Bài giảng Kỹ thật số - Chương 1: Các hệ thống số & mã

Chương 1: Các hệ thống số & Mã 1 
CÁC HỆ THỐNG SỐ & MÃ 
 NGUYÊN LÝ CỦA VIỆC VIẾT SỐ 
 CÁC HỆ THỐNG SỐ 
 BIẾN ĐỔI QUA LẠI GIỮA CÁC HỆ THỐNG SỐ 
 CÁC PHÉP TOÁN SỐ NHỊ PHÂN 
 MÃ HÓA 
CHƢƠNG 1 
Chương 1: Các hệ thống số & Mã 2 
 NGUYÊN LÝ CỦA VIỆC VIẾT SỐ 
- Một số được viết bằng cách đặt kề nhau các ký hiệu trong 
một tập hợp xác định. 
Thí dụ: S10 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} 
- Giá trị của các số mã tùy thuộc vào vị trí của nó trong số. 
Giá trị này được gọi là trọng số của số mã. 
Thí dụ: 199810 = 1x10
3 + 9x102 + 9x101 + 8x100 
 = 1000 + 900 + 90 + 8 
Ta thấy trong hệ 10, với 2 ký hiệu giống nhau, ký hiệu đứng 
trước có trọng số gấp 10 lần ký hiệu đứng ngay sau nó. 
Chương 1: Các hệ thống số & Mã 3 
Tổng quát: Một hệ thống số b sẽ gồm b ký hiệu trong tập hợp:
 Sb = {S0, S1, S2, . . ., Sb-1} 
Một số N được viết: 
 N = (anan-1an-2. . .ai. . .a0,a-1a-2. . .a-m)b với ai Sb 
Có giá trị: 
 N = anb
n + an-1b
n-1 + an-2b
n-2 + . . . + aib
i + . . . + 
 + a0b
0 + a-1b
-1 + a-2b
-2 + . . . + a-mb
-m 
aib
i là trọng số của một ký hiệu trong Sb ở vị trí thứ i. 

n
mi
i
ibaN
Chương 1: Các hệ thống số & Mã 4 
Hệ cơ số 10 (Thập phân – Decimal system) 
Tập hợp hệ 10: S10 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} 
Số N được viết: 
 N = (anan-1an-2. . .ai. . .a0,a-1a-2. . .a-m)10 với ai S10 
Có giá trị: 
 N = an10
n + an-110
n-1 + an-210
n-2 + . . . + ai10
i + . . . + 
 + a010
0 + a-110
-1 + a-210
-2 + . . . + a-m10
-m 
 CÁC HỆ THỐNG SỐ 
Chương 1: Các hệ thống số & Mã 5 
Hệ cơ số 2 (Nhị phân – Binary system) 
Tập hợp hệ 2: S2 = {0, 1} 
Mỗi số mã trong một số nhị phân gọi là một bit (viết tắt 
của binary digit) 
Số N được viết: 
 N = (anan-1an-2. . .ai. . .a0,a-1a-2. . .a-m)2 với ai S2 
Có giá trị: 
 N = an2
n + an-12
n-1 + an-22
n-2 + . . . + ai2
i + . . . + 
 + a02
0 + a-12
-1 + a-22
-2 + . . . + a-m2
-m 
Chương 1: Các hệ thống số & Mã 6 
Hệ cơ số 8 (Bát phân – Octal system) 
Tập hợp hệ 8: S8 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} 
Số N được viết: 
 N = (anan-1an-2. . .ai. . .a0,a-1a-2. . .a-m)8 với ai S8 
Có giá trị: 
 N = an8
n + an-18
n-1 + an-28
n-2 + . . . + ai8
i + . . . + 
 + a08
0 + a-18
-1 + a-28
-2 + . . . + a-m8
-m 
Chương 1: Các hệ thống số & Mã 7 
Hệ cơ số 16 (Thập lục phân – Hexadecimal system) 
Tập hợp hệ 16: 
S2 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F} 
(trong đó A = 1010, B = 1110, . . ., F = 1510) 
Số N được viết: 
 N = (anan-1an-2. . .ai. . .a0,a-1a-2. . .a-m)16 với ai S16 
Có giá trị: 
 N = an16
n + an-116
n-1 + an-216
n-2 + . . . + ai16
i + . . . + 
 + a016
0 + a-116
-1 + a-216
-2 + . . . + a-m16
-m 
Người ta thường dùng chữ H (h) để chỉ số thập lục phân. 
Chương 1: Các hệ thống số & Mã 8 
Đổi một số từ hệ b sang hệ 10 
Một số N trong hệ b được viết: 
 N = (anan-1an-2. . .ai. . .a0,a-1a-2. . .a-m)b với ai Sb 
Có giá trị tương đương trong hệ 10: 
 N = anb
n + an-1b
n-1 + an-2b
n-2 + . . . + aib
i + . . . + 
 + a0b
0 + a-1b
-1 + a-2b
-2 + . . . + a-mb
-m 
 BIẾN ĐỔI QUA LẠI GIỮA CÁC HỆ THỐNG SỐ 
Xác định giá trị tương đương của một số ở hệ này so với hệ thống khác 
Lấy từng trị số của con số nhân với giá trị vị trí tương ứng, sau 
đó lấy tổng tất cả. 
Chương 1: Các hệ thống số & Mã 9 
VÍ DỤ 
Đổi sang hệ cơ số 10 (hệ thập phân) 
• 1010,112 = 1x2
3+0x22+1x21+0x20+1x2-1+1x2-2=10,7510 
• 1C516 = 1x16
2+12x161+5x160=256+192+5=45310 
• 2F16 =2x16
1+15x160=32+15 = 4710 
Chương 1: Các hệ thống số & Mã 10 
Đổi một số từ hệ 10 sang hệ b 
Một số N hệ 10, viết sang hệ b có dạng: 
 N = (anan-1an-2. . .ai. . .a0,a-1a-2. . .a-m)b 
 = (anan-1. . .a0)b + (0,a-1a-2. . .a-m)b 
Trong đó: 
 (anan-1. . .a0)b = là phần nguyên của N 
 (0,a-1a-2. . .a-m)b = là phần lẻ của N 
được biến đổi theo 2 cách khác nhau. 
Chương 1: Các hệ thống số & Mã 11 
Phần nguyên: 
Dùng phép chia lập cho cơ số b: 
-Lấy phần nguyên chia cho cơ số b ta được thương số, số dư của 
lần chia thứ nhất chính là số mã có trọng số nhỏ nhất của phần 
nguyên (a0). 
-Tiếp tục lấy thương số chia cho cơ số b cho đến khi thương số=0 
thì dừng phép chia, số dư của phép chia cuối cùng, đó là số mã có 
trọng số lớn nhất của phần nguyên (an) 
 Ta tìm được dãy số (anan-1. . .a0) 
Chương 1: Các hệ thống số & Mã 12 
Phần lẻ: 
Dùng phép nhân lập cho cơ số b 
-Lấy phần lẻ nhân cho cơ số b ta được tích số, phần nguyên của phép 
nhân thứ nhất là số mã có trọng số lớn nhất của phần lẻ (a-1). 
-Tiếp tục lấy phần lẻ trong phép nhân đem nhân với cơ số b cho đến 
khi kết quả có phần lẻ bằng không thì dừng phép nhân. 
 Ta tìm được dãy số (a-1a-2. . .a-m) 
Chú ý: Có thể ta không tìm được một số trong hệ b có giá trị đúng 
bằng phần lẻ của số thập phân (do kết quả phép nhân luôn khác 0), 
do đó tùy theo yêu cầu về độ chính xác mà ta lấy một số số hạng 
nhất định . 
Chương 1: Các hệ thống số & Mã 13 
Ví dụ 
Từ thập phân sang nhị phân 
8 , 625 
8 : 2 = 4 dư 0 (LSB) 
4 : 2 = 2 dư 0 
2 : 2 = 1 dư 0 
1 : 2 = 0 dư 1 
0.625 x 2 = 1,25 phần nguyên 1 (MSB) 
0.25 x 2 = 0,5 phần nguyên 0 
0.5 x 2 = 1,0 phần nguyên 1 
1 0 0 0 , 1 0 1 2 
Chương 1: Các hệ thống số & Mã 14 
Ví dụ 
Từ thập phân sang nhị phân 
12 , 625 
12 : 2 = 6 dư 0 (LSB) 
 6 : 2 = 3 dư 0 
 3 : 2 = 1 dư 1 
 1 : 2 = 0 dư 1 
0.625 x 2 = 1,25 phần nguyên 1 (MSB) 
0.25 x 2 = 0,5 phần nguyên 0 
0.5 x 2 = 1,0 phần nguyên 1 
1 1 0 0 , 1 0 1 2 
Chương 1: Các hệ thống số & Mã 15 
Từ thập phân sang thập lục phân: 
1 4 8 0 , 4 2 9 6 8 7 
5 
1480 : 16 = 92 dö 8 (LSD) 
 92 : 16 = 5 dö 12 
 5 : 16 = 0 dö 5 
0.4296875 x 16 = 6,875 phaàn nguyeân 6 (MSD) 
0.875 x 16 = 14,0 phaàn nguyeân 14 
5 C 8 , 6 E H 
Chương 1: Các hệ thống số & Mã 16 
Đổi số từ hệ thập lục phân (Hex) sang nhị phân và ngƣợc lại 
Nhận xét: Mỗi con số trong số Hex tương ưng với số 4 bit của số 
nhị phân Thay mỗi số hạng của số trong hệ thập lục phân 
bằng một số 4 bit trong số nhị phân. 
Ngƣợc lại: Từ dấu phẩy nhị phân về hai phía, nhóm 4 bit lại, giá 
trị của mỗi số 4 bit này là một số hạng trong hệ thập lục phân. 
(nếu cần: phải thêm số 0 vào nhóm đầu và cuối mà không làm 
thay đổi giá trị của số đã cho). 
Chương 1: Các hệ thống số & Mã 17 
Ví dụ: Từ thập lục phân sang nhị phân: 
Vi dụ: Từ nhị phân sang thập lục phân: 
 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 , 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 
 6 A H 
 2 C 9 , E 8 
 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 , 1 1 1 0 1 0 0 0 (B) 
 3 B 5 D , 
Chương 1: Các hệ thống số & Mã 18 
Đổi số từ hệ bát phân sang nhị phân và ngƣợc lại 
Nhận xét: Mỗi con số trong số bát phân tương ưng với số 3 bit 
của số nhị phân Thay mỗi số hạng của số trong hệ bát phân 
bằng một số 3 bit trong số nhị phân. 
Ngƣợc lại: Từ dấu phẩy nhị phân về hai phía, nhóm 3 bit lại, giá 
trị của mỗi số 3 bit này là một số hạng trong hệ bat phân. (nếu 
cần: phải thêm số 0 vào nhóm đầu và cuối mà không làm thay 
đổi giá trị của số đã cho). 
Chương 1: Các hệ thống số & Mã 19 
Ví dụ: Từ bát phân sanh nhị phân 
Ví dụ: Từ nhị phân sang bát phân 
 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 , 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 
 2 5 7 , 3 6 
 (0 1 0 1 0 1 1 1 1 , 0 1 1 1 1 0)2 
 (3 5 5 3 5 , 3 2 
4 )8 
Chương 1: Các hệ thống số & Mã 20 
Đổi số từ hệ bát phân sang hệ thập lục phân và ngƣợc lại 
Dùng số nhị phân làm trung gian 
VD: (1234,67)8 = 0 001 0010 0011 0100 , 011 111 00 
 = (1234,7C)16 
VD: (ABCD,EF) = 00 1010 1011 1100 1101 , 1110 1111 0 
 = (125715,736)8 
Chương 1: Các hệ thống số & Mã 21 
Bảng kết quả chuyển đổi 
Thập 
phân 
Nhị 
phân 
Bát 
phân 
Thập 
lục phân 
Thập 
phân 
Nhị 
phân 
Bát 
phân 
Thập 
lục phân 
0 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
0000 
0001 
0010 
0011 
0100 
0101 
0110 
0111 
0 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
0 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
9 
10 
11 
12 
13 
14 
15 
1000 
1001 
1010 
1011 
1100 
1101 
1110 
1111 
10 
11 
12 
13 
14 
15 
16 
17 
8 
9 
A 
B 
C 
D 
E 
F 
Chương 1: Các hệ thống số & Mã 22 
 CÁC PHÉP TÍNH TRONG HỆ NHỊ PHÂN 
Phép cộng Phép trừ Phép nhân Phép chia 
0 + 0 = 0 
0 + 1 = 1 
1 + 0 = 1 
1 + 1 = 0 (nhớ 1) 
0 – 0 = 0 
1 – 1 = 0 
1 – 0 = 1 
0 – 1 = 1 (nhớ 1) 
0 x 0 = 0 
0 x 1 = 0 
1 x 0 = 0 
1 x 1 = 1 
Thực hiện 
giống phép 
chia số thập 
phân 
Chương 1: Các hệ thống số & Mã 23 
 MÃ HÓA 
- Mã hóa là phép áp một đối tượng từ tập hợp nguồn tập hợp 
đích. 
- Tập hợp nguồn có thể là tập số, tập ký tự, ... 
- Tập hợp đích thường là tập chứa các tổ hợp các số nhị phân. 
- Tổ hợp các số nhị phân tương ứng với một số gọi là từ mã. 
Tập hợp các từ mã cho ta một bộ mã (mã ASCII, mã Baudot, 
mã dò lỗi, mã sửa lỗi, mật mã...) 
- Ngược lại với mã hóa là giải mã. 
- Biểu diễn các số trong các hệ khác nhau cũng là một hình thức 
mã hóa, việc chuyển từ mã này sang mã khác là bài toán mã 
hoá. 
Chương 1: Các hệ thống số & Mã 24 
-Mã BCD (Binary Code Decimal) dùng số nhị phân 4 bit tương 
ứng thay thế cho từng số hạng trong số thập phân (Có nghĩa: 
Mỗi số hạng trong số thập phân sẽ được miêu ta bằng số nhị 
phân 4 bit – có 6 tổ hợp không sử dụng). 
VD: 943 có mã BCD là 1001 0100 0011 
 487 có mã BCD là 0100 1000 0111 
 Mã BCD sử dụng nhiều bit hơn số nhị phân nhưng quá trình 
biến đổi đơn giản hơn 
Chương 1: Các hệ thống số & Mã 25 
-Mã Gray còn gọi là mã khoảng cách đơn vị hay mã phản 
chiếu. 
+ Hai tổ hợp mã kế cận chỉ khác nhau một bit. Tính kề nhau 
của các tổ hợp mã Gray được dùng để rút gọn các hàm logic 
đến mức tối giản. 
+ Mã Gray còn gọi là mã phản chiếu: Do tính đối xứng của các 
số hạng trong tập hợp mã giống như phẩn chiếu qua gương. 
Dựa vào tính chất này để thiết kế mã Gray. 
Chương 1: Các hệ thống số & Mã 26 
• Thiết lập mã Gray: Từ tập hợp 2n từ mã của số n bit tập 
hợp 2n+1 từ mã của số n+1 bit: 
 + Viết 2n từ mã theo thứ tự từ nhỏ đến lớn. 
 + Thêm số 0 vào trước tất cả từ mã đã có. 
 + Phần thứ hai của tập hợp gồm các từ mã giống như phần 
thứ nhất theo thứ tự ngược lại (phản chiếu), phía trước thêm 
số 1. 
• Đổi từ Nhị phân sang Gray: Hạ bit MSB xuống, dịch 
chuyển MSB lùi về bit có trọng số nhỏ hơn (phía phải), sau 
đó thực hiện phép cộng không nhớ được Mã Gray. 
• Đổi từ Gray sang Nhị phân: Hạ bit MSB xuống, Lấy kết 
quả vừa hạ xuống dịch lùi về phía bit có trọng số nhỏ hơn 
(phía phải), sau đó thực hiện phép cộng không nhớ được 
số nhị phân.