Bài giảng Lý thuyết trường điện từ: Dịch chuyển điện, luật Gauss & đive - Nguyễn Công Phương

Lý thuyết trường điện từ
Dịch chuyển điện, luật Gauss & đive
Nguyễn Công Phương
Dịch chuyển điện, luật Gauss & đive - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 2
Nội dung
I. Giới thiệu
II. Giải tích véctơ
III. Luật Coulomb & cường độ điện trường
IV. Dịch chuyển điện, luật Gauss & đive
V. Năng lượng & điện thế
VI. Dòng điện & vật dẫn
VII. Điện môi & điện dung
VIII. Các phương trình Poisson & Laplace
IX. Từ trường dừng
X. Lực từ & điện cảm
XI. Trường biến thiên & hệ phương trình Maxwell
XII. Sóng phẳng
XIII. Phản xạ & tán xạ sóng phẳng
XIV.Dẫn sóng & bức xạ
Dịch chuyển điện, luật Gauss & đive - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 3
Dịch chuyển điện, luật Gauss & đive
1. Dịch chuyển điện
2. Luật Gauss
3. Đive
4. Phương trình Maxwell 1
5. Toán tử véctơ 

6. Định lý đive
Dịch chuyển điện, luật Gauss & đive - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 4
Dịch chuyển điện (1)
• M. Faraday (1837)
• Hiện tượng: tổng điện tích của mặt cầu 
ngoài có trị tuyệt đối bằng tổng điện 
tích ban đầu của mặt cầu trong, không 
phụ thuộc vào chất điện môi giữa hai 
mặt cầu
• Kết luận: có một sự “dịch chuyển” nào 
đó từ bán cầu trong ra bán cầu ngoài, 
gọi là dịch chuyển điện:
Ψ = Q
• Ψ: thông lượng
Dịch chuyển điện, luật Gauss & đive - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 5
Dịch chuyển điện (2)
2 24 4
Q
a api pi
Ψ
=
24
D arr a
Q
api=
=
24
D arr b
Q
bpi=
=
–Q
+Q
a
b
Sa = 4πa2 (m2)
Mật độ thông lượng chảy qua mặt cầu trong:
24 ra r b
Q
rpi≤ ≤
=D a
Véctơ mật độ dịch chuyển điện (véctơ dịch chuyển điện):
Dịch chuyển điện, luật Gauss & đive - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 6
Dịch chuyển điện (3)
2
04
E a
r
Q
rpiε
=
–Q
b
(a < r < b)24D ar
Q
rpi
=
2
04
v
rV
dv
R
ρ
piε
= ∫E a
24
D a
r
Q
rpi
=
+Q
r
(trong chân không)
→ 0D Eε=
(trong chân không)
→ 24
v
rV
dv
R
ρ
pi
= ∫D a
Dịch chuyển điện, luật Gauss & đive - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 7
Dịch chuyển điện, luật Gauss & đive
1. Dịch chuyển điện
2. Luật Gauss
3. Đive
4. Phương trình Maxwell 1
5. Toán tử véctơ 

6. Định lý đive
Dịch chuyển điện, luật Gauss & đive - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 8
Luật Gauss (1)
• Tổng quát hoá thí nghiệm của Faraday
• Luật Gauss: thông lượng chảy qua một mặt kín bất kỳ 
bằng tổng điện tích được bao trong mặt kín đó
Q
Dịch chuyển điện, luật Gauss & đive - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 9
Luật Gauss (2)
măt kín
ψ Sd d→Ψ = =∫ ∫ D . S
ɺ

Q
ΔS
ΔS
θDS
DS, pháp tuyến
P
ΔΨ = thông lượng qua ΔS
= DScosθΔS
= DS .ΔS
. điên tích trong măt kínD SSS d QΨ = = =∫ ɺ ɺ
Dịch chuyển điện, luật Gauss & đive - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 10
Luật Gauss (3)
nQ Q=∑
. điên tích trong măt kínD SSS d QΨ = = =∫ ɺ ɺ
LQ dLρ= ∫
SS
Q dSρ= ∫
vV
Q dVρ= ∫
.S vS V
d dvρ=∫ ∫D S
Dịch chuyển điện, luật Gauss & đive - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 11
Kiểm chứng lại thí nghiệm của Faraday bằng luật Gauss
2
04
E a
r
Q
rpiε
=
0D Eε=
dS = r2sinθdθdφ = a2sinθdθdφ
24
D a
r
Q
rpi
→ =
24
D aS r
Q
api
→ = (tại mặt cầu)
2. 4
D S a SS rS S
Qd d
api
→ =∫ ∫ 
→ dS = a2sinθdθdφar
. sin
4SS S
Qd d dθ θ ϕ
pi
→ =∫ ∫D S 
x y
z
DS
θ
dSr = a
φ
Q
Dịch chuyển điện, luật Gauss & đive - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 12
Kiểm chứng lại thí nghiệm của Faraday bằng luật Gauss
2
0 2
Q dpi ϕ
pi
= ∫
Q=
2
0 0
sin
4
Q d dϕ pi θ pi
ϕ θ
θ θ ϕ
pi
= =
= =
= ∫ ∫
2
0
0
( cos )
4
Q d
pi
pi
θ ϕ
pi
= −∫
. sin
4SS S
Qd d dθ θ ϕ
pi
=∫ ∫D S 
x y
z
DS
θ
dSr = a
φ
Q
Dịch chuyển điện, luật Gauss & đive - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 13
Luật Gauss (4)
Cho một điện tích điểm 1 nC tại (2, 0, 3) & một điện tích điểm 2 nC
tại (4, – 5, 6). Tính tổng thông lượng chảy ra khỏi khối lập phương
được tạo bằng 6 mặt phẳng x, y, z = ± 8.
Ví dụ 1 
Dịch chuyển điện, luật Gauss & đive - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 14
Luật Gauss (5)
• Luật Coulomb được dùng để tính E [= f(Q)]
• Một số bài toán khó tính được E nếu dùng luật Coulomb
• Luật Gauss có thể dùng để tínhD (→ E) khi đã biết Q
• Bài toán sẽ dễ giải hơn nếu chọn được một mặt kín thoả
mãn 2 điều kiện:
– DS tại mọi nơi vuông góc hoặc tiếp tuyến với mặt kín, sao cho
DS.dS trở thànhDSdS hoặc zero
– Ở những nơi (trên mặt kín) mà DS.dS ≠ 0, DS = const
• (gọi là mặt Gauss)
.D SSSQ d= ∫
Dịch chuyển điện, luật Gauss & đive - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 15
Luật Gauss (6)
;D aDρ ρ= ( )D fρ ρ=
tru tròn
.D SSQ d= ∫
ɺ

x
y
z
LρL
ρ
0 0
s−ên ®Ønh ®¸yS
D dS dS dS= + +∫ ∫ ∫
2
0 0
z L
S z
D d dz
ϕ pi
ϕ
ρ ϕ= =
= =
= ∫ ∫ 2SD Lpiρ= 2S
QD D
Lρ piρ
→ = =
LQ Lρ=
2
LDρ
ρ
piρ
→ =
02
LEρ
ρ
piε ρ→ =
E = ?
Dịch chuyển điện, luật Gauss & đive - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 16
Luật Gauss (7)
2SQ D Lpiρ=
2
0 0
2
z L
S S
z
Q ad dz aLϕ pi
ϕ
ρ ϕ pi ρ= =
= =
= =∫ ∫
Hai mặt trụ tròn đồng trục dẫn điện, dài vô tận. Mặt 
ngoài của mặt trụ trong có mật độ điện tích mặt ρS .
S
S
aD ρρ→ = ( )
Sa a bρ
ρ ρρ= < <D a
1 1
.2 .1 2L S S sl lQ S a aρ ρ ρ pi pi ρ= == = = =
(điện tích của một mặt trụ tròn dài L, bán kính ρ (a < ρ < b))
(điện tích tổng của mặt trụ trong dài L)
2
D aL ρ
ρ
piρ=→
ρ = a ρ = b
Dịch chuyển điện, luật Gauss & đive - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 17
Luật Gauss (8)
măt tru ngoài măt tru trongQ Q= −
ɺ ɺ ɺ ɺ
măt tru trong ,măt tru trong2 SQ aLpi ρ=
ɺ ɺ ɺ ɺ
măt tru ngoài ,măt tru ngoài2 SQ bLpi ρ=
ɺ ɺ ɺ ɺ
ρ = a ρ = b
,măt tru ngoài ,măt tru trongS S
a
b
ρ ρ→ = −
ɺ ɺ ɺ ɺ
Dịch chuyển điện, luật Gauss & đive - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 18
Luật Gauss (9) ρ = a ρ = b
, măt tru ngoài măt tru trong 0R R b Q Q>Ψ = + =
ɺ ɺ ɺ ɺ
,
2S RD RLpi=
,
0S RD→ =
Một cáp đồng trục dài vô hạn (hoặc hở hai đầu & dài hữu hạn nhưng L >> b) 
không có trường ở bên ngoài & không có trường ở bên trong dây dẫn trong
R
Dịch chuyển điện, luật Gauss & đive - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 19
Luật Gauss (10)
dây trong
,dây trong 2S
Q
aL
ρ
pi
=
9
2
3
40.10 6,37 C/m
2 .10 .1
µ
pi
−
−
= =
dây ngoài
, dây ngoài 2S
Q
bL
ρ
pi
=
Xét một cáp đồng trục dài 1m, bán kính trong 1mm, bán kính ngoài 4mm. Giữa 
các dây dẫn là không khí. Tổng điện tích của dây dẫn trong là 40nC. Tính mật độ 
điện tích trên các dây dẫn, E& D.
Ví dụ 2 
9
2
3
40.10 1,59 C/m
2 .4.10 .1
µ
pi
−
−
−
= = −
3 3
,dây trong
10 4.10
SaDρ ρ
ρ
ρ− −< <
=
3 310 4.10
0
D
E ρρ ρ ε− −< <
=
3 6
21.10 .6,37.10 6,37 nC/m
ρ ρ
− −
= =
9
2
12
6,37.10 719 V/m
8,854.10 ρ ρ
−
−
= =
Dịch chuyển điện, luật Gauss & đive - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 20
Luật Gauss (11)
• Để áp dụng luật Gauss (tính D) 
thì phải tìm được mặt Gauss
• Vấn đề: khó tìm mặt Gauss
• Giải pháp: chọn một mặt kín rất 
nhỏ (tiến đến zero)
D = D0 = Dx0ax + Dy0ay + Dz0az
x y
z
Δz
Δy Δx
D0
Dịch chuyển điện, luật Gauss & đive - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 21
Luật Gauss (12)
.D SSSQ d= ∫
sau trái trên
.
tr−íc ph¶i d−íiS
d = + + + + +∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫D S
.tr−íc tr−íc
tr−íc
∆∫ D S≐
x y
z
Δz
Δy Δx
D0
Vì mặt kín rất nhỏ nên D về cơ bản là hằng số trên từng mặt
.tr−íc xy z∆ ∆D a≐ , tr−ícxD y z∆ ∆≐
Dịch chuyển điện, luật Gauss & đive - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 22
Luật Gauss (13)
, tr−íc
tr−íc
x
D y z∆ ∆∫ ≐
x y
z
Δz
Δy Δx
D0
0 2
x
x
DxD
x
∂∆
+
∂
≐
2
x∆
0D
x
D
x
∂
∂
0 2tr−íc
x
x
DxD y z
x
∂∆ 
→ + ∆ ∆ ∂ ∫
≐
, 0 2tr−ícx x
xD D ∆+ ×≐ (tốc độ thay đổi của Dx theo x)
Dịch chuyển điện, luật Gauss & đive - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 23
Luật Gauss (14)
,sau 0 2
x
x x
Dx
D D
x
∂∆
− ∂≐
x y
z
Δz
Δy Δx
D0
0 2tr−íc
x
x
DxD y z
x
∂∆ 
+ ∆ ∆ ∂ ∫
≐
sau sau
sau
.D S∆∫ ≐ sau .( )D axy z−∆ ∆≐
,sauxD y z− ∆ ∆≐
0
sau 2
x
x
DxD y z
x
∂∆ 
→ − + ∆ ∆ ∂ ∫
≐
Dịch chuyển điện, luật Gauss & đive - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 24
Luật Gauss (15)
0 2tr−íc
x
x
DxD y z
x
∂∆ 
+ ∆ ∆ ∂ ∫
≐
sautr−íc
xD x y z
x
∂
→ + ∆ ∆ ∆
∂∫ ∫
≐
0
sau 2
x
x
x DD y z
x
∆ ∂ 
− + ∆ ∆ ∂ ∫
≐
tráiph¶i
yD
x y z
y
∂
+ ∆ ∆ ∆
∂∫ ∫
≐
trên d−íi
zD x y z
z
∂
+ ∆ ∆ ∆
∂∫ ∫
≐
Tương tự:
Dịch chuyển điện, luật Gauss & đive - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 25
Luật Gauss (16)
sautr−íc
xD x y z
x
∂
+ ∆ ∆ ∆
∂∫ ∫
≐
tráiph¶i
yD
x y z
y
∂
+ ∆ ∆ ∆
∂∫ ∫
≐
trên d−íi
zD x y z
z
∂
+ ∆ ∆ ∆
∂∫ ∫
≐
sau trái trên
.
tr−íc ph¶i d−íiS
d = + + + + +∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫D S
.D S yx z
S
DD Dd x y z
x y z
∂ ∂ ∂
→ + + ∆ ∆ ∆ ∂ ∂ ∂ ∫
≐
Dịch chuyển điện, luật Gauss & đive - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 26
Luật Gauss (17)
.D S yx z
S
DD Dd x y z
x y z
∂ ∂ ∂
+ + ∆ ∆ ∆ ∂ ∂ ∂ ∫
≐
v x y z∆ = ∆ ∆ ∆
.D S yx z
S
DD Dd v
x y z
∂ ∂ ∂
→ + + ∆ ∂ ∂ ∂ ∫
≐
x y
z
Δz
Δy Δx
D0
bao trong măt kín
yx z
v
DD DQ v
x y z∆
∂ ∂ ∂
+ + ×∆ ∂ ∂ ∂ ɺ
≐
Dịch chuyển điện, luật Gauss & đive - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 27
Luật Gauss (18)
( ) 10bao trong măt kín 0 0 2 10 0, 2 nCvQ −∆→ + + =
ɺ
≐
sin sinx xxx
DD e y e y
x
− −
∂
= → = −∂ 0
0x
x
D
x
=
∂
→ =
∂
Tính tổng điện tích xấp xỉ bao trong một mặt kín thể tích 10 –10 m3
nằm ở gốc toạ độ. Cho D = e –xsinyax – e –xcosyay + 2zaz C/m2.
Ví dụ 3 
cos sinyx xy
D
D e y e y
y
− −
∂
= − → =
∂
0
0y
y
D
y
=
∂
→ =
∂
0
2 2 2z zz
z
D DD z
z z
=
∂ ∂
= → = → =
∂ ∂
bao trong măt kín
yx z
v
DD DQ v
x y z∆
∂ ∂ ∂
+ + ×∆ ∂ ∂ ∂ ɺ
≐
Dịch chuyển điện, luật Gauss & đive - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 28
Dịch chuyển điện, luật Gauss & đive
1. Dịch chuyển điện
2. Luật Gauss
3. Đive
4. Phương trình Maxwell 1
5. Toán tử véctơ 

6. Định lý đive
Dịch chuyển điện, luật Gauss & đive - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 29
Đive (1)
.D S yx z
S
DD Dd Q v
x y z
∂ ∂ ∂
= + + ∆ ∂ ∂ ∂ ∫
≐
.D S
yx Sz
dDD D Q
x y z v v
∂ ∂ ∂
→ + + = ∂ ∂ ∂ ∆ ∆ 
∫
≐

0 0
.
lim lim
D S
yx Sz
v v
dDD D Q
x y z v v∆ → ∆ →
∂ ∂ ∂
→ + + = = ∂ ∂ ∂ ∆ ∆ 
∫
0
.
lim
A S
yx Sz
v
dAA A
x y z v∆ →
∂ ∂ ∂
→ + + = ∂ ∂ ∂ ∆ 
∫
0
.
div lim
A S
A S
v
d
v∆ →
= =
∆
∫
Đive của A
Dịch chuyển điện, luật Gauss & đive - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 30
Đive (2)
• Đive của mật độ thông lượng véctơ A là thông lượng 
trên mỗi đơn vị thể tích, chảy ra từ một vùng kín nhỏ, có 
thể tích tiến đến zero
• Đive là một phép toán có đối số là một véctơ, nhưng kết 
quả là một giá trị vô hướng
• Đive chỉ cho kết quả là có bao nhiêu thông lượng (trên 
mỗi đơn vị thể tích) chảy ra khỏi một vùng nhỏ, chứ 
không phải là theo hướng nào
0
.
div lim
A S
A S
v
d
v∆ →
= =
∆
∫
Đive của A
Dịch chuyển điện, luật Gauss & đive - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 31
Đive (3)
divD yx z
DD D
x y z
∂∂ ∂
= + +
∂ ∂ ∂
1 1div ( )D zD DD
z
ϕ
ρρρ ρ ρ ϕ
∂ ∂∂
= + +
∂ ∂ ∂
0
.
div lim
A S
A S
v
d
v∆ →
= =
∆
∫
Đive của A
2
2
1 1 1div ( ) (sin )
sin sinr
D
r D D
r r r r
ϕ
θθθ θ θ ϕ
∂∂ ∂
= + +
∂ ∂ ∂
D
(Descartes)
(Trụ tròn)
(Cầu)
Dịch chuyển điện, luật Gauss & đive - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 32
Đive (4)
Tính đive ở gốc toạ độ, cho D = e – xsinyax – e – xcosyay + 2zaz C/m2.
Ví dụ 1 
Đive (5)
Dịch chuyển điện, luật Gauss & đive - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 33
Tính đive của các véctơ sau:
2 3
2
a) ( )
b) cos sin
c) sin cos ( )
x y z
z
r
xy z
z
r
ρ
θ ϕ
ρ ϕ ϕ
ρ
θ ϕ
= + +
= +
= + +
A a a a
B a a
C a a a
Ví dụ 2 
Dịch chuyển điện, luật Gauss & đive - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 34
Dịch chuyển điện, luật Gauss & đive
1. Dịch chuyển điện
2. Luật Gauss
3. Đive
4. Phương trình Maxwell 1
5. Toán tử véctơ 

6. Định lý đive
Dịch chuyển điện, luật Gauss & đive - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 35
Maxwell 1 (1)
.D S
S
d Q=∫
.D S
S
d Q
v v
→ =
∆ ∆
∫
0 0
.
lim lim
D S
S
v v
d Q
v v∆ → ∆ →
→ =
∆ ∆
∫
0
.
div lim
D S
D S
v
d
v∆ →
=
∆
∫
0
lim v
v
Q
v
ρ
∆ →
=
∆
divD vρ=→ Phương trình Maxwell 1
Dịch chuyển điện, luật Gauss & đive - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 36
Maxwell 1 (2)
• Áp dụng cho điện trường tĩnh & từ trường dừng
• Thông lượng (trên một đơn vị thể tích) chảy ra khỏi một thể tích 
rất nhỏ đúng bằng mật độ điện tích khối tại đó
• Có thể gọi là dạng vi phân của luật Gauss vì
– Luật Gauss liên hệ thông lượng chảy ra khỏi một mặt kín với điện tích bao 
trong mặt kín đó
– Maxwell 1 phát biểu về thông lượng (trên mỗi đơn vị thể tích) chảy ra khỏi 
một thể tích rất nhỏ, nghĩa là tại 1 điểm
• Maxwell 1 còn gọi là dạng phương trình vi phân của luật Gauss
• Luật Gauss còn gọi là dạng tích phân của Maxwell 1
div vρ=D
Dịch chuyển điện, luật Gauss & đive - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 37
Maxwell 1 (3)
Tính mật độ điện tích khối ρv quanh một điện tích điểm Q nằm ở gốc 
toạ độ.
Ví dụ 
24 r
Q
rpi
=D a
2
2
1 1 1div ( ) (sin )
sin sin
D ϕθθθ θ θ ϕ
∂∂ ∂
= + +
∂ ∂ ∂r
D
r D D
r r r r
0, 0D Dθ ϕ= =
2
2 2
1div 0
4
Q
r
r r rpi
∂  
→ = = ∂  
D
div vρ=D
0vρ→ =
Dịch chuyển điện, luật Gauss & đive - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 38
Dịch chuyển điện, luật Gauss & đive
1. Dịch chuyển điện
2. Luật Gauss
3. Đive
4. Phương trình Maxwell 1
5. Toán tử véctơ 

6. Định lý đive
Dịch chuyển điện, luật Gauss & đive - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 39
∇
a a a
x y z
x y z
∂ ∂ ∂∇ = + +
∂ ∂ ∂
( ). .D a a a a a ax y z x x y y z zD D D
x y z
 ∂ ∂ ∂∇ = + + + + ∂ ∂ ∂ 
( ) ( ) ( )
x y zD D D
x y z
∂ ∂ ∂
= + +
∂ ∂ ∂
yx z
DD D
x y z
∂∂ ∂
= + +
∂ ∂ ∂
div .D D yx z
DD D
x y z
∂∂ ∂
= ∇ = + +
∂ ∂ ∂
→
divD=
(1)
Dịch chuyển điện, luật Gauss & đive - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 40
∇(2)
Cho D = e –xsinyax – e –xcosyay + 2zaz C/m2, tính
Ví dụ 
?∇.D
Dịch chuyển điện, luật Gauss & đive - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 41
Dịch chuyển điện, luật Gauss & đive
1. Dịch chuyển điện
2. Luật Gauss
3. Đive
4. Phương trình Maxwell 1
5. Toán tử véctơ 

6. Định lý đive
Dịch chuyển điện, luật Gauss & đive - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 42
Định lý đive (1)
• Có thể áp dụng cho mọi trường véctơ có đạo hàm riêng.
• Phát biểu: tổng của thành phần chuẩn của một trường 
véctơ trên một mặt kín bằng tổng của đive của trường 
véctơ đó trong toàn bộ không gian nằm trong mặt kín
.D S
S
d Q=∫
vV
Q dvρ= ∫
.D vρ∇ =
. .vS V V
d Q dv dvρ→ = = = ∇∫ ∫ ∫D S D
. .
S V
d dv= ∇∫ ∫D S D→
Dịch chuyển điện, luật Gauss & đive - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 43
Định lý đive (2)
1 1(2 ) 2x x xD xy y= == =
x
y
z3
2
1
Cho D = 2xyax + x2ay C/m2 & hình hộp chữ nhật. 
Kiểm nghiệm định lý đive.
Ví dụ
. . ( )D S D
S V
d dV Q= ∇ =∫ ∫
Vế trái
sau trái trên
.
tr−íc ph¶i d−íiS
d = + + + + +∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫D S
3 2
10 0
.( )
tr−íc
z y
xxz y
dydz
= =
=
= =
=∫ ∫ ∫ D a
3 2
10 0
z y
x xz y
D dydz
= =
=
= =
= ∫ ∫
3 2
0 0
2
tr−íc
z y
z y
ydydz
= =
= =
→ =∫ ∫ ∫ 12 C=
3
0
4
z
z
dz
=
=
= ∫
Dịch chuyển điện, luật Gauss & đive - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 44
Định lý đive (3)
0 0(2 ) 0x x xD xy= == =
x
y
z3
2
1
Cho D = 2xyax + x2ay C/m2 & hình hộp chữ nhật. 
Kiểm nghiệm định lý đive.
Ví dụ
. . ( )D S D
S V
d dV Q= ∇ =∫ ∫
Vế trái
sau trái trên
.
tr−íc ph¶i d−íiS
d = + + + + +∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫D S
3 2
0sau 0 0
.( )D az y
xxz y
dydz
= =
=
= =
= −∫ ∫ ∫
3 2
00 0
z y
x xz y
D dydz
= =
=
= =
= −∫ ∫
sau
0→ =∫
Dịch chuyển điện, luật Gauss & đive - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 45
Định lý đive (4)
2 2
2 2
( )y y yD x x= == =
x
y
z3
2
1
Cho D = 2xyax + x2ay C/m2 & hình hộp chữ nhật. 
Kiểm nghiệm định lý đive.
Ví dụ
. . ( )D S D
S V
d dV Q= ∇ =∫ ∫
Vế trái
sau trái trên
.
tr−íc ph¶i d−íiS
d = + + + + +∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫D S
3 1
20 0
.( )z x yyz x dxdz
= =
=
= =
=∫ ∫ ∫ D aph¶i
3 1
20 0
z x
y yz x
D dxdz
= =
== =
= ∫ ∫
3 1 2
0 0ph¶i
z x
z x
x dxdz
= =
= =
→ =∫ ∫ ∫
Dịch chuyển điện, luật Gauss & đive - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 46
Định lý đive (5)
2 2
0 0
( )y y yD x x= == =
x
y
z3
2
1
Ví dụ
. . ( )D S D
S V
d dV Q= ∇ =∫ ∫
Vế trái
sau trái trên
.
tr−íc ph¶i d−íiS
d = + + + + +∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫D S
3 1
0trái 0 0
.( )z x yyz x dxdz
= =
=
= =
= −∫ ∫ ∫ D a
3 1
00 0
z x
y yz x
D dxdz
= =
== =
= −∫ ∫
3 1 2
trái 0 0
z x
z x
x dxdz
= =
= =
→ = −∫ ∫ ∫
Cho D = 2xyax + x2ay C/m2 & hình hộp chữ nhật. 
Kiểm nghiệm định lý đive.
Dịch chuyển điện, luật Gauss & đive - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 47
Định lý đive (6)
x
y
z3
2
1
Ví dụ
. . ( )D S D
S V
d dV Q= ∇ =∫ ∫
Vế trái
sau trái trên
.
tr−íc ph¶i d−íiS
d = + + + + +∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫D S
trên
0
d−íi
= =∫ ∫
Vì D song song với mặt trên & mặt dưới nên tại đó D.dS = 0, vì vậy 
Cho D = 2xyax + x2ay C/m2 & hình hộp chữ nhật. 
Kiểm nghiệm định lý đive.
Dịch chuyển điện, luật Gauss & đive - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 48
Định lý đive (7)
sau trái trên
.
tr−íc ph¶i d−íiS
d = + + + + +∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫D S
x
y
z3
2
1
Ví dụ
. . ( )D S D
S V
d dV Q= ∇ =∫ ∫
Vế trái
3 1 3 12 2
0 0 0 0
12 0 0 0
z x z x
z x z x
x dxdz x dxdz
= = = =
= = = =
= + + − + +∫ ∫ ∫ ∫
12 C=
Cho D = 2xyax + x2ay C/m2 & hình hộp chữ nhật. 
Kiểm nghiệm định lý đive.
Dịch chuyển điện, luật Gauss & đive - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 49
Định lý đive (8)
.D
V
dV∇∫
x
y
z3
2
1
Ví dụ
. . ( )D S D
S V
d dV Q= ∇ =∫ ∫
Vế phải
22 0xy x
x y z
∂ ∂ ∂
= + +
∂ ∂ ∂ 2y=.D
yx z
DD D
x y z
∂∂ ∂∇ = + +
∂ ∂ ∂
3 2 1
0 0 0
2
= = =
= = =
= ∫ ∫ ∫
z y x
z y x
ydxdydz. 2D
V V
dV ydV→ ∇ =∫ ∫
3 2
0 0
2
= =
= =
= ∫ ∫
z y
z y
ydydz
3
0
4
z
z
dz
=
=
= ∫ 12 C=
Cho D = 2xyax + x2ay C/m2 & hình hộp chữ nhật. 
Kiểm nghiệm định lý đive.
Dịch chuyển điện, luật Gauss & đive - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 50
Định lý đive (9)
• Có thể dùng định lý đive để tính thông lượng chảy ra từ 
một mặt kín hoặc điện tích trong mặt kín
• Có 2 cách tính: luật Gauss & định lý đive
• Định lý đive (trong ví dụ này) tính nhanh hơn luật Gauss
. 12 CD S
S
d =∫
x
y
z3
2
1
Ví dụ
. . ( )D S D
S V
d dV Q= ∇ =∫ ∫
Vế trái
. 12 CD
V
dV∇ =∫Vế phải
Cho D = 2xyax + x2ay C/m2 & hình hộp chữ nhật. 
Kiểm nghiệm định lý đive.
Dịch chuyển điện, luật Gauss & đive - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 51
Q 1 224 R
QQ
Rpiε
=F a 24 R
Q
Rpiε
=E a ε=D E