Bài giảng Lý thuyết điều khiển tự động 2 - Chương 4: Tính ổn định của hệ thống điều khiển tự động phi tuyến

Chương 4
TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN 
TỰ ĐỘNG PHI TUYẾN
4.1. KHÁI NIỆM VỀ TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ
THỐNG ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG PHI TUYẾN
Nếu trạng thái của HTĐKTĐ phi tuyến được mô 
tả bằng bằng hệ n phương trình vi phân:
nityyyfy nii ÷== 1;),,...,( 21& (4.1)
trong đó tham số t chỉ ra rằng tác động bên ngoài 
của HT thay đổi theo thời gian, thì nghiệm của 
nó hoàn toàn được xác định bằng điều kiện ban
đầu yi0. Nghiệm này được gọi là chuyển động 
“không bị nhiễu loạn”. Sự thay đổi ĐKBĐ đi một 
giá trị ∆yi0 dẫn đến sự thay đổi nghiệm. Sai lệch 
của nghiệm đó so với nghiệm không nhiễu loạn 
gọi là chuyển động nhiễu loạn.
Hệ phương trình (4.1) khi tính đến sự thay đổi 
ĐKBĐ có dạng:
.
),,...,( 2211 tyyyyyyfyy nniii ∆∆∆∆ +++=+ &&
Có thể biến đổi hệ phương trình trên về dạng: 
.
),,...,( 21 tyyyFy nii ∆∆∆∆ =& (4.2)
Xét quỹ đạo pha của HT khi không có tác động 
bên ngoài: ∑∆
=
=
n
i
iyR
1
22
Tại thời điểm ban đầu: ∑∆
=
=
n
i
iyR
1
2
0
2
0
µR0
ε
R ∆y1
∆y2
H.4-1
Khái niệm ổn định 
Lyapunôp: chuyển động 
không bị nhiễu sẽ ổn định 
nếu với mọi ε (H.4-1) dương 
nhỏ bao nhiêu tùy ý, ta cũng 
có thể chọn được một số µ
sao cho với mọi ∆yi0 ban đầu thỏa mãn điều kiện 
R0<µ thì sai lệch ∆yi thỏa mãn bất đẳng thức
0 
R<ε với mọi 0 ≤ t ≤ ∞. Nếu R→ 0 khi t→ ∞ thì
chuyển động không bị nhiễu sẽ ổn định tiệm cận. 
Còn nếu như không thể tìm được µ=µ(ε) để R< ε
với mọi 0 ≤ t ≤ ∞ thì chuyển động không bị nhiễu 
sẽ không ổn định.
Nếu như các điều kiện ổn định của HT chỉ được 
thực hiện bắt đầu từ các giá trị ε<εtới hạn, tức là
chỉ trong một dải xác định các ĐKBĐ thì ta nói 
rằng HT ổn định trong phạm vi nhỏ. Khi không có
hạn chế trên thì HT ổn định trong phạm vi lớn
hay ổn định tiệm cận toàn bộ. 
4.2 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH LYAPUNỐP
(SV tự nghiên cứu)
4.3. TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH TUYỆT ĐỐI 
PÔPÔP
Vấn đề xác định tính ổn định tuyệt đối của 
HTĐKTĐ phi tuyến với khâu phi tuyến dạng đơn 
trị là xác định xem HT được mô tả bằng phương 
trình đối với các sai lệch
0)()1(1)1(1)(0 ... =+++++ −− yfycycycyc nnnn (4.20)
có ổn định không, nếu như khi thay f(y)=ay, trong
đó a-một số bất kỳ, thoả mãn bất đẳng thức
α<a<β, thì nhận được phương trình tuyến tính ổn
định
Ở đây α và β liên hệ với đặc tính tĩnh của phần
tử phi tuyến bằng bất đẳng thức
βα << y
yf )(
(4.21)
y
f(y) βy
αy
Hình 4-11. Góc giới hạn đặc tính
tĩnh của khâu phi tuyến
f(y)
0 
Ổn định tuyệt đối là tính ổn định trong phạm vi 
lớn của HT được mô tả bằng phương trình
(4.20) với đặc tính tĩnh đơn trị bất kỳ của phần tử
phi tuyến thoả mãn (4.21).
4.3.1. Trường hợp phần tuyến tính ổn định 
hoặc nằm trên biên giới ổn định
Thông thường α=0. Để xác định tính ổn định
tuyệt đối của HT, ta thiết lập hàm Pôpôp như sau
βωωω
1)(1)( )( ++=Π jWhjj (4.22)
trong đó β được xác định bằng (4.21);
W(jω)-hàm tần số biên độ pha phần tuyến tính;
h-một hằng số nào đó.
Giả sử hàm W(s) có tất cả các cực có phần
thực âm và không có quá hai cực bằng không
(có không quá hai khâu tích phân).
Cách phát biểu thứ nhất định lý Pôpôp: HT sẽ
ổn định tuyệt đối, nếu như có thể chọn được
một số thực h, mà trong dải tần ω ≥0 bất đẳng
thức sau đúng
0)(Re ][ >Π ωj (4.23)
Nếu W(s) có một cực bằng không, thì còn phải
cần thêm Im[W(jω)]→-∞ khi ω→0; còn nếu như
có hai cực bằng không thì phải cần thêm
Re[W(jω)]→-∞ khi ω→0 và Im[W(jω)]<0 khi ω
nhỏ.
Cách phát biểu thứ hai định lý Pôpôp đưa ra
minh hoạ hình học trực quan. Để thực hiện việc
này, trên mặt phẳng phức dựng ĐTTS biên độ
pha biến dạng của phần tuyến tính (H.4-12) 
)()(][][)( *** )(Im)(Re ωωωωωω jVUjWjjWjW +=+=
(4.24)
U*
jV*
ω=0ω→∞
H. 4.12. Đặc tính tần số biến dạng
của phần tuyến tính
n-m>1a)
U*
jV*
ω=0ω→∞
n-m=1b)
-b0/a00 
0 
Bất phương trình (4.23) khi tính đến (4.22) có
dạng
0
1)(1Re)(Re ])[(][ >++=Π βωωω jWhjj
.0
1)(Im)(Re ][][ >+−⇒ βωωω jWhjW
Từ (4.24) ta có
;Re )]([)(* ωω jWU =
.Im )]([)(* ωωω jWV =
Vì vậy
.0
1)()( ** >+− βωω hVU
Nhận thấy rằng, vế trái của bất đẳng thức trên
0
1)()( ** =+− βωω hVU
chính là phương trình đường thẳng trên mặt
phẳng W*(jω). 
Cách phát biểu thứ hai tiêu chuẩn ổn định tuyệt
đối Pôpôp: Để HTĐKTĐ phi tuyến ổn định tuyệt
đối thì qua điểm (-1/β, j0) trên mặt phẳng phức
chỉ cần chọn được một đường thẳng sao cho 
ĐTTS biên độ pha biến dạng W*(jω) nằm phía
bên phải nó.
Cách phát biểu thứ ba: nếu qua điểm (-1/β, j0) 
có thể kẻ một đường thẳng không cắt và không
tiếp xúc với ĐTTS biên độ pha biến dạng
W*(jω), thì HTĐKTĐ phi tuyến sẽ ổn định tuyệt
đối H.4-13.
jV*
U*
ω=0
ω→∞a)
-1/β
H. 4-13. Các HT ổn định tuyệt đối (a, b)
và không ổn định tuyệt đối (c, d)
jV*
U*
ω=0
ω→∞
b)
-1/β
jV*
ω=0
ω→∞c)
-1/β U*
jV*
ω=0
ω→∞d)
-1/β U*
0 0 
0 0 
Thí dụ 4.1. Xét tính ổn định tuyệt đối cho 
HTĐKTĐ phi tuyến trên H.4-14.
HST của phần tuyến tính: 
)1)(1)(1(
1
321 +++ sTsTsT2
4
)1)(1)(1(
1)(
321 +++
=
sTsTsT
sW
T1=0,5 s, T2=0,2 s, T3=0,1 s.
Xác định góc giới hạn đặc tính phi tuyến:
α
;2
2
4 ktg ===α
Như vậy điểm có toạ độ (-1/β, j0) sẽ là (-0,5, j0).
Xét tính ổn định của phần tuyến tính:
)1)(1)(1(
1)(
321 +++
=
sTsTsT
sW
Dễ dàng thấy rằng phần tuyến tính ổn định.
Dựng ĐTTS biên độ pha biến dạng (H.4-15). 
)()(][][)( *** )(Im)(Re ωωωωωω jVUjWjjWjW +=+=
jV*
U*
ω=0ω→∞
-0,5
H.4-15
0 
Nhận thấy rằng, qua điểm (-0,5, j0) có thể dựng 
được đường thẳng không cắt và không tiếp xúc 
với W*(jω). Vì vậy, HT ổn định tuyệt đối. 
Chương 5
ĐÁNH GIÁ CHẤT LƯỢNG CỦA HT ĐIỀU 
KHIỂN TỰ ĐỘNG PHI TUYẾN
(SV tự nghiên cứu)