Bài giảng Hình học họa hình - Phạm Văn Sơn

Bµi gi¶ng
Biªn so¹n: TS. Ph¹m V¨n S¬n
Bé m«n H×nh ho¹ - VÏ kü thuËt
Tr­êng §HBK Hµ néi
Hµ néi 2006
Nội dung môn học:
1. Biểu diễn các hình không gian lên mặt phẳng nhờ phép chiếu
2. Giải các bài toán hình học không gian trên hình biểu diễn 
phẳng. Các bài toán đó là: Giao điểm, Giao tuyến, Độ lớn thật 
của hình, Các bài về tính song song, tính vuông góc, Các bài 
quĩ tích,....
Dụng cụ cần thiết: Chì, tẩy, compa, thước
I. PhÐp chiÕu xuyªn t©m
Πi
Cho mÆt ph¼ng Πi, gäi lµ mÆt ph¼ng 
h×nh chiÕu
Mét ®iÓm S kh«ng thuéc mÆt 
ph¼ng Πi gäi lµ t©m chiÕu
S
A
Ai
ChiÕu mét ®iÓm A tõ t©m S lªn mÆt 
ph¼ng Πi lµ:
1) VÏ ®­êng th¼ng SA
2) VÏ giao ®iÓm cña ®t SA víi mÆt 
ph¼ng Πi lµ Ai
§iÓm Ai lµ h×nh chiÕu xuyªn t©m cña ®iÓm A
II. PhÐp chiÕu song song
Πi
Cho mÆt ph¼ng Πi, gäi lµ mÆt ph¼ng 
h×nh chiÕu
Mét ®­êng th¼ng s kh«ng song song víi 
mÆt ph¼ng Πi gäi lµ h­íng chiÕu
A s
Ai
ChiÕu mét ®iÓm A theo h­íng s lªn 
mÆt ph¼ng Πi lµ:
1) Qua A vÏ ®­êng th¼ng d//s
2) VÏ giao ®iÓm cña ®t d víi mÆt 
ph¼ng Πi lµ Ai
§iÓm Ai lµ h×nh chiÕu song song cña ®iÓm A
d
§Þnh nghÜa:
TÝnh chÊt cña phÐp chiÕu song song
1. H×nh chiÕu cña mét ®­êng th¼ng kh«ng song song víi h­íng chiÕu 
lµ mét ®­êng th¼ng
Πi
a
s
A
B
Ai
Bi
ai
a
Cã thÓ x¸c ®Þnh ai nh­ sau
* b­íc 1: LÊy 2 ®iÓm A, B a
* bước 2: t×m Ai, Bi theo ®Þnh 
nghÜa h×nh chiÕu cña 1 ®iÓm
* bước 3: Nèi AiBi ta ®­îc ai
Chó ý: ai còng lµ giao tuyÕn cña mÆt ph¼ng α víi mÆt ph¼ng Πi
M
Mi
Ni
N
d
e
Πi
s
Tr­êng hîp ®Æc biÖt 1: H×nh chiÕu cña mét ®­êng th¼ng song song 
víi h­íng chiÕu lµ mét ®iÓm
a
ai
M
LMi
Tr­êng hîp ®Æc biÖt 2: Mét ®­êng th¼ng song song víi mÆt 
ph¼ng h×nh chiÕu th× song song víi h×nh chiÕu cña nã
s
a
ai
A
B
Ai
Bi
Πi
Vµ AB=AiBi
b
α
Më réng: mét h×nh ph¼ng song song víi mÆt ph¼ng h×nh chiÕu 
th× cã h×nh chiÕu b»ng h×nh thËt
Πi
2. Hai ®­êng th¼ng song song (vµ kh«ng song song víi h­íng chiÕu) th× hai 
h×nh chiÕu song song.
Πi
k
s
A
B
Ai
Bi
ki
a
t
C
D
Ci
Di
ti
b
Vµ: iiii DCBACDAB :: 
3. PhÐp chiÕu song song b¶o toµn thø tù vµ tØ sè ®¬n cña 3 ®iÓm th¼ng 
hµng
Πi
A
B
C
Ai
Bi
Ci
AB:BC=AiBi:BiCi
s
4. Mét mÆt ph¼ng song song víi h­íng chiÕu th× h×nh chiÕu cña 
nã suy biÕn lµ mét ®­êng th¼ng
Πi
α
s
gLαi≡
M
Mi
A=Ai
s
Πi
5. Mét ®iÓm n»m trªn mÆt ph¼ng h×nh chiÕu th× ®iÓm ®ã trïng víi h×nh 
chiÕu cña nã.
III. PhÐp chiÕu vu«ng gãc
Πi
Cho mÆt ph¼ng Πi, gäi lµ mÆt ph¼ng 
h×nh chiÕu
A
Ai
ChiÕu vu«ng gãc mét ®iÓm A lªn mÆt 
ph¼ng Πi lµ:
1) Qua A vÏ ®­êng th¼ng d vu«ng gãc 
víi mÆt ph¼ng Πi
2) VÏ giao ®iÓm cña ®t d víi mÆt 
ph¼ng Πi lµ Ai
§iÓm Ai lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña ®iÓm A
d
1.5. TÝnh chÊt cña phÐp chiÕu vu«ng gãc
* Cã ®Çy ®ñ c¸c tÝnh chÊt cña phÐp chiÕu song song, ngoµi ra cßn cã c¸c 
tÝnh chÊt riªng. A
B
Ai Bi
Πi
®Æc biÖt: 
+ AiBiAB lµ h×nh thang vu«ng
+ AiBi nãi chung<AB
TÝnh chÊt 1
H×nh chiÕu 
cña mét 
®­êng th¼ng 
kh«ng vu«ng 
gãc víi mÆt 
ph¼ng h×nh 
chiÕu mét 
®­êng th¼ng
AB
Ai=Bi
Πi
H×nh chiÕu 
cña mét 
®­êng th¼ng 
vu«ng gãc víi 
mÆt ph¼ng 
h×nh chiÕu 
mét ®iÓm
Tr­êng hîp ®Æc biÖt 1
Πi
A B
Ai Bi
Mét ®­êng th¼ng 
song song víi 
mÆt ph¼ng h×nh 
chiÕu th× song 
song víi h×nh 
chiÕu cña nã
Chó ý: ABAiBi lµ h×nh ch÷ nhËt
Tr­êng hîp ®Æc biÖt 2
AB
Ai Bi
Πi
C
D
Ci Di
Hai ®­êng th¼ng song song (vµ kh«ng vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng h×nh chiÕu) 
th× hai h×nh chiÕu song song.
TÝnh chÊt 2
AB
Ai Bi
Πi
C
Ci
PhÐp chiÕu vu«ng gãc b¶o toµn thø tù vµ tØ sè ®¬n cña 3 ®iÓm th¼ng 
hµng
TÝnh chÊt 3
AB:BC=AiBi:BiCi
TÝnh chÊt 4
Πi
α
gLαi≡
Mét mÆt ph¼ng vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng h×nh chiÕu th× h×nh chiÕu cña 
nã suy biÕn lµ mét ®­êng th¼ng
M
Mi
A=Ai
Πi
Mét ®iÓm n»m trªn mÆt ph¼ng h×nh chiÕu th× ®iÓm ®ã trïng víi h×nh 
chiÕu cña nã.
TÝnh chÊt 5
TÝnh chÊt b¶o toµn gãc vu«ng cña phÐp chiÕu vu«ng gãc:
* H×nh chiÕu cña mét gãc vu«ng nãi chung kh«ng ph¶i lµ mét gãc vu«ng;
* H×nh chiÕu cña mét gãc vu«ng lµ mét gãc vu«ng chØ khi cã Ýt nhÊt mét 
c¹nh gãc vu«ng song song víi mÆt ph¼ng h×nh chiÕu vµ c¹nh kia kh«ng 
vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng h×nh chiÕu.
Πi
A B
C
Ai
Bi
Ci
ABBC ; AB//Πi;
BCΠi
 AiBiBiCi
TÝnh chÊt 4
Më réng:
ii
i
i ba
b
a
ba







//
ba
a
ba
i
ii






//





ii ba
ba Ýt nhÊt cã mét c¹nh song 
song víi Πi
TÝnh chÊt 4
TÝnh ph¶n chuyÓn cña h×nh biÓu diÔn:
+ Víi mét ®iÓm A, t×m ®­îc duy nhÊt mét ®iÓm Ai
+ Cho Ai lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña ®iÓm A, ta kh«ng 
x¸c ®Þnh ®­îc A
VËy biÓu diÔn ®iÓm A b»ng mét h×nh chiÕu Ai lµ kh«ng cã 
tÝnh ph¶n chuyÓn.
Πi
A
Ai
d
s
Πi
Ai
Π1
2.1. §å thøc cña ®iÓm trong hÖ thèng hai mÆt ph¼ng h×nh chiÕu
Π2
xI
II
III
IV
Π1 Gäi lµ mÆt ph¼ng h×nh chiÕu ®øng
Π2 Gäi lµ mÆt ph¼ng h×nh chiÕu b»ng
Π1
Π2
x
A
A1
A2
Ax
A1 Gäi lµ h×nh chiÕu ®øng, A2 Gäi lµ h×nh chiÕu b»ng
§é cao cña A: VÞ trÝ t­¬ng ®èi cña A so víi Π2; cã dÊu(+) khi A ë phÝa trªn Π2; cã dÊu 
©m khi A ë phÝa d­íi Π2. Cã trÞ sè b»ng kho¶ng c¸ch tõ A ®Õn Π2. xA AAAAz 12 
§é xa cña A: VÞ trÝ t­¬ng ®èi cña A so víi Π1; cã dÊu(+) khi A ë phÝa tr­íc Π1; cã dÊu 
©m khi A ë phÝa sau Π1. Cã trÞ sè b»ng kho¶ng c¸ch tõ A ®Õn Π1. xA AAAAy 21 
Π1
x
A1
Ax
A2
Π2
Π1
x
A1
Ax
Π2
A2
Π1
x
A1
Ax
Π2
A2
§å thøc cña ®iÓm trong hÖ thèng hai mÆt ph¼ng h×nh chiÕu
xA1
Ax
A2
TÝnh chÊt:
1) A1A2x
2) Tån t¹i duy nhÊt 1 ®iÓm A
Chó ý: A1Ax=TrÞ sè ®é cao cña ®iÓm A; A2Ax =TrÞ sè ®é xa cña ®iÓm A
Π1
x
A1
Ax
Π2
A2
TÝnh ph¶n chuyÓn
Π1
x
A1
Ax
Π2
A2
Π1
x
A1
Ax
A2
Π2
Π1
Π2
x
A
A1
A2
Ax
2.2. §å thøc cña ®iÓm trong hÖ thèng ba mÆt ph¼ng h×nh chiÕu
Π1
Π2
x
z
y
O
Π1
Π2
x
A1
A2
A3Ax
Az
Ay
A
A1 lµ h×nh chiÕu ®øng
A2 lµ h×nh chiÕu b»ng
A3 lµ h×nh chiÕu c¹nh
y
z
Π1
Π2
x
A1
A2
A3Ax
Az
Ay
A
y
z
O
NhËn xÐt:
* A1AzA3AAxOAyA2
lµ h×nh hép ch÷ nhËt
 AxA2=AzA3
Π1
Π2
x
A1
A2
A3Ax
Az
y
z
O
Ay
Π1
x Ax
Az
z
O
A3
A1
A2
y
Ay
Π1
x Ax
Az
y
z
O
A3
A1
A2 Ay
Π1
x Ax
z
Az
y
O
A3
A1
A2 Ay
Π1=Π2
x Ax
A1
A2
z
Az
y
O
A3
Ay
Π1=Π2
x Ax
A1
A2
Az
z
y
O
A3
Ay
Π1=Π2
x Ax
A1
A2
Az
z
y
O
A3
Ay
Π1=Π2=Π3
x Ax
A1
A2
Az
z
y
O
A3
§å thøc cña ®iÓm trong hÖ thèng ba mÆt ph¼ng h×nh chiÕu
Ay
x Ax
A1
A2
Az
z
O
A3
TÝnh chÊt:
A1A2x
A1A3z
A2Ax=A3Az
x Ax
A1
A2
Az
z
O
A3
BiÕt hai h×nh chiÕu, vÏ h×nh chiÕu thø ba
xAx
A1
A2
Az
z
O
A3
BiÕt hai h×nh chiÕu, vÏ h×nh chiÕu thø ba
x Ax
A1
A2
Az
z
O
A3
BiÕt hai h×nh chiÕu, vÏ h×nh chiÕu thø ba
3.1. BiÓu diÔn ®­êng th¼ng trªn ®å thøc
Cã hai c¸ch
1) BiÓu diÔn b»ng c¸ch x¸c ®Þnh 2 ®iÓm
2) BiÓu diÔn b»ng c¸ch cho 2 h×nh chiÕu( Kh«ng cïng vu«ng gãc víi trôc x)
3.1.1. BiÓu diÔn b»ng c¸ch x¸c ®Þnh hai ®iÓm
x
A1
A2
B1
B2
Ax Bx
AB
Ai Bi
Πi
Nh¾c l¹i tÝnh chÊt phÐp chiÕu (H×nh chiÕu cña mét ®­êng th¼ng):
¸p dông, ta cã A1B1lµ h×nh chiÕu ®øng cña AB; A2B2 lµ h×nh chiÕu b»ng cña AB
x
A1
A2
B1
B2
Ax Bx
Mét vÝ dô kh¸c vÒ biÓu diÔn ®­êng th¼ng qua hai ®iÓm
x
A1
A2
B1
B2
Ax Bx
Π1
x
Π2
A1
A2
B1
B2
Ax Bx
Π1
x
Π2
A1
B1
Ax Bx
A2
B2
Π1
x
Π2
A1
A2
B1
Ax Bx
B2
Π1
Π2
x
A1
A2
B1
Ax Bx
B2
Π1
Π2
x
A1
A2
B1
AxBx=
B2
A
B
§­êng th¼ng AB ®­îc gäi lµ ®­êng c¹nh
3.1.2. BiÓu diÔn b»ng c¸ch x¸c ®Þnh h×nh chiÕu( kh«ng cïng vu«ng gãc víi trôc x)
x
a1
a2
Π1
x
Π2
a1
a2
Π1
x
Π2
a1
a2
Π1
x
Π2
a1
a2
Π1
Π2
x
a1
a2
Π1
Π2
x
a1
a2
α
β
a
Π1
x
Π2
a1
a2
NÕu cho hai h×nh chiÕu cïng vu«ng gãc víi x, sÏ kh«ng x¸c 
®Þnh duy nhÊt a:
Π1
x
Π2
a1
a2
Π1
x
Π2
a1
a2
Π1
Π2
x
a1
a2
α
β
a
a: bÊt kú thuéc mÆt ph¼ng αLβ
3.2. §iÒu kiÖn ®iÓm thuéc ®­êng th¼ng
3.2.1. §èi víi ®­êng th¼ng th­êng
x
a1
a2
I1
I2
§iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó 
®iÓm I thuéc ®­êng 
th¼ng a lµ:
I1 a1; I2 a2; I1I2x.
Chó ý: I3 a3; I1I3z
ThÝ dô ¸p dông: Cho ®iÓm I thuéc ®­êng th¼ng a. BiÕt I1, t×m I2
x
a1
a2
I1
I2
Gi¶i:
1- Tõ I1 vÏ ®­êng ®ãng x
2- §­êng dãng trªn c¾t a2 lµ ®iÓm I2 cÇn t×m
3.2.1. §èi víi ®­êng th¼ng c¹nh
Th­êng ¸p dông hai mÖnh ®Ò sau:
§iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó ®iÓm M thuéc
®­êng th¼ng AB lµ:
M1 A1B1; M3 A3B3 vµ M1M3z
§iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó ®iÓm M thuéc
®­êng th¼ng AB lµ:
M1 A1B1; M2 A2B2 vµ tØ sè ®¬n A1M1:M1B1= A2 M2 :M2 B2
HoÆc:
ThÝ dô ¸p dông: Cho ®iÓm M thuéc ®­êng th¼ng AB. BiÕt M1, t×m M2
x
A1
A2
B1
B2
Ax Bx
M1
z
O
A3
B3
M3
M2
xA1
A2
B1
B2
Ax
M1
M2
Bx
M'
B'
x
A1
A2
B1
B2
Ax
M1
M2
Bx
B'
A'
M'
3.3. §é lín thËt cña mét ®o¹n th¼ng vµ gãc cña nã so víi c¸c 
mÆt ph¼ng h×nh chiÕu
Bµi to¸n: Cho ®o¹n th¼ng AB x¸c ®Þnh bëi c¸c h×nh chiÕu. H·y t×m ®é 
dµi thËt cña AB vµ gãc cña nã so víi c¸c mÆt ph¼ng h×nh chiÕu. 
x
A1
A2
B1
B2
Ax Bx
Ph©n tÝch:
A
B
A1 B1
Π1
AA1: ®é xa cña A =A2Ax
BB1: ®é xa cña B =B2Bx
AA1B1B lµ h×nh thang vu«ng
E
 yAB
x
A1
A2
B1
B2
Ax Bx
 yAB lµ hiÖu ®é xa A vµ B
Gi¶i:
1- LÊy A1B1lµm mét c¹nh cña tam gi¸c vu«ng
3- Dùng 1 ®­êng vu«ng gãc víi A1B1t¹i A1 hoÆc 
B1, trªn ®ã lÊy 1 ®o¹n = yAB lµm c¹nh thø hai 
cña tam gi¸c vu«ng
2- X¸c ®Þnh yAB
4- C¹nh huyÒn cña tam gi¸c vu«ng nµy lµ ®é dµi 
thËt cña AB. α lµ gãc cña AB so víi Π1
α
 yAB
 yAB
α
Ph©n tÝch:
A
B
A2 B2
Π2
AA2: (®é cao cña A)=A1Ax
BB2: (®é cao cña B)=B1Bx
AA2B2B lµ h×nh thang vu«ng
E
 zAB
x
A1
A2
B1
B2
Ax Bx
 zAB lµ hiÖu ®é cao A vµ B
Gi¶i:
1- LÊy A2B2 lµm mét c¹nh cña tam gi¸c vu«ng
3- Dùng 1 ®­êng vu«ng gãc víi A2B2t¹i A2 hoÆc 
B2, trªn ®ã lÊy 1 ®o¹n = zAB lµm c¹nh thø hai 
cña tam gi¸c vu«ng
2- X¸c ®Þnh zAB
4- C¹nh huyÒn cña tam gi¸c vu«ng nµy lµ ®é dµi 
thËt cña AB. β lµ gãc cña AB so víi Π2
β
 zAB
 zAB
§DTAB β
3.4. C¸c ®­êng th¼ng cã vÞ trÝ ®Æc biÖt so víi c¸c mÆt ph¼ng 
h×nh chiÕu
C¸c ®­êng th¼ng song song víi c¸c mÆt ph¼ng h×nh chiÕu:
1) §­êng b»ng: Lµ ®­êng th¼ng song song víi mÆt ph¼ng h×nh chiÕu b»ng
Π1
Π2
P
h
h1
h2
A
B
A2
B
2
A1 B
1
x
A1 B
1
A2
B
2
h1
h2
Ax Bx
Π1
Π2
f2B
2
x
A1
B
1
A2 B
2
f1
f2
2) §­êng mÆt: Lµ ®­êng th¼ng song song víi mÆt ph¼ng h×nh chiÕu ®øng
P f
A
A2
A1
B
1
f1
B
xA1
A2
B1
B2
Ax Bx
2) §­êng c¹nh: Lµ ®­êng th¼ng song song víi mÆt ph¼ng h×nh chiÕu c¹nh 
vµ cã h×nh chiÕu ®øng, h×nh chiÕu b»ng cïng vu«ng gãc víi x
Π1
x
Π2
A1
A2
B1
B2
Ax Bx
Π1
x
Π2
A1
B1
Ax Bx
A2
B2
Π1
x
Π2
A1
A2
B1
Ax Bx
B2
Π1
Π2
x
A1
A2
B1
Ax Bx
B2
Π1
Π2
x
A1
A2
B1
AxBx=
B2
A
B
§­êng th¼ng AB ®­îc gäi lµ ®­êng c¹nh
A3
B3
C¸c ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi c¸c mÆt ph¼ng h×nh chiÕu:
Π1
Π2
4) §­êng th¼ng chiÕu ®øng: Lµ ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng h×nh 
chiÕu ®øng
B
A2
B2
A1=B1
A
x
A1=B1
A2
B2
Π1
Π2
4) §­êng th¼ng chiÕu b»ng: Lµ ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng h×nh 
chiÕu b»ng
B
B1
B2=A2
A1
A
x
A2=B2
A1
B1
Π1
Π2
4) §­êng th¼ng chiÕu c¹nh: Lµ ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng h×nh 
chiÕu c¹nh.
A B
A1 B1
A2 B2
A3=B3
A1 B1
A2 B2
x
3.5. VÞ trÝ t­¬ng ®èi cña 2 ®­êng th¼ng.
Trong kh«ng gian, hai ®­êng th¼ng cã thÓ:
- C¾t nhau
- Song song
- ChÐo nhau nÕu kh«ng c¾t nhau vµ kh«ng song song
3.5.1 Tr­êng hîp c¶ hai ®­êng kh«ng ph¶i lµ ®­êng c¹nh

xMM
Mba
Mba
Mba
21
222
111
a1
a2
b1
b2
M2
M1
x
a) Hai ®­êng th¼ng c¾t nhau:
a1=b1
a2
b2
M2
M1
x
a1
a2=b2
b1
M2
M1
x
§Æc biÖt:
b) Hai ®­êng th¼ng song song:
22
11
//
//
//
ba
ba
ba x
a1
a2
b1
b2
§Æc biÖt:
x
a1=b1
a2 b2
x
a1
a2=b2
b1
c) Hai ®­êng th¼ng chÐo nhau:
a1
a2
b1
b2
x
a1
a2
b1
b2
x
3.5.2 Tr­êng hîp mét trong hai ®­êng lµ ®­êng c¹nh
NhËn xÐt: Hai ®­êng th¼ng nµy kh«ng song song, chØ c¾t nhau hoÆc chÐo nhau
A1
B1
A2
B2
C1
D1
D2
C2(?)
A1
B1
A2
B2
C1
D1
D2
C2
I' C'
I1
I2
C¸ch 1 C¸ch 2
a) Bµi to¸n 1: X¸c ®Þnh vÞ trÝ t­¬ng ®èi
A1
B1
A2
B2
D1
D2
C2
I1
C1
A3
B3
D3
C3
I3
A1
B1
A2
B2
C1
D1
D2
C2
C¸ch 3
b)Bµi to¸n 2: T×m ®iÒu kiÖn ®Ó 2 ®­êng c¾t nhau 
A1
B1
A2
B2
C1
D1
D2
C2
I' C'
I1
I2
3.5.2 Tr­êng hîp c¶ hai ®­êng lµ ®­êng c¹nh
x
A1
B1
A2
B2
C1
D1
C2
D2(?)
x
A1
B1
A2
B2
C1
D1
C2
D2(?)
Lo¹i 1: Song song hoÆc chÐo nhau Lo¹i 2: Song song hoÆc c¾t nhau
xA1
B1
A2
B2
C1
D1
C2
D2
a) Bµi to¸n 1: X¸c ®Þnh vÞ trÝ t­¬ng ®èi:
Song song:
I1
I2
Trong tr­êng hîp nµy 2 ®­êng kh«ng song song th× chÐo nhau
x
A1
B1
A2
B2
C1
D1
C2
D2
D3
C3
A3
B3
b) Bµi to¸n 1: X¸c ®Þnh ®iÒu kiÖn song song:
x
B1
A2
B2
C1
D1
C2
D2
I1
I2
x
A1
B1
A2
B2
C1
D1
C2
D2
D3
C3
A3
B3
4cm
xB1
A2
B2
C1
D1
C2
D2(?)
Hai ®­êng c¹nh cïng thuéc mÆt 1 ph¼ng song song víi mÆt ph¼ng h×nh chiÕu 
c¹nh: NÕu h×nh chiÕu c¹nh c¾t nhau th× hai ®­êng th¼ng c¾t nhau, h×nh chiÕu 
c¹nh song song th× hai ®­êng song song.
Bµi to¸n : VÏ giao ®iÓm cña ®­êng th¼ng vµ c¸c mÆt ph¼ng h×nh chiÕu. XÐt 
xem ®­êng th¼ng ®ã ®i qua c¸c gãc phÇn t­ nµo
Π1
Π2
M
N
M1
M2
=N2
N1 a
a1
a2
x x
a1
a2
M1
M2
N1
N2
(I) (II)(IV)
3.5. VÕt cña ®­êng th¼ng
§­êng th¼ng a c¾t t¹i ®iÓm M, th× ®iÓm M ®­îc gäi lµ vÕt ®øng cña ®­êng th¼ng a
§­êng th¼ng a c¾t t¹i ®iÓm N, th× ®iÓm N ®­îc gäi lµ vÕt b»ng cña ®­êng th¼ng a
Π1
x
Π2
A1
B1
A2
B2
A
B
A3
B3
M
N
M1
M2
M3
N2
N1=
N3
A1
B1
A2
B2
x
z
A3
B3
M3M1
M2 N3=N1
N2
I.BiÓu diÔn trªn ®å thøc
A1
B1
C1
A2
B2
C2
x
α(ABC)
a1 b1
a2 b2
α(aGb)
x
a1 b1
a2 b2
α(a//b)
x
a1 M1
a2
M2
α(a,M)
x
M1
M2
c1
c2
α(a//c)
M1
M2
N1
N2
c1
c2
α(aGc)
II.§iÒu kiÖn ®iÓm, ®­êng th¼ng thuéc mÆt ph¼ng
MÖnh ®Ò 1:
Cho mÆt ph¼ng α
α
§­êng th¼ng a α
a
M
§iÓm M a th× M α
MÖnh ®Ò 2:
Cho mÆt ph¼ng α
α
§iÓm M α vµ N α
Qua M vµ N vÏ ®­êng th¼ng 
a th× a α
M
N
a
MÖnh ®Ò 3:
Cho mÆt ph¼ng α
α
§­êng th¼ng a α
a
M
§iÓm M α
Qua M vÏ mét ®­êng 
th¼ng b//a th× b α
b
§iÒu kiÖn ®iÓm thuéc 
mÆt ph¼ng lµ ®iÓm 
n»m trªn mét ®­êng 
th¼ng cña mÆt ph¼ng
§iÒu kiÖn ®­êng 
th¼ng thuéc mÆt 
ph¼ng lµ ®­êng th¼ng 
®i qua 2 ®iÓm cña mÆt 
ph¼ng
§iÒu kiÖn ®­êng th¼ng 
thuéc mÆt ph¼ng lµ 
®­êng th¼ng ®i qua 1 
®iÓm cña mÆt ph¼ng vµ 
song song víi mét ®­êng 
th¼ng cña mÆt ph¼ng
ThÝ dô ¸p dông:
A1
C1
A2
B2
C2
x
Cho mÆt ph¼ng α(ABC), ®­êng 
th¼ng g α. BiÕt g1, t×m g2 .
B1
g1M1
N1
M2
N2
g2
A1
C1
A2
B2
C2
x
B1
g1
M1
M2
g2
A1
A2
B2
x
B1
M1
D1
M2
D2
Cho mÆt ph¼ng α(ABC), ®iÓm 
M α. BiÕt M1, t×m M2 .
M1
a1
b1
a2
b2
Cho mÆt ph¼ng α(a//b), ®iÓm M 
 α. BiÕt M1, t×m M2 .
M2
g1
g2
III.C¸c mÆt ph¼ng cã vÞ trÝ ®Æc biÖt so víi c¸c mÆt ph¼ng h×nh chiÕu
Π1
Π2
α1 g
t
M
g1=
t1
M1
1. MÆt ph¼ng chiÕu ®øng lµ mÆt ph¼ng vu«ng gãc 
víi mÆt ph¼ng h×nh chiÕu ®øng Π1.
x
α1
M1
g1=
t1
M α
g α
t α
Π1
Π2
α2g2=
2. MÆt ph¼ng chiÕu b»ng lµ mÆt ph¼ng vu«ng gãc 
víi mÆt ph¼ng h×nh chiÕu b»ng Π2.
x
α2
M2
g2=t2
M α
g α
t α
M
M2
t
t2
g
Π1
Π2
α
x
4. MÆt ph¼ng b»ng lµ mÆt ph¼ng song song 
víi mÆt ph¼ng h×nh chiÕu b»ng Π2.
α1
α1 A1 B1 C1
A2
B2
C2
Π1
Π2
α
x
5. MÆt ph¼ng mÆt lµ mÆt ph¼ng song song 
víi mÆt ph¼ng h×nh chiÕu ®øng Π1.
α2
α2
A2 B2 C2
A1
B1
C1
IV.VÕt cña mÆt ph¼ng
1. VÕt cña mÆt ph¼ng
Π1
Π2
x
MÆt ph¼ng α c¾t Π1 theo ®­êng 
th¼ng mα th× ®­êng th¼ng ®ã gäi lµ 
vÕt ®øng cña α;
MÆt ph¼ng α c¾t Π2 theo ®­êng 
th¼ng nα th× ®­êng th¼ng ®ã gäi lµ 
vÕt b»ng cña α.
NhËn xÐt:
mαGnα=αx trªn trôc x
m1 = mα ; m2=x
n2 = nα ; n1 =x
m1
m2=n1
n2
αx
2a C¸ch vÏ vÕt cña mÆt ph¼ng
Π1
Π2
x αx
a
b1
2
3
a1
a2
b1
b2
11
12
21
22
32
31
αxx
m1
n
2
A1
B1
C1
A2
C2
x
B1
VÏ ®­êng b»ng cña mÆt ph¼ng
h1
h2
D1
D2
m1
m2=n1
n2
αxx I2
I1
Trong mét mÆt ph¼ng, c¸c ®­êng b»ng song song víi nhau vµ 
song song víi vÕt b»ng.
A1
B1
C1
A2
C2
x
B1
VÏ ®­êng mÆt cña mÆt ph¼ng
f1
f2
D1
D2
m1
m2=n1
n2
αxx
I2
I1
Trong mét mÆt ph¼ng, c¸c ®­êng mÆt song song víi nhau vµ 
song song víi vÕt ®øng.
2b C¸ch vÏ vÕt cña mÆt ph¼ng
h2
f2
m1
m2=n1
n2
αx
h1
f1
11
12
V.Giao cña ®­êng th¼ng víi mÆt ph¼ng. Giao cña hai mÆt ph¼ng
1. Tr­êng hîp ®Æc biÖt:
t1
t2
α1
M1
M2
Gi¶ sö M lµ giao ®iÓm cña t vµ α .
VËy M t M1 t1; M2 t2; M1M2x.
Vµ M α M1 α1
Tõ ®ã M1=t1G α1. 
Dãng vÒ t2 ta cã M2.
VËy M lµ giao ®iÓm cña t vµ α
A1
B1
C1
A2
C2
B1
α1
g2
=g1
Gi¶ sö g lµ giao tuyÕn cña α vµ 
β(ABC). 
VËy g α g1=α1.
MÆt kh¸c g β. Ta vÏ ®­îc g2 
b»ng c¸ch gi¶i bµi to¸n g β,
biÕt g1 t×m g2.
g=αGβ(ABC)
α1
β2
Gi¶ sö g lµ giao tuyÕn cña α vµ 
β(ABC). 
VËy g α g1=α1.
MÆt kh¸c g β g2 =β2.
=g1
=g2
α1
β1
Gi¶ sö g lµ giao tuyÕn cña α vµ 
β(ABC). 
VËy g α g1 α1.
Vµ g β g1 β1.
VËy g1 lµ 1 ®iÓm
g1
 g2 x
g2
A1
S1
C1
A2
C2
x
S1
a1
b1
a2
b2
A1
A2
B2
B2
t1
t2
t1
t2
VÏ giao ®iÓm cña ®­êng 
th¼ng t vµ mÆt ph¼ng α
Gi¶ sö M lµ giao ®iÓm cña t vµ α
 M α vµ M t.
Víi ®iÒu kiÖn M t M1Lt1
=M1
MÆt kh¸c M α, nªn biÕt M1 ta sÏ 
t×m ®­îc M2
M2
Gi¶ sö M lµ giao ®iÓm cña t vµ α
 M α vµ M t.
Víi ®iÒu kiÖn M t M2Lt2
=M2
MÆt kh¸c M α, nªn biÕt M2 ta sÏ 
t×m ®­îc M1
M1
2. Tr­êng hîp tæng qu¸t:
Ph­¬ng ph¸p mÆt ph¼ng phô trî gi¶i bµi to¸n giao cña ®­êng th¼ng víi mÆt ph¼ng:
A1
B1
C1
A2
C2
x
B1
t1
t2
α
β
t
1) VÏ mÆt ph¼ng β chøa ®­êng t (th­êng 
lÊy β lµ mÆt ph¼ng chiÕu)
2) VÏ giao tuyÕn cña α vµ β (®­êng th¼ng g)
g
3) Giao ®iÓm cña t vµ g chÝnh lµ giao ®iÓm 
cña t vµ α
M
β1=g1=
M2
M1
g2
A1
B1
A2
x
B1
t1
t2
β1=g1=
M2
M1
g2
Bµi to¸n: VÏ giao tuyÕn cña mÆt 
ph¼ng α(ABC) vµ mÆt ph¼ng (t//k)
=1k1 =g'1
k2
N2
N1
g'2
C1
C2
Ph­¬ng ph¸p mÆt ph¼ng phô trî gi¶i bµi to¸n giao cña hai mÆt ph¼ng:
α β


A
B
k t
k' t'
a1 b1
a2 b2
c1
c2
d1
d2
M2
M1
N2
N1
1
1
=g1
g2
=k1
=g'1=k'1
k2
g'2
k'2
ThÝ dô ¸p dông
VÏ giao tuyÕn cña hai mÆt ph¼ng cho b»ng vÕt
Π1
Π2
αx βx
A
B
αx βx
A
B
=A1
A2
=B2
B1
AB=αGβ
V.§­êng th¼ng song song víi mÆt ph¼ng. 
Hai mÆt ph¼ng song song.
1. §­êng th¼ng song song víi mÆt ph¼ng
§iÒu kiÖn ®Ó mét ®­êng th¼ng song song víi mét mÆt ph¼ng lµ ®­êng 
th¼ng nµy ph¶i song song víi mét ®­êng th¼ng cña mÆt ph¼ng.
α
a
b
b//a; a α a//α
ThÝ dô ¸p dông: VÏ t2 biÕt ®­êng th¼ng t ®i qua M vµ song 
song víi mÆt ph¼ng α(ABC).
A1
C2
A2
B2
C1
t1
t2//
M1
M2
B1
VÏ mÆt ph¼ng α(ABC) song song víi ®­êng th¼ng t.
A1
C2
A2
B2
C1
t1
t2
M1
M2
I1
I2
B1
1. Hai mÆt ph¼ng song song.
§iÒu kiÖn ®Ó hai mÆt ph¼ng song song lµ mÆt ph¼ng nµy chøa 2 ®­êng th¼ng c¾t nhau 
t­¬ng øng song song víi 2 ®­êng th¼ng c¾t nhau cña mÆt ph¼ng kia
α
a
b
β
c
d
aGb=α; 
cGd=β;
a//c;
b//d.
 α/β
ThÝ dô ¸p dông: Qua ®iÓm M vÏ mÆt ph¼ng β song song 
víi mÆt ph¼ng α(ABC)
A1
C2
A2
B2
C1
B1
M1
M2
t1
t2
k1
k2
1- Qua M, vÏ t//AB
2- Qua M, vÏ k//AC
3- MÆt ph¼ng cÇn vÏ 
lµ β(t,k)
Qua ®iÓm M vÏ mÆt ph¼ng β song song víi mÆt ph¼ng α(mα,nα)
m1
m2=n1
n2
αx x
M1
M2
1- Qua M, vÏ h//n
2- Qua M, vÏ f//m
3- MÆt ph¼ng cÇn vÏ lµ β(h,f)
m'1
m'2=n'
1
n'2
h1
h2
f1
f2
4- VÏ c¸c vÕt cña β
Vi.§­êng th¼ng vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng. 
Mét sè mÖnh ®Ò cÇn chó ý:
MÖnh ®Ò 1: NÕu mét ®­êng 
th¼ng vu«ng gãc víi mét mÆt 
ph¼ng th× nã vu«ng gãc víi mäi 
®­êng th¼ng cña mÆt ph¼ng ®ã
MÖnh ®Ò 2: §iÒu kiÖn ®Ó mét 
®­êng th¼ng vu«ng gãc víi mét 
mÆt ph¼ng lµ nã vu«ng gãc víi 
hai ®­êng th¼ng c¾t nhau cña 
mÆt ph¼ng ®ã
α α
d d
t
a
b
ii
i
i ba
b
a
ba







//
ba
a
ba
i
ii






//





ii ba
ba Ýt nhÊt a hoÆc b 
song song víi i
Mét sè bµi to¸n c¬ b¶n:
Bµi to¸n 1: Cho ®­êng th¼ng d, Qua ®iÓm M h·y vÏ mÆt ph¼ng α
vu«ng gãc víi d
M1
M2
d2
d1//x
α2
Ph©n tÝch: d//2; dα α lµ mÆt 
ph¼ng chiÕu b»ng. MÆt kh¸c ®i α qua 
®iÓm M c¸ch vÏ
* Qua M2 vÏ ®­êng th¼ng 
vu«ng gãc víi d2
d1
d2
M1
M2
h1
h2
f1
f2
Bµi to¸n 1: Cho ®­êng th¼ng d, Qua ®iÓm M h·y vÏ mÆt ph¼ng α
vu«ng gãc víi d
Ph©n tÝch: ®iÒu kiÖn dα lµ d ph¶i 
vu«ng gãc víi hai ®­êng th¼ng c¾t 
nhau cña mÆt ph¼ng α. Chän 2 ®­êng 
®ã lÇn l­ît lµ ®­êng b»ng h vµ ®­êng 
mÆt f.
dα dh MÆt kh¸c h//2 suy ra 
d2h2 c¸ch vÏ h
dα df MÆt kh¸c h//1 suy ra 
d2f1 c¸ch vÏ f
MÆt ph¼ng α x¸c ®Þn bëi h vµ f lµ 
mÆt ph¼ng cÇn vÏ.
Bµi to¸n 2: Cho mÆt ph¼ng α, Qua ®iÓm M h·y vÏ ®­êng th¼ng d vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng 
α.
d1
d2
M1
M2
h1
h2
f1
f2
dα dh MÆt kh¸c h//2 suy ra 
d2h2 c¸ch vÏ d2
dα df MÆt kh¸c f//1 suy ra 
d1f1 c¸ch vÏ d1
m1
m2=n1
n2
αx x
d1
d2
M1
M2
Bµi to¸n 2: Cho mÆt ph¼ng α, Qua ®iÓm M h·y vÏ ®­êng th¼ng d vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng 
α.
A1
C2
A2
B2
C1
M1
M2
B1
h1
h2
f2
f1 d1
d2
1- §­a vÒ mét trong 
2 d¹ng trªn
2- ¸p dông kÕt qu¶ 
ë trªn, ta vÏ ®­îc d
ThÝ ¸p dông: T×m kho¶ng c¸ch tõ 1 ®iÓm M ®Õn mét mÆt ph¼ng (m,n).
M1
M2
m1
m2=n1
n2
αx x
d1
d2
H2
H1
 YAB
 YAB
1- Qua M vÏ dα(m,n)
2- VÏ giao ®iÓm H cña 
d vµ α.
3- T×m ®é dµi thËt MH
®a diÖn
Chãp(th¸p) L¨ng trô §a diÖn bÊt kú
§a diÖn lµ mÆt kÝn ®­îc t¹o thµnh bëi c¸c ®a gi¸c
ph¼ng (låi) g¾n liÒn víi nhau bëi c¸c c¹nh cña chóng.
S
A
B
C
D
A
B C
D
A’
B’ C’
D’
BiÓu diÔn ®a diÖn
Trªn ®å thøc, ®a diÖn ®­îc biÓu diÔn th«ng qua biÓu diÔn c¸c 
c¹nh cña chóng víi qui ®Þnh: c¸c mÆt cña ®a diÖn lµ kh«ng 
trong suèt.
S1
A1
B1
C1
A2
B2
S2
C2
S1
A1
B1
C1
A1
S2
A2
B2
C2
A2
a1 b1 c1 d1
a2
b2
d2
c2
a1 b1 c1d1 a1
M1=N1
N2
M2
P2=Q2
P1
Q1
+ +
-
+
-
+
M1=N1
M2=
N2
+ + - -
Giao mÆt ph¼ng vµ ®a diÖn
Giao cña mét mÆt ph¼ng víi mét ®a diÖn lµ mét ®a gi¸c ph¼ng
mµ mçi ®Ønh cña nã lµ giao ®iÓm cña 1 c¹nh ®a diÖn víi mÆt
ph¼ng, mçi c¹nh cña nã lµ giao cña mÆt ph¼ng víi mét mÆt cña
®a diÖn
S
A
B
C
D
P
M
N
E
F
S1
S2
A1
A2
B1
B2
C1
C2
a 1
M1
M2
N1
N2
P1
P2
=Q1
Q2
Tr­êng hîp
®Æc biÖt
MÆt ph¼ng chiÕu 
c¾t ®a diÖn
Tr­êng hîp
®Æc biÖt
MÆt ph¼ng c¾t ®a 
diÖn lµ trô chiÕu
m1
m2=n1
n2
a1 b1
c1
a2
b2
c2
K2=
K1
=P2
P1
=Q2
Q1
Tr­êng hîp
tæng qu¸t
m1
n2
m2=n1
a1
b1
c1
a2
b2
c2
=1=g1
g2
D2
D1
=1=k1
k2
E2
E1
=1=t1
t2
F2
F1
S1
A1
B1
C1
S2
A2
B2
C2 d2
d1M1=N1=
M2
N2
SA
B
C
P
M
N
E
F
t
V
R
Tr­êng hîp tæng qu¸t
Giao cña ®­êng th¼ng vµ ®a diÖn
D
A1
B1
C1
A2
B2
C2 d2
d1
M1
M2
N2
S1
S2
N1 P1
P2
V1 R1
V2
R2
=1
A1
B1
C1
A2
B2
C2
M1
M2
a1
b1
c1
a2
b2
c2
E1
F1
F2
E2
N1
P1
N2
P2
1
E’
F’
M’
N’
P’
V’
V1
V2
R’
R1
R2
SA
B
C
t
a
b
c
E
F
M
N
P
Q
V
R t E
F
M
N
P Q
V R
A1
B1
C1
A2
B2
C2
a1
b1
a2
b2
c2
E1
F1
F2
E2
d1
d2
M1
M2
e1
e2
N1
N2
P2
P1
V1
V2
Q2
Q1
R1
R2
1
Giao cña hai ®a diÖn
Giao cña hai ®a diÖn lµ mét hoÆc nhiÒu ®­êng gÊp
khóc kh«ng gian kÐp kÝn mµ mçi ®Ønh lµ giao ®iÓm cña
mét c¹nh ®a diÖn nµy víi mét mÆt ®a diÖn kia; mçi
c¹nh lµ giao cña mét mÆt ®a diÖn nµy víi mét mÆt ®a
diÖn kia.
C¸ch vÏ giao tuyÕn:
+ LÇn l­ît t×m giao cña tõng c¹nh ®a diÖn nµy víi c¸c
mÆt ®a diÖn kia vµ ng­îc l¹i, ta ®­îc c¸c ®Ønh cña
giao tuyÕn.
+ Nèi c¸c ®Ønh cña giao tuyÕn theo nguyªn t¾c: Hai
®iÓm ®­îc nèi víi nhau nÕu võa thuéc mét mÆt cña
®a diÖn nµy, võa thuéc mét mÆt cña ®a diÖn kia.
C¹nh ®ã chØ thÊy khi nã thuéc c¶ hai mÆt thÊy.
S1
A1
B1 C1
A2
B2
C2
S2
d1
e1
f1
d2 e2 f2
S2
A2 B2 C2
A2
+ +
+
e2
e2
f2
d2
+
+
-
11
12
1
21
22
2
31
32
3
41
42
4
51=61
52
62
5
6
S1
S2
A1=B1
A2
B2
C1
C2
D1
D2
e1
e2
f1
f2
g1
g2
A2
B2
C2
D2
A2
+
+
-
+
e2 f2 g2 e2
+ - +
S2
11=21
12
22
1
1
2
51
52
5
71
72
7
31=41
32
42
3
3
4
61
62
6
81
82
8
91=101
92
102
9
10
a2
b2
c2
d2
a1
b2
c2=d2
e1
f1
g1
e2f2 g2
S1
A1 B1 C1D1
S2=B2
A2
C2
D2
e1 f1 g1 h1
e2
f2
g2
h2
12
11
22
21
32
31
42
41
=52
51
62=
61
=72=82
71
81
92=102=
91
101
=112=122
111
121
h1 e1 f1 g1 h1
S1
A1
B1
C1
D1
A1
5(eh)
6(hg)1 2
3
4
7
9
11
- + + +
-
-
+
+
S1
A1
B1
A2
C1
B2
C2
S2
d1
e1
f1
d2 e2 f2
S2
A2
B2
C2
A2
e2 f2 d2 e2
+
+
+
-+ +
11
12
1
21
22
2
31
32
3
41
42
4(df)
51
52
5(de)
61=71
62
6
72
7
d2
SC
I. Mét sè mÆt cong th­êng dïng trong kü thuËt
 S
s
 C
 s
 s
 s
II. BiÓu diÔn mÆt cong
I
B
Bi
M
K
Ki
Mi
SSi
C
Ci
i
SSi
C
Ci
i
O1
O2
III. §iÓm thuéc mÆt cong
CC
S
K
A
K
A
S2
S1
K1
K2
H1
H2
M2
M1
N2
N1
E1
E2
E'2
K1
K2
H1
M2
N2
E2
H2
M1
N1
E1
E'1
K1
M1
N2
M2
K'2
K2
MK1
M1
K2
M2
N1
M'2
N2
CK
J
K1
K2 H2
H1
H'1
N2
N1 E1
E2
E'2
J1
J2
J'2
IV. Giao cña mÆt ph¼ng vµ mÆt cong
Giao cña mÆt ph¼ng víi mÆt cÇu lµ 
®­êng trßn
Giao mÆt ph¼ng vµ mÆt nãn:


Giao lµ ®­êng th¼ng
Giao lµ ellipse
Giao lµ parabole
Giao lµ hypecbol
Giao mÆt ph¼ng vµ mÆt trô
t
k
1) Tr­êng hîp ®Æc biÖt
Mét trong 2 mÆt lµ ®Æc biÖt (MÆt ph¼ng hoÆc mÆt cong ).
C¸c b­íc:
b1: X¸c ®Þnh d¹ng
b2: Tõ tÝnh chÊt ®Æc biÖt suy ra ®­îc 1 h×nh chiÕu cña giao tuyÕn ; 
b3: Chän c¸c ®iÓm quan trong trªn giao tuyÕn: Trªn ®­êng bao, cao (thÊp) 
nhÊt, gÇn (xa) nhÊt.
b4: VÏ h×nh chiÕu thø hai cña c¸c ®iÓm b»ng c¸ch gi¶i bµi to¸n ®iÓm thuéc mÆt 
råi nèi giao tuyÕn theo d¹ng ®· biÕt
b5: XÐt thÊy khuÊt. 
 1
ThÝ dô 1
 1
11
21
31=3'1
32
3'2
12
22
41=4'1
42
4'2
1
2
4
4'
O
1
2
3
3'
ThÝ dô 2
 1
ThÝ dô 3
11
12
21
22
32
31
42
41
51=5'1
52
5'2
61=6'1
62
6'2
ThÝ dô 4
 1=t1=k1
t2
k2
ThÝ dô 5
11 21
31=3'151=5'141=4'1
12
22
32
3'2
42
4'2
52
5'2
ThÝ dô 6
m 
n 
12 22
32
42
12
22
32
42
52
62
51
61
ThÝ dô 7
m 
n 
12 22
32
42
12
22
32
42
52
62
51
61
ThÝ dô 7
2) Tr­êng hîp tæng qu¸t
Tr­êng hîp tæng qu¸t cã thÓ gi¶i theo 2 c¸ch
a) BiÕn ®æi ®­a vÒ ®Æc biÖt (kh«ng ph¶i bao giê còng ®­îc)
b)Theo ph­¬ng ph¸p mÆt ph¼ng phô trî:
m 
n 
 '1
1'1
2'1
3'1=3''1
4'1=4''1
12
2232
3'2
42
4'2
11
21
31
3'151
61
52
62
x
x'
a) BiÕn ®æi ®­a vÒ ®Æc biÖt
ThÝ dô 1
xx'
S1
S2
S'1
m 
n 
 '1
1'1
12
2'1
22
31=3'1
32
3'2
11
21
41
51
42 52
ThÝ dô 2
b)Theo ph­¬ng ph¸p mÆt ph¼ng phô trî:
-b­íc 1:
Chän mÆt ph¼ng phô trî  (sao cho giao cña  vµ  ph¶i dÔ vÏ vµ vÏ ®­îc 
chÝnh x¸c)
-b­íc 2
VÏ giao cña  vµ  ®­îc mét giao tuyÕn G. VÏ giao cña  vµ ®­îc giao 
tuyÕn t
-b­íc 3
Giao cña G vµ t lµ c¸c ®iÓm chung cña vµ 
- Chän c¸c mÆt ph¼ng phô trî kh¸c vµ lÆp l¹i c¸c b­íc 2 vµ 3 , ta cã nhiÒu ®iÓm 
chung cña vµ . Sau ®ã nèi giao tuyÕn theo d¹ng ®· x¸c ®Þnh.
11
21
31
41
51
61
12 22
32
4252
62
m 
n 
2
2
2
ThÝ dô 1
m 
n 
x
1
1
1
1
12
11
22
32
21
31
42
52
41
51
62
61
ThÝ dô 2
m 
n 
x
1
1
1
1
12
11
22
32
21
31
42
52
41
51
62
61
ThÝ dô 2
V. Giao cña §a diÖn víi mÆt cong
Ta gi¶ bµi to¸n nµy b»ng c¸ch lÇn l­ît vÏ giao cña tõng mÆt ®a diÖn víi mÆt 
cong
ThÝ dô 1
a1
b1
c1
a2 b2 c2
12
1'2
=11=1'1
21
22
31
32
3'2
=41=4'1
42
4'2
51=5'1
52
5'2
a1
b1
c1
a2 b2 c2
12
1'2
=11=1'1
21
22
31
32
3'2
=41=4'1
42
4'2
51=5'1
52
5'2
ThÝ dô 1
11
12
21=2'1
22
2'2
31=3'1
32
3'2
41
42
51=5'1
52
5'2
a1
b1
c1
a2 b2 c2
ThÝ dô 2
11
12
21=2'1
22
2'2
31=3'1
32
3'2
41
42
51=5'1
52
5'2
a1
b1
c1
a2 b2 c2
ThÝ dô 2
11=1'1
21=2'1
12
1'2
21
2'2
31=3'1
32
3'2
42
41
51
52
ThÝ dô 3
a2 b2 c2
a1
b1
c1
11=1'1
21=2'1
12
1'2
21
2'2
31=3'1
32
3'2
42
41
51
52
a2 b2 c2
a1
b1
c1
ThÝ dô 3
11
21
31
41
51
61
71
81
91
12 22
32
42 52
62 72
=82 =92
a2
b2
c2
a1
b1
c1
ThÝ dô 4
11
21
31
41
51
61
71
81
91
12 22
32
42 52
62 72
=82 =92
a2
b2
c2
a1
b1
c1
ThÝ dô 4
11
21
31
41
12
22
32
42
51
61
s1
A1 B1 C1
S2
A2
B2
C2
52
62
71
81
91
101
72
82 92 102
ThÝ dô 5
11
21
31
41
12
22
32
42
51
61
s1
A1 B1 C1
S2
A2
B2
C2
52
62
71
81
91
101
72
82 92 102
ThÝ dô 5
VI. Giao cña hai mÆt cong
ThÝ dô 1
11
21
31=3'1
41=4'1
51=5'1
61=6'1
12 22
32
3'2
42
4'2
52
5'2
62
6'2
2
1 6'
6
5'
5
3'
3
4'
4
11
21
31=3'1
41=4'1
51=5'1
61=6'1
12
32
3'2
42
4'2
52
5'2
62
6'2
2
1 6'
6
5'
5
3'
3
4'
4
ThÝ dô 1
12
3
4
4'
5
5'
6
6'
11
12
21
22
31
32
41=4'1
42
4'2
51=5'1
52
5'2
61=6'1
62
6'2
ThÝ dô 2
12
3
4
4'
5
5'
6
6'
11
12
21
22
31
32
41=4'1
42
4'2
51=5'1
52
5'2
61=6'1
62
6'2
ThÝ dô 2
31=3'1
21=2'1
51=5'1
61=6'1
41=4'1
11=1'1
2'2
22
3242
52
6'2
62
5'2
4'2 3'2
1'2
12
ThÝ dô 3
31=3'1
21=2'1
51=5'1
61=6'1
41=4'1
11=1'1
2'2
22
3242
52
6'2
62
5'2
4'2 3'2
1'2
12
ThÝ dô 3
V. Giao cña §­êng th¼ng víi mÆt cong
1) Tr­êng hîp ®Æc biÖt
t1
t2
=A1=B1
A2
B2
t1
t2
A1=B1
A2
B2
t1
t2
A1=B1
A2
B2
A2
B2
t1=A1=B1
t2
A2
B2
t1=A1=B1
t2
t1
t2
A2
B2
A1
B1
t1
t2
A2
B2
A1
B1
hh1
h2
= 1
A2
B2
A1 B1
A
B
b) Tr­êng hîp tæng qu¸t
x'
xA1
B1
A2
B2
A'1
B'1
M1
M2
N1
N2
N'1
M'1
O1
O2
O'1
SE
F
t
D
M
N
P
Q
A
B
SE
F
t
D
M
N
P
Q
A
B
S1
S2
D1
D2
E1
E2
M1
M2
P2
Q2
A2
A1
B1
B2
S1
S2
D1
D2
E1
E2
M1
M2
P2
Q2
A2
A1
B1
B2
EF
M
N
P
Q
A
B
t
d e
EF
M
N
P
Q
A
B
t
d e
A2
B2
A1
B1
M1
N1
M2
N2
P2
Q2
P1
Q1
E1
F1
F2
E2
d1
d2
e1
e2
1
A2
B2
A1
B1
M1
N1
M2
N2
P2
Q2
P1
Q1
E1
F1
F2
E2
d1
d2
e1
e2
1
 i