Bài giảng Đại số tuyến tính - Bài 5: Hệ phương trình tuyến tính

CHƯƠNG 2 
HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 
§5: H ệ phương trình tuyến tính 
,(2.1) 
§5: H ệ phương trình tuyến tính 
§5: H ệ phương trình tuyến tính 
§5: H ệ phương trình tuyến tính 
Ví dụ: Cho hệ phương trình 
§5: H ệ phương trình tuyến tính 
§5: H ệ phương trình tuyến tính 
Ví dụ: Cho hệ phương trình 
§5: H ệ phương trình tuyến tính 
§5: H ệ phương trình tuyến tính 
Ví dụ: Cho hệ phương trình 
§5: H ệ phương trình tuyến tính 
§5: H ệ phương trình tuyến tính 
§5: H ệ phương trình tuyến tính 
Ví dụ: Cho hệ phương trình 
§5: H ệ phương trình tuyến tính 
§5: H ệ phương trình tuyến tính 
Ví dụ: 
§5: H ệ Grame 
§5: H ệ Grame 
§5: H ệ Grame 
§5: H ệ Grame 
§5: H ệ Grame 
§5: H ệ Grame 
Ví dụ: Giải hệ phương trình tuyến tính sau: 
§5: H ệ Grame 
§5: H ệ Grame 
§5: H ệ Grame 
§5: H ệ Grame 
B ài tập : Giải hệ phương trình sau: 
= -19 
= -29 
= -9 
= -8 
§5: H ệ Grame 
§5: Gi ải hệ PT bằng PP Gauss 
Các phép biến đổi tương đương hệ phương trình 
Nhân một số ( ) vào 2 vế của 1 PT của hệ. 
Đổi chỗ hai PT của hệ. 
Nhân một số ( ) vào một PT rồi cộng vào PT khác của hệ. 
§5: Gi ải hệ PT bằng PP Gauss 
Như vậy các phép biến đổi tương đương hệ PT chính là các phép BĐSC trên dòng của ma trận bổ sung tương ứng . 
§5: Gi ải hệ PT bằng PP Gauss 
Xét hệ phương trình tổng quát sau: 
§5: Gi ải hệ PT bằng PP Gauss 
Ta có ma trận bổ sung tương ứng 
§5: Gi ải hệ PT bằng PP Gauss 
§5: Gi ải hệ PT bằng PP Gauss 
Bằng các phép BĐSC chuyển ma trận bổ sung về dạng: 
§5: Gi ải hệ PT bằng PP Gauss 
Ma trận A’ tương ứng cho ta hệ PTTT 
§5: Gi ải hệ PT bằng PP Gauss 
Khi đó ta có: 
1. Nếu thì PT thứ (r +1) vô nghiệm suy ra hệ PT vô nghiệm. 
2. Nếu thì hệ có nghiệm: 
	 a. Nếu r = n (số ẩn) thì hệ PT có nghiệm duy nhất. 
	b. Nếu r < n (số ẩn) thì hệ PT có vô số nghiệm, phụ 	thuộc vào ( n – r) tham số. 
§5: Gi ải hệ PT bằng PP Gauss 
Khi r = n (số ẩn) thì hệ PT (II) viết dưới dạng: 
§5: Gi ải hệ PT bằng PP Gauss 
b. Khi r < n ta chuyển (n – r) ẩn sang vế phải của hệ PT ta được hệ PT sau: 
Ta xem các ẩn ở vế phải là các tham số, sau đó giải các ẩn còn lại theo các tham số đó. 
§5: Gi ải hệ PT bằng PP Gauss 
§5: Gi ải hệ PT bằng PP Gauss 
 . 
§5: Gi ải hệ PT bằng PP Gauss 
§5: Gi ải hệ PT bằng PP Gauss 
Vậy hệ phương trình 
§5: Gi ải hệ PT bằng PP Gauss 
§5: Gi ải hệ PT bằng PP Gauss 
§5: Gi ải hệ PT bằng PP Gauss 
sử dụng các phép biến đổi sơ cấp đưa ma trận bổ sung về dạng ma trận hình thang: 
§5: Gi ải hệ PT bằng PP Gauss 
§5: Gi ải hệ PT bằng PP Gauss 
§5: Gi ải hệ PT bằng PP Gauss 
§5: Gi ải hệ PT bằng PP Gauss 
Bài Tập: Giải hệ phương trình: 
§5: Gi ải hệ PT bằng PP Gauss 
HD: 
§5: Gi ải hệ PT bằng PP Gauss 
Bài Tập: Giải hệ phương trình: 
§5: Gi ải hệ PT bằng PP Gauss 
* Biện luận theo m số nghiệm của hệ: 
Hệ vô nghiệm 
Hệ có VSN 
Hệ có Ng duy nhất 
§5: Gi ải hệ PT bằng PP Gauss 
Bài tập: Biện luận theo m số nghiệm của hệ phương trình 
§5: Gi ải hệ PT bằng PP Gauss 
Ma trận bổ sung sau khi biến đổi sơ cấp 
hệ vô nghiệm 
hệ có nghiệm duy nhất 
§5: Gi ải hệ PT bằng PP Gauss 
Bài tập: Biện luận theo m số nghiệm của hệ phương trình 
§5: H ệ PTTT thuần nhất 
§5: H ệ PTTT thuần nhất 
Dạng ma trận của phương trình tuyến tính thuần nhất là 
 AX=0. (2.2.1) 
§5: H ệ PTTT thuần nhất 
§5: H ệ PTTT thuần nhất 
§5: H ệ PTTT thuần nhất 
Khi biện luận cho hệ thuần nhất ta chỉ quan tâm hạng của ma trận hệ số 
 Nhận xét: Trong hệ thuần nhất hạng của ma trận hệ số luôn bằng hạng của ma trận bổ sung 
§5: H ệ PTTT thuần nhất 
Hệ thuần nhất chỉ có 2 trường hợp: 
Hệ có nghiệm duy nhất 
 Hạng ma trận hệ số bằng số ẩn của hệ phương trình 
Hệ có vô số nghiệm 
 Hạng ma trận hệ số nhỏ hơn số ẩn của hệ phương trình 
§5: H ệ PTTT thuần nhất 
Nếu hệ có nghiệm duy nhất thì nghiệm duy nhất đó là nghiệm tầm thường: (0,0,,0). 
Ta gọi hệ thuần nhất chỉ có nghiệm tầm thường. 
Nếu hệ có vô số nghiệm thì lúc đó ngoài nghiệm tầm thường hệ còn có nghiệm khác nữa. 
Ta gọi hệ thuần nhất có nghiệm không tầm thường. 
§5: H ệ PTTT thuần nhất 
§5: H ệ PTTT thuần nhất 
Ví dụ: Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm không tầm thường. 
§5: H ệ PTTT thuần nhất 
§5: H ệ PTTT thuần nhất 
§5: H ệ PTTT thuần nhất 
Ta có: 
Biến đổi 
sơ cấp 
Do đó với 
Vậy với thì hệ có nghiệm không tầm thường 
§5: H ệ PTTT thuần nhất 
§5: H ệ PTTT thuần nhất 
Ví dụ: Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm không tầm thường. 
§5: H ệ PTTT thuần nhất 
Ta có