Bài giảng Đồ họa hiện thực ảo - Bài 7: Đường cong trong không gian 3D CURVE - Lê Tấn Hùng

CNTT-DHBK Hanoi
hunglt@it-hut.edu.vn
1
(c) SE/FIT/HUT 2002
Đường cong trong không gian 
3D CURVE
(c) SE/FIT/HUT 2002 2
Đường cong - Curve
„ Why use curves? Quỹ đạo chuyển động của 1 điểm trong 
không gian 
„ Đường cong biểu diễn Điểm -curve represents points: 
„ Điểm Biểu diễnvà kiểm soát đường cong -Points represent-
and control-the curve.
„ Cách tiếp cận này là cơ sở của lĩnh vực Computer Aided Geometric 
Design (CAGD).
(c) SE/FIT/HUT 2002 3
Phân loại
„ Trên cơ sở ràng buộc giữa điểm và đường trong cả ứng dụng khoa học và
thiết kế ta co thể phân làm 2 loại:
„ Xấp xỉ-Approximation -
„ Được ứng dụng trong mô hình hoá hình học 
„ Nội suy-Interpolation
„ Trong thiết kế nôi suy là cần thiết với các đối tượng nhưng không phù hợp 
với các đối tượng có hình dáng bất kỳ "free form“. 
(c) SE/FIT/HUT 2002 4
Biểu diễn Đường cong
„ Tường minh y=f(x)
„ y = f(x), z = g(x)
„ impossible to get multiple values for a single 
x
• break curves like circles and ellipses 
into segments
„ not invariant with rotation
• rotation might require further segment 
breaking
„ problem with curves with vertical tangents
• infinite slope is difficult to represent
„ Không tường minh f(x,y)=0 - Implicit equations:
„ f(x,y,z) = 0
„ equation may have more solutions than we 
want
• circle: x² + y² = 1, half circle: ?
„ problem to join curve segments together
• difficult to determine if their tangent 
directions agree at their joint point
(c) SE/FIT/HUT 2002 5
Đường cong tham biến
„ Biểu diễn các đường cong tham biến Parametric representation:
„ x = x(t), y = y(t), z = z(t)
„ overcomes problems with explicit and implicit forms
„ no geometric slopes (which may be infinite)
„ parametric tangent vectors instead (never infinite)
„ a curve is approximated by a piecewise polynomial curve
„ Define a parameter space
„ 1D for curves
„ 2D for surfaces
„ Define a mapping from parameter space to 3D points
„ A function that takes parameter values and gives back 3D points
„ The result is a parametric curve or surface
0 t1
Mapping F :t → (x, y, z)
(c) SE/FIT/HUT 2002 6
Parametric Curves
„ We have seen the parametric form for a line:
„ Note that x, y and z are each given by an equation that 
involves:
„ The parameter t
„ Some user specified control points, x0 and x1
„ This is an example of a parametric curve
10
10
10
)1(
)1(
)1(
zttzz
yttyy
xttxx
−+=
−+=
−+=
CNTT-DHBK Hanoi
hunglt@it-hut.edu.vn
2
(c) SE/FIT/HUT 2002 7
Đường cong đa thức bậc ba 
„ Phải đảm bảo là đường cong không gian với 3 trục toạ độ x, y, z
„ tránh được những tính toán phức tạp và những phần nhấp nhô ngoài ý
muốn xuất hiện ở những đường đa thức bậc cao
„ Why cubic?
(c) SE/FIT/HUT 2002 8
P0
P1 p2
p3
P0
P'0 P1
P'1
Đường cong bậc 3
„ x = a1 + b1u + c1u2 + d1u3
„ y = a2 + b2u + c2u2 + d2u3
„ z = a3 + b3u + c3u2 + d3u3
„ Với 3 điểm P0, P1, P2, P3 phương trình
xác định
(c) SE/FIT/HUT 2002 9
Hermite Spline
„ A spline is a parametric curve defined by control points
„ The term spline dates from engineering drawing, where a spline was a piece 
of flexible wood used to draw smooth curves
„ The control points are adjusted by the user to control the shape of the curve
„ Phương pháp Hermite dựa trên cơ sở của cách biểu diễn Ferguson hay Coons 
năm 60
„ A Hermite spline is a curve for which the user provides:
„ The endpoints of the curve
„ The parametric derivatives of the curve at the endpoints
• The parametric derivatives are dx/dt, dy/dt, dz/dt
„ That is enough to define a cubic Hermite spline, more derivatives are required 
for higher order curves
(c) SE/FIT/HUT 2002 10
Đường cong Hermite
„ p = p(u) = k0 + k1u + k2u2 + k3u3
„ p(u) = ∑kiui i∈n
„ p0 và p1 ta có hai độ dốc p0’ và p1’ với u = 0 và u = 1 tại hai 
điểm đầu cuối của đoạn [0,1].
„ We have constraints:
„ The curve must pass through p0 when u=0
„ The derivative must be p’0 when u=0
„ The curve must pass through p1 when u=1
„ The derivative must be p’1 when u=1
(c) SE/FIT/HUT 2002 11
Basis Functions
„ A point on a Hermite curve is obtained by multiplying each control point 
by some function and summing
„ The functions are called basis functions
(c) SE/FIT/HUT 2002 12
„ Thay vào:
„ p = p(u) = p0(1-3u2+2u3) + p1(3u2-2u3) 
+ p0’(u-2u2+u3) + p1’(-u2+u3)
p = p(u) = [ 1 u u2 u3 ] 
CNTT-DHBK Hanoi
hunglt@it-hut.edu.vn
3
(c) SE/FIT/HUT 2002 13
Đường cong Bezier
„ Sử dụng điểm và các vector kiểm soát được độ dốc của đường
cong tại nhưng điểm mà nó đi qua.(Hermit)
„ không được thuận lợi cho việc thiết kế tương tác, không tiếp cận
vào các độ dốc của đường cong bằng các giá trị số (Hermite).
„ Paul Bezier, RENAULT, 1970 đường và bề mặt UNISURF
(c) SE/FIT/HUT 2002 14
„ po, p3 tương đương với p0, p1 trên đường Hermite. diểm trung 
gian p1, p2 được xác định bằng 1/3 theo độ dài của vector tiếp 
tuyến tại điểm po và p3
„ p0’ = 3(p1 – p0)
„ p3’ = 3(p3 – p2)
„ p = p(u) = p0(1-3u2+2u3) + p1(3u2-2u3) + p0’(u-2u2+u3) + p1’(-
u2 + u3)
„ p = p(u) = p0(1 - 3u + 3u2 - u3) + p1(3u-6u2-3u3) 
+ p2(3u2 - 3u3) + p3u3
(c) SE/FIT/HUT 2002 15
Biểu diễn Ma trận
p = p(u) = [ 1 u u2 u3 ] 















−−
−
−
3
2
1
0
1331
0363
0033
0001
p
p
p
p
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
B0
B1
B2
B3
(c) SE/FIT/HUT 2002 16
Ưu điểm
„ dễ dàng kiểm soát hi`nh dạng của đường cong hơn vector tiếp 
tuyến tại p0’ và p1’ của Hermite. 
„ Nằm trong đa giác kiểm soát với số điểm trung gian tuỳ ý( số
bậc tuỳ ý)
„ đi qua điểm đầu và điểm cuối của đa giác kiểm soát, tiếp xúc với 
cặp hai vector của đầu cuối đó
(c) SE/FIT/HUT 2002 17
Example 
Bezier Curves
„
[UW]
(c) SE/FIT/HUT 2002 18
Sub-Dividing Bezier Curves
P0
P1 P2
P3
M01
M12
M23
M012 M123
M0123
CNTT-DHBK Hanoi
hunglt@it-hut.edu.vn
4
(c) SE/FIT/HUT 2002 19
Sub-Dividing Bezier Curves
P0
P1 P2
P3
(c) SE/FIT/HUT 2002 20
Sub-Dividing Bezier Curves
„ Step 1: Find the midpoints of the lines joining the original control vertices. 
Call them M01, M12, M23
„ Step 2: Find the midpoints of the lines joining M01, M12 and M12, M23. Call 
them M012, M123
„ Step 3: Find the midpoint of the line joining M012, M123. Call it M0123
„ The curve with control points P0, M01, M012 and M0123 exactly follows the 
original curve from the point with t=0 to the point with t=0.5
„ The curve with control points M0123 , M123 , M23 and P3 exactly follows the 
original curve from the point with t=0.5 to the point with t=1
(c) SE/FIT/HUT 2002 21
de Casteljau’s Algorithm
„ You can find the point on a Bezier curve for any parameter value t with a similar 
algorithm
„ Say you want t=0.25, instead of taking midpoints take points 0.25 of the way
P0
P1 P2
P3
M01
M12
M23
t=0.25
(c) SE/FIT/HUT 2002 22
Biểu thức Bezier-Bernstain
„ Tổng quát hoá với n +1 điểm kiểm soát
„ p0 ... pn : vector vị trí của đa giác n+1 đỉnh
))(()(
)()(
1
0
1,
0
,
ii
n
i
ni
i
n
i
ni
PpuBnup
puBup
−=′
=
+
=
−
=
∑
∑
ini
ni uuinCuB
−−= )1(),()(,
)!in(!i
!n
)i,n(C −=
(c) SE/FIT/HUT 2002 23
Tính chất
„ P0 và Pn nằm trên đường cong. 
„ Đường cong liên tục và có đạo hàm liên tục tất cả các bậc 
„ Tiếp tuyến của đường cong tại điểm P0 là đường P0P1 và tại 
Pn là đường Pn-1Pn . 
„ Đường cong nằm trong đường bao lồi convex hull của các 
điểm kiểm soát.
„ This is because each successive Pi(j) is a convex 
combination of the points Pi(j-1) and Pi-1(j-1) . 
„ P1 ,P2 ,  ,Pn-1 nằm trên đường cong khi và chỉ khi 
đường cong là đoạn thẳng. 
(c) SE/FIT/HUT 2002 24
Review:
Bézier Curve Prop’s [1/6]
„ We looked at some properties of Bézier curves.
„ Generally “Good” Properties
„ Endpoint Interpolation
„ Smooth Joining
„ Affine Invariance
„ Convex-Hull Property
„ Generally “Bad” Properties
„ Not Interpolating
„ No Local Control
CNTT-DHBK Hanoi
hunglt@it-hut.edu.vn
5
(c) SE/FIT/HUT 2002 25
Problem with Bezier Curves
„ To make a long continuous curve with Bezier segments 
requires using many segments
„ Maintaining continuity requires constraints on the control 
point positions
„ The user cannot arbitrarily move control vertices and automatically 
maintain continuity
„ The constraints must be explicitly maintained
„ It is not intuitive to have control points that are not free
(c) SE/FIT/HUT 2002 26
Invariance
„ Translational invariance means that translating the control points and then 
evaluating the curve is the same as evaluating and then translating the curve
„ Rotational invariance means that rotating the control points and then evaluating 
the curve is the same as evaluating and then rotating the curve
„ These properties are essential for parametric curves used in graphics
„ It is easy to prove that Bezier curves, Hermite curves and everything else we will 
study are translation and rotation invariant
„ Some forms of curves, rational splines, are also perspective invariant
„ Can do perspective transform of control points and then evaluate the curve
(c) SE/FIT/HUT 2002 27
Longer Curves
„ A single cubic Bezier or Hermite curve can only capture a small class of curves
„ At most 2 inflection points
„ One solution is to raise the degree
„ Allows more control, at the expense of more control points and higher degree 
polynomials
„ Control is not local, one control point influences entire curve
„ Alternate, most common solution is to join pieces of cubic curve together into 
piecewise cubic curves
„ Total curve can be broken into pieces, each of which is cubic
„ Local control: Each control point only influences a limited part of the curve
„ Interaction and design is much easier
(c) SE/FIT/HUT 2002 28
Piecewise Bezier Curve
“knot”
P0,0
P0,1 P0,2
P0,3
P1,0
P1,1
P1,2
P1,3
(c) SE/FIT/HUT 2002 29
Continuity
„ When two curves are joined, we typically want some degree of continuity 
across the boundary (the knot)
„ C0, “C-zero”, point-wise continuous, curves share the same point where they 
join
„ C1, “C-one”, continuous derivatives, curves share the same parametric 
derivatives where they join
„ C2, “C-two”, continuous second derivatives, curves share the same parametric 
second derivatives where they join
„ Higher orders possible
„ Question: How do we ensure that two Hermite curves are C1 across a 
knot?
„ Question: How do we ensure that two Bezier curves are C0, or C1, or C2
across a knot?
(c) SE/FIT/HUT 2002 30
Đường bậc ba Spline
„ Spline đi qua n điểm cho trước mà mỗi đoạn là đường bậc ba 
độc lập có độ dốc và độ cong liên tục tại mỗi điểm kiểm soát 
hay điểm nút
„ Với n điểm:n-1 đoạn với mỗi đoạn 4 vector hệ số 4(n-1) cho 
n-1 đoạn, và 2(n-1) điều kiện biên và n-2 điều kiện về độ dốc 
cùng n-2 về độ cong
„ Spline dùng để chỉ phương pháp biểu diễn đường cong mềm 
thông qua các đoạn cong tham biến bậc ba với các điều kiện 
liên tục tại các điểm đầu nút
CNTT-DHBK Hanoi
hunglt@it-hut.edu.vn
6
(c) SE/FIT/HUT 2002 31
Đường cong bậc ba
Spline
„ u0 = 0 với : (u0 ... un-1) uj+1 > uj
„ ui+1 = ui + di+1
„ C0 để không có sự gián đoạn giữa hai đoạn cong. 
„ C1 tính liên tục bậc nhất hay đạo hàm bậc nhất tại điểm nối. 
„ C2 đạo hàm bậc hai liên tục của đường cong tại điểm nối
(c) SE/FIT/HUT 2002 32
Achieving Continuity
„ For Hermite curves, the user specifies the derivatives, so C1 is achieved 
simply by sharing points and derivatives across the knot
„ For Bezier curves:
„ They interpolate their endpoints, so C0 is achieved by sharing control points
„ The parametric derivative is a constant multiple of the vector joining the 
first/last 2 control points
„ So C1 is achieved by setting P0,3=P1,0=J, and making P0,2 and J and P1,1
collinear, with J-P0,2=P1,1-J
„ C2 comes from further constraints on P0,1 and P1,2
(c) SE/FIT/HUT 2002 33
Bezier Continuity
P0,0
P0,1 P0,2
J
P1,1
P1,2
P1,3
Disclaimer: PowerPoint curves are not Bezier curves, they are 
interpolating piecewise quadratic curves! This diagram is an 
approximation.
(c) SE/FIT/HUT 2002 34
B-splines
„ B-splines automatically take care of continuity, with exactly one control 
vertex per curve segment
„ Many types of B-splines: degree may be different (linear, quadratic, 
cubic,) and they may be uniform or non-uniform
„ We will only look closely at uniform B-splines
„ With uniform B-splines, continuity is always one degree lower than the 
degree of each curve piece
„ Linear B-splines have C0 continuity, cubic have C2, etc
(c) SE/FIT/HUT 2002 35
Đường cong B-spline
„ Đường cong B-spline là đường cong được sinh ra từ đa giác 
kiểm soát mà bậc của nó không phụ thuộc vào số đỉnh của đa 
giác kiểm soát.
(c) SE/FIT/HUT 2002 36
B-Splines:
The Idea [1/2]
„ The repeated-lirping idea that produced the Bézier curves has the 
drawbacks that is produces polynomials with high degree that are nonzero 
almost everywhere.
„ Using functions defined in pieces, we can fix these two.
„ Start: An order-1 B-Spline has blending functions that are always either 1 
or 0. When a function is 1, all the rest are zero.
„ So an order-1 B-spline is just a sequence of points.
„ Any number of control points may be used.
„ Now we make higher-order B-splines using a repeated-lirping procedure.
„ But this time, we can use any number of control points.
CNTT-DHBK Hanoi
hunglt@it-hut.edu.vn
7
(c) SE/FIT/HUT 2002 37
B-Splines:
The Idea [2/2]
„ We form an order-2 B-Spline by lirping between the order-1 blending functions.
„ As discussed, we get functions that start at 0, ramp up to 1 and back down, then stay at 
zero. Each function is 0 most of the time.
„ So each blending function is defined in pieces. Each piece is a polynomial of degree 1 
(graph is a line).
„ So an order-2 B-spline is just the control polygon.
„ Again, any number of control points may be used.
„ We form an order-3 B-Spline by lirping between the order-2 blending functions.
„ Now blending functions are smooth. They start at 0, curve up to 1 then back down. 
Again, each function is 0 most of the time.
„ Again, each blending function is defined in pieces. Each piece is a polynomial of 
degree 2.
„ We continue this repeated-lirping procedure to define B-splines of higher order.
„ See the blue book for details and graphs.
(c) SE/FIT/HUT 2002 38
Types of B-Splines Approximation Curves Used
B-Spline approximations can be classified based on the 
spacing of the knot vector and the use of weights. 
1. Uniform/Periodic B-splines : The spacing is
unform and the knots (control points) are equispaced e.g. 
[0,1,2,3,4,5] These have satisfactory smoothness but lack 
local control and the starting and ending poits are ill 
defined as above. 
2. Non-periodic: The knots are repeated at the ends m 
times and the interior is equispaced. e.g. [0 0 0 1 2 3 3 3 
] These can be used to force the control point to start 
and finish at a control point. 
3. Non-uniform B-Splines : The spacing is non-
uniform and or repeated knots e.g. [0 1 1 2 4 5 6 6 
] These can be used to obtain local control
B-Splines
(c) SE/FIT/HUT 2002 39
Ví dụ: Uniform Cubic B-spline on 
[0,1]
„ Four control points are required to define the curve for 0≤t<1 (t is the 
parameter)
„ Not surprising for a cubic curve with 4 degrees of freedom
„ The equation looks just like a Bezier curve, but with different basis functions
„ Also called blending functions - they describe how to blend the control points to 
make the curve
( ) ( ) ( ) ( )3332232
1
32
0
3
0
4
6
133316
13646
13316
1
tPtttPttPtttP
tBPtP
i
ii
+−++++−+−+−=
=∑
=
)()( ,
(c) SE/FIT/HUT 2002 40
Basis Functions on [0,1]
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
t
„ Does the curve interpolate its endpoints?
„ Does it lie inside its convex hull?
B0,4
B1,4 B2,4
B3,4
( )
( )
( )
( )33
32
2
32
1
1
32
0
6
1
33316
1
3646
1
3316
1
tP
tttP
ttP
tttPtP
+
−+++
+−+
−+−=)(
(c) SE/FIT/HUT 2002 41
Uniform Cubic B-spline on [0,1)
„ The blending functions sum to one, and are positive everywhere
„ The curve lies inside its convex hull
„ The curve does not interpolate its endpoints
„ Requires hacks or non-uniform B-splines
„ There is also a matrix form for the curve:
[ ]
















−
−
−−
=
10001
1333
4063
1331
6
1 2
3
3210 t
t
t
PPPPtP )(
(c) SE/FIT/HUT 2002 42
Uniform - B-spline
„ Ni,k(u) đa thức B-Spline cơ bản
„ Với n+ 1 sô điểm kiểm soát
„ Pi điểm kiểm soát thứ i
„ k bậc của đường cong 1<k<n+2
„ Ui vector nút của đường cong U=[U1,U2...Un+k+1]
i
n
i
ki PuNuP ∑
=
=
0
, ).()(
)(
)(
)()()()( 1,
21
1
1,1
1
1
, uNUU
uUuN
UU
UuuN ki
kii
i
ki
kii
ki
ki −
−++
+
−−
−+
−+
−
−+−
−=

 ∈= +
others0
],[1
)( 11,
ii
i
uuu
uN
CNTT-DHBK Hanoi
hunglt@it-hut.edu.vn
8
(c) SE/FIT/HUT 2002 43
Using Uniform B-splines
„ At any point t along a piecewise uniform cubic B-spline, there 
are four non-zero blending functions
„ Each of these blending functions is a translation of B0,4
„ Consider the interval 0≤t<1
„ We pick up the 4th section of B0,4
„ We pick up the 3rd section of B1,4
„ We pick up the 2nd section of B2,4
„ We pick up the 1st section of B3,4
(c) SE/FIT/HUT 2002 44
Uniform Cubic B-spline Blending Functions
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
t
B0,4 B1,4 B2,4 B3,4 B4,4 B5,4 B6,4
(c) SE/FIT/HUT 2002 45
Computing the Curve
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
-3
-2
.7
-2
.3 -2
-1
.6
-1
.3
-0
.9
-0
.6
-0
.2 0.
1
0.
5
0.
8
1.
2
1.
5
1.
9
2.
2
2.
6
2.
9
3.
3
3.
6 4
4.
3
4.
7
t
( ) ( )∑
=
=
n
k
kk tBPtX
0
4,
P0B0,4
P1B1,4 P2B2,4
P3B3,4
P4B4,4
P5B5,4
P6B6,4
The curve can’t start until there are 4 basis functions active
(c) SE/FIT/HUT 2002 46
(c) SE/FIT/HUT 2002 47
Đặc điểm
„ B-spline không đi qua hai điểm đầu và cuối trừ khi hàm hợp 
được dùng là tuyến tính.
„ B-spline có thể được tạo qua hai điểm đầu, cuối và tiếp xúc với 
vector đầu và cuối của đa giác kiểm soát. Bằng cách thêm vào 
các nút tại vị trí của các nút cuối của vector tuy nhiên các giá
trị giống nhau không nhiều hơn bậc của đường cong.
„ Tính chất bao lồi của đa giác kiểm soát và tính chất chuẩn 
được thoa mãn. 
„ Số lượng các nút, bậc của đường cong và số điểm điều khiển 
luôn có các quan hệ ràng buộc: 
„ 0 ≤ u ≤ n - k + 2
1(u)N
n
0i
ki, =∑
=
(c) SE/FIT/HUT 2002 48
( )

 ≤≤= +
otherwise 0
 1 1
1,
kk
k
ttt
tB
B-Spline Blending Functions
„ The recurrence relation starts with the 1st order B-splines, 
just boxes, and builds up successively higher orders
„ This algorithm is the Cox - de Boor algorithm
( ) ( )
( )tB
tt
tt
tB
tt
tttB
dk
kdk
dk
dk
kdk
k
dk
1,1
1
1,
1
,
−+
++
+
−
−+




−
−
+



−
−=
CNTT-DHBK Hanoi
hunglt@it-hut.edu.vn
9
(c) SE/FIT/HUT 2002 49
Bk,1
B 0,1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
-3
-2
.8
-2
.6
-2
.4
-2
.2 -2
-1
.8
-1
.6
-1
.4
-1
.2 -1
-0
.8
-0
.6
-0
.4
-0
.2 0 0.
2
0.
4
0.
6
0.
8 1
t
B
0,
1(
t)
B 2,1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
-3 -2 .
8
-2 .
6
-2 .
4
-2 .
2 -2 -1 .
8
-1 .
6
-1 .
4
-1 .
2 -1 -0 .
8
-0 .
6
-0 .
4
-0 .
2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
t
B
2,
1(
t)
B 3,1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
-3 -2 .8 -2 .6 -2 .4 -2 .2 -
2
-1 .8 -1 .6 -1 .4 -1 .2 -
1
-0 .8 -0 .6 -0 .4 -0 .2
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
t
B
3,
1(
t)
B 1,1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
-3 -2.
8
-2.
6
-2.
4
-2.
2 -2 -1.
8
-1.
6
-1.
4
-1.
2 -1 -0.
8
-0.
6
-0.
4
-0.
2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
t
B
1,
1(
t)
(c) SE/FIT/HUT 2002 50
Bk,2
B 0,2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
-3
-2
.8
-2
.6
-2
.4
-2
.2 -2
-1
.8
-1
.6
-1
.4
-1
.2 -1
-0
.8
-0
.6
-0
.4
-0
.2 0 0.
2
0.
4
0.
6
0.
8 1
t
B
0,
2(
t)
B 1,2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
-3
-2
.8
-2
.6
-2
.4
-2
.2 -2
-1
.8
-1
.6
-1
.4
-1
.2 -1
-0
.8
-0
.6
-0
.4
-0
.2 0 0.
2
0.
4
0.
6
0.
8 1
t
B
1,
2(
t)
B 2,2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
-3
-2
.8
-2
.6
-2
.4
-2
.2 -2
-1
.8
-1
.6
-1
.4
-1
.2 -1
-0
.8
-0
.6
-0
.4
-0
.2 0 0.
2
0.
4
0.
6
0.
8 1
t
B
2,
2(
t)


−<≤−−−
−<≤−+=
12 1
23 3
)(2,0 tt
tt
tB
(c) SE/FIT/HUT 2002 51
Bk,3
B 0,3
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
-3
-2
.8
-2
.6
-2
.4
-2
.2 -2
-1
.8
-1
.6
-1
.4
-1
.2 -1
-0
.8
-0
.6
-0
.4
-0
.2 0 0.
2
0.
4
0.
6
0.
8 1
t
B
0,
3(
t)
B 1,3
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
-3 -2.
8
-2.
6
-2.
4
-2.
2 -2 -1.
8
-1.
6
-1.
4
-1.
2 -1 -0.
8
-0.
6
-0.
4
-0.
2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
t
B1
,3
(t)
( )



<≤−
−<≤−−−−
−<≤−+
=
01 
12 362
23 3
2
1)(
2
2
2
3,0
tt
ttt
tt
tB
(c) SE/FIT/HUT 2002 52
B0,4
B 0,4
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
-3
-2
.8
-2
.6
-2
.4
-2
.2 -2
-1
.8
-1
.6
-1
.4
-1
.2 -1
-0
.8
-0
.6
-0
.4
-0
.2 0 0.
2
0.
4
0.
6
0.
8 1
t
B
0,
4(
t)
(c) SE/FIT/HUT 2002 53
B0,4
( )
( )


<≤−
<≤−+−+
−<≤−−−−−
−<≤−+
=
10 1
01 1333
12 521153
23 3
6
1)(
3
23
23
3
4,0
tt
tttt
tttt
tt
tB
Note that the functions given on slides 5 and 6 are translates of this 
function obtained by using (t-1), (t-2) and (t-3) instead of just t, and then 
selecting only a sub-range of t values for each function
(c) SE/FIT/HUT 2002 54
B Spline - Đều và tuần hoàn
„ Vecto nút là đều khi giá trị của chúng cách đều nhau một 
khoảng ∇ xác định. Trong các bài toán thực tế, vecto nút đều 
được bắt đầu từ 0 và tăng 1 cho đến giá trị lớn nhất 
„ Ví dụ: [ 0 1 2 3 4 5 ] với ∇ xác định = 1
„ [ -2 -1/2 1 5/2 4 ] với ∇ xác định = 3/2
„ Với cấp là k, số điểm kiểm soát là n+1 thì vecto nút đều là
„ U=[0 1 2 ...n+k] khoảng tham số (k-1)≤u≤(n+1).
„ Khi vecto nút là đều thì ta có Ni,k(u)=Ni-1,k(u-1)=Ni+1,k(u+1)
CNTT-DHBK Hanoi
hunglt@it-hut.edu.vn
10
(c) SE/FIT/HUT 2002 55
Không tuần hoàn
Open – Non Uniform
„ Một vector không tuần hoàn hoặc mở là
vector nút có giá trị nút tại các điểm đầu 
cuối lặp lại với số lượng các giá trị lặp 
lại này bằng chính cấp k của đường cong 
và các giá trị nút trong mỗi điểm lặp này 
là bằng nhau
„ Nếu một trong hai điều kiện này hoặc cả hai 
điều kiện không được thoả mãn thì vecto nút 
là không đều.
„ Cách tính Ui
Ui = 0 1=<i<=k
Ui = i-k k+1<i<=n+1
Ui = n-k+2 n+1<i<=n+k+1
2 6 [0 0 1 2 3 3]
3 7 [0 0 0 1 2 2 2]
4 8 [0 0 0 0 1 1 1 1]
Cấp 
k
số lượng nút (m 
= n + k)
Vector nút 
không tuần 
hoàn
(c) SE/FIT/HUT 2002 56
B-Splines:
Properties
„ The most used B-splines are:
„ Order 3 (“quadratic B-splines”).
• Smooth.
„ Order 4 (“cubic B-splines”).
• Smoother, but control is a little less local.
„ B-splines have the following properties.
„ An order-k B-spline has blending functions that are defined in pieces, using 
polynomials of degree k–1.
• This is true for any number of control points. We can choose the number of control points and 
the polynomial degree separately. ☺
„ B-splines are affine invariant (of course).
„ They have the convex-hull property. ☺
„ They have local control. ☺
„ A B-spline (of order 3 or more) does not interpolate any of its control points. / But we 
can deal with this 
(c) SE/FIT/HUT 2002 57
Kết luận
„ B-spline là một dòng của Bezier
„ Thực tế khi ta chọn bậc k cho tập hợp k điểm thì thi B-spline chuyển thành 
Bezier
„ Khi bậc của đa thức giảm sự ảnh hưởng cục bộ của mỗi điểm nút càng rõ 
ràng hơn.
„ Khi tồn tại anh hưởng cục bộ càng lớn và đường cong phai đi qua điểm đó.
„ Chúng ta có thể thay đổi hình dạng đường cong B-spline bằng cách:
„ Thay đổi kiểu vecto nút : đều tuần hoàn, mở, không đều
„ Thay đổi cấp k của đường cong
„ Thay đổi số đỉnh và vị trí các đỉnh đa giác kiểm soát
„ Sử dụng các điểm kiểm soát trùng nhau
(c) SE/FIT/HUT 2002 58
Rational Curves
„ Each point is the ratio of two curves
„ Just like homogeneous coordinates:
„ NURBS: x(t), y(t), z(t) and w(t) are non-uniform B-splines
„ Advantages:
„ Perspective invariant, so can be evaluating in screen space
„ Can perfectly represent conic sections: circles, ellipses, etc
• Piecewise cubic curves cannot do this


→
)(
)(,
)(
)(,
)(
)()](),(),(),([
tw
tz
tw
ty
tw
txtwtztytx
(c) SE/FIT/HUT 2002 59
Rational Spline - NURBS
„ A Rational Spline is like a B-Spline 
but the designer can add weightings 
to the blending functions to modify 
the curve. 
„ The blending functions produce a 
ratio of the polynomials used.
∑
=
=
L
k
kk tRPP t
0
)()(
∑
=
= L
k
mkk
mkk
k
t
t
t
Nw
NwR
0
,
,
)(
)(
)(
(c) SE/FIT/HUT 2002 60
OpenGL and NURBS
„ NURBS: Non-uniform Rational B-splines
„ The curved surface of choice in CAD packages
„ Support routines are part of the GLu utility library
„ Allows you to specify how they are rendered:
„ Can use points constantly spaced in parametric space
„ Can use various error tolerances - the good way!
„ Allows you to get back the lines that would be drawn
„ Allows you to specify trim curves
„ Only for surfaces
„ Cut out parts of the surface - in parametric space
CNTT-DHBK Hanoi
hunglt@it-hut.edu.vn
11
(c) SE/FIT/HUT 2002 61
Non-uniform Rational B-Splines(NURBS)
The last 3 types are good for representing free form curves but also introduce 
unnecessary approximations in the representation of conic sections. NURBS build on 
non-uniform B-Splines and introduce a weight function to obtain an approximation 
that retains all the advantages of the non-uniform B-Splines and is also capable of 
exact representation of conic sections (circles, parabolas etc.).The general form is 
given below: 
The curve is described as rational since it is expressed as the ratio of two 
polynomials. wi defines a weight function. If wi is set to 1 we get back the non-
uniform B-Spline. Other values of the wi can be used to produce curves for straight 
line, parabola, ellipse and hyperbola. 
(c) SE/FIT/HUT 2002 62
Other Splines:
NURBS, etc.
„ There are any number of other types of splines.
„ Often we want a very general type of curve that will do whatever we want.
„ One such type of curve that has been very successful is the NURBS.
„ NURBS = Non-Uniform Rational B-Spline.
„ A NURBS is defined using rational functions.
• A rational function is a polynomial divided by a polynomial.
„ Control points can be given weights, so some are more important than others.
„ NURBS curves (and surfaces) are built into GLU, but can be rather complex to use.
„ One important issue when defining curves and surfaces:
„ In advanced rendering the technique of ray tracing is often used.
„ In ray tracing, we determine the color of a pixel by tracing a ray of light backward from 
the viewer’s eye, through the pixel, and we see where the ray came from.
„ In order to do ray tracing efficiently, we must be able to test quickly whether a 
particular ray hits a particular object and, if so, where.
„ Types of surfaces in which this test can be done quickly will be more useful in 3-D 
graphics.
(c) SE/FIT/HUT 2002 63
Tính chất cả đường cong đa thức
„ Tham biến – parametric sử dụng tham biến ngoài để biểu diễn cho các 
tham biến trong
„ Độ mượt - smooth. Với đường cong Hermite and Bézier tính liên tục 
continuity của đường cong hay đạo hàm bậc 1-first derivative tại các điểm 
kiểm soát-control point. Với B-splines tính liên tục trên đạo hàm bậc 2 
second derivative hay độ cong được đảm bảo curvature. 
„ Độ biến đổi -"variation diminishing." đường cong ít bị khuếch đại sai 
số bởi các điểm kiểm soát hay tính nhấp nhô của đường cong hạn chế -
oscillate. 
„ Ví dụ Bézier curve, for instance, lies within the convex hull (polygon 
envelope) of the set of control points. 
„ Điêm kiểm soát cục bộ-local control. đường cong bị ảnh hưởng mạnh 
nhất với chính các điểm kiểm soát gần chúng nhất.
(c) SE/FIT/HUT 2002 64
How to Choose a Spline
„ Hermite curves are good for single segments where you know the 
parametric derivative or want easy control of it
„ Bezier curves are good for single segments or patches where a user 
controls the points
„ B-splines are good for large continuous curves and surfaces
„ NURBS are the most general, and are good when that generality is useful, 
or when conic sections must be accurately represented (CAD)