Bài giảng Đại số tuyến tính - Bài 1: Ma trận

 BÀI 1 
MA TRẬN 
§1 : Ma Trận 
Định nghĩa: Ma trận cỡ mxn là một bảng gồm m.n số thực (phức) được viết thành m hàng và n cột như sau: 
Tập hợp tất cả các ma trận cỡ mxn được ký hiệu M mxn 
Kí hiệu: A = [a ij ] mxn 
Hàng thứ nhất 
Hàng thứ i 
Cột thứ 2 
Cột thứ j 
a ij : Phần tử nằm ở hàng i cột j 
aij 
m x n : gọi là cấp của ma trận 
a 11 a 22 a 33  gọi là đường chéo chính 
§1: Ma Trận 
§1 : Ma Trận 
Ví dụ: 
2x3 
3x3 
đường chéo chính 
§1 : Ma Trận 
* Khi m = n (số hàng = số cột) ta nói A là ma trận vuông cấp n. 
	Tập hợp tất cả các ma trận vuông cấp n được ký hiệu M n . 
Ví dụ: 
Ma trận vuông cấp 2 
Ma trận vuông cấp 3 
§1 : Ma Trận 
Các ma trận đặc biệt: 
1. Ma trận không: 
Ví dụ : 
(tất cả các phần tử đều = 0) 
Các ma trận đặc biệt: 
2. Ma trận chéo: là ma trận vuông có: 
§1: Ma Trận 
(các phần tử ngoài đường chéo ch ính = 0) 
Ví dụ: 
§1: Ma Trận 
Các ma trận đặc biệt: 
3. Ma tr ận đơn vị: là ma trận chéo có: 
Ký hiệu: I, I n . 
Ví dụ: 
§1: Ma Trận 
Các ma trận đặc biệt: 
4. Ma tr ận tam giác: là ma trận vuông có 
Ví dụ: 
(tam giác trên) 
(tam giác dưới) 
	MT tam giác trên 
MT tam giác dưới 
§1: Ma Trận 
Các ma trận đặc biệt: 
5. Ma trận cột: là ma trận có n=1. 
Ma trận cột có dạng: 
Các ma trận đặc biệt: 
6. Ma trận hàng: là ma trận có m=1. 
Ma trận hàng có dạng: 
§1: Ma Trận 
Các ma trận đặc biệt: 
7. Ma trận bằng nhau: 	 
8. Ma trận chuyển vị: cho ma trận A=[a ij ] m x n , ma trận chuyển vị của ma trận A ký hiệu A T và xác định A T =[b ij ] n x m với b ij =a ji với mọi i,j . 
(chuyển hàng thành cột) 
§1: Ma Trận 
Ví dụ: 
Dạng của ma trận chuyển vị: 
§1: Ma Trận 
§1 : Ma Trận 
* Khi A = A T thì A được gọi là ma trận đối xứng. 
Ví dụ: 
§1 : Ma Trận 
* Khi A = - A T thì A được gọi là ma trận phản đối xứng. 
Ví dụ: 
§1 : Ma Trận 
Các phép toán trên ma trận: 
1. Phép cộng hai ma trận: 
Ví dụ: 
1 
0 
1+ 0=1 
1 
2 
3 
2+3=5 
5 
-1 
1 
5 
3 
(cộng theo từng vị trí tương ứng) 
Các tính chất: Giả sử A,B,C,O là các ma trận cùng cấp, khi đó: 
§1: Ma Trận 
§1 : Ma Trận 
Các phép toán trên ma trận: 
2. Phép nhân một số với một ma trận: 
Ví dụ: 
2 
3 
2.3=6 
6 
2.(-2)=-4 
-2 
2 
-4 
0 
14 
2.0=0 
8 10 
0 -4 2 
(các phần tử của ma trận đều được nhân cho ) 
Các tính chất : là hai ma trận cùng cấp, khi đó 
§1: Ma Trận 
Sinh viên tự kiểm tra. 
§1: Ma Trận 
Chú ý: 
Nhận xét: trừ 2 ma trận là trừ theo vị trí tương ứng 
§1: Ma Trận 
Các phép toán trên ma trận: 
3. Phép nhân hai ma trận: Cho hai ma trận 
 Khi đó ma trận gọi là tích của hai ma trận A, B . Trong đó: 
Hàng thứ i của ma trận A. 
Cột thứ j của ma tr ận B. 
Như vậy = hàng thứ i của ma trận A nhân tương ứng với cột thứ j của ma trận B rồi cộng lại. 
Ví dụ: Nhân hai ma trận sau: 
3. 
1 
.3 
+2 
+1 
.4 
=13 
13 
= 
=3.2+2.0+1.(-1)=5 
5 
3 
2 
2 
0 
1 
-1 
Chú ý: hàng 1 nhân cột 2 viết vào vị trí 
số cột của A= số hàng của B 
§1: Ma Trận 
Ví dụ: Nhân hai ma trận sau: 
§1: Ma Trận 
=0.1+(-1).3+4.4=13 
Hàng 2 
Cột 1 
13 
Hàng 2 
Cột 2 
=0.2+1.0+4.(-1)=-4 
-4 
7 
-4 
Chú ý: Phép nhân 2 ma trận không giao hoán 
§1: Ma Trận 
Ví dụ: 
Ví dụ: 
§1: Ma Trận 
Các tính chất: Ta giả sử các ma trận có cấp phù hợp để tồn tại ma trận tích 
§1: Ma Trận 
Các tính chất : 
§1: Ma Trận 
Sinh viên tự kiểm tra. 
Đa thức của ma trận : 
Cho đa thức 
và ma trân vuông 
Khi đó: 
(trong đó là ma trận đơn vị cùng cấp với ma trận A) 
§1: Ma Trận 
Ví dụ: 
Cho 
và ma trận 
Khi đó: 
§1: Ma Trận 
§1: Ma Trận 
Ví dụ: Cho và 
Tính f(A)? 
Ta có: 
AA 
§1: Ma Trận 
Bài tập: Cho 
Tính 
§1: Ma Trận 
Bài tập: Cho 
và ma trận 
Tính f(A) =?