Bài giảng Lý thuyết điều khiển tự động 2 - Chương 7: Phân tích các hệ thống điều khiển tự động gián đoạn

Chương 7
PHÂN TÍCH CÁC HTĐKTĐ GIÁN ĐOẠN
7.1. TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA CÁC HTĐKTĐ GIÁN 
ĐOẠN 
7.1.1. Điều kiện cần và đủ để HTĐKTĐGĐ ổn 
định khi xét trên mặt phẳng s và mặt phẳng z
Điều kiện ổn định của HTĐKTĐGĐ kín: nghiệm 
tự do (nghiệm riêng) của phương trình (đa thức) 
đặc trưng, hay quá trình quá độ của nó tắt dần 
theo thời gian.
Do , nên suy ra rằng:
∑
=
=
n
k
i
kktd zAiy
1
)( i=0, 1, 2, 3, ..., (7.1)
ez Tskk 0=
là nghiệm phương trình (đa thức) đặc trưng của 
HTĐKTĐGĐ kín
ez iTskik 0=
- nếu sk nằm ở nửa trái của mặt phẳng phức s 
thì sẽ tắt dần theo thời gian khi i→∞.
- nếu tất cả các nghiệm sk nằm ở nửa trái của 
mặt phẳng phức s thì HT ổn định.
z
i
k
.0...)( )1(10 =+++= − dzdzdzD nnn (7.2)
Thay s=α±jω vào biểu thức của z, nhận được 
số phức . Với mỗi giá trị của tần số
ω, số phức z được biểu diễn trên mặt phẳng 
phức z bằng một véc tơ có gốc nằm ở gốc toạ 
độ, ngọn có toạ độ tương ứng với phần thực và
phần ảo của nó. 
ez Tj ) 0( ωα±=
1 Re
jImj1
ω=0;
ω=2π/T0
|z|=1
ω=π/T0
0 
Khi α=0, tức là thì |z|=1. Vì vậy, trục ảo 
của mặt phẳng phức s tương ứng với đường 
tròn có tâm ở gốc toạ độ, bán kính đơn vị trên 
mặt phẳng phức z. Khi tần số ω thay đổi trong 
khoảng [0, 2π/T0] thì ngọn của véc tơ z quay một 
vòng trên đường tròn này.
Thay s=-α±jω (với α>0) vào biểu thức của z, 
nhận được
ez Tjω 0=
.10000 <== ±−±− eeez TjTTjT ωαωα
Vì vậy, nửa trái của mặt phẳng phức s tương 
ứng với phía trong đường tròn có tâm ở gốc toạ 
độ, bán kính đơn vị của mặt phẳng phức z.
Thay s=α±jω (với α>0) vào biểu thức của z, 
nhận được
.10000 >== ±± eeez TjTTjT ωαωα
Vì vậy, nửa phải của mặt phẳng phức s tương 
ứng với phía ngoài đường tròn có tâm ở gốc toạ 
độ, bán kính đơn vị của mặt phẳng phức z.
Do đó, điều kiện cần và đủ để HTĐKTĐGĐ ổn 
định là phương trình đặc trưng D(z)=0 có tất cả
các nghiệm nằm phía trong đường tròn bán kính 
đơn vị, tâm ở gốc toạ độ trên mặt phẳng phức z.
Điều kiện để HTĐKTĐGĐ nằm trên biên giới ổn 
định là phương trình đặc trưng có ít nhất một 
nghiệm nằm trên đường tròn bán kính đơn vị, 
tâm ở gốc tọa độ và không có nghiệm nào nằm 
ngoài đường tròn này.
HT chỉ cần có một nghiệm nằm ngoài đường
tròn bán kính đơn vị sẽ không ổn định.
7.1.2. Các tiêu chuẩn ổn định
7.1.2.1. Tiêu chuẩn ổn định Hurwitz phát biểu 
cho HTĐKTĐGĐ
Phép biến đổi w thực hiện một ánh xạ phía 
trong đường tròn có tâm ở gốc toạ độ, bán kính 
đơn vị (|z|<1) trên mặt phẳng phức z vào nửa 
trái mặt phẳng phức w, bản thân đường tròn đó
thành trục ảo, còn phía ngoài đường tròn đó
thành nửa phải mặt phẳng phức này. Vì vậy, 
biến w trong HTĐKTĐGĐ có vai trò giống với 
biến s trong HTĐKTĐ liên tục. Sử dụng phép đặt
 đối với PTĐT (7.2)
.01110 ... =++++ −− awawawa nnnn (7.3)
Phương trình (7.3) có dạng giống với PTĐT của 
HTĐKTĐ liên tục. Vì vậy, có thể phát biểu tiêu 
chuẩn ổn định Hurwitz cho HTĐKTĐGĐ như 
sau: khi a0>0, điều kiện cần và đủ để 
HTĐKTĐGĐ kín ổn định là tất cả các định thức 
Hurwitz dương (∆k>0, trong đó k=1÷n).
w
w
z
−
+
=
1
1
nhận được PTĐT của HTĐKTĐGĐ dưới dạng
0...)( )1(10 =+++= − dzdzdzD nnn
















a
aa
aaa
aaa
n...0
0
00
0
0
31
420
531
OMMM
L
L
L
HT sẽ nằm trên biên giới ổn định khi:
1) a0>0 và ∆n=0 trong khi các định thức 
∆1÷∆n-2>0. Điều này xẩy ra khi a0>0, ∆1÷∆n-1>0 
và an=0; hoặc a0>0, ∆1÷∆n-2>0, an>0 và ∆n-1=0 ;
2) a0=0; a1÷an>0.
Thí dụ 7.1. Xác định điều kiện để HTĐKTĐ 
trong thí dụ 6.8 ổn định, nằm trên biên giới ổn 
định?
e(t)
T0
e(iT0)
GN W(s)
y(t)
x(t)
s
k
sW =)(
PTĐT của HT trên có dạng
010)( =−+= TkzzD
Phương pháp 1: Từ PTĐT nhận được Tkz 01 −=
Điều kiện cần và đủ để HT trên ổn định là |z|<1. 
Vì vậy kT0<2. 
HT trên sẽ nằm trên biên giới ổn định khi |z|=1, 
cụ thể là z=-1. Vì vậy, kT0=2. 
.)(
10
0
−+
=
Tkz
Tk
zW k
1
1 0
1 )()(
−
−
==
z
Tk
zF
z
z
zW h
Phương pháp 2: 
Thay vào PTĐT, nhận được
w
w
z
−
+
=
1
1
.02 00)()( =+−= TkwTkwD
PT trên có bậc n=1. Áp dụng tiêu chuẩn Hurwitz, 
nhận được điều kiện để HT ổn định
;202 000 )( −= TkTka .001 >= Tka
.20 <⇒ Tk
HT trên nằm trên biên giới ổn định khi a0=0. Vì
vậy, kT0=2. 
Thí dụ 7.2. Tìm điều kiện để HTĐKTĐ liên tục-
gián đoạn trên H.7-2 ổn định; nằm trên biên giới 
ổn định? trong đó .
s
sTk
sW 2
2 )()( 1
+
=
e(t)
H.7-2. HT bám liên tục-gián đoạn
y(t)
T0
e(iT0)
ghi nhớ
x(t)
W(s)
Ta có
s
k
s
kT
sW 2
2)( +=
sk
s
kT
sF 32
2)( +=
)1(2
1
)1( 3
2
0
2
02 )()(
−
+
−
+=
z
zzTk
z
zTTk
zF
)1(2
1
)1(
1
2
2
020 )()()(
−
+
−
−
+==
z
zTk
z
TTk
zF
z
z
zW h
Phương pháp 1: Biện luận nghiệm ĐTĐT
HST của HT kín có dạng:
.
)()(
)()(
)(
112)1(2
112
2
020
2
2
020
+−−
+−
++
+
=
zTkzTTkz
zTkzTTk
zW k
ĐTĐT của HT kín có dạng:
.22422 202020202 )()( +−+−++= TkTkTzTkTkTzzD
Trường hợp ĐTĐT có nghiệm thực, tức là
01644 20222022302402 ≥−++ kTTTkTTkTk
hay .16)2( 20 2 ≥+ TTk
Nghiệm của ĐTĐT có dạng:
;
)(
4
164442 202220223024022020
1
kTTTkTTkTkTkTkT
z
−+++−+−
=
.
)(
4
164442 202220223024022020
2
kTTTkTTkTkTkTkT
z
−++−−+−
=
Điều kiện để HT ổn định là |z|<1, vì vậy







>
<
.2
;
2
0
2
20
TT
TTk
Điều kiện để HT nằm trên biên giới ổn định là
z1=-1 và |z2|≤1, hoặc z2=-1 và |z1|≤1 vì vậy







>
=
.2
;
2
0
2
20
TT
TTk
Trường hợp ĐTĐT có nghiệm phức, tức là
01644 20222022302402 <−++ kTTTkTTkTk
hay .16)2( 20 2 <+ TTk
.
)(
4
441642 222022302402202020
2,1
TTkTTkTkkTjTkTkT
z
−−−±−+−
=
Điều kiện để HT ổn định là |z|<1, vì vậy







>
<
.2
;
2
0
2
20
TT
TTk
Điều kiện để HT nằm trên biên giới ổn định là
|z|=1, vì vậy







=
<
;
2
;
2
0
2
20
TT
TTk







=
<
⇒
.2
;
4
0
2
2
0
TT
T
k
Như vậy, trong thí dụ trên có một điều kiện để
HT ổn định và hai điều kiện để HT nằm trên biên
giới ổn định. 
Phương pháp 2: sử dụng tiêu chuẩn Hurwitz:
+ xác định ĐTĐT của HT kín
TkwTkTTkwTTkwD 20
2
020
2
20 )()()( 224 +−+−=
4444 34444 21
)(
1
10
1
10
...
...)(
zD
dzdzd
czczc
zW
n
nn
m
mm
k
+++
+++
=
−
−
+ sử dụng phép biến đổi song tuyến tính đối với 
ĐTĐT:
)1(
)(
1
10 ...
1
1)(
w
awawa
zD n n
nn
wD
w
w
z
−
++
=
−
−
+
=
444 8444 76
Ở đây n=2;
Áp dụng tiêu chuẩn Hurwitz, nhận được điều 
kiện để HT ổn định:
;24 )( 200 TTka −=
;2 )( 20201 TkTTka −= .
2
02 Tka =





>
>
>
0
0
0
2
1
0
a
a
a







<
>
⇒
.
2
;
2
20
0
2
TTk
TT
Điều kiện để HT nằm trên biên giới ổn định:




==
>
∆∆ 0
0
122
0
a
a







=
<
⇒
;
2
;
2
0
2
20
TT
TTk







=
<
⇒
.2
;
4
0
2
2
0
TT
T
k
Ngoài ra, HT còn nằm trên biên giới ổn định khi 
a0=0, a1>0, tức là







>
=
.2
;
2
0
2
20
TT
TTk
7.1.2.2. Tiêu chuẩn ổn định Mikhailốp phát 
biểu cho HTĐKTĐGĐ
Xét đa thức đặc trưng của HTĐKTĐGĐ
dzdzdzdzD nnnn ++++= −− 11)1(10 ...)(
))...()(( 210 zzzzzzd n−−−=
trong đó zi là nghiệm của ĐTĐT (i=1÷n).
Thay vào đa thức trên, nhận được số
phức đặc trưng
ez Tjω 0=
Như vậy, số phức đặc trưng D*(jω) có mô đun
và argumen là các hàm phụ thuộc 
vào ω. Trên mặt phẳng phức nó được biểu diễn 
bằng một véc tơ, được gọi là véc tơ đặc trưng, 
có gốc nằm ở gốc toạ độ, ngọn phụ thuộc vào
và . Khi ω thay đổi từ –π/T0 đến π/T0
ngọn của nó vẽ trên mặt phẳng phức một đường 
cong, được gọi là đường cong Mikhailốp. 
)(* ωA )(* ωϕ
)(* ωA )(* ωϕ
eAzezezedjD jnTjTjTj )(*210*
*
000 )())...()(()( ωϕωωω ωω =−−−=
Biến đổi số phức đặc trưng về dạng sau
)()()( *** ωωω QjPjD +=
trong đó P*(ω) và Q*(ω) là các hàm của 
cos(ωT0) và sin(ωT0).
Do )()( 00 sincos0 TjTez Tj ωωω +==
nên trong biểu thức Q*(ω) bao giờ cũng có thể
tách ra được thừa số sin(ωT0). Vì vậy, khi 
ω=kπ/T0 (với k là số nguyên) thì Q*(ω)=0. Tức 
là, khi ω biến thiên từ 0 tới π/T0, đường cong 
Mikhailốp bắt đầu và kết thúc tại trục thực.
Re
ω1=0
n=1 n=2
jIm
Thí dụ các đường cong Mikhailốp
của các HTĐKTĐGĐ trên mặt phẳng s
ω3
ω4
ω3=π/T0 ω5=π/T0
ω1=0
ω2
ω2
)(* ωjD
0 
Mỗi thừa số là một số phức thành phần 
có mô đun và argumen cũng là các 
hàm phụ thuộc vào ω. Như vậy, argument của 
số phức đặc trưng được xác định như sau
)(* ωAi )(
*
ωϕ i
)( 0 ze iTj −ω
)()(
1
**
ωϕωϕ ∑
=
=
n
i
i
Trên mặt phẳng phức z, số phức thành phần 
được biểu diễn bằng một véc tơ :c i
r
zzc ii
rrr
−=
Véc tơ này có gốc nằm tại ngọn của véc tơ , 
ngọn nằm trên đường tròn có tâm ở gốc toạ độ, 
bán kính đơn vị, tại vị trí phù hợp với giá trị ω.
z i
r
Re
jIm
1
j1
ci
zzi
a)
Re
jIm
1
j1
z
zi
b)
H.7-4. Xác định góc quay của véc tơ thành phần
Trường hợp nghiệm zi của ĐTĐT D(z) nằm trong 
hình tròn có tâm ở gốc toạ độ, bán kính đơn vị
(H.7-4, a). Khi này nhận thấy rằng, khi ω thay đổi 
từ –π/T0 đến π/T0, véc tơ thành phần quay quanh 
gốc của nó một góc .2* piϕ =i
ci
0 0 
Trường hợp nghiệm zi của đa thức đặc trưng 
D(z) nằm ngoài hình tròn có tâm ở gốc toạ độ, 
bán kính đơn vị (H.7-4, b). Khi này nhận thấy 
rằng, khi ω thay đổi từ –π/T0 đến π/T0, véc tơ 
thành phần quay quanh gốc của nó một góc 
Như vậy, nếu tất cả các nghiệm của ĐTĐT nằm 
trong hình tròn có tâm ở gốc toạ độ, bán kính 
đơn vị, thì khi ω thay đổi từ –π/T0 đến π/T0, 
argument của véc tơ đặc trưng thay đổi một 
lượng là
.0* =ϕ i
piω pi
ω
pi njD
TT
2arg
00
)(* =
≤≤−
∆
hay 2/2arg
0
0
* )( piω pi
ω
njD
T
=
≤≤
∆
Cách phát biểu thứ nhất tiêu chuẩn ổn định 
Mikhailốp cho HTĐKTĐGĐ: điều kiện cần và đủ 
để HTĐKTĐGĐ kín ổn định là: khi ω thay đổi từ 
0 đến π/T0 véc tơ đặc trưng D*(jω) bắt đầu trên 
phần dương của trục thực quay quanh gốc toạ 
độ theo chiều dương một góc nπ, trong đó n-bậc 
của đa thức đặc trưng. 
Hai cách phát biểu khác của tiêu chuẩn ổn định 
Mikhailốp:
Cách phát biểu thứ hai tiêu chuẩn ổn định 
Mikhailốp: điều kiện cần và đủ để HTĐKTĐGĐ 
kín ổn định là: khi ω thay đổi từ 0 đến π/T0 
đường cong Mikhailốp bắt đầu trên phần dương 
của trục thực lần lượt đi qua 2n góc phần tư 
theo chiều dương, trong đó n-bậc của ĐTĐT. 
Cách phát biểu thứ ba tiêu chuẩn ổn định 
Mikhailốp: điều kiện cần và đủ để HTĐKTĐGĐ 
kín ổn định là: khi ω thay đổi từ 0 đến π/T0 hai 
phương trình




=
=
0
0
)(
)(
*
*
ω
ω
P
Q
phải có đủ 2n+1 nghiệm ω1, ω2, ω3, ..., ω2n+1; 
trong đó, các nghiệm phương trình Q*(ω)=0 có
chỉ số lẻ, các nghiệm phương trình P*(ω)=0 có
chỉ số chẵn; và ω1<ω2<ω3<...<ω2n+1. 
Phát biểu tiêu chuẩn ổn định Mikhailốp cho 
trường hợp HTĐKTĐGĐ kín nằm trên biên giới 
ổn định. HTĐKTĐGĐ kín nằm trên biên giới ổn 
định khi nghiệm zi của PTĐT nằm trên đường 
tròn có tâm ở gốc toạ độ, bán kính đơn vị. Như 
vậy, khi tần số ω thay đổi từ 0 đến π/T0, tại một 
giá trị ω0 nào đó số phức thành phần bằng 
không. Tức là, tại tần số đó, số phức đặc trưng 
của HT kín D*(jω0)=0. 
Do đó, HTĐKTĐGĐ kín nằm trên biên giới ổn 
định khi đường cong Mikhailốp bắt đầu tại (hoặc 
đi qua, hoặc kết thúc tại) gốc toạ độ khi ω thay 
đổi từ 0 đến π/T0.
Thí dụ 7.3. Xác định điều kiện để HTĐKTĐ trong 
thí dụ 7.1 ổn định; nằm trên biên giới ổn định?
ĐTĐT của HT trên có dạng
.10)( −+= TkzzD
ez Tjω 0=Thay vào đa thức trên, nhận được số
phức đặc trưng
).()()( 000
* sin1cos TjTkTjD ωωω +−+=
Từ đây nhận được




−+=
=
.1cos
sin
00
*
0
*
)()(
)()(
TkTP
TQ
ωω
ωω
Trong khoảng tần số [0 π/T0] phương trình 
sin(ωT0)=0 có hai nghiệm ω1=0 và ω3=π/T0. Để
HT trên ổn định thì phương trình 
01cos 00)( =−+ TkTω
phải có một nghiệm ω2 nằm trong khoảng tần 
số 0<ω<π/T0. Ta có
TkT 00 1cos )( −=ω
P(ω)
jQ(ω)
ω1=0
ω3=π/T0
ω2
0 
Để phương trình trên có nghiệm trong khoảng 
tần số 0<ω<π/T0 thì
11 0 <− Tk .20 0 <<⇒ Tk .20 <⇒ Tk
Điều kiện để HT trên nằm trên biên giới ổn định:
khi ω1=0 thì Q*(ω1)=0 và P*(ω1)=kT0>0, như vậy
P(ω)
jQ(ω)
ω1=0ω*=π/T0
đường cong Mikhailôp
phải kết thúc tại gốc tọa
độ, tức là ω2=ω3=π/T0:
.2
1arccos
0
00
0*
2
)(
=⇒
==
−
kT
TT
kT pi
ω 0 
Sử dụng các lệnh của Control System Toolbox:
k=2;
T0=0.8;
sys=tf([1 k*T0-1],[1],T0);
nyquist(sys)
Thí dụ 7.4. Xác định điều kiện để HTĐKTĐ trong 
thí dụ 7.2 ổn định; nằm trên biên giới ổn định?
ĐTĐT của HT kín có dạng
.22422 202020202 )()( +−+−++= TkTkTzTkTkTzzD
Thay )()( 00 sincos0 TjTez Tj ωωω +==
vào đa thức trên, nhận được
)()()( *** ωωω QjPjD +=





−+−++=
−++=
⇒
.2cos42cos4
;sin42cos4
20
2
0020
2
00
2*
020
2
00
*
)()()()(
)(])([)(
TkTTkTTkTTkTP
TTkTTkTQ
ωωω
ωωω
Để HT trên ổn định thì trong khoảng tần số [0 π/T0] 
phương trình Q*(ω)=0 phải có 3 nghiệm:
ω1=0, 
),(
4
24
arccos
1 20
2
0
0
3
TkTTk
T
−−
=ω ω5=π/T0;
phương trình P*(ω)=0 phải có 2 nghiệm:
8
1616244424
arccos
1 202022202230240220
2
0
0
2
++−++−−−
=
TkTkTTTkTTkTkTkTTk
Tω
8
1616244424
arccos
1 202022202230240220
2
0
0
4
++−+++−−
=
TkTkTTTkTTkTkTkTTk
Tω
và ω1<ω2<ω3<ω4<ω5. 
Từ đây nhận được







<
>
.
2
;
2
20
0
2
TTk
TT
P(ω)
jQ(ω)
ω1=0
ω5=π/T0
ω2
ω3
ω4
0 
HT trên nằm trên biên giới ổn định trong hai 
trường hợp. Trường hợp thứ nhất, khi đường 
cong Mikhailốp đi qua gốc toạ độ, tức là ω2=ω3
hoặc ω3=ω4. Từ đây nhận được







=
<
;
2
;
2
0
2
20
TT
TTk







=
<
⇒
.2
;
4
0
2
2
0
TT
T
k
Trường hợp thứ hai, khi đường cong Mikhailốp 
kết thúc tại gốc toạ độ, tức là ω4=ω5. Từ đây 
nhận được
P(ω)
jQ(ω)
ω1=00 







>
=
.2
;
2
0
2
20
TT
TTk
Sử dụng các lệnh của Control System toolbox:
T0=0.2;
T2=T0/2+0.1;
k=2/(T0*T2)-1;
sys=tf([2 (k*T0^2+2*k*T0*T2-4) (k*T0^2-
2*k*T0*T2+2)],[1],T0);
nyquist(sys)
7.1.2.3. Tiêu chuẩn ổn định Nyquist phát biểu 
cho HTĐKTĐGĐ
Tiêu chuẩn ổn định Nyquist được áp dụng để
khảo sát tính ổn định của HTĐKTĐGĐ kín phản 
hồi âm đơn vị và dựa vào việc sử dụng ĐTTSBĐ 
pha của HTĐKTĐGĐ hở . Cách phát biểu 
tiêu chuẩn ổn định này cho HTĐKTĐGĐ giống 
đến từng lời so với cách phát biểu cho HTĐKTĐ 
liên tục.
)(* ωjW h
Xét HTĐKTĐGĐ phản hồi âm đơn vị có HST của 
hệ hở
)(
)(
)(
zC
zB
zW h =
trong đó C(z)-ĐTĐT của HT hở.
Thay vào HST trên, nhận được HST tần 
số của HT hở
ez Tjω 0=
Đồ thị biểu diễn HST tần số của HT hở được gọi 
là ĐTTSBĐ pha của HT hở.
)(
)(
)(
*
*
*
ω
ω
ω jC
jBjW h =
Xét hàm phụ
)(
)(
)(
)(
)()( 11
zC
zD
zC
zB
zWzF h =+=+=
trong đó D(z)-ĐTĐT của HT kín.
Thay vào công thức trên, nhận đượcez Tjω 0=
Trên mặt phẳng phức F*(jω) được biểu diễn 
bằng một véc tơ, có gốc nằm ở điểm có toạ độ
(-1, j0), ngọn nằm trên ĐTTSBĐ pha của HT hở.
)()()(
)(
)(
)( ***
*
*
*
ωϕωϕωϕω
ω
ω hkFjC
jDjF −=⇒=
Khi tần số ω thay đổi từ –π/T0 đến π/T0 ngọn của 
nó trượt trên ĐTTSBĐ pha của HT hở.
Trường hợp HT hở không ổn định (ĐTĐT của nó
có q nghiệm nằm ngoài hình tròn bán kính đơn 
vị), theo tiêu chuẩn ổn định Mikhailốp, khi tần số
ω thay đổi từ –π/T0 đến π/T0, argument của số
phức đặc trưng C*(jω) thay đổi một lượng 
(n-q)2π.
Để HT kín ổn định thì khi tần số ω thay đổi 
từ –π/T0 đến π/T0, argument của số phức đặc
trưng D*(jω) phải thay đổi một lượng 2nπ.
Như vậy, trong trường hợp HTĐKTĐGĐ kín ổn 
định thì khi tần số ω thay đổi từ –π/T0 đến π/T0, 
argument của số phức F*(jω) thay đổi một lượng
.222 )()()()( *** pipipiωϕωϕωϕ qqnnhkF =−=−= −
Phát biểu tiêu chuẩn ổn định Nyquist khi HT hở
không ổn định:
Điều kiện cần và đủ để HTĐKTĐGĐ kín ổn định, 
khi HT hở không ổn định (ĐTĐT của HT hở có q 
nghiệm nằm ngoài hình tròn bán kính đơn vị), là 
đường cong ĐTTSBĐ pha của HT hở bao điểm 
(-1, j0) theo chiều dương q lần khi tần số ω thay 
đổi từ –π/T0 đến π/T0 hay q/2 lần khi tần số ω 
thay đổi từ 0 đến π/T0.
Phát biểu tiêu chuẩn ổn định Nyquist khi HT hở
ổn định:
Điều kiện cần và đủ để HTĐKTĐGĐ kín ổn định, 
khi HT hở đã ổn định, là đường cong ĐTTSBĐ 
pha của HT hở không bao điểm (-1, j0) khi tần 
số ω thay đổi từ 0 đến π/T0.
(-1,j0) ω=0
ω→π/T0
Re
jIm
l=0: HT ổn định
(-1,j0)
ω=0 ω→π/T0
Re
jIm
l=1: HT ổn định
0 0 
022)()()(
***
=−=−= pipiωϕωϕωϕ nnhkF
Phát biểu tiêu chuẩn ổn định Nyquist cho trường 
hợp HT nằm trên biên giới ổn định. Khi HT kín 
nằm trên biên giới ổn định thì tại một giá trị tần 
số ω0 nào đó số phức đặc trưng D*(jω0)=0. Khi 
đó, véctơr phụ F*(jω0)=0, điều đó có nghĩa là
HTĐKTĐGĐ nằm trên biên giới ổn định khi đặc 
tính tần số biên độ pha của HT hở đi qua điểm 
(-1, j0).
Thí dụ 7.5. Xác định điều kiện để HTĐKTĐ trong 
thí dụ 7.1 ổn định; nằm trên biên giới ổn định?
1
0)(
−
=
z
Tk
zW h
Biến đổi HST tần số của HT hở về dạng sau
1sincos )()(
)(
00
0*
−+
=
TjT
TkjW h ωωω
)]([
)]()([
0
000
cos12
sin1cos
T
TjTTk
ω
ωω
−
−−
=
)(
)(
0
000
cos1
sin
22 T
TTkjTk
ω
ω
−
−−=
)()( ** ωω jQP hh +=
Re
jIm
(-1,j0)
ω=0
ω→π/T0 0 
Đặc tính tần số biên độ pha của HT hở là một 
đường thẳng song song với trục ảo, nằm cách 
trục ảo một khoảng –kT0/2. Khi ω=0 ta có
,
2
0
0
* )( ∞−−=
=
jTkjW h
ω
ω
tức là đặc tính tần số biên độ pha của HT hở bắt 
đầu từ -∞, song song với trục ảo, nằm cách trục 
ảo một khoảng –kT0/2.
Khi ω=π/T0 ta có
2
0*
/
* )()(
0
Tk
PjW hTh −=== ωω piω
Re
jIm(-1,j0)
ω=0
ω→π/T0
0 
tức là đặc tính tần số biên độ pha của HT hở kết 
thúc tại trục thực, cách gốc toạ độ một khoảng 
(–kT0/2).
Theo tiêu chuẩn ổn định Nyquist, để HT kín ổn 
định thì
Để HT kín nằm trên biên giới ổn định thì
.212 00 / − TkkT
.212 00 / =⇒−=− TkkT
Thí dụ 7.6. Khảo sát tính ổn định của HTĐKTĐGĐ khi
HT hở không ổn định bằng Matlab
T0=0.1;
sys1=tf(1,[1 0.5], T0);
sys2=tf([1 1],[1 -2], T0)
%sys2=tf([1 2],[1 -2], T0)
sysh=sys1*sys2;
sysk=feedback(sysh,1);
SUBPLOT(2,1,1); nyquist(sysh);
set(findobj(gca,'Type','line','Color',[0 0 1]),...
'LineWidth',2);
SUBPLOT(2,1,2);step(sysk);
set(findobj(gca,'Type','line','Color',[0 0 1]),...
'LineWidth',2);
7.1.2.4. Tiểu chuẩn ổn định logarit phát biểu 
cho HTĐKTĐGĐ
Điều kiện cần và đủ để HTĐKTĐGĐ kín ổn định
là khi ω tiến từ 0 đến π/T0, trong dải tần mà 
ĐTTSBĐ logarit của HT hở lớn hơn 0 thì hiệu
giữa số điểm chuyển tiếp dương và điểm
chuyển tiếp âm của ĐTTSP logarit trên đường
thẳng -1800 bằng q/2, trong đó q là số nghiệm 
PTĐT của HT hở nằm ở phía ngoài đường tròn
bán kính đơn vị. Nếu HT hở ổn định hay nằm
trên biên giới ổn định, nghĩa là q=0 thì điều
kiện để HT kín ổn định là hiệu số điểm chuyển
tiếp đó bằng 0.
Điều kiện để HT kín nằm trên biên giới ổn định
là ωc=ωπ,trong đó ωc-tần số mà ĐTTSBĐ logarit
HT hở cắt trục hoành, ω
π
-tần số mà ĐTTSP 
logarit HT hở cắt đường thẳng -1800.
Nhắc việc: giờ sau kiểm tra 30 phút.
7.2. ĐÁNH GIÁ SAI SỐ CỦA HTĐKTĐGĐ 
TRONG CHẾ ĐỘ XÁC LẬP
7.2.1. Xác định sai số tiền định của 
HTĐKTĐGĐ trong chế độ xác lập
7.2.1.1. Xác định sai số tiền định 
Sai số của HTĐKTĐGĐ trong chế độ xác lập 
cũng được xác định bằng hiệu giữa giá trị mong 
muốn và giá trị thực tế của lượng ra
)()()( iyiyie ttmm −=
Xét HTĐKTĐGĐ phản hồi âm đơn vị (H.7-12). 
Lượng vào (giá trị mong muốn của lượng ra) là 
x(i), lượng ra là y(i), sai số là e(i).
HST của sai số được xác định như sau
Wh(z)
x(i) e(i)
H.7-12. 
y(i)
)()(
)(
)(
1
1
zWzX
zE
W
h
ex z +
==
Ảnh của sai số được xác định như sau
)(
)(
)(
1 zW
zX
zE
h+
=
Sử dụng tính chất của phép biến đổi Z, sai số
xác lập e(i) được xác định như sau
)(
)()(
)(
1
1
lim
1
1 zW
zXz
ie
hzi +
−
=
−
→∞→
Biểu diễn HST của HT hở dưới dạng
)(
1
)( 0)1(
zW
z
k
zW uh
−
−
=
trong đó tức là trong HST của HT hở
có thể tách ra u khâu tổng riêng biệt; u được gọi 
là bậc phiếm tĩnh của HT.
,1lim )]([ 0
1
=
→
zW
z
Khi u=0 HT được gọi là HT tĩnh;
khi u=1 HT được gọi là HT phiếm tĩnh bậc một; 
khi u=2 HT được gọi là HT phiếm tĩnh bậc hai; ...
- Khi tác động đầu vào có dạng hàm bậc 
thang
)()( 10 ixix =
z
x
zX
−
−
=
1 1
0)(
Sai số trong trường hợp này được gọi là sai số
tĩnh, ký hiệu là et(i).
- Trường hợp HT tĩnh (u=0)
1
)1(
1
1
1
lim 0
00
1
01
1 )(
1
)(
)(
+
−
−
=
−
+
−
=
−
−
→∞→ k
x
zW
z
k
z
x
z
ie
zi
t
-Trường hợp HT phiếm tĩnh bậc một (u=1)
.0
)1(
1
1
1
lim
)(
1
)(
)(
01
1
01
1
=
−
+
−
=
−
−
−
−
→∞→
zW
z
k
z
x
z
ie
zi
t
- Trường hợp HT phiếm tĩnh bậc hai trở lên
( u>1 )
.0)( =
∞→it ie
- Khi tác động đầu vào có dạng hàm đồng 
biến
iTVix 0)( = )1( 1
)( 2
1
0
z
zVT
zX
−
=
−
−
Sai số trong trường hợp này được gọi là sai số
vận tốc, ký hiệu là ev(i).
- Trường hợp HT tĩnh (u=0)
-Trường hợp HT phiếm tĩnh bậc một (u=1)
.
)1(
1
)1(
1
lim
)(
1
1
)(
)(
00
2
1
01
1
∞
−
−
=
−
+
−
−
=
−
−
→∞→
zW
z
k
z
zVT
z
ie
zi
V
.
)(
1
1
)(
)( 0
01
2
1
01
1
)1(
1
)1(
1
lim k
TV
zW
z
k
z
zVT
z
ie
zi
V =
−
+
−
−
=
−
−
−
−
→∞→
- Trường hợp HT phiếm tĩnh bậc hai trở lên 
(u>1)
.0
)1(
1
)1(
1
lim
)(
1
1
)(
)(
02
2
1
01
1
=
−
+
−
−
=
−
−
−
−
→∞→
zW
z
k
z
zVT
z
ie
zi
V
- Khi tác động đầu vào có dạng hàm đồng 
biến
)( 0)(
2Tiaix = )1(
1
1
)(
)( 3
22
0
z
zzaT
zX
−
+
=
−
−
Sai số trong trường hợp này được gọi là sai số
gia tốc, ký hiệu là ea(i).
- Trường hợp HT tĩnh (u=0)
-Trường hợp HT phiếm tĩnh bậc một (u=1)
.
)1(
1
)1(
1
1
lim
)(
1
1
)(
)(
)(
00
3
22
01
1
∞
−
−
=
−
+
−
+
−
=
−
−
→∞→
zW
z
k
z
zzaT
z
ie
zi
a
.
)1(
1
)1(
1
1
lim
)(
1
1
)(
)(
)(
01
3
22
01
1
∞
−
−
=
−
+
−
+
−
=
−
−
→∞→
zW
z
k
z
zzaT
z
ie
zi
a
- Trường hợp HT phiếm tĩnh bậc hai (u=2)
k
Ta
zW
z
k
z
zzaT
z
ie
zi
a
2
)1(
1
)1(
1
1
lim
2
0
02
3
22
01
1 )(
1
1
)(
)(
)( =
−
+
−
+
−
=
−
−
−
−
→∞→
- Trường hợp HT phiếm tĩnh bậc ba trở lên (u≥3)
.0
)1(
1
)1(
1
1
lim
)(
1
1
)(
)(
)(
03
3
22
01
1
=
−
+
−
+
−
=
−
−
−
−
→∞→
zW
z
k
z
zzaT
z
ie
zi
a
Như vậy, khi HTĐKTĐGĐ là HT tĩnh thì sai số
tĩnh của nó không đổi, sai số vận tốc và sai số
gia tốc tăng trưởng theo thời gian; khi 
HTĐKTĐGĐ là HT phiếm tĩnh bậc một thì sai số
tĩnh của nó bằng không, sai số vận tốc không 
đổi, sai số gia tốc tăng trưởng theo thời gian; khi 
HTĐKTĐGĐ là HT phiếm tĩnh bậc hai thì sai số
tĩnh và sai số vận tốc của nó bằng không, sai số
theo gia tốc không đổi; khi HTĐKTĐGĐ là HT 
phiếm tĩnh bậc ba thì sai số tĩnh, sai số vận tốc 
và sai số gia tốc bằng không.
HTĐKTĐGĐ được gọi là HT bám khi có phản 
hồi âm đơn vị và trong thành phần của HT hở có
thể tách ra được ít nhất một khâu tổng riêng 
biệt.
Khi lượng vào là các hàm phức tạp
).( 0
2
00)( TiaiTVxix ++=
Sử dụng nguyên lý xếp chồng của HTĐKTĐGĐ 
tuyến tính, tính sai số do từng thành phần của 
lượng vào gây ra rồi cộng các kết quả lại.
Thí dụ 7.7. Xác định sai số do lượng vào gây ra 
trong thí dụ 7.2, khi T0=T2=0,1 s, k=100 s-2; 
lượng vào thay đổi theo quy luật
).(1,021 0)(
2
0 TiTiix ++=
e(t)
H.7-2. HT bám liên tục-gián đoạn
y(t)
T0
e(iT0) ghi nhớx(t) W(s)
s
k
s
kT
sW 2
2)( +=
HST của HT hở có dạng
)1(2
1
)1( 2
2
020
)(
)(
−
+
−
+=
z
zTk
z
TTk
zW h
Thay số vào ta có
)1(
15,0)1(
1
)(1
)(
22
zz
zzz
zW h
−
+
−
−
+−
=
Ảnh của lượng vào có dạng
)1(
1001,0
)1(
2,0
1
1
1
)(
1
)( 3
2
2
1
1
z
zz
z
z
z
zX
−
+
+
−
+=
−
−
−
−−
−
HT trên là HT phiếm tĩnh bậc hai, nên sai số tĩnh 
và sai số vận tốc bằng không. Vì vậy, sai số của 
HT được xác định như sau
.002,0
)1(
15,0)1(
1
)1(
1001,0
1
lim
1
)(1
1
)(
)(
)(
22
3
2
1
1
=
−
+−
+
−
+
−
=
−
+
−
−
−
−
→∞→
zz
zzz
z
zz
z
ie
zi
a
7.2.1.2. Xác định các hệ số sai số
Hàm số truyền của sai số có thể được 
viết lại như sau
)(zW ex
czczc
bzbzbzW
W
n
nn
m
mmh
ex z
ˆ)1(ˆ)1(ˆ
ˆ)1(ˆ)1(ˆ1
1
1
1
...
11
...
11)(
)(
1
10
1
10
++−+−
++−+−
+
=
+
=
−−
−−
−
−
cbzczc
czczc
zX
zE
W
nm
nn
n
nn
ex z
ˆˆ)1(ˆ)1(ˆ
ˆ)1(ˆ)1(ˆ
...
11
...
11
)(
)(
)( 1
10
1
10
+++−+−
++−+−
==
−−
−−
−
−
(7.4)
...
11
)(
)(
)1()1( 2210 +−+−+= −− zezee
zX
zE
Mặt khác có thể viết
...)(1)(1)()( )1()1( 2210 +−+−+= −− zXzezXzezXezE
Hàm gốc của sai số
...
)()()()( 22110 +++= ∇∇ ixeixeixeie
Thành phần được gọi là sai lệch hiệu 
bậc không, thành phần được gọi là sai 
lệch hiệu bậc nhất, thành phần được 
gọi là sai lệch hiệu bậc hai, ...
)(0 ixe
)(11 ixe ∇
)(22 ixe ∇
(7.5)
Các hệ số e0, e1, e2, ... được gọi là các hệ số sai 
số của các hiệu tương ứng.
Đặt (bắt buộc) . Từ (7.4) và (7.5), nhận 
được
z−
−
=1 1α
...))(...(... 2210110110 ˆˆˆˆˆˆˆ +++++++=+++ −− αααααα eeecbccccc nm
nn
n
nn
Thực hiện so sánh các số hạng cùng bậc đẳng 
thức trên, nhận được các hệ số e0, e1, e2, ...
Thí dụ 7.8. Tìm sai số của HTĐKTĐ trên H.7-12 
trong trạng thái xác lập, biết rằng
Wh(z)
x(i) e(i)
H.7-12. 
y(i)
z
zkT
z
kT
zW h
−−
−
−
==
11 1
1
00)(
).( 0)(
2
2010 iTxiTxxix ++=
Xác định các hiệu hữu hạn của lượng vào
)()(0 ixix =∇
)()()( 11 −∇ −= ixixix
TixTx 20201 )( 5,02 −+=
)()()( 1112 −∇∇∇ −= ixixix
Tx 2022=
.0...)()( 43 ===∇∇ ixix
Xác định các hệ số sai số
zkTz
z
z
zkTzW
W
h
ex z 1
0
1
1
1
1
0 1
1
1
1
1
1
1
)()( −−
−
−
−
+
=
+
=
+
=
−
−
−
...
11 )1()1(
1
1 2
2101
0
1
1
+−+−+=
+
=
−−
−
−
−
−
−
zezee
zkTz
z
Đặt αα −=⇒= −−− 11 11 zz
...)(
2
210
0 1
+++=
+
⇒
−
αα
αα
α
eeekT
...])][([ 22100 1 ++++=⇒ − ααααα eeekT
So sánh các hệ số
00 000
0
=⇒= eekTα
kTe
ekTkTe
0
11000
1 111 )( =⇒=+−α
Tk
kT
eekTkTe 2
0
2
0
22001
2 101 )(
−
=⇒=+
−α
Chuỗi sai số có dạng
Tx
Tk
kT
TixTxkT
ie 2022
0
2
02
0201
0
215,021 ])([)(
−
++=
−
])[( 15,02 0021 k
kT
Tik
x
k
x −++=
−
Như vậy, khi i→∞, sai số tiến tới vô cùng.
7.2.2. Đánh giá sai số ngẫu nhiên của 
HTĐKTĐGĐ trong chế độ xác lập
Khi HTĐKTĐGĐ chịu tác động của các quá trình 
ngẫu nhiên thì lượng ra và sai số cũng là các 
quá trình ngẫu nhiên.
Sai số ngẫu nhiên E(i) có thể được phân tích 
thành kỳ vọng toán học và thành phần ngẫu 
nhiên trung tâm
)()]([)(
0
iEiEMiE +=
Thành phần kỳ vọng toán học được xác định 
như sai số tiền định. Thành phần ngẫu nhiên 
trung tâm được đánh giá theo phương sai
})]([{ 0)(
2
iEMiDe =
Phương sai của sai số được xác định như sau
∑
=
+=
N
j
eXe DDD eV j1
Phương pháp xác định phương sai của sai số do 
lượng vào và nhiễu loạn gây ra giống nhau, vì
vậy, dưới đây ta chỉ nghiên cứu phương sai do 
lượng vào gây ra.
Hàm tương quan của sai số được xác định như 
sau
)]()([)(
00
kiEiEMkRex +=
Mật độ phổ của sai số được xác định như sau
∑
∞
−∞=
−
=
k
k
exex zkRzS )()(
(7.7)
(7.8)
Mặt khác, hàm tương quan của sai số chính là
biến đổi ngược Fourier của mật độ phổ
,2
2/
2/
0 0)()( ωωpi
ω deSTkR
j
j
exex
Tkj∫
Ω
Ω−
=
.0 τ=Tktrong đó
,0
1
0 000 Tj
zdz
ddeTjdzeez TjTjTs
−
=⇒=⇒== ωωωω
Vì vậy ∫
=
−
=
1
1
.2
1 )()(
z
k
exex dzzzSjkR pi
Phương sai của sai số chính là giá trị của hàm 
tương quan khi .0=τ
∫
=
−
==
1
1
.2
1
0 )()(
z
exexex dzzzSjRD pi (7.9)
Hàm tương quan của quá trình ngẫu nhiên
k
Rx(k)
k
Rx(k)
Hàm tương quan của quá trình tạp trắng
Dx
Xác định phương sai của sai số do lượng vào 
gây ra khi biết lượng vào và cấu trúc của HT
Wh(z)
x(i) e(i)
H.7-12. 
y(i)
)()][()( 11
00
1
rgriXiE ex
r
∑
−
∞
−∞=
=
Tại thời điểm (i+k) ta có
)()][()][( 22
00
2
rgrkiXkiE ex
r
∑ −++
∞
−∞=
=
Hàm tương quan của sai số được xác định theo (7.7)
Tại thời điểm i ta có
Biến đổi biểu thức
)]()([)(
00
kiEiEMkRex +=
).()()]()([ 212
0
1
0
1 2
rgrgrkiXriXM exex
r r
∑ ∑
−+−
∞
−∞=
∞
−∞=
=
)]()([ 2
0
1
0
rkiXriXM −+−
)]()([ 211
0
1
0
rrkriXriXM −++−= −
).( 21 rrkRx −+=
∑ ∑
∞
−∞=
∞
−∞=
−+=
r r
rgrgrrkRkR exexxex
1 2
)()()()( 2121
Như vậy
Mật độ phổ của sai số được xác định theo (7.8)
∑
∞
−∞=
−
=
k
k
exex zkRzS )()(
∑ ∑ ∑
∞
−∞=
∞
−∞=
∞
∞−
−
−+=
k
k
exexx
r r
zrgrgrrkR
1 2
)()()( 2121
zrrkRzrgzrg rrk
r
r
r
r
k
xexex
)(
2121
21
2
2
1
1 )()()( −+−
∞
−∞=
∞
−∞=
∞
−∞=
∑∑∑ −+= −
Theo (6.42) ta có
)()( 11
1
1 zWzrg exex
r
r −
∞
−∞=
=∑
)()(
2
22 zWzrg exex
r
r =−∑
∞
−∞=
Theo (7.8) ta có
)()( )(21 21 zSzrrkR x
k
x
rrk
=−+ −+−
∞
−∞=
∑
Vì vậy
)()()()( 1 zSzWzWzS xexexex −=
Biểu diễn Sx(z) dưới dạng
)()()( 1zFzFzS xxx −=
trong đó Fx(z)-HST của bộ lọc tạo hình dừng, 
biến đổi tạp trắng với mật độ phổ bằng 1 thành 
tín hiệu ngẫu nhiên dừng có mật độ phổ Sx(z).
(7.10)
Cuối cùng, (7.10) có dạng
)()()()()( 11 zFzWzFzWzS xexxexex −−=
Phương sai của sai số (7.9) được xác định như 
sau
∫
=
−−−
=
1
111
.2
1 )()()()(
z
xexxexex dzzzFzWzFzWjD pi
)1(
2
1
1
2
w
dw
dz
w
w
z
−
=⇒
−
+
=
∫
+−
∞
∞−
−−
=⇒
j
j
xexxex
ex dw
w
wFwW
w
wFwW
jD 112
1
2
)()()()(
pi
∫
∞
∞−
−=
j
j
ex dwwFwFjD ,2
1
2 )()(pi
trong đó
;
)()(
)(
1 w
wFwW
wF xex
−
=
.
)()(
)(
1 w
wFwW
wF xex
+
−
−−
=
Cuối cùng, biểu thức phương sai có dạng
)],([2 wFIDex =
trong đó -tích phân Parseval, được xác 
định như trong HTĐKTĐ liên tục.
)]([ wFI
Thí dụ 7.9. HTĐKTĐGĐ có sơ đồ như trên 
H.7-15, trong đó
Wh(z)
x(i) y(i)e(i)
Hình 7-15
V(i)
z
zkT
zW h
−
−
−
=
1 1
1
0)(
)()( iNiR VV δ=
NS VV =
zkT
zkT
zW
zW
zW
h
h
eV 1
0
1
0
)()(
)(
)(
111 −
−
−+
−=
+
−=
kTwkT
wkT
w
w
kT
w
w
kT
wW eV
00
0
0
0
)(
)(
)(
)(
2
1
1
1
11
1
1
+
−=
−+
−=
−
−
+
−
+
−
NwFNS VVVV =⇒= )(
kTwkT
NkT
w
wFwW
wF vVeV
00
0
)(
)()(
)(
21 +
−==⇒
−−
])([ 00
0
22 kTwkT
NkT
ID VeV +−=⇒
−
kTkTNkTn V −==−== 2;;;1 010000 ββα
kT
NkTD VeV
−
==⇒
222 0
0
10
2
0ββ
α