Bài giảng Lý thuyết trường điện từ: Các phương trình Poisson & Laplace - Nguyễn Công Phương

Lý thuyết trường điện từ
Các phương trình Poisson & Laplace
Nguyễn Công Phương
Các phương trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 2
Nội dung
I. Giới thiệu
II. Giải tích véctơ
III. Luật Coulomb & cường độ điện trường
IV. Dịch chuyển điện, luật Gauss & đive
V. Năng lượng & điện thế
VI. Dòng điện & vật dẫn
VII. Điện môi & điện dung
VIII.Các phương trình Poisson & Laplace
IX. Từ trường dừng
X. Lực từ & điện cảm
XI. Trường biến thiên & hệ phương trình Maxwell
XII. Sóng phẳng
XIII. Phản xạ & tán xạ sóng phẳng
XIV.Dẫn sóng & bức xạ
Các phương trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 3
Các phương trình Laplace & Poisson
1. Phương trình Poisson
2. Phương trình Laplace
3. Định lý nghiệm duy nhất
4. Giải phương trình Laplace
5. Giải phương trình Poisson
6. Nghiệm tích của phương trình Laplace
7. Phương pháp sai phân hữu hạn
8. Phương pháp phần tử hữu hạn
Các phương trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 4
Phương trình Poisson (1)
0D Eε=
Luật Gauss:
v
ρ∇ =.D
( ) ( ) vVε ε ρ→∇ =∇ = −∇ ∇ =.D . E .
V= −∇EGradient thế: vV ρ
ε
→∇ ∇ = −.
(Phương trình Poisson)
x y z
V V VV
x y z
∂ ∂ ∂∇ = + +
∂ ∂ ∂
a a a
yx z
AA A
x y z
∂∂ ∂∇ = + +
∂ ∂ ∂
.A
2 2 2
2 2 2.
yx z
VV V V V VV
x x y y z z x y z
∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂   
→∇∇ = + + = + +    ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂    
Các phương trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 5
Phương trình Poisson (2)
vV ρ
ε
∇ ∇ = −.
Đặt 2∇ ∇ =∇.
2 2 2
2 2 2.
V V VV
x y z
∂ ∂ ∂∇∇ = + +
∂ ∂ ∂
2 2 2
2
2 2 2
vV V VV
x y z
ρ
ε
∂ ∂ ∂∇ = + + = −
∂ ∂ ∂
(Hệ Descartes)
2 2
2 2 2
1 1 vV V V
z
ρρ
ρ ρ ρ ρ ϕ ε
 ∂ ∂ ∂ ∂
+ + = − ∂ ∂ ∂ ∂ 
2
2
2 2 2 2 2
1 1 1
sin
sin sin
vV V Vr
r r r r r
ρθ
θ θ θ θ ϕ ε
∂ ∂ ∂ ∂ ∂   
+ + = −   ∂ ∂ ∂ ∂ ∂   
(Hệ trụ)
(Hệ cầu)
Phương trình Poisson (3)
Các phương trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 6
Ví dụ
Tìm Laplacian của các trường vô hướng sau:
2 3
3
) 2
cos2)
20sin)
a A xy z
b B
c C
r
ϕ
ρ
θ
=
=
=
Các phương trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 7
Các phương trình Laplace & Poisson
1. Phương trình Poisson
2. Phương trình Laplace
3. Định lý nghiệm duy nhất
4. Giải phương trình Laplace
5. Giải phương trình Poisson
6. Nghiệm tích của phương trình Laplace
7. Phương pháp sai phân hữu hạn
8. Phương pháp phần tử hữu hạn
Các phương trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 8
Phương trình Laplace
0vρ =
2 2 2
2
2 2 2
vV V VV
x y z
ρ
ε
∂ ∂ ∂∇ = + + = −
∂ ∂ ∂
(Phương trình Laplace, hệ Descartes)
2 2
2 2 2
1 1 0V V V
z
ρρ ρ ρ ρ ϕ
 ∂ ∂ ∂ ∂
+ + = ∂ ∂ ∂ ∂ 
2
2
2 2 2 2 2
1 1 1
sin 0
sin sin
V V V
r
r r r r r
θ
θ θ θ θ ϕ
∂ ∂ ∂ ∂ ∂   
+ + =   ∂ ∂ ∂ ∂ ∂   
(Hệ trụ)
(Hệ cầu)
2 2 2
2
2 2 2 0
V V VV
x y z
∂ ∂ ∂∇ = + + =
∂ ∂ ∂
Phương trình Poisson:
Các phương trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 9
Các phương trình Laplace & Poisson
1. Phương trình Poisson
2. Phương trình Laplace
3. Định lý nghiệm duy nhất
4. Giải phương trình Laplace
5. Giải phương trình Poisson
6. Nghiệm tích của phương trình Laplace
7. Phương pháp sai phân hữu hạn
8. Phương pháp phần tử hữu hạn
Các phương trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 10
Định lý nghiệm duy nhất (1)
2 2 2
2
2 2 2 0
V V VV
x y z
∂ ∂ ∂∇ = + + =
∂ ∂ ∂
Giả sử phương trình Laplace có 2 nghiệm V1 & V2, :
2
1 0V∇ =
2
2 0V∇ =
2
1 2( ) 0V V→∇ − =
Giả sử phương trình Laplace có điều kiện bờ Vb 1 2b b bV V V→ = =
( ) ( ) ( ). D .D D.V V V∇ = ∇ + ∇
1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2
[( ) ( )] ( )[ ( )]
( ) ( )
. .
.
V V V V V V V V
V V V V
→∇ − ∇ − = − ∇ ∇ − +
+∇ − ∇ −
1 2V V V= −
1 2( )D V V= ∇ −
Các phương trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 11
Định lý nghiệm duy nhất (2)
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2[( ) ( )] ( )[ ( )] ( ) ( ). . .V V V V V V V V V V V V∇ − ∇ − = − ∇ ∇ − +∇ − ∇ −
1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2
[( ) ( )] ( )[ ( )]
( ) ( )
V V
V
V V V V dv V V V V dv
V V V V dv
→ ∇ − ∇ − = − ∇ ∇ − +
+ ∇ − ∇ −
∫ ∫
∫
. .
.
. .
S V
d dv= ∇∫ ∫D S D
Định lý đive:
1 2 1 2 1 2 1 2[( ) ( )] [( ) ( )]b b b bV SV V V V dv V V V V d→ ∇ − ∇ − = − ∇ −∫ ∫. . S

1 2b b bV V V= =
1 2 1 2[( ) ( )] 0V V V V V dv→ ∇ − ∇ − =∫ .
1 2 1 2 1 2 1 20 ( )[ ( )] ( ) ( )V VV V V V dv V V V V dv→ = − ∇ ∇ − + ∇ − ∇ −∫ ∫. .
Các phương trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 12
Định lý nghiệm duy nhất (3)
1 2 1 2 1 2 1 2( )[ ( )] ( ) ( ) 0V VV V V V dv V V V V dv− ∇ ∇ − + ∇ − ∇ − =∫ ∫. .
2
1 2 1 2( ) ( ) 0. V V V V∇ ∇ − = ∇ − =
1 2 1 2( ) ( ) 0V V V V V dv→ ∇ − ∇ − =∫ . [ ]
2
1 2( )V V V dv= ∇ −∫
[ ]21 2( ) 0V V→ ∇ − =
[ ]21 2( ) 0V V∇ − ≥
1 2 constV V→ − =
1 2( ) 0V V→∇ − =
x y z
V V VV
x y z
∂ ∂ ∂∇ = + +
∂ ∂ ∂
a a a
Tại biên giới V1 = Vb1, V2 = Vb2
→ const = Vb1 – Vb2 = 0
1 2b b bV V V= =
V1 = V2
Các phương trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 13
Các phương trình Laplace & Poisson
1. Phương trình Poisson
2. Phương trình Laplace
3. Định lý nghiệm duy nhất
4. Giải phương trình Laplace
5. Giải phương trình Poisson
6. Nghiệm tích của phương trình Laplace
7. Phương pháp sai phân hữu hạn
8. Phương pháp phần tử hữu hạn
Các phương trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 14
Giải phương trình Laplace (1)
Giả sử V = V(x)
2 2 2
2
2 2 2 0
V V VV
x y z
∂ ∂ ∂∇ = + + =
∂ ∂ ∂
2
2 0
d V
dx
→ = V Ax B→ = +
1
1x xV V= =
2
2x xV V= =
1 2
1 2
2 1 1 2
1 2
V VA
x x
V x V xB
x x
−
=
−
→ 
−
=

−
1 2 2 1
1 2
( ) ( )V x x V x xV
x x
− − −
→ =
−
0 0xV = =
0x dV V= =
0V xV
d
→ =
Ví dụ 1 
Các phương trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 15
Giải phương trình Laplace (2)
Mặt dẫn
Mặt dẫn
x = d
x = 0
x
V = V(x)
0 0xV = =
0x dV V= =
0V xV
d
→ =
E V= −∇
0E a x
V
d
→ = −
D Eε=
0D ax
V
d
ε→ = −
0
0D D aS xx
V
d
ε
=
→ = = − 0N
VD
d
ε→ = − 0S N
VD
d
ρ ε→ = = −
0V S
d
ε= −0SS S
VQ dS dS
d
ερ −→ = =∫ ∫
0
Q
C
V
→ =
S
d
ε
=
Ví dụ 1 
Các phương trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 16
Giải phương trình Laplace (3)
Giả sử V = V(ρ) (hệ trụ)
2 2
2
2 2 2
1 1 0V V VV
z
ρ
ρ ρ ρ ρ ϕ
 ∂ ∂ ∂ ∂∇ = + + = ∂ ∂ ∂ ∂ 
1 0Vρ
ρ ρ ρ
 ∂ ∂
→ = ∂ ∂ 
1 0d dV
d d
ρρ ρ ρ
 
→ = 
 
0d dV
d d
ρ
ρ ρ
 
→ = 
 
dV A
d
ρ
ρ
→ =
lnV A Bρ→ = +
0lnaV A a B Vρ = = + =
ln 0 ( )bV A b B b aρ = = + = >
0
0
ln ln
ln
ln ln
VA
a b
V bB
a b

=
−→ 

= −

−
0
ln( / )
ln( / )
bV V
b a
ρ
→ =
Ví dụ 2 
Các phương trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 17
Giải phương trình Laplace (4)
Giả sử V = V(ρ) (hệ trụ)
2 2
2
2 2 2
1 1 0V V VV
z
ρ
ρ ρ ρ ρ ϕ
 ∂ ∂ ∂ ∂∇ = + + = ∂ ∂ ∂ ∂ 
0
ln( / )
ln( / )
bV V
b a
ρ
→ =
0
ln( / )E a
VV
b a ρρ
→ = −∇ =
0
( ) ln( / )N a S
V
D
a b aρ
ε ρ
=
→ = =
02
ln( / )SS
V aLQ dS
a b a
ε piρ→ = =∫
0
2
ln( / )
Q LC
V b a
ε pi
→ = =
Ví dụ 2 
Các phương trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 18
Giải phương trình Laplace (5) z
α
Giả sử V = V(φ) (hệ trụ)
2 2
2
2 2 2
1 1 0V V VV
z
ρρ ρ ρ ρ ϕ
 ∂ ∂ ∂ ∂∇ = + + = ∂ ∂ ∂ ∂ 
2
2 2
1 0V
ρ ϕ
∂
→ =
∂
2
2 0
V
ϕ
∂
→ =
∂
V A Bϕ→ = +
0 0V Bϕ= = =
0V A B Vϕ α α= = + =
0
0B
VA
α
=

→ 
=
0V V
ϕ
α
→ =
0E aVV ϕαρ
→ = −∇ = −
Ví dụ 3 
Khe hở
Các phương trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 19
Giải phương trình Laplace (6)
Ví dụ 4 
Giả sử V = V(θ) (hệ cầu)
2
2 2
2 2 2 2 2
1 1 1
sin 0
sin sin
V V VV r
r r r r r
θ
θ θ θ θ ϕ
∂ ∂ ∂ ∂ ∂   ∇ = + + =   ∂ ∂ ∂ ∂ ∂   
2
1
sin 0
sin
V
r
θ
θ θ θ
∂ ∂ 
→ = ∂ ∂  sin 0Vθ
θ θ
∂ ∂ 
→ = ∂ ∂ 
sin dV A
d
θ
θ
→ =
sin
ddV A θ
θ
→ = ln tg
2
A Bθ = + 
 sin
dV A Bθ
θ
→ = +∫
Giả sử r ≠ 0; θ ≠ 0; θ ≠ π
Các phương trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 20
Giải phương trình Laplace (7)
Ví dụ 4 
Giả sử V = V(θ) (hệ cầu) ln tg
2
V A Bθ → = + 
 
0
ln tg
2
ln tg
2
V V
θ
α
 
 
 → =
 
 
 
/ 2 0V θ pi= =
0 ( / 2)V Vθ α α pi= = <
V = 0
V = V0
α
Khe hở
01
sin ln tg
2
E a aVVV
r
r
θ θαθ θ
∂
→ = −∇ = − = −
∂  
 
 
0
sin ln tg
2
S N
VD E
r
ερ ε
α
α
→ = = = −
 
 
 
Các phương trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 21
Giải phương trình Laplace (8)
Ví dụ 4 
Giả sử V = V(θ) (hệ cầu)
0
0
2
ln tg
2
V drpiε
α
∞
−
=
 
 
 
∫
0
sin ln tg
2
SS S
VQ dS dS
r
ερ
α
α
→ = = −
 
 
 
∫ ∫
 

20
0 0
sin
sin ln tg
2
V r d drQ
r
piε α ϕ
α
α
∞
−
→ =
 
 
 
∫ ∫
V = 0
V = V0
α
Khe hở
sindS r d drα ϕ=
0
sin ln tg
2
S
V
r
ερ
α
α
→ = −
 
 
 
1
0
2
ln cotg
2
rQC
V
piε
α
→ =
 
 
 
≐
Các phương trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 22
Các phương trình Laplace & Poisson
1. Phương trình Poisson
2. Phương trình Laplace
3. Định lý nghiệm duy nhất
4. Giải phương trình Laplace
5. Giải phương trình Poisson
6. Nghiệm tích của phương trình Laplace
7. Phương pháp sai phân hữu hạn
8. Phương pháp phần tử hữu hạn
Các phương trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 23
Giải phương trình Poisson (1)
2
0
2
2
sech thvd V x x
a adx
ρ
ε
→ = −
2( sech ; th )
x x
x x x x
e e
x x
e e e e
−
− −
−
= =
+ +
02 sech thv v
x x
a a
ρ ρ=
x
dVE
dx
= −
2 vV ρ
ε
∇ = −Phương trình Poisson :
0
1
2
sechv adV x C
dx a
ρ
ε
→ = +
0
1
2
sechvx
a x
E C
a
ρ
ε
→ = − −
–5 –4 –3 –2 –1
1 2 3 4 5
0,5
1
–0,5
–1
/x a
0
v
v
ρ
ρ
Vùng p Vùng n
vρ
–5 –4 –3 –2 –1
1 2 3 4 5
–0,5
–1
/x a
02
x
v
E
a
ε
ρ
xE
1 0C→ =
02 sechvx
a x
E
a
ρ
ε
→ = −
Khi x→ ± ∞ thì Ex→ 0
Các phương trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 24
Giải phương trình Poisson (2)
2
/04 arctg
4
x av aV eρ pi
ε
 
→ = − 
 
02 sech thv v
x x
a a
ρ ρ=
2 vV ρ
ε
∇ = −
2
/0
2
4
arctg x av aV e Cρ
ε
→ = +
02 sechvx
a xE
a
ρ
ε
→ = −
–5 –4 –3 –2 –1
1 2 3 4 5
–0,5
–1
/x a
02
x
v
E
a
ε
ρ
V –5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5
0,25
0,5
–0,25
–0,5
/x a
2
02 v
V
a
piε
ρ
xE
Phương trình Poisson :
0 0xV = =Giả sử
2
0
2
40
4
v a Cρ pi
ε
→ = +
–5 –4 –3 –2 –1
1 2 3 4 5
0,5
1
–0,5
–1
/x a
0
v
v
ρ
ρ
Vùng p Vùng n
vρ
Các phương trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 25
Giải phương trình Poisson (3)
2
/04 arctg
4
x av aV eρ pi
ε
 
= − 
 
2
0
0
2 v
x x
aV V V piρ
ε→∞ → −∞
= − =
0 0 00
2 sech th 2 sech th 2v v v vV V
x x x xQ dv dv S dx aS
a a a a
ρ ρ ρ ρ∞= = = =∫ ∫ ∫
0 02 v VQ S ρ ε
pi
→ =
02 sech thv v
x x
a a
ρ ρ=
0
0
dVdQ dQI C C
dt dt dV
= = → =
0
02 2
v SC S
V a
ρ ε ε
pi pi
→ = =
–5 –4 –3 –2 –1
1 2 3 4 5
0,5
1
–0,5
–1
/x a
0
v
v
ρ
ρ
Vùng p Vùng n
vρ
Các phương trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 26
Các phương trình Laplace & Poisson
1. Phương trình Poisson
2. Phương trình Laplace
3. Định lý nghiệm duy nhất
4. Giải phương trình Laplace
5. Giải phương trình Poisson
6. Nghiệm tích của phương trình Laplace
7. Phương pháp sai phân hữu hạn
8. Phương pháp phần tử hữu hạn
Các phương trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 27
Nghiệm tích của phương trình Laplace (1)
• Các ví dụ trước giả thiết rằng V chỉ biến thiên theo/phụ 
thuộc vào một tọa độ
• Phương pháp nghiệm tích áp dụng cho V(x, y)
• Giả sử V = XY, X = X(x), Y = Y(y)
2 2 2
2
2 2 2 0
V V VV
x y z
∂ ∂ ∂∇ = + + =
∂ ∂ ∂
2 2
2 2 0
V V
x y
∂ ∂
→ + =
∂ ∂( , )V V x y=
2 2
2 2 0
X YY X
x y
∂ ∂
→ + =
∂ ∂
2 2
2 2 0
d X d YY X
dx dy
→ + =
Các phương trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 28
Nghiệm tích của phương trình Laplace (2)
2 2
2 2 0
d X d YY X
dx dy
+ =
2 2
2 2
1 1 0d X d Y
X dx Y dy
→ + =
2 2
2 2
1 1d X d Y
X dx Y dy
→ = −
2
2
1 d X
X dx
chỉ phụ thuộc x
2
2
1 d Y
Y dy
− chỉ phụ thuộc y
2
2
2
2
2
2
1
1
d X
X dx
d Y
Y dy
α
α

=

→ 

− =

Các phương trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 29
Nghiệm tích của phương trình Laplace (3)
2
2
2
2
1
d dR
R d d
d
d
ρ ρ α
ρ ρ
α
ϕ
  
=  
  → 
Φ
− = Φ
( , ) ( ) ( )V V Rρ ϕ ρ ϕ= = Φ
2 2
2 2 2
1 1 0V V V
z
ρ
ρ ρ ρ ρ ϕ
 ∂ ∂ ∂ ∂
+ + = ∂ ∂ ∂ ∂ 
2
2
1 0R
R
ρ ρ
ρ ρ ϕ
 ∂ ∂ ∂ Φ
→ + = ∂ ∂ Φ ∂ 
Các phương trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 30
Nghiệm tích của phương trình Laplace (4)
2
2 2
2
2
2 ( 1)
1 1 ( 1)
tg
R R
n n
R R
n n
ρ ρ
ρ ρ
θ θ θ
 ∂ ∂
+ = + ∂ ∂
→  ∂ Θ ∂Θ + = − +
Θ ∂ Θ ∂
( , ) ( ) ( )V V Rρ θ ρ θ= = Θ
2 2
2 2 2
2 1 1 0
tg
R R
R R
ρ ρ
ρ ρ θ θ θ
   ∂ ∂ ∂ Θ ∂Θ
→ + + + =   ∂ ∂ Θ ∂ Θ ∂   
2
2
2 2 2 2 2
1 1 1
sin 0
sin sin
V V V
r
r r r r r
θ
θ θ θ θ ϕ
∂ ∂ ∂ ∂ ∂   
+ + =   ∂ ∂ ∂ ∂ ∂   
Các phương trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 31
Nghiệm tích của phương trình Laplace (5)
Ví dụ
2
2
2
2
1
d dR
R d d
d
d
ρ ρ α
ρ ρ
α
ϕ
  
=  
  → 
Φ
− = Φ
( , ) ( ) ( )V V Rρ ϕ ρ ϕ= = Φ
( ) ( ); ( ) ( )V V V Vϕ ϕ ϕ pi ϕ= − = − −
( ) cos sin ,§Æt p pA p B p pϕ ϕ ϕ αΦ = + = ±∑ ∑
1( ) cos , 1Aϕ ϕ α→Φ = =
Khảo sát điện thế & điện trường ở lân cận một vật hình trụ tròn dài vô hạn 
nằm trong một điện trường đều E0. Điện môi của môi trường & của vật 
lần lượt là ε1 & ε2. Điện trường vuông góc với trục của vật.
Các phương trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 32
Nghiệm tích của phương trình Laplace (6)
Ví dụ
2
2
2
2
1 d
d
d dR
R d d
α
ϕ
ρ ρ α
ρ ρ
 Φ
− = Φ

 
=   
2
2
k
k
k
k
k Bd dR
R d d B
ρρ ρ α
ρ ρ ρ
 
→ = = 
 
1α =( )§Æt 
k
kR Bρ ρ=
1( ) cos , 1Aϕ ϕ α→Φ = =
1k→ = ±
1
1 1( )R B Bρ ρ ρ+ − −→ = +
Khảo sát điện thế & điện trường ở lân cận một vật hình trụ tròn dài vô hạn 
nằm trong một điện trường đều E0. Điện môi của môi trường & của vật 
lần lượt là ε1 & ε2. Điện trường vuông góc với trục của vật.
Các phương trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 33
Nghiệm tích của phương trình Laplace (7)
Ví dụ
2
2
12
2 1
1 1
1 ( ) cos
( )
d A
d
d dR R B B
R d d
α ϕ ϕ
ϕ
ρ ρ α ρ ρ ρ
ρ ρ
+ − −
 Φ
− = →Φ = Φ

 
= → = +   
1
1 1 1 1cos cosV A B ABρ ϕ ρ ϕ+ − −→ = +
( , ) ( ) ( )V V Rρ ϕ ρ ϕ= = Φ
1cos cosC Cρ ϕ ρ ϕ+ − −= +
Khảo sát điện thế & điện trường ở lân cận một vật hình trụ tròn dài vô hạn 
nằm trong một điện trường đều E0. Điện môi của môi trường & của vật 
lần lượt là ε1 & ε2. Điện trường vuông góc với trục của vật.
Các phương trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 34
Nghiệm tích của phương trình Laplace (8)
Ví dụ
Khảo sát điện thế & điện trường ở lân cận một vật hình trụ tròn dài vô hạn ... i phân hữu hạn (2) x
y
h
h
V0 V1
V2
V3
V4
a
b
c
d
2 2 2
2
2 2 2 0
V V VV
x y z
∂ ∂ ∂∇ = + + =
∂ ∂ ∂
2 2
2 2 0
V V
x y
∂ ∂
→ + =
∂ ∂
( , )V V x y=
1 0
a
V VV
x h
−∂
≈
∂
2
1 0 0 3
2 2
V V V VV
x h
− − +∂
→ ≈∂
0 3
c
V VV
x h
−∂
≈
∂
2
2
a c
V V
V x x
x h
∂ ∂
−
∂ ∂ ∂
≈
∂
Các phương trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 42
Phương pháp sai phân hữu hạn (3)
h
h
V0 V1
V2
V3
V4
2 2
2 2 0
V V
x y
∂ ∂
+ =
∂ ∂
2
2 0 0 4
2 2
V V V VV
y h
− − +∂
≈
∂
2
1 0 0 3
2 2
V V V VV
x h
− − +∂
≈
∂
2 2
1 2 3 4 0
2 2
4 0V V V V VV V
x y h
+ + + −∂ ∂
→ + ≈ =
∂ ∂
( )0 1 2 3 414V V V V V≈ + + +→
x
y
Các phương trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 43
Phương pháp sai phân hữu hạn (4)
Ví dụ 1 V = 100
V = 0
V = 0
V = 0
Khe hở Khe hở( )0 1 2 3 414V V V V V= + + +
( )1 0 100 0 0 25
4
+ + + =
( )1 100 50 0 25 43,8
4
+ + + =
( )1 0 25 0 0 6,2
4
+ + + =
( )1 43,8 100 43,8 25 53,2
4
+ + + =
( )1 25 43,8 0 6, 2 18,8
4
+ + + = ( )1 6,2 25 6,2 0 9,4
4
+ + + =
25
43,843,8 53,2
18,8 18,8
6,2 6,29,4
Bước 1
Các phương trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 44
Phương pháp sai phân hữu hạn (5)
V = 100
V = 0
V = 0
V = 0
Khe hở Khe hở( )0 1 2 3 414V V V V V= + + +
( )1 53,2 100 0 18,8 43
4
+ + + =
( )1 100 50 0 25 43,8
4
+ + + =
( )1 43 100 43 25 52,8
4
+ + + =
( )1 43,8 100 43,8 25 53,2
4
+ + + =
( )1 25 43,8 0 6,2 18,8
4
+ + + =
25
43,843,8 53,2
18,8 18,8
6,2 6,29,4
( )1 25 43 0 6,2 18,6
4
+ + + =
43 4352,8
18,6 18,6
Bước 2
Ví dụ 1
Các phương trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 45
Phương pháp sai phân hữu hạn (6)
V = 100
V = 0
V = 0
V = 0
Khe hở Khe hở( )0 1 2 3 414V V V V V= + + +
25
43,843,8 53,2
18,8 18,8
6,2 6,29,4
43 4352,8
18,6 18,6
( )1 0 100 0 0 25
4
+ + + =
( )1 0 25 0 0 6,2
4
+ + + =
( )1 6,2 25 6,2 0 9,4
4
+ + + =
( )1 18,6 52,8 18,6 9,4 24,9
4
+ + + =
( )1 9,4 18,6 0 0 7,0
4
+ + + =
24,9
7,0 7,0
( )1 7,0 25 7,0 0 9,8
4
+ + + =
9,8
Bước 2
Ví dụ 1
Các phương trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 46
Phương pháp sai phân hữu hạn (7)
V = 100
V = 0
V = 0
V = 0
Khe hở Khe hở( )0 1 2 3 414V V V V V= + + +
25
43,843,8 53,2
18,8 18,8
6,2 6,29,4
43 4352,8
18,6 18,624,9
7,0 7,09,8
( )1 52,8 100 0 18,6 42,9
4
+ + + =
( )1 42,9 100 42,9 24,9 52,7
4
+ + + =
( )1 24,9 42,9 0 7,0 18,7
4
+ + + =
( )1 18,7 52,7 18,7 9,8 25,0
4
+ + + =
( )1 9,8 18,7 0 0 7,1
4
+ + + = ( )1 7,1 25 7,1 0 9,8
4
+ + + =
42,9 42,952,7
18,7 18,725,0
7,1 7,19,8
Bước 3
Ví dụ 1
Các phương trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 47
Phương pháp sai phân hữu hạn (8)
• Dùng để giải phương trình Laplace khi V = V(x, y)
• Là phương pháp số, có thể đạt độ chính xác tùy ý
• Lặp cho đến khi đạt độ chính xác cho trước
Các phương trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 48
Phương pháp sai phân hữu hạn (9)
Ví dụ 2
0 V
0 V
0 V
0 V
10 V
20 V
4
1 2 3
5 6
7 8
9 10
(0) (0) (0 )
1 2 10... 0V V V= = = =
( )(1) (0 ) (0)1 2 41 10 0 2,5000V4V V V= + + + =
( )(1) (0) (1) (0)2 3 1 51 10 3,1250V4V V V V= + + + =
( )(1) (0) (1) ( 0)7 8 5 9
...
1 0 0,2344V
4
...
V V V V= + + + =
( )(1) (1) (1)10 8 91 20 0 6,7358V4V V V= + + + =
Các phương trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 49
Phương pháp sai phân hữu hạn (10)
Ví dụ 2
k
( )
1 (V)kV
( )
2 (V)kV
( )
3 (V)kV
( )
4 (V)kV
( )
5 (V)kV
( )
6 (V)kV
( )
7 (V)kV
( )
8 (V)kV
( )
9 (V)kV
( )
10 (V)kV
0 1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2,5000
3,1250
8,2813
0,6250
0,9375
7,3047
0,2344
6,8848
0,0586
6,7358
23
5,6429
9,1735
13,1111
3,3957
7,9405
13,2710
5,9219
13,0324
3,7147
8,9368
24
5,6429
9,1735
13,1111
3,3957
7,9405
13,2710
5,9219
13,0324
3,7147
8,9368
0 V
0 V
0 V
0 V
10 V
20 V
4
1 2 3
5 6
7 8
9 10
Các phương trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 50
Phương pháp sai phân hữu hạn (11)
• Dùng để giải phương trình Laplace khi V = V(x, y)
• Là phương pháp số, có thể đạt độ chính xác tùy ý
• Lặp cho đến khi đạt độ chính xác cho trước
• Có thể đặt các giá trị đầu của các điện áp của các nút tự 
do bằng zero
Các phương trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 51
Các phương trình Laplace & Poisson
1. Phương trình Poisson
2. Phương trình Laplace
3. Định lý nghiệm duy nhất
4. Giải phương trình Laplace
5. Giải phương trình Poisson
6. Nghiệm tích của phương trình Laplace
7. Phương pháp sai phân hữu hạn
8. Phương pháp phần tử hữu hạn
Phương pháp phần tử hữu hạn (1)
Các phương trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn
 ww.cosy.sbg.ac.at/~held/projects/mesh/mesh.html
52
2 0V∇ = ( , )V x y
1( , )V x y
2V
3V
4V
Phương pháp phần tử hữu hạn (2)
Các phương trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn
53
2 0V∇ = ( , )V x y
1( , )V x y
2V
3V
4V
Phương pháp phần tử hữu hạn (3)
• Chia vùng nghiệm thành một số lượng hữu hạn các phần
tử,
• Xây dựng các phương trình cho một phần tử,
• Kết hợp các phần tử, &
• Giải hệ phương trình thu được.
Các phương trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 54
2 0V∇ = ( , )V x y
1( , )V x y
2V
3V
4V
Phương pháp phần tử hữu hạn (4)
Các phương trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 55
1eV
2eV
3eV
1 1( , )x y
2 2( , )x y
3 3( , )x y
1
2
3
x
y1
( , ) ( , )
N
e
e
V x y V x y
=
=∑
( , )eV x y a bx cy= + +
1 1 1
2 2 2
3 3 3
1
1
1
e
e
e
V x y a
V x y b
V x y c
     
     
=     
          
1
1 1 1
2 2 2
3 3 3
1
1
1
e
e
e
a x y V
b x y V
c x y V
−
     
     → =     
          
[ ]
1
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 1
2 3 3 1 1 2 2
1 1
3 2 1 3 2 1 3
2 2
3 3
( ) ( ) ( )
11 ( ) ( ) ( )
1 ( ) ( ) ( )
1
1
e
e e
e
x y x y x y x y x y x y V
V x y y y y y y y V
x y
x x x x x x V
x y
x y
−
− − −   
   → = − − −   
   − − −   
Phương pháp phần tử hữu hạn (5)
Các phương trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 56
[ ]
1
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 1
2 3 3 1 1 2 2
1 1
3 2 1 3 2 1 3
2 2
3 3
( ) ( ) ( )
11 ( ) ( ) ( )
1 ( ) ( ) ( )
1
1
e
e e
e
x y x y x y x y x y x y V
V x y y y y y y y V
x y
x x x x x x V
x y
x y
−
− − −   
   
= − − −   
   − − −   
3
1
( , )e i ei
i
V x y Vα
=
=∑
1 2 3 3 2 2 3 3 2
2 3 1 1 3 3 1 1 3
3 1 2 2 1 1 2 2 1
2 1 3 1 3 1 2 1
1 [( ) ( ) ( ) ],
2
1 [( ) ( ) ( ) ],
2
1 [( ) ( ) ( ) ],
2
1 [( )( ) ( )( )]
2
x y x y y y x x x y
A
x y x y y y x x x y
A
x y x y y y x x x y
A
A x x y y x x y y
α
α
α
= − + − + −
= − + − + −
= − + − + −
= − − − − −
Phương pháp phần tử hữu hạn (6)
Các phương trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 57
2 0V∇ = 0ax b+ =
2
0
2
d ax bx c
dx
 
+ + = 
 
21
2e eS
W E dSε= ∫
V= −∇E
21
2e eS
W V dSε→ = ∇∫
3
1
( , )e i ei
i
V x y Vα
=
=∑
3
1
e ei i
i
V V α
=
→∇ = ∇∑
3 3
1 1
1 ( )( )
2e ei i j ejSi j
W V dS Vε α α
= =
 → = ∇ ∇
 ∑∑ ∫
Phương pháp phần tử hữu hạn (7)
Các phương trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 58
3 3
1 1
1 ( )( )
2e ei i j ejSi j
W V dS Vε α α
= =
 = ∇ ∇
 ∑∑ ∫
( ) ( )( )eij i jSC dSα α= ∇ ∇∫
[ ]
1
2
3
e
e e
e
V
V V
V
 
 
=  
  
( ) ( ) ( )
11 12 13
( ) ( ) ( ) ( )
21 22 23
( ) ( ) ( )
31 32 33
e e e
e e e e
e e e
C C C
C C C C
C C C
 
 
  =   
 
 
[ ] [ ]( )1
2
T e
e e eW V C Vε  → =  
Phương pháp phần tử hữu hạn (8)
Các phương trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 59
( ) ( )( )eij i jSC dSα α= ∇ ∇∫
( )
12 1 2( )( )e SC dSα α= ∇ ∇∫
1 2 3 3 2 2 3 3 2
2 3 1 1 3 3 1 1 3
2 1 3 1 3 1 2 1
1 [( ) ( ) ( ) ],
2
1 [( ) ( ) ( ) ],
2
1[( )( ) ( )( )]
2
x y x y y y x x x y
A
x y x y y y x x x y
A
A x x y y x x y y
α
α
= − + − + −
= − + − + −
= − − − − −
( )
12 2 3 3 1 3 2 1 3
1 [( )( ) ( )( )]
4
eC y y y y x x x x
A
→ = − − + − −
Phương pháp phần tử hữu hạn (9)
Các phương trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 60
( )
12 2 3 3 1 3 2 1 3
1 [( )( ) ( )( )]
4
eC y y y y x x x x
A
= − − + − −
( )
13 2 3 1 2 3 2 2 1
( )
23 3 1 1 2 1 3 2 1
( ) 2 2
11 2 3 3 2
( ) 2 2
22 3 1 1 3
( ) 2 2
33 1 2 2 1
( ) ( ) ( ) ( )
21 12 31 13 32
1 [( )( ) ( )( )]
4
1 [( )( ) ( )( )]
4
1 [( ) ( ) ]
4
1 [( ) ( ) ]
4
1 [( ) ( ) ]
4
, ,
e
e
e
e
e
e e e e
C y y y y x x x x
A
C y y y y x x x x
A
C y y x x
A
C y y x x
A
C y y x x
A
C C C C C
= − − + − −
= − − + − −
= − + −
= − + −
= − + −
= =
( ) ( )
23
e eC=
1 2 3 2 3 1 3 1 2
1 3 2 2 1 3 3 2 1
, ,
, ,
P y y P y y P y y
Q x x Q x x Q x x
= − = − = −
= − = − = −
( )
2 3 3 2
1 ( )
4
2
e
ij i j i jC PP QQA
PQ PQA
→ = +
−
=
Phương pháp phần tử hữu hạn (3)
• Chia vùng nghiệm thành một số lượng hữu hạn các phần
tử,
• Xây dựng các phương trình cho một phần tử,
• Kết hợp các phần tử, &
• Giải hệ phương trình thu được.
Các phương trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 61
2 0V∇ = ( , )V x y
1( , )V x y
2V
3V
4V
Phương pháp phần tử hữu hạn (10)
Các phương trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 62
[ ] [ ]( )1
2
T e
e e eW V C Vε  =  
[ ] [ ][ ]
1
1
2
N
T
e
e
W W V C Vε
=
= =∑
[ ]
1
2
3
n
V
V
V V
V
 
 
 
 =
 
 
  
⋮
Phương pháp phần tử hữu hạn (11)
Các phương trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 63
3
2
1
1 1 12
22
33
3
1
2 4
3
5[ ] [ ][ ]1
2
TW V C Vε=
[ ]
11 12 13 14 15
21 22 23 24 25
31 32 33 34 35
41 42 43 44 45
51 52 53 54 55
C C C C C
C C C C C
C C C C C C
C C C C C
C C C C C
 
 
 
 =
 
 
   (1) 2
11 11 11C C C= +
(1)
22 33C C=
(1) (2) (3)
44 22 33 33C C C C= + +
(1) (2)
14 41 12 13C C C C= = +
23 32 0C C= =
[ ]
(1) (2) (1) (2 ) (1) (2 )
11 11 13 12 12 13
(1) (1) (1)
31 33 32
(2 ) (2 ) (3) (2) (3) (3)
21 22 11 23 13 12
(1) (2) (1) (2 ) (3) (1) (2 ) (3) (3)
21 31 23 32 31 22 33 33 32
(3) (3) (3)
21 23 22
0
0 0
0
0 0
C C C C C C
C C C
C C C C C C C
C C C C C C C C C
C C C
 + +
 
 
 = + +
 
+ + + + 
 
 
Phương pháp phần tử hữu hạn (3)
• Chia vùng nghiệm thành một số lượng hữu hạn các phần
tử,
• Xây dựng các phương trình cho một phần tử,
• Kết hợp các phần tử, &
• Giải hệ phương trình thu được.
Các phương trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 64
2 0V∇ = ( , )V x y
1( , )V x y
2V
3V
4V
Phương pháp phần tử hữu hạn (12)
Các phương trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 65
0ax b+ =
2
0
2
d ax bx c
dx
 
+ + = 
 
2 0V∇ =
[ ] [ ][ ]1
2
TW V C Vε=
1 2
0 0, 1, 2,...,
n k
W W W W k n
V V V V
∂ ∂ ∂ ∂
= = = = ↔ = =
∂ ∂ ∂ ∂
⋯
1,
1 n
k i ki
i i kkk
V VC
C
= ≠
→ = − ∑
Phương pháp phần tử hữu hạn (13)
Các phương trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 66
VD
0V =
1
2
3
x
y 4
100V =
2
11
2
3
1
2
4
3
2
4
1
2
3
Nút 1 2 3 4
x 0,5 3,1 5,0 2,8
y 1,0 0,4 1,7 2,0
( ) 2 3 3 2
1 2 3 2 3 1 3 1 2
1 3 2 2 1 3 3 2 1
1 ( ),
4 2
, ,
, ,
e
ij i j i j
PQ PQC PP QQ A
A
P y y P y y P y y
Q x x Q x x Q x x
−
= + =
= − = − = −
= − = − = −
Phần tử 1:
1 2 30, 4 2,0 1,6; 2,0 1, 0 1,0; 1, 0 0, 4 0,6P P P= − = − = − = = − =
1 2 32,8 3,1 0,3; 0,5 2,8 2,3; 3,1 0,5 2, 6Q Q Q= − = − = − = − = − =
1, 0.2,6 0, 6( 2,3) 1,99
2
A − −= =
(1) 1 2 1 2
12
( 1,6)1,0 ( 0,3)( 2,3) 0,1143
4.1,99 4.1,99
PP QQC + − + − −= = = −
(1)
0,3329 0,1143 0,2186
0,1143 0, 7902 0,6759
0,2186 0, 6759 0,8945
C
− − 
   = − −   
 
− − 
Phương pháp phần tử hữu hạn (14)
Các phương trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 67
0V =
1
2
3
x
y 4
100V =
2
11
2
3
1
2
4
3
2
4
1
2
3
( ) 2 3 3 2
1 2 3 2 3 1 3 1 2
1 3 2 2 1 3 3 2 1
1 ( ),
4 2
, ,
, ,
e
ij i j i j
PQ PQC PP QQ A
A
P y y P y y P y y
Q x x Q x x Q x x
−
= + =
= − = − = −
= − = − = −
Phần tử 2:
1 2 31,7 2,0 0,3; 2, 0 0,4 1, 6; 0, 4 1,7 1, 3P P P= − = − = − = = − = −
1 2 32,8 5 2, 2; 3,1 2,8 0,3; 5,0 3,1 1,9Q Q Q= − = − = − = = − =
1, 6.1,9 ( 1, 3)0,3 1,715
2
A − −= =
(2) 2 2 2 2
22
1,6.1, 6 0,3.0,3 0,3863
4.1,715 4.1,715
P P Q QC + += = =
( 2)
0, 7187 0,1662 0,5525
0,1662 0,3863 0, 2201
0,5525 0, 2201 0, 7726
C
− − 
   = − −   
 
− − 
VD
Nút 1 2 3 4
x 0,5 3,1 5,0 2,8
y 1,0 0,4 1,7 2,0
Phương pháp phần tử hữu hạn (15)
Các phương trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 68
VD
0V =
1
2
3
x
y 4
100V =
(1)
( 2)
0,3329 0,1143 0,2186
0,1143 0, 7902 0,6759
0,2186 0, 6759 0,8945
0, 7187 0,1662 0,5525
0,1662 0,3863 0, 2201
0,5525 0, 2201 0, 7726
C
C
− − 
   = − −   
 
− − 
− − 
   = − −   
 
− − 
[ ]
(1) (1) (1)
11 12 13
(1) (1) (2) (2) (1) (2)
21 22 11 12 23 13
(2) (2) ( 2)
21 22 23
(1) (1) (2) (2) (1) (2)
31 32 31 32 33 33
0
0
C C C
C C C C C CC
C C C
C C C C C C
 
 
+ + 
=
 
 
+ +  
1
2
3
1
2
3
0,3329 0,1143 0 0, 2186
0,1143 1,5089 0,1662 1, 2284
0 0,1662 0,3863 0,2201
0, 2186 1, 2284 0,2201 1, 6671
− − 
 
− − − 
=
 
− −
 
− − − 
Phương pháp phần tử hữu hạn (16)
Các phương trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 69
VD
0V =
1
2
3
x
y 4
100V =
[ ]
0,3329 0,1143 0 0,2186
0,1143 1,5089 0,1662 1, 2284
0 0,1662 0,3863 0, 2201
0,2186 1, 2284 0, 2201 1,6671
C
− − 
 
− − − 
=
 
− −
 
− − − 
1,
1 n
k i ki
i i kkk
V VC
C
= ≠
= − ∑
1
2
3
1
2
3
2 1 12 3 32 4 42
22
4 1 14 2 24 3 34
44
1 ( )
1 ( )
V VC V C V C
C
V VC V C V C
C

= − + +

→ 

= − + +

( 1) ( ) ( )
2 4 4
( 1) ( ) ( )
4 2 2
1 [(0( 0,1143) 100( 0,1662) ( 1, 2284)] 11,0146 0,8141
1,5089
1 [0( 0, 2186) ( 1, 2284) 100( 0,2201)] 13, 2026 0, 7368
1,6671
k k k
k k k
V V V
V V V
+
+

= − − + − + − = +
→ 

= − − + − + − = +

Phương pháp phần tử hữu hạn (17)
Các phương trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 70
VD
0V =
1
2
3
x
y 4
100V =
( 1) ( )
2 4
( 1) ( )
4 2
11,0146 0,8141
13, 2026 0,7368
k k
k k
V V
V V
+
+
 = +

= +
(0) (0)
2 4
0 100 50
2
V V += = =
1
2
3
1
2
3
(1) (0)
2 4
(1) (0)
4 2
11, 0146 0,8141 11,0146 0,8141 50 51, 7196
13, 2026 0,7368 13, 2026 0, 7368 50 50, 0426
V V
V V
 = + = + × =

= + = + × =
( 2) (1)
2 4
( 2) (1)
4 2
11, 0146 0,8141 11, 0146 0,8141 50,0426 51,7543
13, 2026 0,7368 13,2026 0,7368 51,7196 51,3096
V V
V V
 = + = + × =

= + = + × =
(3) ( 2)
2 4
(3) ( 2)
4 2
11, 0146 0,8141 11, 0146 0,8141 51,3096 52, 7857
13, 2026 0,7368 13, 2026 0,7368 51,7543 51,3352
V V
V V
 = + = + × =

= + = + × =