng I sản xuất chiếm 25% 
tổng số sản phẩm với tỷ lệ phế phẩm là 1%, phân 
xưởng II sản xuất 25% với tỷ lệ phế phẩm 5%, nhà 
máy III sản xuất 50% với tỷ lệ phế phẩm 10%. Lấy 
ngẫu nhiên một sản phẩm và thấy đây là chính 
phẩm. Tính xác suất sản phẩm này được sản xuất từ 
nhà máy III. 
(3) Trên bàn có 10 cây viết trong đó có 3 cây viết 
đỏ. Lấy ngẫu nhiên một cây viết bỏ vào cặp. Trong 
cặp đã có 4 viết đỏ và 2 viết xanh. Lấy ngẫu nhiên 
một cây viết từ cặp. Tính xác suất cây viết này là 
cây viết đã lấy từ bàn học biết rằng đây là cây viết 
đỏ. 
(4) (Theo New York Times ngày 5/9/1987) Tỷ lệ 
nhiễm một loại bệnh trong một cộng đồng là 
1/10.000. Người ta dùng một loại xét nghiệm để tìm 
bệnh nhân. Xét nghiệm này cho kết quả dương tính 
nếu mẩu thử nhiễm bệnh nhưng đôi khi cũng cho kết 
quả dương tính với mẫu thử không nhiễm bệnh với 
tỷ lệ 1/20.000. 
 Một người đi xét nghiệm và thấy kết quả dương 
tính. Tính xác suất người này thực sự bị nhiễm 
bệnh. 
Ghi chú 
 Lưu ý phân biệt P(A/B) và P(B/A). Hai giá trị 
này khác xa nhau khi các giá trị P(A) và P(B) có sự 
chênh lệch đáng kể.