Bài giảng Kĩ thuật số - Chương 3: Mạch Logic(Hệ tổ hợp)

Chương 3
Mạch Logic ( hệ tổ hợp)
3.1 Bài toán thiết kế
3.2 Bài toán bìa Karnaugh
3.3 Bài tập áp dụng
3.1.Phương pháp biểu diễn hàm đại số Boole
.
A B C Y
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 0
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 1 0
1 1 0 1
1 1 1 1
Ví dụ : Cho bảng sự thật của một hàm logic như sau:
Biểu diễn hàm logic trên dưới dạng đại số Boole?
3.1.Phương pháp biểu diễn hàm đại số Boole
Hàm bool có thể viết ở một trong 2 dạng:
•Hàm dạng thực (tổng của tích): hàm tồn tại ở dạng tổng của các tích. Các biến ở dạng
thực tương ứng giá trị 1, các biến dạng bù tương ứng giá trị 0. Hoặc cũng có thể viết hàm
ở dạng thực bằng (các giá trị thập phân của các ô có giá trị 1 trong bìa Karnaugh).
Ví dụ 3: Hàm tổng của các tích:
CABABCBCACBAY 1
cũng có thể được viết ở dạng thực
)7,6,3,1(),,(1   CBAY
.
3.1.Phương pháp biểu diễn hàm đại số Boole
Ví dụ 4: Hàm tích của các tổng: 
Hàm dạng bù (tích của tổng): hàm tồn tại ở dạng tích của các tổng. Các 
biến ở dạng thực tương ứng giá trị 0, các biến dạng bù tương ứng giá trị 
1. Hoặc hay cũng có thể viết ở dạng bù (các giá trị thập phân của các 
ô có giá trị 0 trong bìa Karnaugh).

))()()((2 CBACBACBACBAY 
cũng có thể được viết ở dạng bù 
)5,4,2,0(),,(2   CBAY
Để ý rằng hàm Y1 và Y2 là 
một nhưng tồn tại ở hai dạng 
khác nhau ( dạng thực và 
dạng bù).
Bìa Karnaugh và rút gọn hàm bool 
- Bảng Karnaugh thực chất là một dạng khác của bảng sự thật, trong đó mỗi ô của 
bảng tương đương với một hàng trong bảng sự thật. 
Để vẽ bảng Karnaugh cho n biến, người ta chia số biến ra làm đôi, phân nửa dùng 
để tạo 2n/2 cột, phân nửa còn lại tạo 2n/2 hàng (nếu n là số lẻ, người ta có thể cho số 
lượng biến trên cột lớn hơn số lượng biến cho hàng hay ngược lại cũng được). Như 
vậy, với một hàm có n biến, bảng Karnaugh gồm 2n ô, mỗi ô tương ứng với tổ hợp 
biến này. Các ô trong bảng được sắp đặt sao cho hai ô kề nhau chỉ khác nhau một 
đơn vị nhị phân (khác nhau một bit), điều này cho thấy rất thuận tiện nếu chúng ta 
dùng mã Gray. Chính sự sắp đặt này cho phép ta đơn giản bằng cách nhóm các ô 
kề nhau lại. 
Với 2 biến AB, sự sắp đặt sẽ theo thứ tự: AB = 00, 01, 11, 10 (đây là thứ tự mã 
Gray, nhưng để cho dễ ta dùng số nhị phân tương ứng để đọc thứ tự này: 0, 1, 3, 2) 
Bìa Karnaugh và rút gọn hàm bool 
Thí dụ : Bảng Karnaugh cho hàm 3 biến (A = MSB, và C = LSB) 
(H 2.3) 
Với 3 biến ABC, ta được: ABC = 000, 001, 011, 010, 110, 111, 101, 100 (số nhị 
phân tương ứng: 0, 1, 3, 2, 6, 7, 5, 4) 
Lưu ý là ta có thể thiết lập bảng Karnaugh theo chiều nằm ngang hay theo chiều 
đứng. Do các tổ hợp ở các bìa trái và phải kề nhau nên ta có thể coi bảng có dạng 
hình trụ thẳng đứng và các tổ hợp ở bìa trên và dưới cũng kề nhau nên ta có thể coi 
bảng có dạng hình trụ trục nằm ngang. 
Bìa Karnaugh và rút gọn hàm bool 
Và 4 tổ hợp biến ở 4 góc cũng là các tổ hợp kề nhau. Hình (H 2.4) là bảng 
Karnaugh cho 4 biến. 
(H 2.4) 
Bìa Karnaugh và rút gọn hàm bool 
Bìa Karnaugh là một bảng gồm 2n ô vuông chứa hàm có n biến. Như 
vậy hàm 2 biến có 4 ô, hàm 3 biến có 8 ô và hàm 4 biến có 16 ô. Hai ô 
được xem là kế cận khi thoả mãn điều kiện tổ hợp biến của chúng chỉ 
khác nhau về trị số của một biến.
Xây dựng bìa Karnaugh: - Vẽ một bảng gồm 2n ô cho hàm có n biến.
Bảng 4 ô cho hàm 2 biến A,B. Bảng 8 ô cho hàm 3 biến A,B,C.
Bảng 16 ô cho hàm 4 biến A,B,C,D.
Bìa Karnaugh và rút gọn hàm bool 
- Đặt tên biến và gắn các giá trị cho bìa: tên biến phụ thuộc vào 
hàm đã cho, các giá trị trên bìa phải thoả mãn điều kiện tổ hợp biến của 
hai ô kế cận chỉ khác nhau về trị số của một biến.
Bảng 4 ô cho hàm 2 biến A,B. Bảng 8 ô cho hàm 3 biến A,B,C.
Bảng 16 ô cho hàm 4 biến A,B,C,D.
Chuyển hàm logic vào bảng Karnaugh. 
Trong mỗi ô của bảng ta đưa vào giá trị của hàm tương ứng với tổ hợp 
biến, để đơn giản chúng ta có thể chỉ ghi các trị 1 mà bỏ qua các trị 0 của 
hàm. Ta có các trường hợp sau:
Từ hàm viết dưới dạng tổng chuẩn: 
Nếu hàm không phải là dạng chuẩn, ta phải đưa về dạng chuẩn bằng 
cách thêm vào các số hạng sao cho hàm vẫn không đổi nhưng các số 
hạng chứa đủ các biến
Hàm này gồm 4 biến, nên để đưa về dạng tổng chuẩn ta làm như sau:
Chuyển hàm logic vào bảng Karnaugh. 
Từ dạng tích chuẩn: Ta lấy hàm đảo để có dạng tổng chuẩn và ghi trị 0 vào 
các ô tương ứng với tổ hợp biến trong tổng chuẩn này. Các ô còn lại chứa 
số 1. 
Chuyển hàm logic vào bảng Karnaugh. 
Từ bảng sự thật: 
A B C F(A,B,C) NUMBER
0 0 0 0 0
0 0 1 1 1
0 1 0 0 2
0 1 1 1 3
1 0 0 0 4
1 0 1 0 5
1 1 0 0 6
1 1 1 1 7
Ta ghi 1 vào các ô tương ứng với các 
tổ hợp biến ở hàng 1, 3 và 7, kết quả 
giống như ở thí dụ 1. 
Chuyển hàm logic vào bảng Karnaugh. 
Trường hợp có một số tổ hợp cho giá trị hàm không xác định: nghĩa là ứng 
với các tổ hợp này hàm có thể có giá trị 1 hoặc 0, do đó, ta ghi dấu X vào các 
ô tương ứng với các tổ hợp này, lúc gom nhóm ta sử dụng nó như số 1 hay 
số 0 một cách tùy ý sao cho có được kết quả rút gọn nhất. 
Thí dụ 7: f(A,B,C,D) = Σ(3,4,5,6,7) với các tổ hợp từ 10 dến 
15 cho hàm có trị bất kỳ (không xác định)
Chuyển hàm logic vào bảng Karnaugh. 
Qui tắc rút gọn trong bảng Karnaugh
Các tổ hợp biến có trong hàm logic hiện diện trong bảng Karnaugh dưới 
dạng các số 1 trong các ô, vậy việc gom thành nhóm các tổ hợp kề nhau 
được thực hiện theo qui tắc sau: - Gom các số 1 kề nhau thành từng 
nhóm sao cho số nhóm càng ít càng tốt. Điều này có nghĩa là số số hạng 
trong kết quả sẽ càng ít đi. 
- Tất cả các số 1 phải được gom thành nhóm và một số 1 có thể ở 
nhiều nhóm. 
- Số số 1 trong mỗi nhóm càng nhiều càng tốt nhưng phải là bội 
của 2m (mỗi nhóm có thể có 1, 2, 4, 8 ... số 1). Cứ mỗi nhóm chứa 2m số 1 
thì tổ hợp biến tương ứng với nhóm đó giảm đi m số hạng. 
- Kiểm tra để bảo đảm số nhóm gom được không thừa. 
Hàm rút gọn là tổng của các tích
Các ví dụ:
Chú ý: Kết hợp 2m ô kế cận thì loại được m biến , các biến có giá trị thay 
đổi sẽ bị loại, hàm có giá trị bằng 1 được viết dưới dạng thực, hàm có giá 
trị bằng 0 được viết dưới dạng bù.
Ví dụ 5: Dùng bìa Karnaugh rút gọn hàm dạng bù 3 biến: 
)5,4,2,0(),,(1   CBAF
))(( BACA F=
Chú ý: Kết hợp 2m ô kế cận thì loại được m biến , các biến có giá trị thay 
đổi sẽ bị loại, hàm có giá trị bằng 1 được viết dưới dạng thực, hàm có giá 
trị bằng 0 được viết dưới dạng bù.
Ví dụ 6: Dùng bìa Karnaugh rút gọn hàm dạng thực 4 biến: 
  )7,5,4,3,1,0(),,,(2 DCBAF
DACAF 2
Các bước giải bài toán thiết kế logic:
3.1 Bài toán thiết kế
 Bước 1: Lập bảng sự thật theo yêu cầu của đề bài. 
 Bước 2: Viết hàm logic quan hệ giữa ngõ vào và ngõ ra.
 Bước 3: Đơn giản hàm logic.
 Bước 4: Kết nối mạch theo hàm logic.
Ví dụ: Thiết kế mạch logic điều khiển một đèn Y bằng 3 ngõ A, B, C. Đèn 
chỉ sáng khi có hai ngõ vào điều khiển ở mức cao.
- Bảng sự thật:
3.1 Bài toán thiết kế
A B C Y
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 0
Hàm logic: 
)()()()( CBACBACBCBACBABACABCBABCAY   
- Mạch logic:
Bài tập 1: Viết dưới dạng tổng chuẩn (dạng thực) các hàm xác định bởi:
Bài tập:
Bài tập 2: Viết dưới dạng tích chuẩn (dạng bù) các hàm xác định bởi:
Bài tập 3: Viết dưới dạng số các bài tập 1:
Bài tập 4: Viết dưới dạng các bài tập 2
Bài tập 5: Dùng bảng Karnaugh rút gọn các hàm sau: (A = MSB) 
Bài tập:
Bài tập 6: Chứng minh các đẳng thức sau bằng đại số) 
Bài tập:
))()(( DBCADADCBDABA 
))()(( DBCBCABDACBDC 
Bài tập 7:Cho bảng chân trị sau
C B A F1 F2 
0 0 0 0 1 
0 0 1 0 0 
0 1 0 1 0 
0 1 1 0 1 
1 0 0 0 1 
1 0 1 1 1 
1 1 0 0 1 
1 1 1 1 0 
a. Viết biểu thức của hàm F1 và F2
b. Viết biểu thức hàm F1 dưới dạng tích các tổng (POS)
c. Viết biểu thức hàm F2 dưới dạng tổng các tích (SOP)
d. Viết hàm F1 dưới dạng Σ và Π
e. Viết hàm F2 dưới dạng Σ và Π
Bài tập:
Bài tập 8:Cho bảng chân trị sau
a. Viết biểu thức của hàm F1 và F2
b. Viết biểu thức hàm F1 dưới dạng tích các tổng (POS)
c. Viết biểu thức hàm F2 dưới dạng tổng các tích (SOP)
d. Viết hàm F1 dưới dạng Σ và Π
e. Viết hàm F2 dưới dạng Σ và Π
A B C F1 F2 
0 0 0 1 1 
0 0 1 0 X 
0 1 0 X 0 
0 1 1 0 1 
1 0 0 0 1 
1 0 1 1 X 
1 1 0 X X 
1 1 1 0 0 
Bài tập 9:Hãy lập bảng chân trị của F1 và F2
CAACDDBADBCADCBAF .),,,(1 


).15,14,12,11,5,4,3,1(),,,(
)12,8,6,4,2,1,0(),,,(
2
1
DCBAF
DCBAF
Bài tập:
Bài tập 10: Cho sơ đồ mạch như sau
Lập bảng chân trị và viết các hàm trong các trường hợp sau
a. E=0 và D=0
b. E=0
Tìm dạng chuấn tắc tuyển và chuẩn tắc hội của các hàm sau
Bài tập 11:
CBABACBAF
BACACBAF
ZXXYZYXF
XZYZXYZYXF
  
)(),,(
),,(
),,(
),,(
4
3
2
1
Dùng bìa Karnaugh rút gọn và vẽ mạch logic (nếu có) các hàm sau
Bài tập 12:



  
).29,28,25,22,21,20,14,12,9,6,5,4,3,1(),,,,(
)(),,,(
)7,6,5,4,3,2,1(),,(
)14,12,10,8,5,4,2,1,0(),,,(
4
3
2
1
EDCBAF
DCABCDCABADCBADCBAF
CBAF
DCBAF
Dùng bìa Karnaugh rút gọn và vẽ mạch logic (nếu có) các hàm sau
Bài tập 13:
 )15,9,7,4,2,1(),,,(1 DCBAF
 )15,14,11,10,8,5,4,2,1,0(),,,(2 DCBAF
 )13,12,10,8,6,5,4,2,0(),,,(4 DCBAF
.)15,10,13,8,7,5,2,0(),,,(3  DCBAF
Cho các hàm sau
Bài tập 14:


).15,14,12,10,9,8,3,2(),,,(
)8,7,6,4,3,2,0(),,,(
2
1
DCBAF
DCBAF
a. Rút gọn hàm F1 và thực hiện F1 dùng cấu trúc cổng AND-OR
b. Rút gọn hàm F2 và thực hiện F2 dùng cấu trúc cổng OR-AND
c. Thực hiện F1 dùng cấu trúc toàn bộ bằng cổng NAND
d. Thực hiện F2 dùng cấu trúc toàn bộ bằng cổng NOR
Rút gọn hàm sau và thực hiện bằng cổng NAND 2 ngõ vào
Bài tập 15:
 )14,12,10,9,6,4(),,,( DCBAF
Rút gọn hàm sau và thực hiện bằng cổng NOR 2 ngõ vào
.)11,10,9,6,4,3,2,0(),,,(  DCBAF
THE END