Bài giảng Lý thuyết điều khiển tự động 2 - Chương 2: Khảo sát hệ thống điều khiển tự động phi tuyến bằng phương pháp không gian pha

Chương 2
KHẢO SÁT HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG
PHI TUYẾN BẰNG PHƯƠNG PHÁP KHÔNG 
GIAN PHA
2.1. PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN PHA
Khái quát chung: Đây là phương pháp đồ họa 
để nghiên cứu các HTĐKTĐ phi tuyến. 
Ưu điểm:
- cho phép quan sát chuyển động của HTĐKTĐ 
phi tuyến với các ĐKBĐ khác nhau;
- áp dụng với nhiều đối tượng phi tuyến;
- dễ dàng phân tích các HTĐKTĐ bậc 2 (PP mặt
phẳng pha).
Nhược điểm:
- chỉ được dùng để nghiên cứu HT có bậc không 
lớn hơn hai, bởi vì, khi HT có bậc cao hơn, việc 
dựng đồ thị gặp nhiều khó khăn.
Nếu trạng thái của HTĐKTĐ phi tuyến được mô 
tả bằng bằng hệ n phương trình vi phân:
nityyyfy nii ÷== 1;),,...,( 21& (2.1)
trong đó tham số t chỉ ra rằng tác động bên ngoài 
thay đổi theo thời gian, thì nghiệm của nó hoàn 
toàn được xác định bằng ĐKBĐ yi0. Nghiệm này 
được gọi là chuyển động “không bị nhiễu loạn”. 
Sự thay đổi ĐKBĐ đi một giá trị ∆yi0 dẫn đến sự 
thay đổi nghiệm. Sai lệch của nghiệm đó so với 
nghiệm không nhiễu loạn gọi là chuyển động 
nhiễu loạn. 
Hệ phương trình (2.1) khi tính đến sự thay đổi 
ĐKBĐ có dạng:
.
),,...,( 2211 tyyyyyyfyy nniii ∆∆∆∆ +++=+ &&
Có thể biến đổi hệ phương trình trên về dạng: 
.
),,...,( 21 tyyyFy nii ∆∆∆∆ =& (2.2)
Hệ phương trình (2.2) được gọi là hệ phương 
trình đối với các sai lệch. Nếu
tức là tác động bên ngoài không đổi, hoặc không 
có tác động bên ngoài, thì HT được gọi là
ôtônôm (tự trị). Trong HT không tự trị tác động 
bên ngoài thay đổi theo thời gian. Việc nghiên 
cứu tính ổn định của chuyển động không bị nhiễu 
loạn được chuyển sang nghiên cứu nghiệm của 
hệ phương trình (2.2). Nghiệm này mô tả chuyển 
động của HT về trạng thái cân bằng trong các 
tọa độ ∆yi. 
),...,,(),,...,,( 2121 nini yyyFtyyyF ∆∆∆=∆∆∆
Khái niệm không gian pha:
Các giá trị tức thời các tọa 
độ ∆yi của HTĐKTĐ phi 
tuyến được biểu diễn dưới 
dạng các điểm trong không 
gian Đề Các n chiều gọi là
không gian pha. 
Khái niệm quỹ đạo pha:
Vị trí hình học của các điểm phù hợp với sự thay 
đổi nối tiếp trạng thái của HT trong không gian 
pha được gọi là quỹ đạo pha (H.2-1). 
∆y1
∆y2
∆y3
t0
t1
t2
H.2-1
0 
Khái niệm ảnh pha: Tập hợp đầy đủ tất cả các 
quỹ đạo pha tương ứng với tất cả ĐKBĐ có thể
có, được gọi là ảnh pha của HT.
Nội dung của phương pháp không gian pha là
chuyển hệ tọa độ theo thời gian về các hệ tọa độ
pha với các biến thời gian được ẩn đi. Trong 
không gian pha, các biến pha là thành phần 
nguyên hàm và đạo hàm các cấp 
(ở đây, để đơn giản cách viết, bỏ đi ký hiệu ∆)
)y,...y,y,y(f )n()2()1()0(
Mặt phẳng pha: Đối với HT có bậc của phương 
trình bằng hai thì không gian pha chính là mặt 
phẳng pha. Thông thường trong mặt phẳng pha, 
một tọa độ biểu diễn chuyển động của HT, tọa độ
kia là tốc độ biến thiên của chuyển động.
Trong mặt phẳng pha, động học HTĐKTĐ phi 
tuyến được mô tả bằng hệ hai phương trình vi 
phân phi tuyến bậc 1:









=
=
),,(
),(
212
2
211
1
yyf
dt
dy
yyf
dt
dy
trong đó y1 là hoành độ, là biến số chính của HT;
y2 là tung độ, là tốc độ biến thiên của y1: 
21 yy =& .),(
212
/
/
2111
2
1
2
),(
yyf
yyf
dtdy
dtdy
dy
dy
==
Các điểm đặc biệt: giá trị dy2/dy1 xác định tang 
góc nghiêng đối với trục hoành (trục y1) của quỹ 
đạo pha. Trong hàng loạt trường hợp, với những 
giá trị nhất định của y1, y2 xuất hiện dạng vô định 
0/0. Các điểm này được gọi là điểm đặc biệt. 
Chúng đặc trưng cho trạng thái cân bằng của 
HT. 
y1
y2
H.2-2. Thí dụ một dạng
quỹ đạo pha
Đánh dấu trên quỹ đạo 
pha bằng các mũi tên 
chỉ chiều thay đổi trạng 
thái của HT, có thể xác 
định tính ổn định của 
trạng thái cân bằng: 
nếu tất cả các quỹ đạo 
pha đều hội tụ tới điểm
đặc biệt thì đó là điểm cân bằng bền (H.2-2). Ở
nửa trên trục hoành các quỹ đạo hướng sang 
phải, còn ở nửa dưới quỹ đạo hướng sang trái. 
0 
H.2-3. Các dạng điểm đặc biệt
y1
y2
y1
y2 y2
y1
y1
y2
y1
y2
y1
y2
Các đường đặc biệt trong mặt phẳng pha:
Đường đặc biệt là đường quỹ đạo pha khép kín 
và được gọi là chu trình giới hạn. Nó xác định khả 
năng có thể xảy ra tự dao động trong HT. 
Để nghiên cứu quỹ đạo pha gần điểm đặc biệt, ta 
chuyển gốc tọa độ về điểm đặc biệt đó. Lúc này 
các biến số y1, y2 được xác định bằng cách phân 
tích hàm phi tuyến f1(y1,y2), f2(y1,y2) thành chuỗi 
Macloranh và chỉ giữ lại các thành phần bậc nhất:





+≈
+≈
;),(
),(
2211212
2211211
ybybyyf
yayayyf
;;
0,02
1
2
0,01
1
1
2121 ====
∂
∂
∂
∂
==
yyyy y
f
ay
f
a
.;
0,02
2
2
0,02
2
1
2121 ====
∂
∂
∂
∂
==
yyyy y
f
by
f
b
Từ đây nhận được hệ phương trình vi phân 
tuyến tính hóa









+=
+=
.2211
2
2211
1
ybybdt
dy
yayadt
dy
Từ phương trình
dt
dy
adt
dy
a
dt
dy
yayadt
dy 2
2
1
12
2
1
2211
1 +=⇒+=
.011221
1
212
2
1 )()( =−++−⇒ ybabadt
dy
ba
dt
dy
Biến đổi tương tự, nhận được:
.021221
2
212
2
2 )()( =−++− ybabadt
dy
ba
dt
dy
Lúc này, các biến y1, y2 là nghiệm của phương
trình vi phân dạng:
.02
2
=++ Cy
dt
dy
B
dt
dy
Phương trình đặc trưng của nó có dạng:
.4;0 22 CBCBss −==++ ∆
Phương trình này có hai nghiệm: 22,1
∆±−
=
B
s
Quỹ đạo pha của HT được xác định trên cơ sở
phân bố nghiệm của phương trình đặc trưng trên 
mặt phẳng nghiệm (H.2-4).
H. 2-4. Dạng quỹ đạo pha phụ thuộc vào phân bố
nghiệm của phương trình đặc trưng
1
2
3
4
5
B
Cy1
y2
y2
y1
y1
y2
y1
y2
y1
y2
y1
y2
CB 42 =
CB 42 <
CB 42 <
CB 42 >
CB 42 >
Đặc điểm của phương pháp mặt phẳng pha:
- phần tuyến tính của HT có bậc không lớn hơn 
hai, vì khi bậc cao hơn (không gian pha), tính 
trực quan của phương pháp bị hạn chế;
- phương pháp được áp dụng với HT dừng (tham 
số không thay đổi theo thời gian);
- phương pháp được áp dụng thuận tiện với HT 
gồm một phần tử phi tuyến và một phần tử tuyến 
tính. 
Thí dụ 2.1. Dựng quỹ đạo pha của HTTT có
SĐCT trên H.2-5.
s
1
ω20
0=u y& 2
s
1y2 yy 1=
H.2-5
Hệ phương trình vi phân mô tả HT có dạng:









=−=
==
.
2
1
2
02
1
21
dt
dy
yy
dt
dy
yy
ω&
&
Chia phương trình thứ hai cho phương trình thứ
nhất, nhận được
A
yy 21=&
y1
H. 2-6. 
.
222
2
12
0
2
2
11
2
02
2
12
0
1
2 Cyydyydyyy
y
dy
dy
=+⇒−=⇒−= ωωω
Thí dụ, với điều kiện đầu:
y2(0)=0, y1(0)=A
2
2
2
0
AC ω=⇒
phương trình trên là phương
trình ellip:
.
222
2
2
0
2
12
0
2
2 Ayy ωω =+
0 
2.2. THÍ DỤ KHẢO SÁT MỘT SỐ HTĐKTĐ PHI 
TUYẾN BẰNG PHƯƠNG PHÁP MẶT PHẲNG 
PHA 
2.2.1. HT với khâu rơ le hai vị trí
Thí dụ 2.2. Khảo sát HTĐKTĐ phi tuyến trên 
H.2-7 bằng phương pháp mặt phẳng pha.
- Bước 1: Xác định các phương trình HT:
H.2-7
0=u B
-B s2
1 ye x
)(2 efxys ==⇒




=⇒
><
−
).0(0
)0(0
2
2
yekhiB
yekhiB
dt
yd⇒






−=
=
yue
sx
y
2
1
+ Khi y<0:
;12 , yyydt
dy
== Bdt
dy
dt
yd
==⇒ 22
2









=
=
⇒
.2
1
2
y
dt
dy
Bdt
dy









=
=
−
.2
1
2
y
dt
dy
Bdt
dy+ Khi y>0:
- Bước 2: Xác định phương trình quỹ đạo pha:
CyB
y
B
y
dy
dy
1
2
21
2
2
1 )(
2
1
+=⇒=+ Khi y<0:
+ Khi y>0: CyB
y
B
y
dy
dy
2
2
21
2
2
1 )(
2
1
+=⇒=
−
−
- Bước 3: Vẽ quỹ đạo pha HT
(2.4)
(2.5)
y1
y2(2.4) (2.5)
H. 2-8. Họ quỹ đạo pha
quỹ đạo pha của HT 
trên gồm hai nửa 
parabol khép kín 
H.2-8. Do đó, HT tự 
dao động.
M1
0 
Thí dụ 2.3. Khảo sát HT trên H.2-9 với khâu phi 
tuyến hai vị trí và các khâu tuyến tính được mô 
tả bằng các HST:
s
sW
1)(1 = TssW
1)(2 = KsW ph =)(
H.2-9. 
e
W1(s) W2(s)
Wph(s)
x y
1
-1
u=0
z




=
<
−
>
;01
01
ekhi
ekhi
x ;2
2
x
dt
yd
T =∫−−=
t
xdtzue
0
;
Từ SĐCT của HT ta có:
Suy ra:








>+−
<+
=
01
01
2
2
dt
dy
TKykhi
T
dt
dy
TKykhi
T
dt
yd
đặt ,/, 21 dtdyyyy ==
Phân chia mặt phẳng pha thành hai miền điểm
bằng đường thẳng: 
021 =+ yTyK
y1
y2Ky1+Ty2=0
Ky1+Ty2>0Ky1+Ty2<0
H.2-10Tdt
yd 1
2
1
2
−=
thì miền phía trên
đường thẳng này
sẽ có
còn miền phía dưới sẽ có
Tdt
yd 1
2
1
2
=
(2.8) 
(2.9) 
Từ (2.8) nhận được CT
t
dt
dy
y 12
1 += −=








++








+−=++−=
−
⇒
222
2
1
2
2
121
2
1
TCCCT
tT
CtCT
ty
KyTy 1221 )(2
+−=
Tương tự, từ (2.9) nhận được
KyTy 2221 )(2
+=
(2.10)
(2.11)
Bây giờ ta đã có thể xây 
dựng một quỹ đạo pha đi 
từ điểm đầu tùy ý nhưng 
cho trước trong mặt 
phẳng pha. Chẳng hạn 
đó là điểm A trên H.2-11. 
A
B
y2
Ky1+Ty2>0
Ky1+Ty2<0
y1
Ky1+Ty2=0
H.2-11
Nhận thấy rằng, quỹ đạo pha của HT có xu 
hướng tiến dần về gốc tọa độ và kết thúc tại đó. 
Từ đó, ta rút ra được những kết luận sau về chất 
lượng của HT:
- có một điểm cân bằng là gốc tọa độ trong mặt 
phẳng pha ;
- không có dao dộng điều hòa;
- ổn định tại gốc tọa độ;
- có miền ổn định là toàn bộ mặt phẳng pha (ổn 
định tuyệt đối).
Thí dụ 2.4. Khảo sát HT trên H.2-16 với khâu phi 
tuyến ba vị trí và các khâu tuyến tính được mô tả
bằng các HST:
s
sW
1)(1 = 1
1)(2 += TssW K
sW ph =)(
H.2-16. 
e
W1(s) W2(s)
Wph(s)
x yB
-B
u=0
z
a
-a
x1
).(
0
y
dt
dyTKyxdtzue
t
+−−=−−= ∫
Suy ra 









<++
>++−
−<++
=+
.)1(0
)1(
)1(
2
2
ayK
dt
dyTkhi
ayK
dt
dyTkhiB
ayK
dt
dyTkhiB
dt
dy
dt
ydT (2.16)
Sử dụng mặt phẳng pha là mặt phẳng có trục 
hoành là y1=y trục tung là y2=dy1/dt, sau đó chia 
nó thành ba miền điểm khác nhau bằng hai 
đường thẳng
;)1(: 121 ayKyT =++=θ
.)1(: 122 ayKyT −=++=θ
Lúc này (2.16) có
dạng





−=+
).(0
)(
)(
2
2
IItrong
IIItrongB
ItrongB
y
dt
dy
T
A
y1
y2θ1θ2
I II
III
H.2-17
Trong miền I: ;22
T
yB
dt
dy −
= ;2
1 y
dt
dy
=
yB
Ty
dy
dy
−
=⇒
2
2
2
1
;ln 1221 CByTBTyy +−−⇒ −=
Trong miền II:
;22
T
y
dt
dy −
=
.
2
1 Tdy
dy
−=⇒;2
1 y
dt
dy
=
.221 CTyy += −⇒
Trong miền III:
;22
T
yB
dt
dy +
−=
;2
1 y
dt
dy
= yB
Ty
dy
dy
+
−=⇒
2
2
2
1
.ln 3221 CByTBTyy ++−⇒ +=