Bài giảng Lý thuyết trường điện từ: Năng lượng & điện thế - Nguyễn Công Phương

Lý thuyết trường điện từ
Năng lượng & điện thế
Nguyễn Công Phương
Năng lượng & điện thế - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 2
Nội dung
I. Giới thiệu
II. Giải tích véctơ
III. Luật Coulomb & cường độ điện trường
IV. Dịch chuyển điện, luật Gauss & đive
V. Năng lượng & điện thế
VI. Dòng điện & vật dẫn
VII. Điện môi & điện dung
VIII. Các phương trình Poisson & Laplace
IX. Từ trường dừng
X. Lực từ & điện cảm
XI. Trường biến thiên & hệ phương trình Maxwell
XII. Sóng phẳng
XIII. Phản xạ & tán xạ sóng phẳng
XIV.Dẫn sóng & bức xạ
Năng lượng & điện thế - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 3
Năng lượng & điện thế
1. Dịch chuyển điện tích điểm trong điện trường
2. Tích phân đường
3. Hiệu điện thế & điện thế
4. Trường thế của điện tích điểm
5. Trường thế của một hệ điện tích
6. Gradient thế
7. Lưỡng cực
8. Mật độ năng lượng trong trường tĩnh điện
Năng lượng & điện thế - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 4
Dịch chuyển điện tích điểm trong điện trường (1)
• Dịch chuyển điện tích Q trên một đoạn dL trong điện
trường E, lực do điện trường tác động lên điện tích:
FE = QE
• Thành phần lực theo hướng của dL:
FEL = F.aL = QE.aL
• aL là véctơ đơn vị theo hướng của dL
• Vậy lực cần tác dụng để dịch chuyển điện tích:
Ftd = –QE.aL
• Công cần thực hiện để dịch chuyển Q trong điện trường:
dW = –QE.aLdL = –QE.dL
Năng lượng & điện thế - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 5
Dịch chuyển điện tích điểm trong điện trường (2)
• Công cần thực hiện để dịch chuyển Q trong điện trường:
dW = –QE.dL
• dW = 0 nếu:
– Q = 0, E = 0, dL = 0, hoặc
– E vuông góc với dL
• Công dịch chuyển điện tích trên một quãng đường hữu
hạn:
cuèi
®Çu
W Q d= − ∫ E. L
Năng lượng & điện thế - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 6
Dịch chuyển điện tích điểm trong điện trường (3)
2 2
2
8.2( 2)3 4.2 .3 4.2 ( 2)
3
a a a
E x y zP
− + − −
= 10,67 5,33 3,56 V/ma a ax y z= − + +
L aLd dL=
Cho E = (8xyzax + 4x2zay – 4x2yaz)/z2 V/m. Tính vi phân công cần thực hiện để 
dịch chuyển một điện tích 5 nC trên một quãng đường 3 μm, bắt đầu từ P(2, –2, 3) 
theo hướng hL = – 6ax + 3ay + 2az.
Ví dụ 1 
dW = – QE.dL
6
2 2 2
6 3 2
3.10
6 3 2
a a a
−
− + +
=
+ +
x y z 6( 2,57 1,29 0,86 )10 ma a a −= − + +
x y z
.E LpdW Q d= −
9 65.10 ( 10,67 5,33 3,56 ).( 2,57 1,29 0,86 )10a a a a a a− −= − − + + − + +
x y z x y z
155.10 ( 10,67( 2,57) 5,33.1,29 3,56.0,86)−= − − − + +
120,187.10 J−= −
Năng lượng & điện thế - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 7
Năng lượng & điện thế
1. Dịch chuyển điện tích điểm trong điện trường
2. Tích phân đường
3. Hiệu điện thế & điện thế
4. Trường thế của điện tích điểm
5. Trường thế của một hệ điện tích
6. Gradient thế
7. Lưỡng cực
8. Mật độ năng lượng trong trường tĩnh điện
Năng lượng & điện thế - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 8
Tích phân đường (1)
cuèi
®Çu
LW Q E dL= − ∫
1 2 6...W dW dW dW= + + +
1 1 2 2 6 6. . ... .E L E L E LQ Q Q= − ∆ − ∆ − − ∆
E
E
E
E
E
E
ΔL1
ΔL2
ΔL3
ΔL4
ΔL5
ΔL6
EL1
EL2
EL3
EL4
EL5
EL6
B
A
1 2 6...E E E E= = = =
1 2 6( ... )E. L L LW Q→ = − ∆ + ∆ + + ∆
1 2 6...L L L LBA∆ +∆ + +∆ =
E.LBAW Q→ = −
1 1 2 2 6 6. . ... .L L LQE L QE L QE L= − ∆ − ∆ − − ∆
(E đều)
E.LBAQ= −
(E đều)
Năng lượng & điện thế - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 9
Tích phân đường (2)
• Công để dịch chuyển điện tích (trong điện trường đều) chỉ phụ 
thuộc Q, E & véctơ LAB
• (sẽ thấy rằng) Điện trường (tĩnh) không đều cũng cho kết quả 
tương tự
.
cuèi
®Çu
L BAW Q E dL Q= − = −∫ EL
E
E
E
E
E
E
ΔL1
ΔL2
ΔL3
ΔL4
ΔL5
ΔL6
EL1
EL2
EL3
EL4
EL5
EL6
B
A
E. L
A
B
W Q d→ = − ∫ E.LBAQ= −
(E đều)
.
cuèi
®Çu
W Q d= − ∫ E L
E đều
Năng lượng & điện thế - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 10
Tích phân đường (3)
A
B
W Q d= − ∫ E. L
L a a a
x y zd dx dy dz= + +
2 ( 2 ).( )a a a a a aA
x y z x y zB
W y x dx dy dz→ = − + + + +∫
Cho E = yax + xay + 2az V/m. Tính công cần thực hiện để dịch chuyển một điện 
tích 2 C từ B(1; 0; 1) đến A(0,8; 0,6; 1) theo:
a) đường tròn x2 + y2 = 1, z = 1 b) đường thẳng nối B với A
Ví dụ 1 
0,8 0,6 1
1 0 1
2 2 4
x y
x y
ydx xdy dz
= =
= =
= − − −∫ ∫ ∫
0,8 0,62 2
1 0
2 1 2 1 0
x y
x y
x dx y dy
= =
= =
= − − − − −∫ ∫
0,8 0,6
2 1 2 1
1 0
1 sin 1 sinx x x y y y− −   = − − + − − +
   
0,96 J= −
Năng lượng & điện thế - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 11
Tích phân đường (4)
A
B
W Q d= − ∫ E. L
L a a a
x y zd dx dy dz= + +
2 ( 2 ).( )a a a a a aA
x y z x y zB
W y x dx dy dz→ = − + + + +∫
Ví dụ 1 
0,8 0,6 1
1 0 1
2 2 4
x y
x y
ydx xdy dz
= =
= =
= − − −∫ ∫ ∫
0,8 0,6
1 0
6 ( 1) 2 1 0
3
x y
x y
yW x dx dy
= =
= =
 
→ = − − − − 
 
∫ ∫ 0,96 J= −
( )A BB B
A B
y yy y x x
x x
−
− = −
−
3( 1)y x→ = − −
Cho E = yax + xay + 2az V/m. Tính công cần thực hiện để dịch chuyển một điện 
tích 2 C từ B(1; 0; 1) đến A(0,8; 0,6; 1) theo:
a) đường tròn x2 + y2 = 1, z = 1 b) đường thẳng nối B với A
Năng lượng & điện thế - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 12
Tích phân đường (5)
L a a a
x y zd dx dy dz= + +
L a a a zd d d dzρ ϕρ ρ ϕ= + +
sinL a a a
r
d dr rd r dθ ϕθ θ ϕ= + +
(Descartes)
(Trụ tròn)
(Cầu)
Năng lượng & điện thế - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 13
Tích phân đường (6)
L a a a zd d d dzρ ϕρ ρ ϕ= + +
.
cuèi
®Çu
W Q d= − ∫ E L
0
0
d
dz
ρ =
=
x
y
z
ρL
Tính công cần thực hiện khi di chuyển một điện tích Q
3600 quanh trục z trên một đường tròn nằm trên mặt phẳng
vuông góc với trục z, trục z đi qua tâm của đường tròn.
Ví dụ 2 
02
E aL ρ
ρ
piε ρ
=
0=
0
.
2
cuèi
®µu
LW Q dρ ϕ
ρ ρ ϕ
piε ρ→ = − ∫ a a
2
0
0
.
2
a aLQ dpi ρ ϕ
ρ ϕ
piε
= − ∫
2
o
0
0
cos90
2
piρ ϕ
piε
→ = − ∫LW Q d
o
. 1.1.cos90a aρ ϕ =
dL
Năng lượng & điện thế - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 14
Tích phân đường (7)
L a a a zd d d dzρ ϕρ ρ ϕ= + +
.
cuèi
®Çu
W Q d= − ∫ E L
0
0
d
dz
ϕ =
=
x
y
z
ρL
Tính công cần thực hiện khi di chuyển một điện tích Q 
từ ρ = a đến ρ = b.
Ví dụ 3 
02
E aL ρ
ρ
piε ρ
=
0
.
2
cuèi
®Çu
LW Q dρ ρ
ρ ρ
piε ρ→ = − ∫ a a
02
b
L
a
dQ ρ ρ
piε ρ
= − ∫
0
ln
2
LQ b
a
ρ
piε
= −
a
b
dL
Năng lượng & điện thế - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 15
Năng lượng & điện thế
1. Dịch chuyển điện tích điểm trong điện trường
2. Tích phân đường
3. Hiệu điện thế& điện thế
4. Trường thế của điện tích điểm
5. Trường thế của một hệ điện tích
6. Gradient thế
7. Lưỡng cực
8. Mật độ năng lượng trong trường tĩnh điện
Năng lượng & điện thế - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 16
Hiệu điện thế (1)
• Hiệu điện thế V: công cần thực hiện để dịch chuyển một 
điện tích dương 1 C từ điểm này tới điểm khác trong điện 
trường:
• Hiệu điện thế giữa điểm A & điểm B:
• Đơn vị: volt (V, J/C)
cuèi
®Çu
W Q d= − ∫ E. L
cuèi
®Çu
HiÖu ®iÖn thÕ V d= = −∫ E. L
A
AB B
V d= −∫ E. L
Năng lượng & điện thế - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 17
Hiệu điện thế (2)
x
y
z
ρL
Tính hiệu điện thế giữa ρ = a đến ρ = b.
Ví dụ
ab
WV Q=
0
ln
2
L
ab
bV
a
ρ
piε
→ =
0
ln
2
LQ bW
a
ρ
piε
=
a
b
Công cần thực hiện khi di chuyển 
một điện tíchQ từ a đến b:
0
ln
2
LQ bW
a
ρ
piε
= −
→ công cần thực hiện khi di chuyển một điện tích Q từ b đến a:
Năng lượng & điện thế - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 18
Điện thế
• Hiệu điện thế giữa điểm A & điểm B
• Nếu không có điểm B?
• → Điện thế (điện thế tuyệt đối) tại điểm A
• → Vẫn cần 1 điểm tham chiếu:
– “Đất”
– Vỏ của thiết bị điện
– Ở vô cùng
• Nếu điện thế tạiA là VA & tại B là VB thì hiệu điện thế giữa A& B:
VAB= VA – VB
• (với điều kiện VA& VB chung 1 điểm tham chiếu)
Năng lượng & điện thế - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 19
Năng lượng & điện thế
1. Dịch chuyển điện tích điểm trong điện trường
2. Tích phân đường
3. Hiệu điện thế & điện thế
4. Trường thế của điện tích điểm
5. Trường thế của một hệ điện tích
6. Gradient thế
7. Lưỡng cực
8. Mật độ năng lượng trong trường tĩnh điện
Năng lượng & điện thế - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 20
Trường thế của điện tích điểm (1)
.E L
A
AB B
V d= −∫
L ard dr=
2
04
E a
r
Q
rpiε
= Q
A B
rA rB
2
04
A
B
r
AB
r
QV dr
rpiε
→ = −∫
0
1 1
4 A B
Q
r rpiε
 
= − 
 
Br →∞
04
A
A
QV
rpiε
→ =
04
QV
rpiε
=
(Trường thế của điện tích điểm)
Năng lượng & điện thế - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 21
Trường thế của điện tích điểm (2)
• Điện thế của một điểm cách điện tích Q một khoảng r
• Điện thế của một điểm ở xa vô cùng được dùng làm điểm 
tham chiếu
• Ý nghĩa vật lý: cần phải tốn một công là Q/4πε0r (J) để dịch
chuyển một điện tích 1 C từ vô cùng về một điểm cáchQ
một khoảng r.
• Đặt
• Hiệu điện thế không phụ thuộc C1
04
QV
rpiε
=
1
04
QV C
rpiε
→ = +1
04 B
Q C
rpiε
=
Năng lượng & điện thế - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 22
Trường thế của điện tích điểm (3)
• Trường điện thế của một điện tích điểm
• Đó là một trường vô hướng, & không có véctơ đơn vị
• Mặt đẳng thế: tập hợp của tất cả các điểm có cùng điện
thế
• Khi dịch chuyển một điện tích trên một mặt đẳng thế, 
không cần phải tiêu tốn công
• Mặt đẳng thế của một điện tích điểm là một mặt cầu có
tâm nằm ở điện tích điểm đó
04
QV
rpiε
=
Năng lượng & điện thế - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 23
Năng lượng & điện thế
1. Dịch chuyển điện tích điểm trong điện trường
2. Tích phân đường
3. Hiệu điện thế & điện thế
4. Trường thế của điện tích điểm
5. Trường thế của một hệ điện tích
6. Gradient thế
7. Lưỡng cực
8. Mật độ năng lượng trong trường tĩnh điện
Năng lượng & điện thế - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 24
Trường thế của một hệ điện tích (1)
1
0 1
( )
4
r
r r
QV
piε
=
−
1 2
0 1 0 2
( )
4 4
r
r r r r
Q QV
piε piε
= +
− −
1 2
0 1 0 2 0
( ) ...
4 4 4
r
r r r r r r
n
n
QQ QV
piε piε piε
= + + +
− − −
r1
r
r – r1
Gốc toạ độ
Q1
1 04 r r
n
m
m m
Q
piε
=
=
−
∑
m v mQ vρ= ∆
1 1 2 2
0 1 0 2 0
( ) ( ) ( )( ) ...
4 4 4
r r r
r
r r r r r r
v v v n n
n
v v vV ρ ρ ρ
piε piε piε
∆ ∆ ∆
→ = + + +
− − −
r – r2
r2
Q2
Năng lượng & điện thế - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 25
Trường thế của một hệ điện tích (2)
n→∞
1 1 2 2
0 1 0 2 0
( ) ( ) ( )( ) ...
4 4 4
r r r
r
r r r r r r
v v v n n
n
v v vV ρ ρ ρ
piε piε piε
∆ ∆ ∆
= + + +
− − −
0
( )( )
4
v
V
dvV ρ
piε
′ ′
→ =
′−
∫
r
r
r r
0
( )( )
4
L dLV ρ
piε
′ ′
=
′
−
∫
r
r
r r
0
( )( )
4
S
S
dSV ρ
piε
′ ′
=
′−
∫
r
r
r r
Năng lượng & điện thế - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 26
Trường thế của một hệ điện tích (3)
Tính điện thế trên trục z.
Ví dụ
0
( )( )
4
L dLV ρ
piε
′ ′
=
′
−
∫
r
r
r r
dL adϕ′ ′=
2
2 20
0
( )
4
LadV
a z
pi ρ ϕ
piε
′
→ =
+
∫r
2 2
a z′→ − = +r rz
z=r a
a ρ′ =r a
2 2
02
La
a z
ρ
ε
=
+
x
y
z
ρL
r’'ϕ
r
(0, 0, z)
' 'dL adϕ=
ρ = a
2 2
' a z− = +r r
Năng lượng & điện thế - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 27
Trường thế của một hệ điện tích (4)
Nếu điểm tham chiếu ở vô cùng thì:
• Điện thế do một điện tích điểm gây ra là công cần thực hiện để đưa 1 
đơn vị điện tích dương từ vô cùng về điểm mà chúng ta xét, công này 
không phụ thuộc vào (dạng của) quãng đường giữa hai điểm đó
• Trường thế của một hệ điện tích gây ra là tổng của các trường thế do 
từng điện tích trong hệ gây ra
• Biểu thức điện thế:
• Hiệu điện thế:
• Đối với điện trường tĩnh:
A
AV d
∞
= −∫ E. L
A
AB A B B
V V V d= − = −∫ E. L
0d =∫ E. L

Năng lượng & điện thế - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 28
Năng lượng & điện thế
1. Dịch chuyển điện tích điểm trong điện trường
2. Tích phân đường
3. Hiệu điện thế & điện thế
4. Trường thế của điện tích điểm
5. Trường thế của một hệ điện tích
6. Gradient thế
7. Lưỡng cực
8. Mật độ năng lượng trong trường tĩnh điện
Năng lượng & điện thế - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 29
Gradient thế (1)
• Đã có 2 phương pháp để tính điện thế: bằng cường độ 
điện trường & bằng phân bố điện tích
• Nhưng thường thì không biết cả E lẫn ρ
• → Bài toán: tính cường độ điện trường từ điện thế
• Phương pháp: gradient thế
Năng lượng & điện thế - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 30
Gradient thế (2)
V d= −∫E. L
V∆ − ∆E. L≐
cosV E L θ∆ − ∆≐
cos
dV E
dL
θ= −
max
(cos 1)dVE
dL
θ= = −
θ
L∆
E
Năng lượng & điện thế - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 31
Gradient thế (3)
• Độ lớn của cường độ điện trường 
bằng giá trị cực đại của tốc độ biến 
thiên của điện thế theo khoảng cách
• Giá trị cực đại này đạt được nếu 
hướng của vi phân khoảng cách 
ngược với hướng của E, nói cách 
khác hướng của E ngược với 
hướng mà điện thế tăng nhanh nhất
max
dVE
dL
=
V = +90
+80
+70
+60
+50
+40
+30
+20
+10
P
E
max
N
dV
dL
 
= − 
 
E a
aN
ΔL
Năng lượng & điện thế - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 32
Gradient thế (4)
max
dV dV
dL dN
=
V = +90
+80
+70
+60
+50
+40
+30
+20
+10
P
E
max
N
dV
dL
 
= −  
 
E a
aN
ΔL
E aN
dV
dN
→ = −
grad aN
dTT
dN
=Gradient của T =
gradE V= −
Năng lượng & điện thế - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 33
Gradient thế (5)
gradE V= −
( , , )V V x y z= V V VdV dx dy dz
x y z
∂ ∂ ∂
→ = + +∂ ∂ ∂
.E L
x y zdV d E dx E dy E dz= − = − − −
x
y
z
VE
x
V
E
y
VE
z
 ∂
= − ∂
∂
→ = − ∂
 ∂
= − ∂
E a a a ∂ ∂ ∂→ = − + + ∂ ∂ ∂ x y z
V V V
x y z
grad a a a
x y z
V V VV
x y z
∂ ∂ ∂
= + +∂ ∂ ∂→
Năng lượng & điện thế - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 34
Gradient thế (6)
gradE V= −
gradT T→∇ =
grad a a a
x y z
V V VV
x y z
∂ ∂ ∂
= + +∂ ∂ ∂
a a a
x y z
x y z
∂ ∂ ∂∇ = + +
∂ ∂ ∂ x y z
T T TT
x y z
∂ ∂ ∂
→∇ = + +
∂ ∂ ∂
a a a
→ V= −∇E
Năng lượng & điện thế - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 35
Gradient thế (7)
1 (Tru tròn)a a az
V V VV
z
ρ ϕρ ρ ϕ
∂ ∂ ∂∇ = + +
∂ ∂ ∂ ɺ
(Descartes)a a a
x y z
V V VV
x y z
∂ ∂ ∂∇ = + +
∂ ∂ ∂
1 1 ( )
sin
a a aθ ϕθ θ ϕ
∂ ∂ ∂∇ = + +
∂ ∂ ∂
CÇur
V V VV
r r r
Năng lượng & điện thế - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 36
Gradient thế (8)
yx z
DD D
x y z
∂∂ ∂∇ = + +
∂ ∂ ∂
.D
x y z
V V VV
x y z
∂ ∂ ∂∇ = + +
∂ ∂ ∂
a a aGradient:
Đive:
Gradient thế (9)
Năng lượng & điện thế - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 37
Tính gradient của các hàm sau:
2 3) 2 5
) 6 sin 4 cos3
1) 2 sin cos
a f a y y z
b g z
c h r
r
ρ ϕ ρ ϕ
θ ϕ
= −
= +
= +
Ví dụ 1 
Năng lượng & điện thế - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 38
Gradient thế (10)
22( 4) (3) 5(6) 66 VPV = − − =
E V= −∇ a a a ∂ ∂ ∂= − + + ∂ ∂ ∂ x y z
V V V
x y z
Cho trường thế V = 2x2y – 5z (V) & điểm P(–4, 3, 6). Tính các thông 
số tại P: điện thế VP, cường độ điện trường EP , hướng của EP , dịch
chuyển điện DP , & mật độ điện tích khối ρv .
Ví dụ 2 
24 2 5 V/ma a ax y zxy x= − − +
48 32 5 V/mE a a ap x y z→ = − +
,
E
a
E
p
E P
p
=
2 2 2
48 32 5
48 ( 32) 5
a a ax y z− +
=
+ − +
0,83 0,55 0,086a a a
x y z= − +
Năng lượng & điện thế - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 39
Gradient thế (11)
0D Eε=
335, 4 pC/my= −
Cho trường thế V = 2x2y – 5z (V) & điểm P(–4, 3, 6). Tính các thông 
số tại P: điện thế VP, cường độ điện trường EP , hướng của EP , dịch
chuyển điện DP, & mật độ điện tích khối ρv .
2 235,40 17,71 44,30 pC/ma a ax y zxy x= − − +
12 28,854.10 ( 4 2 5 )a a ax y zxy x−= − − +
v
ρ = ∇.D
( )2. 35,40 17,71 44,30a a a a a ax y z x y zxy x
x y z
 ∂ ∂ ∂
= + + − − + ∂ ∂ ∂ 
2( 35,40 ) ( 17,71 ) (44,30)xy x
x y z
∂ − ∂ − ∂
= + +
∂ ∂ ∂
Ví dụ 2 
Năng lượng & điện thế - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 40
Năng lượng & điện thế
1. Dịch chuyển điện tích điểm trong điện trường
2. Tích phân đường
3. Hiệu điện thế & điện thế
4. Trường thế của điện tích điểm
5. Trường thế của một hệ điện tích
6. Gradient thế
7. Lưỡng cực
8. Mật độ năng lượng trong trường tĩnh điện
Năng lượng & điện thế - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 41
Lưỡng cực (1)
• Đóng vai trò quan trọng 
trong việc khảo sát chất 
điện môi trong điện trường
• Lưỡng cực (lưỡng cực 
điện): 2 điện tích điểm có 
độ lớn bằng nhau & ngược 
dấu, khoảng cách giữa 
chúng rất nhỏ so với 
khoảng cách tới điểm P
cần xét
x
y
z
+Q
–Q
P
R1
r
R2
d
θ
Năng lượng & điện thế - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 42
Lưỡng cực (2)
2 1
0 1 2 0 1 2
1 1
4 4
R RQ QV
R R R Rpiε piε
 
−
= − = 
 
1 2R R≐
2 1 cosR R d θ− ≐
x
y
z
+Q
–Q
P
R1
r
R2
d
θ
x
y
z
+Q
–Q
R1
r R2
d
θ
2 1 cosR R d θ− ≐
2
0
cos
4
QdV
r
θ
piε
=→
E V= −∇
3
0
(2cos sin )
4
E a a
r
Qd
r
θθ θpiε
= +
1 1
sin
a a a
r
V V V
r r r
θ ϕθ θ ϕ
 ∂ ∂ ∂
= − + + ∂ ∂ ∂ 
Năng lượng & điện thế - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 43
Lưỡng cực (3)
z
0,4
0,6
0,8
1
2
0
cos
4
QdV
r
θ
piε
=
3
0
(2cos sin )
4
E a a
r
Qd
r
θθ θpiε
= +
Năng lượng & điện thế - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 44
Lưỡng cực (4)
p dQ=
cosd.a
r
d θ=
Mômen lưỡng cực
2
04
p.a
rV
rpiε
→ =
2
0
cos
4
QdV
r
θ
piε
=
2
0
1 '
'4 'piε
−
=
−
−
r rp.
r rr r
r : véctơ định vị P
r’: véctơ định vị tâm lưỡng cực
d
x
y
z
+Q
–Q
P
R1
r
R2
d
θ
r
a
Năng lượng & điện thế - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 45
Năng lượng & điện thế
1. Dịch chuyển điện tích điểm trong điện trường
2. Tích phân đường
3. Hiệu điện thế & điện thế
4. Trường thế của điện tích điểm
5. Trường thế của một hệ điện tích
6. Gradient thế
7. Lưỡng cực
8. Mật độ năng lượng trong trường tĩnh điện
Năng lượng & điện thế - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 46
Mật độ năng lượng (1)
• Khi dịch chuyển một điện tích dương (1) ở vô cùng vào 
một điện trường của một điện tích dương khác (2), ta 
phải thực hiện một công
• Nếu điện tích 1 được giữ nguyên trong điện trường, nó 
có một thế năng
• Nếu thả điện tích 1 ra, nó sẽ lùi ra xa điện tích 2, & tích 
luỹ động năng trong quá trình chuyển động
• Bài toán: tìm thế năng của một hệ điện tích
Năng lượng & điện thế - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 47
Mật độ năng lượng (2)
• (Công dịch chuyển Q2) = Q2V2, 1
• V2, 1: điện thế tại vị trí của Q2 do Q1 gây ra
• Nếu thêm Q3 vào hệ thì
• (Công dịch chuyển Q3) = Q3V3, 1 + Q3V3, 2
• (Công dịch chuyển Q4) = Q4V4, 1 + Q4V4, 2 + Q4V4, 3
• Tổng công dịch chuyển = thế năng của điện trường =
= WE = Q2V2, 1 + Q3V3, 1 + Q3V3, 2 + Q4V4, 1 + Q4V4, 2 + + 
Q4V4, 3 + 
Năng lượng & điện thế - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 48
Mật độ năng lượng (3)
WE = Q2V2, 1 + Q3V3, 1 + Q3V3, 2 + Q4V4, 1+ Q4V4, 2 + Q4V4, 3 + 
1
3 3,1 3
0 134
QQV Q
Rpiε
=
13 31R R=
3
3 3,1 1 1 1,3
0 314
QQV Q QV
Rpiε
→ = =
WE = Q1V1, 2 + Q1V1, 3 + Q2V2, 3 + Q1V1, 4+ Q2V2, 4 + Q3V3, 4 +
WE = Q2V2, 1 + Q3V3, 1 + Q3V3, 2 + Q4V4, 1+ Q4V4, 2 + Q4V4, 3 + +
1 1,2 1,3 1,4
2 2,1 2,3 2,4
3 3,1 3,2 3,4
2 ( ...)
( ...)
( ...)
...
EW Q V V V
Q V V V
Q V V V
= + + + +
+ + + + +
+ + + + +
+
Năng lượng & điện thế - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 49
Mật độ năng lượng (4)
1
2E vV
W Vdvρ→ = ∫
1 1 2 2 3 3
1
1 1( ...)
2 2
k N
E k k
k
W QV Q V QV Q V
=
=
→ = + + + = ∑
1 1,2 1,3 1,4 2 2,1 2,3 2,4
2 3,1 3,2 3,4
2 ( ...) ( ...)
( ...) ...
EW Q V V V Q V V V
Q V V V
= + + + + + + + +
+ + + + +
1,2 1,3 1,4 1...V V V V+ + + =
2,1 2,3 2,4 2...V V V V+ + + =
3,1 3,2 3,4 3...V V V V+ + + =
k vQ dvρ=
Năng lượng & điện thế - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 50
Mật độ năng lượng (5)
• Tổng thế năng của một hệ điện tích
• Ngoài phương trình đối với điện tích khối, còn có thể xây 
dựng phương trình đối với điện tích điểm, điện tích 
đường, điện tích mặt
1
2E vV
W Vdvρ= ∫
Năng lượng & điện thế - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 51
Mật độ năng lượng (6)
.( ) ( . ) .( )D D DV V V∇ ≡ ∇ + ∇
1 ( . )
2E V
W Vdv→ = ∇∫ D
.D
v
ρ∇ =Phương trình Maxwell 1:
[ ]1 .( ) .( )
2E V
W V V dv→ = ∇ − ∇∫ D D
1
2E vV
W Vdvρ= ∫
Năng lượng & điện thế - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 52
Mật độ năng lượng (7)
1
.( )
2 V
V dv∇∫ D
[ ]1 .( ) .( )
2E V
W V V dv= ∇ − ∇∫ D D
1 1
.( ) .( )
2 2V V
V dv V dv= ∇ − ∇∫ ∫D D
. .
S V
d dv= ∇∫ ∫D S D
Định lý đive:
1 1
.( ) ( ).
2 2V S
V dv V d→ ∇ =∫ ∫D D S

1 1( ). .( )
2 2E S V
W V d V dv→ = − ∇∫ ∫D S D

Năng lượng & điện thế - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 53
Mật độ năng lượng (8)
1 1( ). .( )
2 2E S V
W V d V dv= − ∇∫ ∫D S D

04
QV
rpiε
= : suy giảm với tốc độ 1/r
24
D a r
Q
rpi
= : suy giảm với tốc độ 1/r2
Sd : tăng với tốc độ r2
1 ( ). 0
2
D S
S
V d→ =∫

1
.( )
2E V
W V dv→ = − ∇∫ D
E V= −∇ (gradient thế)
2
0
1 1
.
2 2E V V
W dv E dvε= =∫ ∫DE→
Năng lượng & điện thế - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 54
Mật độ năng lượng (9) ρ = a ρ = b
Tính thế năng của một đoạn cáp đồng trục, mặt ngoài của 
trụ trong có mật độ điện tích mặt ρS .
Ví dụ
2
2
00 0
0
1
2
z L b S
E z a
aW dv
ϕ pi ρ
ϕ ρ
ρ
ε
ε ρ
= = =
= = =
 
→ =  
 
∫ ∫ ∫
( )SaD a bρ
ρ ρ
ρ
= < <
2
0
1
2E V
W E dvε= ∫
0
SaE ρ
ε ρ→ =
dv d d dzρ ρ ϕ=
2 22
0 2 20 0
0
1
2
z L b S
E z a
aW d d dz
ϕ pi ρ
ϕ ρ
ρ
ε ρ ρ ϕ
ε ρ
= = =
= = =
→ = ∫ ∫ ∫
2 2
0
lnSLa b
a
pi ρ
ε
=
Cách 1:
Năng lượng & điện thế - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 55
Mật độ năng lượng (10) ρ = a ρ = b
0
a S
a b
aV dρ ρ
ε ρ
→ = −∫
.
cuèi
®Çu
ABV d= −∫ E L
1
2E vV
W Vdvρ= ∫
0bV =
0
lnSa b
a
ρ
ε
=
Cách 2:
a
a b
V E dρ ρ→ = −∫
0
SaEρ
ρ
ε ρ=
0
1 ln
2
S
E vV
a bW dv
a
ρρ
ε
→ = ∫1
2E vV
W Vdvρ= ∫
Ví dụ
Tính thế năng của một đoạn cáp đồng trục, mặt ngoài của 
trụ trong có mật độ điện tích mặt ρS .
Năng lượng & điện thế - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 56
Mật độ năng lượng (11) ρ = a ρ = b
1
2E vV
W Vdvρ= ∫
, ,
2 2
S
v
t t
a a t a
t
ρρ ρ= − ≤ ≤ + ≪
Cách 2:
0
1 ln
2
S
v
v
a b dv
a
ρρ
ε
= ∫
2 /2
0 0 /2
0
1 ln
2
z L a t S S
E z a t
bW a d d dz
t a
ϕ pi ρ
ϕ ρ
ρ ρ ρ ρ ϕ
ε
= = = +
= = = −
→ = ∫ ∫ ∫
2 2
0
lnSLa b
a
pi ρ
ε
=
Ví dụ
Tính thế năng của một đoạn cáp đồng trục, mặt ngoài của 
trụ trong có mật độ điện tích mặt ρS .
Năng lượng & điện thế - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 57
.W Q d= − ∫E L .V d= −∫E L
Q 1 224 R
QQ
Rpiε
=F a 24 R
Q
Rpiε
=E a ε=D E