Bài giảng Kiến trúc máy tính - Chương 8: Hệ đếm

+ Chương 8
Hệ đếm
+
NỘI DUNG
1. Hệ đếm
a) Hệ thập phân
b) Hệ nhị phân
c) Hệ thập lục phân
2. Chuyển đổi giữa các hệ đếm
a) Hệ thập phân – Hệ nhị phân
b) Hệ thập phân – Hệ thập lục phân
c) Hệ nhị phân – Hệ thập lục phân
+
1. Hệ đếm
 Hệ đếm là một tập các ký hiệu (bảng chữ số) để biểu 
diễn các số và xác định giá trị của các biểu diễn số.
 Phân loại:
 Hệ đếm không vị trí
 Hệ đếm có vị trí
 Các hệ đếm thông dụng
+
Hệ đếm có vị trí
 Nguyên tắc chung
 Cơ số của hệ đếm 𝑟 là số ký hiệu được dùng
 Trọng số bất kỳ của một hệ đếm là 𝑟𝑖 (i là số nguyên âm hoặc 
dương) giúp phân biệt giá trị biểu diễn của các chữ số khác nhau
 Mỗi số được biểu diễn bằng một chuỗi các chữ số, trong đó số 
ở vị trí thứ 𝑖 có trọng số 𝑟𝑖
 Dạng tổng quát của một số trong hệ đếm có cơ số r là 
. . . 𝑎3𝑎2𝑎1𝑎0. 𝑎−1𝑎−2𝑎−3 . . . 𝑟
 Giá trị của chữ số ai là 1 số nguyên trong khoảng 0 < ai < r. 
 Dấu chấm giữa a0 và a-1 được gọi là radix point.
+
Biểu diễn số
 Biểu diễn tổng quát:
 Trong một số trường hợp, ta phải thêm chỉ số để tránh nhầm lẫn giữa
biểu diễn của các hệ đếm.
Ví dụ: 3610 , 368 , 3616
 Số quan trọng nhất (MSB): Chữ số ngoài cùng bên trái (mang giá trị 
lớn nhất)
 Số ít quan trọng nhất (LSB): Chữ số ngoài cùng bên phải
5
+
1. Hệ đếm
 Dựa trên 10 chữ số thập phân (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) để biểu diễn 
các số. Cơ số = 10
 Ví dụ: 8310, 472810, 
 Phân bố trọng số:
83 = (8 * 101) + (3 * 100)
4728 = (4 * 103) + (7 * 102) + (2 * 101) + (8 * 100)
442.256 = (4 * 102) + (4 + 101) + (2 * 100) + (2 * 10-1) + (5 * 10-2) + (6 * 10-3)
a. Hệ thập phân
Vị trí  3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 
Trọng 
số
 103 102 101 100 10−1 10−2 10−3 10−4 
+
1. Hệ đếm
 Hai chữ số, 1 và 0 
 Cơ số 2
 Chữ số 1 và 0 trong ký hiệu nhị phân có cùng ý nghĩa như 
trong ký hiệu thập phân:
02 = 010
12 = 110
 Để biểu diễn các số lớn hơn, mỗi chữ số trong một số nhị phân 
có giá trị phụ thuộc vào vị trí của nó :
102 = (1 * 2
1) + (0 * 20) = 210
112 = (1 * 2
1) + (1 * 20) = 310
1002 = (1 * 2
2) + (0 * 21) + (0 * 20) = 410
Các giá trị phân số được biểu diễn bằng số mũ âm của cơ số:
1001.101 = 23 + 20 + 2-1 + 2-3 = 9.62510
b. Hệ nhị phân
+2. Chuyển đổi hệ thập phân và nhị phân
Nhị phân sang thập phân:
 Nhân mỗi chữ số nhị phân 
với 2i và cộng vào kết quả
Thập phân sang nhị phân:
 Đổi riêng phần nguyên và 
phần thập phân
+ 
Phần 
nguyên
a. Phần nguyên:
Bài toán: Đổi số nguyên thập phân N thành dạng 
nhị phân. 
Đầu tiên chia N cho 2 được N1 và phần dư R0:
N = 2 * N1 + R0 R0 = 0 or 1
Tiếp theo, chia N1 cho 2 thu được số mới là N2 và 
số dư mới R1:
N1 = 2 * N2 + R1 R1 = 0 or 1
Sao cho
N = 2(2N2 + R1) + R0 = (N2 * 2
2) + (R1 * 2
1) + R0
Nếu tiếp tục
N2 = 2N3 + R2
Ta có
N = (N3 * 2
3) + (R2 * 2
2) + (R1 * 2
1) + R0
Continued . . .
+ 
Do N >N1 > N2 . . . , tiếp tục chia thì cuối cùng sẽ tạo ra 
thương số Nm-1 = 1 và phần dư Rm-2 bằng 0 hoặc 1. 
Khi đó
N = (1 * 2m-1)+ (Rm-2 * 2
m-2)+ . . . + (R2 * 2
2) + (R1 * 2
1) + R0
là dạng nhị phân của N. 
Kết luận: Chuyển đổi phần nguyên từ cơ số 10 
sang cơ số 2 bằng cách chia lặp đi lặp lại số 
đó cho 2. Phép chia dừng lại khi kết quả lần 
chia cuối cùng bằng 0. 
Lấy các số dư theo chiều đảo ngược cho ta số 
nhị phân cần tìm.
Phần 
nguyên
+Ví dụ về chuyển đổi 
từ thập phân sang 
nhị phân cho phần 
nguyên
+ 
Phần 
thập 
phân
Continued . . .
Số nhị phân 0.b-1b-2b-3 . . . với bi = 0 or 1 có giá trị
(b-1 * 2
-1) + (b-2 * 2
-2) + (b-3 * 2
-3) . . .
Có thể viết lại thành
2-1 * (b-1 + 2
-1 * (b-2 + 2
-1 * (b-3 + . . . ) . . . ))
Bài toán: Đổi số F (0 < F < 1) từ thập phân sang nhị 
phân. Biết rằng F có thể được biểu diễn dưới dạng
F = 2-1 * (b-1 + 2
-1 * (b-2 + 2
-1 * (b-3 + . . . ) . . . ))
Nếu nhân F với 2, thu được,
2 * F = b-1 + 2
-1 * (b-2 + 2
-1 * (b-3 + . . . ) . . . )
Tư biểu thức đó, ta thấy rằng phần nguyên của (2 * 
F), phải bằng 0 hoặc 1 vì 0 < F < 1, đơn giản là b-1. 
Vì thế ta có thể nói (2 * F) = b-1 + F1, với 0 < F1 < 1 
và trong đó 
F1 = 2-1 * (b-2 + 2
-1 * (b-3 + 2
-1 * (b-4 + . . . ) . . . ))
Để tìm b−2, ta lặp lại quá trình này. Tại mỗi bước, 
phần phân số của kết quả bước trước được nhân 
với 2. 
+ 
Kết luận: Nhân liên tiếp phần phân số của 
số thập phân với 2. Lấy tuần tự phần 
nguyên của tích thu được sau mỗi lần nhân 
là kết quả cần tìm. Phần phân số của tích
được sử dụng làm số bị nhân trong bước 
tiếp theo. Phần 
thập 
phân
+Ví dụ về chuyển đổi 
từ thập phân sang 
nhị phân cho phần 
phân số
+
5. Hệ thập lục phân (Hexadecimal)
 Các chữ số nhị phân được nhóm thành các nhóm bốn bit
được gọi là nibble
 Mỗi tổ hợp có thể có của bốn chữ số nhị phân được biểu diễn 
bằng 1 ký tự, như sau :
0000 = 0 0100 = 4 1000 = 8 1100 = C
0001 = 1 0101 = 5 1001 = 9 1101 = D
0010 = 2 0110 = 6 1010 = A 1110 = E
0011 = 3 0111 = 7 1011 = B 1111 = F
 Bởi vì 16 ký tự được sử dụng, biểu diễn này được gọi là hệ thập 
lục phân và 16 ký tự đó là chữ số thập lục phân
 Ví dụ
2C16 = (216 * 16
1) + (C16 * 16
0) = (210 * 16
1) + (1210 * 16
0) = 44
+Bảng 8.3
Thập phân, nhị 
phân, và thập lục 
phân
Biểu diễn thập lục phân
Không chỉ được dùng 
để biểu diễn các số 
nguyên mà còn là một 
biểu diễn ngắn gọn để 
biểu diễn dãy số nhị 
phân bất kỳ 
Lý do sử dụng biểu 
diễn thập lục phân:
Ngắn gọn hơn ký 
hiệu nhị phân
Trong hầu hết máy 
tính, dữ liệu nhị phân 
chiếm theo bội của 4 
bit, tương đương với 
bội của một số thập lục 
phân duy nhất
Rất dễ dàng chuyển 
đổi giữa nhị phân và 
thập lục phân
+ Tổng kết
 Hệ đếm
 Hệ thập phân
 Hệ nhị phân
 Chuyển đổi giữa nhị 
phân và thập phân
 Phần nguyên
 Phần phân số
 Biểu diễn thập lục phân
Chương 8 
Hệ số đếm
Bài tập (1)
1/ Sắp xếp các số theo thứ tự tăng dần: (1.1)2, (1.4)10, (1.5)16
2/ Đổi giá trị biểu diễn
a) 548 sang hệ cơ số 5 b) 3124 sang hệ cơ số 7
3/ Đổi các số nhị phân sau ra số trong hệ thập phân:
a) 001100 b) 011100 c) 101010
d)11100.011 e) 110011.10011 f) 1010101010.1
4/ Đổi các số thập phân sau ra số trong hệ nhị phân:
a) 64 b) 100 c) 255
d) 34.75 e) 25.25 f) 27.1875
Bài tập (2)
5/ Đổi các số thập lục phân sau ra số trong hệ thập phân:
a) B52 b) ABCD
c) D3.E d) 1111.1 e) EBA.C
6/ Đổi các số thập phân sau ra số trong hệ thập lục phân:
a) 2560 b) 6250 c) 16245
d) 204.125 e) 255.875 f) 631.25
7/ Đổi các số thập lục phân sau ra số trong hệ nhị phân:
a) 568 b) A74 c) 1F.C d) 239.4
8/ Đổi các số nhị phân sau ra số trong hệ thập lục phân:
a) 1001.1111 b) 110101.011001
c) 101001111.111011