Bài giảng Lý thuyết về đồ thị - Bài 7, 8: Bài toán đường đi ngắn nhất

Bài 7, 8 
Bài toán đường đi ngắn nhất 
Các khái niệm mở đầu 
Bài toán: Cho G = là đồ thị có trọng số. s và t là 2 đỉnh của đồ thị. Hãy tìm đường đi có tổng trọng số nhỏ nhất từ s đến t. 
VD: 
Đường đi ngắn nhất từ Etna đến Oldtown là: 
Etna – Bangor – Orono – OldTown 
Đường đi ngắn nhất từ Hermae đến Etna là: 
Hermae – Hampdea – Bangor - Etna 
2 
15 
5 
9 
3 
5 
20 
15 
5 
9 
Các khái niệm mở đầu (tt) 
Tìm đường đi ngắn nhất từ đỉnh 3 đến đỉnh 5 
Trả lời: 3 – 4 – 2 – 5 ??? Độ dài 11 là ngắn nhất ??? 
Đường đi này thì sao? Độ dài là bao nhiêu? 
3 – 4 – 2 – 5 – 2 – 5 
Đường đi trên đã ngắn nhất chưa??? 
3 
1 
2 
3 
4 
5 
20 
10 
7 
9 
9 
- 6 
4 
5 
Các khái niệm mở đầu (tt) 
Điều kiện để bài toán có lời giải: 
Phải tồn tại đường đi từ s đến t: 
Đồ thị vô hướng liên thông 
Đồ thị có hướng liên thông mạnh 
Đồ thị vô hướng, s và t nằm trong cùng một thành phần liên thông 
Đồ thị có hướng, có tồn tại đường đi từ s đến t 
Trong đồ thị không tồn tại chu trình âm 
Đồ thị có hướng: không tồn tại chu trình âm. 
Đồ thị vô hướng: không tồn tại cạnh âm. 
4 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
5 
7 
2 
- 3 
8 
1 
6 
Đường đi ngắn nhất xuất phát từ 1 đỉnh 
Nhận xét: 
Nếu v là đỉnh trung gian trên đường đi ngắn nhất từ s đến t thì đường đi từ s đến v phải là ngắn nhất và đường đi từ v đến t cũng phải là ngắn nhất. 
Do đó, để tối ưu, người ta mở rộng bài toán tìm đường đi ngắn nhất từ một đỉnh đến tất cả các đỉnh còn lại của đồ thị. 
5 
s 
v 
t 
X 
Ý tưởng chung của các thuật toán tìm đường đi ngắn nhất. 
Dò tìm bằng cách thử đi qua các đỉnh trung gian 
Nếu phát hiện đường đi qua đỉnh trung gian ngắn hơn đường đi hiện tại thì sẽ cập nhật đường đi mới, đồng thời chỉnh sửa các thông tin liên quan. 
Sử dụng hai mảng để lưu trữ tạm thời: 
Mảng d[v]: Lưu trữ độ dài đường đi ngắn nhất hiện tại từ s đến v. 
Mảng T[v]: Lưu trữ đỉnh nằm trước v trên đường đi ngắn nhất hiện tại. 
6 
Đường đi ngắn nhất xuất phát từ 1 đỉnh (tt) 
Ý tưởng chung của các thuật toán tìm đường đi ngắn nhất (tt): 
7 
Đường đi ngắn nhất xuất phát từ 1 đỉnh (tt) 
s 
v 
u 
Truoc[v] 
d[v] 
d[u] 
c[u,v] 
X 
if d[v] > d[u] + c[u,v] then 
{	 d[v] = d[u] + c[u,v]; 
	Truoc[v] = u; 	} 
Thuật toán Ford-Bellman 
8 
(* Khởi tạo *) 
for v V do 
Begin 
d[v]:=c[s,v]; 
Truoc[v]:=s; 
End; 
(* Bắt đầu *) 
d[s]:=0; 
for k:=1 to n-2 do 
for v V\{ s} do 
for u V do 
if d[v] > d[u] +a[u,v] then 
Begin 
d[v]:=d[u]+c[u,v]; 
Truoc[v]:=u; 
End; 
k 
1 
2 
3 
4 
5 
0,1 
1,1 
¥ ,1 
¥ ,1 
3,1 
1 
0,1 
1,1 
4,2 
4,2 
-1,3 
2 
0,1 
1,1 
4,2 
3,5 
-1,3 
3 
0,1 
1,1 
4,2 
3,5 
-1,3 
Thuật toán Ford-Bellman (tt) 
Cây kết quả: 
9 
k 
1 
2 
3 
4 
5 
0,1 
1,1 
¥ ,1 
¥ ,1 
3,1 
1 
0,1 
1,1 
4,2 
4,2 
-1,3 
2 
0,1 
1,1 
4,2 
3,5 
-1,3 
3 
0,1 
1,1 
4,2 
3,5 
-1,3 
1 
2 
3 
5 
4 
Thuật toán Ford – Bellman (tt) 
10 
k 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
0,1 
1,1 
¥ ,1 
¥ ,1 
¥ , 1 
¥ ,1 
1 
0,1 
1,1 
6 ,2 
3 ,2 
7 ,4 
7 ,3 
2 
0,1 
1,1 
4 ,4 
3 ,2 
7 ,4 
5 ,3 
3 
0,1 
1,1 
4 ,4 
3 ,2 
6 ,6 
5 ,3 
4 
0,1 
1,1 
4 ,4 
3 ,2 
6 ,6 
5 ,3 
S = 1 
Ford-Bellman (tt) 
Cây kết quả 
11 
k 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
0,1 
1,1 
¥ ,1 
¥ ,1 
¥ , 1 
¥ ,1 
1 
0,1 
1,1 
6 ,2 
3 ,2 
7 ,4 
7 ,3 
2 
0,1 
1,1 
4 ,4 
3 ,2 
7 ,4 
5 ,3 
3 
0,1 
1,1 
4 ,4 
3 ,2 
6 ,6 
5 ,3 
4 
0,1 
1,1 
4 ,4 
3 ,2 
6 ,6 
5 ,3 
1 
2 
4 
3 
6 
5 
Thuật toán Ford-Bellman (tt) 
Nhận xét: 
Áp dụng được cho mọi trường hợp 
Chi phí tính toán lớn do dùng 3 vòng lặp lồng nhau 
Thường lãng phí một số bước sau cùng 
Cải tiến: 
Không thể cải tiến tốt hơn cho trường hợp tổng quát 
Chỉ có thể làm tốt hơn cho một số trường hợp riêng 
12 
k 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
0,1 
1,1 
¥ ,1 
¥ ,1 
¥ , 1 
¥ ,1 
1 
0,1 
1,1 
6 ,2 
3 ,2 
7 ,4 
7 ,3 
2 
0,1 
1,1 
4 ,4 
3 ,2 
7 ,4 
5 ,3 
3 
0,1 
1,1 
4 ,4 
3 ,2 
6 ,6 
5 ,3 
4 
0,1 
1,1 
4 ,4 
3 ,2 
6 ,6 
5 ,3 
Thuật toán Dijsktra (tt) 
Nhận xét về FordBell man: 
Kết quả của bảng đã ổn định từ sớm 
Trên một dòng, giá trị d nhỏ nhất không thay đổi về sau nếu trọng số các cạnh là không âm 
13 
Thuật toán Dijkstra 
Chú ý: thuật toán này chỉ dùng cho đồ thị không có cạnh âm. 
Ý tưởng: 
Do không có cạnh âm nên tại mỗi bước, sẽ có một đỉnh mà thông tin về nó sẽ không thay đổi về sau 
Tại mỗi bước, ta không cần phải kiểm tra qua tất cả các đỉnh trung gian, mà chỉ thực hiện như sau: 
Chọn một đỉnh u có giá trị d[u] nhỏ nhất 
Chọn u làm đỉnh trung gian để xác định các bước kế tiếp 
14 
(* Khởi tạo *) 
for v V do 
 Begin 
 d[v]:=a[s,v]; 
 Truoc[v]:=s; 
 End; 
d[s]:=0; 	T:=V\{s} ; ( * T là tập các đỉnh chưa cố định *) 
 (* Bước lặp *) 
while T  do 
 Begin 
 Tìm đỉnh u T thoả mãn d[u]=min{d[z]:z T}; 
 T:=T\{u} ; 	(* Cố định nhãn của đỉnh u*) 
 For v T do 
 If d[v]>d[u]+a[u,v] then 
 Begin 
 d[v]:=d[u]+a[u,v]; 
 Truoc[v]:=u; 
 End; 
 End; 
k 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
0,1 
1,1* 
¥ ,1 
¥ ,1 
¥ , 1 
¥ ,1 
1 
6 ,2 
3 ,2* 
¥ ,1 
8 ,2 
2 
4 ,4* 
7 ,4 
8 ,2 
3 
7 ,4 
5 ,3* 
4 
6 ,6* 
Thuật toán Dijsktra (tt) 
15 
Thuật toán Dijsktra (tt) 
16 
k 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
0,1 
1,1* 
¥ ,1 
¥ ,1 
¥ , 1 
¥ ,1 
1 
6 ,2 
3 ,2* 
¥ ,1 
8 ,2 
2 
4 ,4* 
7 ,4 
8 ,2 
3 
7 ,4 
5 ,3* 
4 
6 ,6* 
1 
2 
4 
3 
6 
5 
Đường đi ngắn nhất giữa tất cả cặp đỉnh 
Thuật toán Floyd: 
Đầu vào: Ma trận kề trọng số A 
Đầu ra: 
Ma trận đường đi ngắn nhất: d 
Ma trận lưu đỉnh trước đó trên đường đi: p 
17 
Thuật toán Floyd (tt) 
18 
// Khởi tạo 
For i:=1 to n do 
 For j:=1 to n do 
 { d[i,j] := a[i,j]; 
 p[i,j] := i; 
 } 
// Bước lặp 
For k:=1 to n do 
 For i:=1 to n do 
 For j:=1 to n do 
	If (d[i,j] > d[i,k] + d[k,j]) 
	{ d[i,j] := d[i,k] + d[k,j]; 
 	 p[i,j] := p[k,j]; 
	} 
1 
2 
3 
4 
10 
2 
1 
5 
6 
3 
Ma trận d 
Ma trận p 
Thuật toán Floyd (tt) 
19 
1 
2 
3 
4 
10 
2 
1 
5 
6 
3 
Ma trận d 
Ma trận p 
Khởi tạo 
k=1 
k=2 
k=3 
k=4 
Thuật toán Floyd (tt) 
Đọc đường đi: 
Từ 1 đến 3: 
Trước 3 là p[1,3] = 4. Vậy 4 là đỉnh nằm trước 3 trên đường đi này. 
Trước 4 là p[1,4] = 1. Vậy 1 là đỉnh nằm trước 4 trên đường đi này. 
Dừng. Đường đi là: 1 – 4 – 3 với độ dài là d[1,3] = 3 
Tương tự, đường đi ngắn nhất từ 3 đến 2 là: 3 – 4 – 2 với độ dài là p[3,2] = 4 
20 
1 
2 
3 
4 
10 
2 
1 
5 
6 
3