Bài giảng Đại số tuyến tính - Bài 6: Không gian vector

CHƯƠNG 3 
KHÔNG GIAN VECTOR 
§6: Nội dung chương 3 
KHÔNG GIAN VECTOR 
KHÔNG GIAN VECTOR CON 
SỰ ĐỘC LẬP VÀ PHỤ THUỘC TUYẾN TÍNH 
HẠNG CỦA MỘT HỆ VECTOR 
CƠ SỞ, SỐ CHIỀU CỦA KGVT 
TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN VECTOR 
§6: Kh ông gian vector 
§6: Kh ông gian vector 
§6: Kh ông gian vector 
§6: Kh ông gian vector 
§6: Kh ông gian vector 
§6: Kh ông gian vector 
§6: Kh ông gian vector 
§6: Kh ông gian vector 
§6: Kh ông gian vector 
§6: Kh ông gian vector 
§6: Kh ông gian vector 
§6: Kh ông gian vector 
§6: Kh ông gian vector 
§6: Kh ông gian vector 
§6: Kh ông gian vector 
§6: Kh ông gian vector 
§6: Kh ông gian vector 
§6: Kh ông gian vector 
§6: Kh ông gian vector 
§6: Kh ông gian vector 
§6: Kh ông gian vector 
§6: Kh ông gian vector 
§6: Kh ông gian vector 
Ngoài ra, ta còn có các tính chất sau: 
+) Trong V có luật giản ước: 
+) , ta có: 
+) 
+) 
§6: Kh ông gian vector con 
§6: Không gian vector con 
Tập và chính là các không gian vector con của V. 
§6: Không gian vector con 
§6: Không gian vector con 
§6: Kh ông gian vector con 
§6: Kh ông gian vector con 
§6: Kh ông gian vector con 
§6: Kh ông gian vector con 
= 0 
§6: Kh ông gian vector con 
= 0 
§6: Kh ông gian vector con 
Bài Tập: Kiểm tra các tập sau đây có là không gian vector con của các không gian vector tương ứng không? 
§6: Kh ông gian vector con 
§6: Kh ông gian vector con 
§6: Sự độc lập và phụ thuộc tuyến tính 
§6: Sự độc lập và phụ thuộc tuyến tính 
§6: Sự độc lập và phụ thuộc tuyến tính 
Ví dụ: Cho 
Ta có: 2 (1,-2) + (3,1) = (5,-3) 
hay 
Vậy là tổ hợp tuyến tính của hệ 
hay biểu thị tuyến tính được qua hệ 
§6: Sự độc lập và phụ thuộc tuyến tính 
§6: Sự độc lập và phụ thuộc tuyến tính 
Nhận xét: 
§6: Sự độc lập và phụ thuộc tuyến tính 
§6: Sự độc lập và phụ thuộc tuyến tính 
§6: Sự độc lập và phụ thuộc tuyến tính 
§6: Sự độc lập và phụ thuộc tuyến tính 
§6: Sự độc lập và phụ thuộc tuyến tính 
§6: Sự độc lập và phụ thuộc tuyến tính 
§6: Sự độc lập và phụ thuộc tuyến tính 
§6: Sự độc lập và phụ thuộc tuyến tính 
§6: Sự độc lập và phụ thuộc tuyến tính 
§6: Sự độc lập và phụ thuộc tuyến tính 
§6: Sự độc lập và phụ thuộc tuyến tính 
§6: Sự độc lập và phụ thuộc tuyến tính 
§6: Sự độc lập và phụ thuộc tuyến tính 
§6: Sự độc lập và phụ thuộc tuyến tính 
§6: Sự độc lập và phụ thuộc tuyến tính 
§6: Sự độc lập và phụ thuộc tuyến tính 
§6: Sự độc lập và phụ thuộc tuyến tính 
§6: Sự độc lập và phụ thuộc tuyến tính 
§6: Sự độc lập và phụ thuộc tuyến tính 
§6: Sự độc lập và phụ thuộc tuyến tính 
§6: Sự độc lập và phụ thuộc tuyến tính 
§6: Sự độc lập và phụ thuộc tuyến tính 
 Hệ chỉ có nghiệm tầm thường: 
Ví dụ: Xét sự độc lập và phụ thuộc tuyến tính của hệ vector sau 
§6: Sự độc lập và phụ thuộc tuyến tính 
Xét đẳng thức: 
§6: Sự độc lập và phụ thuộc tuyến tính 
§6: Sự độc lập và phụ thuộc tuyến tính 
 Hệ chỉ có nghiệm tầm thường. Vậy hệ vectơ đã cho 
độc lập tuyến tính. 
§6: Sự độc lập và phụ thuộc tuyến tính 
 Nhận xét: 
 §6: Hạng của một hệ vectơ 
 §6: Hạng của một hệ vectơ 
 §6: Hạng của một hệ vectơ 
Quy ước: 
 §6: Hạng của một hệ vectơ 
Tính chất: Cho hệ vectơ S= trong 
 +) Nếu r(S) = r thì mọi vectơ của S đều biểu thị tuyến tính qua hệ con bất kì (của S) có r vectơ đltt. 
+) Nếu thì r(S) = r(S’), trong đó 
+) Nếu mọi vectơ của hệ đều biểu thị tuyến tính qua các vectơ của hệ thì 
§6: Hạng của một hệ vectơ 
Giải: (Cách 1 – dùng định nghĩa) 
 không tỉ lệ nên độc lập tt. 
§6: Hạng của một hệ vectơ 
, hệ vô nghiệm. 
§6: Hạng của một hệ vectơ 
§6: Hạng của một hệ vectơ 
§6: Hạng của một hệ vectơ 
Tính hạng của một hệ vectơ theo hạng của ma trận 
Trong cho hệ vectơ : 
Từ hệ vectơ này ta lập ma trận: 
§6: Hạng của một hệ vectơ 
Tính hạng của một hệ vectơ theo hạng của ma trận 
Từ hệ vectơ này ta lập ma trận: 
Định lý: 
Hạng của ma trận A bằng hạng của hệ vectơ dòng, bằng hạng của hệ vectơ cột của A. 
§6: Hạng của một hệ vectơ 
Tính hạng của một hệ vectơ theo hạng của ma trận 
Hệ quả: Trong cho hệ vectơ . Ta có các khẳng định sau: 
1) 	 - đltt 
2) - pttt 
3) 
 -đltt 
 4) 
	 - pttt 
§6: Hạng của một hệ vectơ 
Tính hạng của một hệ vectơ theo hạng của ma trận 
Chú ý: 
 Từ định lý suy ra hạng của mọi hệ vectơ trong đều 
nhỏ hơn hay bằng n. Do đó, từ hệ quả 1, ta có: Mọi hệ 
trong có nhiều hơn n vectơ đều phụ thuộc thuyến tính. 
§6: Hạng của một hệ vectơ 
Giải: (Cách 2) 
§6: Hạng của một hệ vectơ 
Ví dụ: 
a) 
	Vậy hệ 	 đltt. 
§6: Hạng của một hệ vectơ 
Ví dụ: 
b) 
	Vậy hệ 	 pttt. 
§6: Cơ sở và số chiều 
§6: Cơ sở và số chiều 
§6: Cơ sở và số chiều 
§6: Cơ sở và số chiều 
§6: Cơ sở và số chiều 
§6: Cơ sở và số chiều 
§6: Cơ sở và số chiều 
§6: Cơ sở và số chiều 
§6: Cơ sở và số chiều 
Cơ sở này được gọi là cơ sở chính tắc của không gian vector . 
§6: Cơ sở và số chiều 
§6: Cơ sở và số chiều 
§6: Cơ sở và số chiều 
§6: Cơ sở và số chiều 
Cơ sở này được gọi là cơ sở chính tắc của không gian vector . 
§6: Cơ sở và số chiều 
§6: Cơ sở và số chiều 
§6: Cơ sở và số chiều 
§6: Cơ sở và số chiều 
§6: Cơ sở và số chiều 
Định lý: 
§6: Cơ sở và số chiều 
Cách tìm cơ sở của KG con sinh bởi một hệ vector: 
Ví dụ: Trong cho 
Tìm cơ sở 
Giải: 
	 và cơ sở gồm 2 vector (1,3,0,3), (0,-7,-1,-7). . 
§6: Cơ sở và số chiều 
Cách tìm cơ sở của KG con sinh bởi một hệ vector: 
Ví dụ: Trong cho 
Tìm cơ sở 
Giải: 
 và cơ sở gồm 3 vector . 
§6: Cơ sở và số chiều 
Quy ước: 
§6: Cơ sở và số chiều 
§6: Cơ sở và số chiều 
Định lý: Cho V là không gian vector n chiều. 
Khi đó: 
Hệ sinh có n vector là cơ sở. 
Hệ có n vector và độc lập tuyến tính là cơ sở. 
Định lý: 
§6: Cơ sở và số chiều 
Ví dụ: Chứng minh rằng hệ vector 
với 
là cơ sở của 
§6: Cơ sở và số chiều 
Định lý: 
§6: Tọa độ trong KGVT 
1. Tọa độ của một vector đối với một cơ sở 
§6: Tọa độ trong KGVT 
§6: Tọa độ trong KGVT 
Ta có: 
Vậy: 
§6: Tọa độ trong KGVT 
Ta có: 
Vậy: 
§6: Tọa độ trong KGVT 
Ta có: 
§6: Tọa độ trong KGVT 
Vậy: 
§6: Tọa độ trong KGVT 
2.Đổi cơ sở, đổi tọa độ. 
Giả sử trong KGVT n chiều V cho hai cơ sở 
và có các tọa độ 
a) Ma trận chuyển cơ sở 
Định nghĩa: Ma trận P thỏa mãn hệ thức: 
gọi là ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở A sang cơ sở B. 
Khi đó công thức (*) được gọi là công thức biến đổi tọa độ của vector x giữa 2 cơ sở A và B. 
§6: Tọa độ trong KGVT 
2.Đổi cơ sở, đổi tọa độ. 
a) Ma trận chuyển cơ sở 
Tìm ma trận P chuyển cơ sở từ A sang B: 
Biểu diễn tuyến tính mỗi vector của B đối với A 
Khi đó 
§6: Tọa độ trong KGVT 
2.Đổi cơ sở, đổi tọa độ. 
a) Ma trận chuyển cơ sở 
Khi đó 
§6: Tọa độ trong KGVT 
2.Đổi cơ sở, đổi tọa độ. 
b) Tính chất của ma trận chuyển cơ sở 
Định lý: Giả sử P là ma trận chuyển từ cơ sở A sang cơ sở B. Khi đó 
1) P khả nghịch 
2) là ma trận chuyển từ cơ sở B sang cơ sở A 
§6: Tọa độ trong KGVT 
2.Đổi cơ sở, đổi tọa độ. 
Ví dụ 
Trong cho 2 cở sở: E cơ sở chính tắc và 
a) Tìm ma trận chuyển từ E sang B 
b) Timg ma trận chuyển từ B sang E 
 c) Cho . Tìm 
§6: Tọa độ trong KGVT 
2.Đổi cơ sở, đổi tọa độ. 
Ví dụ. a) Ta có 
b) Do đó ma trận chuyển từ B sang E : 
§6: Cơ sở và số chiều 
CMR: hệ vector là cơ sở của , tìm tọa độ của vector x đối với cơ sở F. 
Trong KGVT cho các vector 
Bài tập: 
§6: Cơ sở và số chiều 
Tìm m để hệ vector là cơ sở của 
Trong KGVT cho các vector 
Bài tập: 
§6: Cơ sở và số chiều 
Tìm m để x là tổ hợp tuyến tính của hệ vector 
Trong KGVT cho các vector 
Bài tập: