Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương 2: Định thức

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH - HK2 - NĂM 2015-2016
Chương 2
ĐỊNH THỨC
lvluyen@hcmus.edu.vn
∼luyen/dsb1
FB: fb.com/daisob1
Đại học Khoa Học Tự Nhiên Tp. Hồ Chí Minh
lvluyen@hcmus.edu.vn Chương 2. Định thức 08/03/2016 1/39
Nội dung
Chương 2. ĐỊNH THỨC
1. Định nghĩa và các tính chất
2. Định thức và ma trận khả nghịch
3. Ứng dụng định thức để giải hệ PTTT
lvluyen@hcmus.edu.vn Chương 2. Định thức 08/03/2016 2/39
2.1. Định nghĩa và các tính chất
1 Định nghĩa
2 Quy tắc Sarrus
3 Khai triển định thức theo dòng và cột
4 Định thức và các phép biến đổi sơ cấp
lvluyen@hcmus.edu.vn Chương 2. Định thức 08/03/2016 3/39
2.1.1. Định nghĩa
Định nghĩa. Cho A là ma trận vuông cấp n. Ta gọi ma trận A(i|j) là
ma trận có được từ A bằng cách xóa đi dòng i và cột j của A. Rõ
ràng ma trận A(i|j) có cấp là n− 1.
Ví dụ. Cho A =

1 2 3 2
3 4 2 5
6 7 1 3
9 2 10 4
. Tìm ma trận A(1|2) và A(2|3)?
Giải.
A(1|2) =
3 2 56 1 3
9 10 4
; A(2|3) =
1 2 26 7 3
9 2 4
.
lvluyen@hcmus.edu.vn Chương 2. Định thức 08/03/2016 4/39
Định nghĩa. Cho A = (aij)n×n ∈Mn(R). Định thức của ma trận A,
được ký hiệu là detA hay |A| là một số thực được xác định bằng quy
nạp theo n như sau:
• Nếu n = 1, nghĩa là A = (a), thì |A| = a.
• Nếu n = 2, nghĩa là A =
(
a b
c d
)
, thì |A| = ad− bc.
• Nếu n > 2, nghĩa là A =

a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
. . . . . . . . . . . . . . . .
an1 an2 . . . ann
, thì
|A| dòng 1====
n∑
j=1
a1j(−1)1+j |A(1|j)|
==== a11
∣∣A(1|1)∣∣− a12∣∣A(1|2)∣∣+ · · ·+ a1n(−1)1+n∣∣A(1|n)∣∣.
lvluyen@hcmus.edu.vn Chương 2. Định thức 08/03/2016 5/39
Ví dụ. Cho A =
(
4 −2
3 5
)
. Khi đó |A| = 4.5− (−2).3 = 26.
Ví dụ. Tính định thức của ma trận
A =
1 2 −32 3 0
3 2 4
.
Giải.
|A| dòng 1==== 1(−1)1+1
∣∣∣∣3 02 4
∣∣∣∣+ 2(−1)1+2 ∣∣∣∣2 03 4
∣∣∣∣+ (−3)(−1)1+3 ∣∣∣∣2 33 2
∣∣∣∣
==== 12− 16 + 15 = 11.
lvluyen@hcmus.edu.vn Chương 2. Định thức 08/03/2016 6/39
2.1.2. Quy tắc Sarrus (n = 3)
Cho A =
a11 a12 a13a21 a22 a23
a31 a32 a33
. Theo định nghĩa của định thức, ta có
|A| = a11
∣∣∣∣a22 a23a32 a33
∣∣∣∣− a12 ∣∣∣∣a21 a23a31 a33
∣∣∣∣+ a13 ∣∣∣∣a21 a22a31 a32
∣∣∣∣
= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32
− a13a22a31 − a11a23a32 − a12a21a33.
Từ đây ta suy ra công thức Sarrus dựa vào sơ đồ sau:
lvluyen@hcmus.edu.vn Chương 2. Định thức 08/03/2016 7/39
|A| = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32
−(a13a22a31 + a11a23a32 + a12a21a33).
(Tổng ba đường chéo đỏ - tổng ba đường chéo xanh)
Ví dụ.∣∣∣∣∣∣
1 2 3
4 2 1
3 1 5
∣∣∣∣∣∣ = (1.2.5 + 2.1.3 + 3.4.1)− (3.2.3 + 1.1.1 + 2.4.5) = −31.
lvluyen@hcmus.edu.vn Chương 2. Định thức 08/03/2016 8/39
2.1.3. Khai triển định thức theo dòng và cột
Định nghĩa. Cho A = (aij)n×n ∈Mn(R). Với mỗi i, j ∈ 1, n, ta gọi
cij = (−1)i+jdetA(i|j)
là phần bù đại số của hệ số aij .
Ví dụ. Cho A =
1 1 12 3 1
3 4 0
. Tìm phần bù đại số của a12 và a31?
Giải.
c12 = (−1)1+2
∣∣∣∣ 2 13 0
∣∣∣∣ = 3; c31 = (−1)3+1 ∣∣∣∣ 1 13 1
∣∣∣∣ = −2.
lvluyen@hcmus.edu.vn Chương 2. Định thức 08/03/2016 9/39
Định lý. Cho A = (aij)n×n ∈Mn(R). Với mỗi i, j ∈ 1, n, gọi cij là
phần bù đại số của hệ số aij . Ta có công thức khai triển |A|
• theo dòng i: |A| =
n∑
k=1
aikcik.
• theo cột j: |A| =
n∑
k=1
akjckj .
Nhận xét.
|A| dòng i====
n∑
k=1
aik(−1)i+k|A(i|k)|
cột j
====
n∑
k=1
akj(−1)k+j |A(k|j)|
Ví dụ. Tính định thức của A =
3 −1 35 2 2
4 1 0
theo dòng 2 và cột 3.
lvluyen@hcmus.edu.vn Chương 2. Định thức 08/03/2016 10/39
A =
3 −1 35 2 2
4 1 0

Giải.
|A| dòng 2==== 5(−1)2+1
∣∣∣∣−1 31 0
∣∣∣∣+ 2(−1)2+2 ∣∣∣∣3 34 0
∣∣∣∣+ 2(−1)2+3 ∣∣∣∣3 −14 1
∣∣∣∣
==== 15− 24− 14 = −23.
|A| cột 3==== 3(−1)1+3
∣∣∣∣5 24 1
∣∣∣∣+ 2(−1)2+3 ∣∣∣∣3 −14 1
∣∣∣∣+ 0(−1)3+3 ∣∣∣∣3 −15 2
∣∣∣∣
==== − 9− 14 + 0 = −23.
Lưu ý. Trong việc tính định thức của ma trận ta nên chọn dòng hay
cột có chứa nhiều số 0 để khai triển.
lvluyen@hcmus.edu.vn Chương 2. Định thức 08/03/2016 11/39
Ví dụ. Tính định thức của ma trận A =

2 −3 3 2
3 0 1 4
−2 0 0 2
4 0 −1 5
.
Giải. |A| cột 2==== −3(−1)1+2
∣∣∣∣∣∣
3 1 4
−2 0 2
4 −1 5
∣∣∣∣∣∣ = 3.32 = 96.
Ví dụ.(tự làm) Tính định thức của ma trận
B =

1 2 −1 10 9
0 2 3 −8 4
0 0 −3 5 4
0 0 0 2 7
0 0 0 0 4
.
Đáp án. |B| = −48
lvluyen@hcmus.edu.vn Chương 2. Định thức 08/03/2016 12/39
Mệnh đề. Cho A ∈Mn(R). Khi đó:
(i) |A>| = |A|.
(ii) Nếu A có một dòng hay một cột bằng 0 thì |A| = 0.
(iii) Nếu A là một ma trận tam giác thì |A| bằng tích các phần tử trên
đường chéo, nghĩa là
|A| = a11.a22 . . . ann.
Ví dụ. Tính định thức các ma trận sau:
a)
−1 0 43 0 4
4 0 −2
; b)
2 3 40 −3 9
0 0 4
; c)
−2 0 03 3 0
9 8 −5
.
Đáp án. |A| = 0; |B| = 2.(−3).4 = −24; |C| = (−2).3.(−5) = 30.
Định lý. Nếu A,B ∈Mn(R) thì |AB| = |A||B|.
lvluyen@hcmus.edu.vn Chương 2. Định thức 08/03/2016 13/39
2.1.4. Định thức và các phép biến đổi sơ cấp
Định lý. Cho A,A′ ∈Mn(R). Khi đó
(i) Nếu A
di↔dj−−−−→
i 6=j
A′ thì |A′| = −|A|;
(ii) Nếu A αdi−−→ A′ thì |A′| = α|A|;
(iii) Nếu A
di+βdj−−−−−→
i 6=j
A′ thì |A′| = |A|.
Lưu ý. Vì |A>| = |A| nên trong quá trình tính định thức ta có thể sử
dụng các phép biến đổi sơ cấp trên cột.
Ví dụ. Tính định thức của ma trận A =
1 3 72 6 −8
5 −12 4
.
lvluyen@hcmus.edu.vn Chương 2. Định thức 08/03/2016 14/39
Giải.
∣∣∣∣∣∣
1 3 7
2 6 −8
5 −12 4
∣∣∣∣∣∣
1
2
d2
====== 2
∣∣∣∣∣∣
1 3 7
1 3 −4
5 −12 4
∣∣∣∣∣∣
1
3
c2
====== 2.3
∣∣∣∣∣∣
1 1 7
1 1 −4
5 −4 4
∣∣∣∣∣∣
d2−d1====== 6
∣∣∣∣∣∣
1 1 7
0 0 −11
5 −4 4
∣∣∣∣∣∣
dòng 2
====== 6(−11)(−1)2+3
∣∣∣∣1 15 −4
∣∣∣∣ = −594.
lvluyen@hcmus.edu.vn Chương 2. Định thức 08/03/2016 15/39
Ví dụ.∣∣∣∣∣∣∣∣
2 3 −4 5
3 −5 2 4
5 4 3 −2
−4 2 5 3
∣∣∣∣∣∣∣∣
d2−d1
d4+2d1
======
d1−2d2
d3−5d2
∣∣∣∣∣∣∣∣
0 19 −16 7
1 −8 6 −1
0 44 −27 3
0 8 −3 13
∣∣∣∣∣∣∣∣
cột 1
======1.(−1)2+1
∣∣∣∣∣∣
19 −16 7
44 −27 3
8 −3 13
∣∣∣∣∣∣
d3−4d2
d2−3d3
======
d1−7d3
−
∣∣∣∣∣∣
1195 −751 0
548 −342 0
−168 105 1
∣∣∣∣∣∣
cột 1
======−
∣∣∣∣1195 −751548 −342
∣∣∣∣ = −2858.
lvluyen@hcmus.edu.vn Chương 2. Định thức 08/03/2016 16/39
Ví dụ.∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1
1
2
1
3
1
2
1
3
1
4
1
3
1
4
1
5
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
6d1
12d2
======
60d3
1
6
.
1
12
.
1
60
∣∣∣∣∣∣
6 3 2
6 4 3
20 15 12
∣∣∣∣∣∣
c1−2c2
c2−c3
======
c3−2c2
1
4320
∣∣∣∣∣∣
0 1 0
−2 1 1
−10 3 6
∣∣∣∣∣∣
dòng 1
====== − 1
4320
∣∣∣∣ −2 1−10 6
∣∣∣∣ = 12160 .
Nhận xét. Trong quá trình tính định thức, phép biến đổi sơ cấp loại 3
được khuyến khích dùng bởi vì nó không làm thay đổi giá trị định thức.
lvluyen@hcmus.edu.vn Chương 2. Định thức 08/03/2016 17/39
Ví dụ.(tự làm) Tính định thức các ma trận sau
A =

1 1 2 −1
2 3 5 0
3 2 6 −2
−2 1 3 1
; B =

3 2 −1 1
2 3 −2 0
−3 1 4 −2
4 1 3 1
.
Đáp án. |A| = −19; |B| = −30.
Ví dụ.(tự làm) Tính định thức các ma trận sau
C =

13 18 6 −1 7
4 7 3 4 1
7 9 3 −1 4
6 9 3 −2 3
6 3 1 −2 3
; D =

3 4 2 1 3
2 −3 5 1 8
−4 −7 2 −2 4
3 −5 4 3 5
8 6 −4 1 2

Đáp án. |C| = 24; |D| = −174.
lvluyen@hcmus.edu.vn Chương 2. Định thức 08/03/2016 18/39
Ví dụ.(tự làm) Tính định thức các ma trận sau
a) A =
(
2 5
3 −6
)
;
b) B =
2 3 23 2 5
2 −1 2
;
c) C =

3 2 3 4
2 1 3 2
1 2 1 2
−3 4 2 1
; D =

1 1 2 −1
2 3 5 0
3 2 6 −2
−2 1 3 1
.
d) C2D>
Đáp án. |A| = −27; |B| = 16; |C| = −18; |D| = −19;
|C2D>| = |C2||D>| = |C|2|D| = −6156.
lvluyen@hcmus.edu.vn Chương 2. Định thức 08/03/2016 19/39
2.2. Định thức và ma trận khả nghịch
1 Ma trận phụ hợp
2 Nhận diện ma trận khả nghịch
lvluyen@hcmus.edu.vn Chương 2. Định thức 08/03/2016 20/39
2.2.1. Ma trận phụ hợp
Định nghĩa. Cho A = (aij) ∈Mn(R). Đặt C = (cij) với
cij = (−1)i+j|A(i|j)|
là phần bù đại số của aij . Ta gọi ma trận chuyển vị C> của C là ma
trận phụ hợp của A, ký hiệu là adj(A).
Ví dụ. Cho A =
2 3 12 −1 2
3 4 −2
. Tìm ma trận phụ hợp của A?
Giải. Ta có C =
−6 10 1110 −7 1
7 −2 −8
⇒ adj(A) =
−6 10 710 −7 −2
11 1 −8
.
lvluyen@hcmus.edu.vn Chương 2. Định thức 08/03/2016 21/39
2.2.2. Nhận diện ma trận khả nghịch
Định lý. Ma trận vuông A khả nghịch khi và chỉ khi |A| 6= 0. Hơn nữa,
A−1 =
1
|A|adj(A).
Ví dụ. Cho A =
1 1 12 3 1
3 4 0
. Hỏi A có khả nghịch hay không? Nếu có,
hãy tìm ma trận nghịch đảo của A.
Giải. Ta có |A| = −2 6= 0. Suy ra A khả nghịch.
c11 = (−1)1+1
∣∣∣∣3 14 0
∣∣∣∣ = −4; c12 = (−1)1+2 ∣∣∣∣2 13 0
∣∣∣∣ = 3;
lvluyen@hcmus.edu.vn Chương 2. Định thức 08/03/2016 22/39
c13 = (−1)1+3
∣∣∣∣2 33 4
∣∣∣∣ = −1; c21 = (−1)2+1 ∣∣∣∣1 14 0
∣∣∣∣ = 4;
c22 = −3; c23 = −1; c31 = −2; c32 = 1; c33 = 1.
Suy ra
C =
−4 3 −14 −3 −1
−2 1 1
.
Do đó
adj(A) = C> =
−4 4 −23 −3 1
−1 −1 1
.
Như vậy
A−1 =
1
|A|adj(A) =
1
−2
−4 4 −23 −3 1
−1 −1 1
.
lvluyen@hcmus.edu.vn Chương 2. Định thức 08/03/2016 23/39
Hệ quả. Ma trận A =
(
a b
c d
)
khả nghịch khi và chỉ khi
ad− bc 6= 0. Khi đó
A−1 =
1
ad− bc
(
d −b
−c a
)
.
Ví dụ. Cho A =
(
2 4
3 5
)
. Suy ra A−1 =
1
−2
(
5 −4
−3 2
)
.
Ví dụ.(tự làm) Cho A =
1 2 12 3 −1
3 5 2
. Hỏi A có khả nghịch hay
không? Nếu có, hãy tìm ma trận nghịch đảo của A bằng phương pháp
định thức.
Đáp án. A−1 = −1
2
 11 1 −5−7 −1 3
1 1 −1
.
lvluyen@hcmus.edu.vn Chương 2. Định thức 08/03/2016 24/39
Ví dụ. Tìm tất cả các giá trị của m để ma trận sau khả nghịch
a)A =

1 1 2 1
2 1 5 3
5 0 7 m
−1 2 3 −3
; b)B =
1 2 12 3 m
3 2 −1
1 1 12 3 2
5 7 5
.
Hướng dẫn. a) Ta có |A| = 8m− 72. Do đó A khả nghịch khi
8m− 72 6= 0⇔ m 6= 9.
b) Ta có |B| = (4m− 4)(0) = 0. Do đó B không khả nghịch với mọi m.
Ví dụ.(tự làm) Cho A =
1 1 12 3 1
3 3 5
. Tính |A−1|; |3A|; |adj(A)|.
Đáp án. |A−1| = 1
2
; |3A| = 54; |adj(A)| = 4.
lvluyen@hcmus.edu.vn Chương 2. Định thức 08/03/2016 25/39
Mệnh đề. Cho A ∈Mn(R) và A khả nghịch. Khi đó
(i) |A−1| = 1|A| ;
(ii) |αA| = αn|A|;
(iii) |adj(A)| = |A|n−1.
Ví dụ. Cho A,B ∈M3(R) và |A| = 3, |B| = −2. Tính
|(2AB)−1| và |adj(AB)|?
Giải.
• |(2AB)−1| = 1|2AB| =
1
23|AB| =
1
8|A||B| =
1
8.(3).(−2) = −
1
48
;
• |adj(AB)| = |AB|3−1 = (|A||B|)2 = (3.(−2))2 = 36.
lvluyen@hcmus.edu.vn Chương 2. Định thức 08/03/2016 26/39
2.3. Ứng dụng định thức để giải hệ PTTT
1 Quy tắc Cramer
2 Biện luận và giải hệ PTTT bằng Cramer
lvluyen@hcmus.edu.vn Chương 2. Định thức 08/03/2016 27/39
2.3.1. Quy tắc Cramer
Định lý. Cho hệ phương trình tuyến tính AX = B (∗) gồm n ẩn và n
phương trình. Đặt
∆ = detA; ∆i = det(Ai), ∀i ∈ 1, n,
trong đó Ai là ma trận có từ A bằng cách thay cột i bằng cột B. Khi
đó:
(i) Nếu ∆ 6= 0 thì (∗) có một nghiệm duy nhất là:
xi =
∆i
∆
, i ∈ 1, n.
(ii) Nếu ∆ = 0 và ∆i 6= 0 với một i nào đó thì (∗) vô nghiệm.
(iii) Nếu ∆ = 0 và ∆i = 0 ∀ ∈ 1, n thì hệ vô nghiệm hoặc vô số
nghiệm. Trong trường hợp này ta phải dùng phương pháp Gauss
hoặc Gauss-Jordan để giải (∗).
lvluyen@hcmus.edu.vn Chương 2. Định thức 08/03/2016 28/39
Ví dụ. Giải phương trình sau bằng quy tắc Cramer
x − y − 2z = −3;
2x − y + z = 1;
x + y + z = 4.
(1)
Giải. Ta có
∆ = |A| =
∣∣∣∣∣∣
1 −1 −2
2 −1 1
1 1 1
∣∣∣∣∣∣ = −7; ∆1 = |A1| =
∣∣∣∣∣∣
−3 −1 −2
1 −1 1
4 1 1
∣∣∣∣∣∣ = −7;
∆2 = |A2| =
∣∣∣∣∣∣
1 −3 −2
2 1 1
1 4 1
∣∣∣∣∣∣ = −14; ∆3 = |A3| =
∣∣∣∣∣∣
1 −1 −3
2 −1 1
1 1 4
∣∣∣∣∣∣ = −7. Vì
∆ 6= 0 nên hệ (1) có nghiệm duy nhất
x =
∆1
∆
= 1; y =
∆2
∆
= 2; z =
∆3
∆
= 1.
lvluyen@hcmus.edu.vn Chương 2. Định thức 08/03/2016 29/39
Ví dụ. Giải hệ phương trình sau bằng quy tắc Cramer
x + y − 2z = 4;
2x + 3y + 3z = 3;
5x + 7y + 4z = 5.
(2)
Giải. Ta có
∆ = |A| =
∣∣∣∣∣∣
1 1 −2
2 3 3
5 7 4
∣∣∣∣∣∣ = 0; ∆1 = |A1| =
∣∣∣∣∣∣
4 1 −2
3 3 3
5 7 4
∣∣∣∣∣∣ = −45.
Vì ∆ = 0 và có ∆1 6= 0 nên hệ phương trình vô nghiệm.
lvluyen@hcmus.edu.vn Chương 2. Định thức 08/03/2016 30/39
Ví dụ. Giải hệ phương trình sau bằng quy tắc Cramer
x + y − 2z = 4;
2x + 3y + 3z = 3;
5x + 7y + 4z = 10.
(3)
Giải. Ta có
∆ = |A| =
∣∣∣∣∣∣
1 1 −2
2 3 3
5 7 4
∣∣∣∣∣∣ = 0; ∆1 = |A1| =
∣∣∣∣∣∣
4 1 −2
3 3 3
10 7 4
∣∣∣∣∣∣ = 0;
∆2 = |A2| =
∣∣∣∣∣∣
1 4 −2
2 3 3
5 10 4
∣∣∣∣∣∣ = 0; ∆3 = |A3| =
∣∣∣∣∣∣
1 1 4
2 3 3
5 7 10
∣∣∣∣∣∣ = 0.
Vì ∆ = ∆1 = ∆2 = ∆3 = 0 nên không kết luận được nghiệm của hệ.
Do đó ta phải dùng Gauss hoặc Gauss-Jordan để giải.
lvluyen@hcmus.edu.vn Chương 2. Định thức 08/03/2016 31/39
Ma trận hóa hệ phương trình tuyến tính, ta có
A˜ =
1 1 −2 42 3 3 3
5 7 4 10

A˜
d2−2d1−−−−−→
d3−5d1
1 1 −2 40 1 7 −5
0 2 14 −10
 d1−d2−−−−−→
d3−2d2
1 0 −9 90 1 7 −5
0 0 0 0

Ta có z là ẩn tự do. Như vậy nghiệm của hệ (3) là
x = 9 + 9t;
y = −5− 7t;
z = t ∈ R.
lvluyen@hcmus.edu.vn Chương 2. Định thức 08/03/2016 32/39
2.3.2. Biện luận và giải hệ PTTT bằng Cramer
Ví dụ. Giải và biện luận hệ phương trình sau theo tham số m ∈ R:
x1 + 2x2 + 2x3 = 0;
−2x1 + (m− 2)x2 + (m− 5)x3 = 2;
mx1 + x2 + (m+ 1)x3 = −2.
Giải. Ta có
∆ = |A| =
∣∣∣∣∣∣
1 2 2
−2 m− 2 m− 5
m 1 m+ 1
∣∣∣∣∣∣ = m2 − 4m+ 3 = (m− 1)(m− 3);
∆1 = |A1| =
∣∣∣∣∣∣
0 2 2
2 m− 2 m− 5
−2 1 m+ 1
∣∣∣∣∣∣ = −4m+ 12;
lvluyen@hcmus.edu.vn Chương 2. Định thức 08/03/2016 33/39
∆2 = |A2| =
∣∣∣∣∣∣
1 0 2
−2 2 m− 5
m −2 m+ 1
∣∣∣∣∣∣ = 0;
∆3 = |A3| =
∣∣∣∣∣∣
1 2 0
−2 m− 2 2
m 1 −2
∣∣∣∣∣∣ = 2m− 6 = 2(m− 3).
Biện luận:
. Nếu ∆ 6= 0⇔
{
m 6= 1;
m 6= 3. Khi đó hệ có nghiệm duy nhất là
(x1, x2, x3) =
( −4
m− 1 , 0,
2
m− 1
)
.
. Nếu ∆ = 0⇔
[
m = 1
m = 3
• Với m = 1, ta có ∆1 = 8 6= 0 nên hệ vô nghiệm.
lvluyen@hcmus.edu.vn Chương 2. Định thức 08/03/2016 34/39
• Với m = 3, ta có ∆1 = ∆2 = ∆3 = 0. Khi đó hệ phương trình là:
A˜ =
 1 2 2 0−2 1 −2 2
3 1 4 −2
 d2+2d1−−−−−→
d3−3d1
1 2 2 00 5 2 2
0 −5 −2 −2

d3+d2
− 1
5
d2−−−−−→
d1−2d2
1 0 6/5 −4/50 1 2/5 2/5
0 0 0 0

Ta có x3 là ẩn tự do. Suy ra nghiệm của hệ là
(x1, x2, x3) =
(
− 6
5
t− 4
5
,−2
5
t+
2
5
, t
)
với t ∈ R.
Ví dụ. Giải và biện luận hệ phương trình sau theo tham số m ∈ R:
(m− 7)x + 12y − 6z = m;
−10x + (m+ 19)y − 10z = 2m;
−12x + 24y + (m− 13)z = 0.
lvluyen@hcmus.edu.vn Chương 2. Định thức 08/03/2016 35/39
Giải. ∆ =
∣∣∣∣∣∣
m− 7 12 −6
−10 m+ 19 −10
−12 24 m− 13
∣∣∣∣∣∣ = (m− 1)2(m+ 1);
∆1 =
∣∣∣∣∣∣
m 12 −6
2m m+ 19 −10
0 24 m− 13
∣∣∣∣∣∣ = m(m− 1)(m− 17);
∆2 = 2m(m− 1)(m− 14); ∆3 = −36m(m− 1).
Biện luận:
. Nếu ∆ 6= 0⇔ m 6= −1 và m 6= 1. Khi đó hệ có nghiệm duy nhất là
x =
∆1
∆
=
m(m2 − 18m+ 17)
(m− 1)(m2 − 1) =
m(m− 17)
m2 − 1 ;
y =
∆2
∆
=
m(m2 − 15m+ 14)
(m− 1)(m2 − 1) =
m(m− 14)
m2 − 1 ;
z =
∆3
∆
=
−36m(m− 1)
(m− 1)(m2 − 1) =
−36m
m2 − 1 .
lvluyen@hcmus.edu.vn Chương 2. Định thức 08/03/2016 36/39
. Nếu ∆ = 0⇔
[
m = −1;
m = 1.
• Với m = −1, ta có ∆1 = −36 6= 0 nên hệ vô nghiệm.
• Với m = 1, ta có ∆1 = ∆2 = ∆3 = 0. Hệ trở thành
−6x + 12y − 6z = 1;
−10x + 20y − 10z = 2;
−12x + 24y − 12z = 0.
Ma trận hóa hệ phương trình ta có
A˜ =
 −6 12 −6 1−10 20 −10 2
−12 24 −12 0
 d3−2d1−−−−−→
 −6 12 −6 1−10 20 −10 2
0 0 0 −2
.
Suy ra hệ vô nghiệm.
lvluyen@hcmus.edu.vn Chương 2. Định thức 08/03/2016 37/39
Ví dụ.(tự làm) Giải và biện luận hệ phương trình sau
mx1 + x2 + x3 = 1;
x1 + mx2 + x3 = 1;
x1 + x2 + mx3 = 1.
Hướng dẫn.
∆ = m3 − 3m+ 2 = (m− 1)2(m+ 2);
∆1 = ∆2 = ∆3 = m
2 − 2m+ 1 = (m− 1)2.
Biện luận:
. Nếu ∆ 6= 0⇔
{
m 6= 1
m 6= −2. Khi đó hệ có nghiệm duy nhất là
(x1, x2, x3) =
( 1
m+ 2
,
1
m+ 2
,
1
m+ 2
)
.
lvluyen@hcmus.edu.vn Chương 2. Định thức 08/03/2016 38/39
. Nếu ∆ = 0⇔
[
m = 1
m = −2
• Với m = 1, ta có ∆1 = ∆2 = ∆3 = 0. Hệ trở thành
x + y + z = 1;
x + y + z = 1;
x + y + z = 1.
Giải hệ bằng Gauss hoặc Gauss-Jordan, ta có hệ vô số nghiệm
(x1, x2, x3) = (1− t− s, t, s) với t, s ∈ R
• m = −2, ta có ∆1 = 9 6= 0. Suy ra hệ vô nghiệm.
lvluyen@hcmus.edu.vn Chương 2. Định thức 08/03/2016 39/39