Bài giảng Cơ sở tự động học - Phạm Văn Tấn

Cơ Sở Tự Động Học Phạm Văn Tấn 
Chương I Nhập Môn Trang I.1 
Chương I: NHẬP MÔN 
• ĐẠI CƯƠNG. 
• CÁC ĐỊNH NGHĨA. 
• CÁC LOẠI HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN 
Cơ Sở Tự Động Học Phạm Văn Tấn 
I. ĐẠI CƯƠNG 
Hồi tiếp (feedback) là một trong những tiến trình căn bản nhất trong tự nhiên. Nó hiện 
diện trong hầu hết các hệ thống động, kể cả trong bản thân sinh vật, trong máy móc, giữa con 
người và máy móc  Tuy nhiên, khái niệm về hồi tiếp được dùng nhiều trong kỹ thuật. Do 
đó, lý thuyết về các hệ thống tự điều khiển (automatic control systems) được phát triển như là 
một ngành học kỹ thuật cho việc phân tích, thiết kế các hệ thống có điều khiển tự động và 
kiểm soát tự động. Rộng hơn, lý thuyết đó cũng có thể áp dụng trực tiếp cho việc thiết lập và 
giải quyết các vấn đề thuộc nhiều lĩnh vực khác nhau, không những cho vật lý học, toán học 
mà còn cho cả các ngành khác như: sinh vật học, kinh tế học, xã hội học,  
Hiện nay, hệ thống tự điều khiển đã đảm đương một vai trò quan trọng trong sự phát 
triển và tiến bộ của công nghệ mới. Thực tế, mỗi tình huống trong sinh hoạt hằng ngày của 
chúng ta đều có liên quan đến một vài loại điều khiển tự động: máy nướng bánh, máy giặt, hệ 
thống audio-video ... Trong những cơ quan lớn hay các xưởng sản xuất, để đạt hiệu suất tối 
đa trong việc tiêu thụ điện năng, các lò sưỡi và các máy điều hoà không khí đều được kiểm 
soát bằng computer. Hệ thống tự điều khiển được thấy một cách phong phú trong tất cả các 
phân xưởng sản xuất : Kiểm tra chất lượng sản phẩm, dây chuyền tự động, kiểm soát máy 
công cụ. Lý thuyết điều khiển không thể thiếu trong các ngành đòi hỏi tính tự động cao như : 
kỹ thuât không gian và vũ khí, người máy và rất nhiều thứ khác nữa. 
 Ngoài ra, có thể thấy con người là một hệ thống điều khiển rất phức tạp và thú vị. 
Ngay cả việc đơn giản như đưa tay lấy đúng một đồ vật, là một tiến trình tự điều khiển đã xãy 
ra. Quy luật cung cầu trong kinh tế học, cũng là một tiến trình tự điều khiển  
II. CÁC ĐỊNH NGHĨA. 
 1. Hệ thống điều khiển: 
Là một sự sắp xếp các bộ phận vật lý, phối hợp, liên kết nhau, cách sao để điều khiển, 
kiểm soát, hiệu chỉnh và sửa sai chính bản thân nó hoặc để nó điều khiển một hệ thống khác. 
Một hệ thống điều khiển có thể được miêu tả bởi các thành phần cơ bản (H.1_1). 
™ Đối tượng để điều khiển (chủ đích). 
™ Bộ phận điều khiển. 
™ Kết quả. 
Chương I Nhập Môn Trang I.2 
Kết quả Chủ đích Bộ phận 
Điều khiển 
(a)
 H.1_1 : Các bộ phận cơ bản của hệ thống điều khiển. 
 Outputs 
c 
Inputs 
u 
Bộ phận 
Điều khiển 
(b) 
Cơ Sở Tự Động Học Phạm Văn Tấn 
 Ba thành phần cơ bản đó có thể được nhận dạng như ở ( H.1_1). 
Các inputs của hệ thống còn được gọi là tín hiệu tác động (actuating signals ) và các 
outputs được hiểu như là các biến được kiểm soát (controlled variables ). 
Một thí dụ đơn giản, có thể mô tả như (H.1_1) là sự lái xe ôtô. Hướng của hai bánh 
trước được xem như là biến được kiểm soát c, hay outputs. Góc quay của tay lái là tín hiệu 
tác động u, hay input. Hệ thống điều khiển trong trường hợp này bao gồm các cơ phận lái và 
sự chuyển dịch của toàn thể chiếc xe, kể cả sự tham gia của người lái xe. 
Tuy nhiên, nếu đối tượng để điều khiển là vận tốc xe, thì áp suất tác động tăng lên bộ 
gia tốc là input và vận tốc xe là output. 
Nói chung, có thể xem hệ thống điều khiển xe ôtô là một hệ thống điều khiển hai 
inputs (lái và gia tốc) và hai outputs (hướng và vận tốc). Trong trường hợp này, hai inputs và 
hai outputs thì độc lập nhau. Nhưng một cách tổng quát, có những hệ thống mà ở đó chúng 
liên quan nhau. 
Các hệ thống có nhiều hơn một input và một output được gọi là hệ thống nhiều biến. 
 2.Hệ điều khiển vòng hở (open_loop control system). 
Còn gọi là hệ không hồi tiếp (Nonfeedback System), là một hệ thống trong đó sự 
kiểm soát không tuỳ thuộc vào output. 
Những thành phần của hệ điều khiển vòng hở thường có thể chia làm hai bộ phận: bộ 
điều khiển (controller) và thiết bị xử lý như (H.1_2). 
Tín hiệu tác động 
u 
Tham khảo 
r 
Controller Thiết bị Biến được 
kiểm soát 
c 
Hình H.1_2 : Các bộ phận của một hệ điều khiển vòng hở. 
Một tín hiệu vào, hay lệnh điều khiển hay tín hiệu tham khảo (Reference) r đưa vào 
controller. Tín hiệu ra của nó là tín hiệu tác động u, sẽ kiểm soát tiến trình xử lý sao cho biến 
c sẽ hoàn tất được vài tiêu chuẩn đặt trước ở ngõ vào. 
Trong những trường hợp đơn giản, controller có thể là một mạch khuếch đại, những 
cơ phận nối tiếp hoặc những thứ khác, tuỳ thuộc vào loại hệ thống. Trong các bộ điều khiển 
điện tử, controller có thể là một microprocessor. 
Thí dụ : Một máy nướng bánh có gắn timer để ấn định thời gian tắt và mở máy.Với 
một lượng bánh nào đó, người dùng phải lượng định thời gian nướng cần thiết để bánh chín, 
bằng cách chọn lựa thời gian trên timer. 
Đến thời điểm đã chọn trước, timer điều khiển tắt bộ nung. 
Chương I Nhập Môn Trang I.3 
 r 
(Độ chín mong 
muốn) 
Hình H.1_3: Thí dụ về hệ điều khiển vòng hở. 
Nhiễu 
Phá rối 
(Độ chín 
thực tế) Timer Bộ nung 
c 
(Chọn lựa 
Thời gian) 
Cơ Sở Tự Động Học Phạm Văn Tấn 
Dễ thấy ngay rằng một hệ thống điều khiển như vậy có độ tin cậy không cao.Tín hiệu 
tham khảo được đặt trước, còn đáp ứng ở ngõ ra thì có thể thay đổi theo điều kiện xung 
quanh, hoặc nhiễu. Muốn đưa đáp ứng c đến trị giá tham khảo r, người dùng phải qui chuẩn 
lại bằng cách chọn timer lại. 
 3. Hệ điều khiển vòng kín (closed – loop control system). 
Còn gọi là hệ điều khiển hồi tiếp (feedback control system). Để điều khiển được 
chính xác, tín hiệu đáp ứng c(t) sẽ được hồi tiếp và so sánh với tín hiệu tham khảo r ở ngỏ 
vào. 
Một tín hiệu sai số (error) tỷ lệ với sự sai biệt giữa c và r sẽ được đưa đến controller 
để sửa sai. Một hệ thống với một hoặc nhiều đường hồi tiếp như vậy gọi là hệ điều khiển 
vòng kín. (Hình H.1_4) 
H.1_4 : Hệ điều khiển vòng kín. 
_ 
+ Controller Thiết bị 
Bộ chuyển 
năng 
C u e r 
Hồi tiếp 
Nhiễu phá rối Phân tích 
saibiệt 
Trở lại ví dụ về máy nướng bánh. Giả sử bộ nung cấp nhiệt đều các phía của bánh và 
chất lượng của bánh có thể xác định bằng màu sắc của nó. Một sơ đồ được đơn giản hoá áp 
dụng nguyên tắc hồi tiếp cho máy nướng bánh tự động trình bày như (H.1_5). 
Gương 
Đường hồi tiếp 
 ~ 
SW 
Relay 
Bộ phân tích màu 
Nút chỉnh màu 
Bánh 
H.1_5 : Máy nướng bánh tự động 
Chương I Nhập Môn Trang I.4 
Cơ Sở Tự Động Học Phạm Văn Tấn 
Ban đầu, máy nướng được qui chuẩn với chất lượng bánh, bằng cách đặt nút chỉnh 
màu. Không cần phải chỉnh lại nếu như không muốn thay đổi tiêu chuẩn nướng. Khi SW 
đóng, bánh sẽ được nướng, cho đến khi bộ phân tích màu "thấy" được màu mong muốn. Khi 
đó SW tự động mở, do tác động của đường hồi tiếp (mạch điện tử điều khiển relay hay đơn 
giản là một bộ phận cơ khí). H.1_6. là sơ đồ khối mô tả hệ thống trên. 
 H.1_6 : Sơ đồ khối máy nướng bánh tự động 
C r 
Màu 
Mong muốn 
 Phân 
Tích màu 
Mở 
Đóng u Máy 
nướng 
Bánh 
Màu 
Bánh 
Thực 
tế 
+ 
- 
Controller 
Relay 
SW
Gương
Một thí dụ khác về hệ thống điều khiển vòng kín như hình H.1_7: hệ thống điều khiển 
máy đánh chữ điện tử (Electronic Typewriter). 
Hồi tiếp 
Bàn 
phím 
Vi 
Xử lý 
KĐ 
Công 
suất 
DC 
motor Mã hoá 
Vị trí 
Bánh xe in 
θr 
θc 
θr
H.1_7: Hệ thống điều khiển máy đánh chữ điện tử. 
Bánh xe in (printwheel) có khoảng 96 hay 100 ký tự, được motor quay,đặt vị trí của 
ký tự mong muốn đến trước búa gõ để in. Sự chọn lựa ký tự do người sử dụng gõ lên bàn 
phím. Khi một phím nào đó được gõ, một lệnh cho bánh xe in quay từ vị trí hiện hành đến vị 
trí kế tiếp được bắt đầu. Bộ vi xử lý tính chiều và khoảng cách phải vượt qua của bánh xe, và 
gửi một tín hiệu điều khiển đến mạch khuếch đại công suất. Mạch này điều khiển motor quay 
để thúc bánh xe in. Vị trí bánh xe in được phân tích bởi một bộ cảm biến vị trí (position 
sensor). Tín hiệu ra được mã hóa của nó được so sánh với vị trí mong muốn trong bộ vi xử 
lý. Như vậy motor được điều khiển sao cho nó thúc bánh xe in quay đến đúng vị trí mong 
muốn. Trong thực tế, những tín hiệu điều khiển phát ra bởi vi xử lý sẽ có thể thúc bánh xe in 
từ một vị trí này đến vị trí khác đủ nhanh để có thể in một cách chính xác và đúng thời gian. 
Chương I Nhập Môn Trang I.5 
Cơ Sở Tự Động Học Phạm Văn Tấn 
Chương I Nhập Môn Trang I.6 
0 
t1 t2 
θr(t) θc(t) 
 Định vị in Thời gian 
H.1_8: Input và output của sự điều khiển bánh xe in. 
Hình H.1_8 trình bày input và output tiêu biểu của hệ thống. Khi một lệnh tham khảo 
được đưa vào (gõ bàn phím), tín hiệu được trình bày như một hàm nấc (step function). Vì 
mạch điện của motor có cảm kháng và tải cơ học có quán tính, bánh xe in không thể chuyển 
động đến vị trí mong muốn ngay tức khắc. Nó sẽ đáp ứng như hình vẽ và đến vị trí mới sau 
thời điểm t1. Từ 0 đến t1 là thời gian định vị. Từ t1 đến t2 là thời gian in. Sau thời điểm t2, hệ 
thống sẵn sàng nhận một lệnh mới. 
 4. Hồi tiếp và các hiệu quả của nó : 
Trong những thí dụ ở trên, việc sử dụng hồi tiếp chỉ với chủ đích thật đơn giản, để 
giảm thiểu sự sai biệt giữa tiêu chuẩn tham khảo đưa vào và tín hiệu ra của hệ thống. Nhưng, 
những hiệu quả có ý nghĩa của hồi tiếp trong các hệ thống điều khiển thì sâu xa hơn nhiều. 
Sự giảm thiểu sai số cho hệ thống chỉ là một trong các hiệu quả quan trọng mà hồi tiếp có tác 
động lên hệ thống. 
Phần sau đây, ta sẽ thấy hồi tiếp còn tác động lên những tính chất của hệ thống như 
tính ổn định, độ nhạy, độ lợi, độ rộng băng tần, tổng trở. 
r + 
_ 
C 
b 
G 
H 
e 
H.1_9: Hệ thống có hồi tiếp. 
Xem một hệ thống có hồi tiếp tiêu biểu như (H.1_9). Trong đó r là tín hiệu vào. C là 
tín hiệu ra. G và H là các độ lợi. 
GH
G
r
CM +== 1 (1.1) 
Cơ Sở Tự Động Học Phạm Văn Tấn 
 a) Hiệu quả của hồi tiếp đối với độ lợi toàn thể (overall Gain). 
So với độ lợi của hệ vòng hở (G), độ lợi toàn thể của hệ vòng kín 
 (có hồi tiếp) có thêm hệ số 1+GH. Hình H.1_9 là hệ thống hồi tiếp âm, tín hiệu hồi tiếp b có 
dấu (-). 
Lượng GH tự nó có thể bao gồm dấu trừ. Do đó, hiệu quả tổng quát của hồi tiếp là 
làm tăng hoặc giảm độ lợi. Trong một hệ điều khiển thực tế, G và H là các hàm của tần số f. 
Suất GH+1 có thể lớn hơn 1 trong một khoảng tần số nào đó và nhỏ hơn 1 ở một khoảng 
tần số khác . Như vậy, hồi tiếp sẽ làm tăng độ lợi hệ thống trong một khoảng tần số nhưng 
làm giảm nó ở khoảng tần số khác. 
 b) Hiệu quả của hồi tiếp đối với tính ổn định. 
Nói một cách khác không chặt chẽ lắm, một hệ thống gọi là bất ổn khi output của nó 
thoát khỏi sự kiểm soát hoặc là tăng không giới hạn. 
Xem phương trình (1.1). nếu GH = -1, output của hệ thống sẽ tăng đến vô hạn đối với 
bất kỳ input hữu hạn nào. Như vậy, có thể nói rằng hồi tiếp có thể làm một hệ thống (mà lúc 
đầu ổn định) trở nên bất ổn. Hồi tiếp là một thanh gươm 2 lưỡi. Nếu dùng không đúng cách, 
nó sẽ trở nên tai hại. Nhưng cũng có thể chứng tỏ được rằng, mối lợi của hồi tiếp lại là tạo 
được sự ổn định cho một hệ thống bất ổn. 
 Giả sử hệ thống hồi tiếp ở (H.1_9) bất ổn vì GH = -1. Bây giờ, nếu ta đưa vào một 
vòng hồi tiếp âm nữa, như (H.1_10) . 
c e r + 
_ 
G 
H 
+
_
F 
Độ lợi toàn thể của hệ thống bây giờ sẽ là : 
GFGH
G
r
c
++= 1 (1.2) 
Nếu do những tín chất của G và H làm cho vòng hồi tiếp trong bất ổn, vì G.H = -1. 
nhưng toàn thể hệ thống có thể vẫn ổn định bằng cách chọn lựa độ lợi F của vòng hồi tiếp 
ngoài. 
Chương I Nhập Môn Trang I.7 
Cơ Sở Tự Động Học Phạm Văn Tấn 
 c) Hiệu quả của hồi tiếp đối với độ nhạy. (Sensibility) 
Độ nhạy thường giữ một vai trò quan trọng trong việc thiết kế các hệ thống điều 
khiển. Vì các thành phần vật lý có những tín chất thay đổi đối với môi trường xung quanh và 
với từng thời kỳ , ta không thể luôn luôn xem các thông số của hệ thống hoàn toàn không đổi 
trong suốt toàn bộ đời sống hoạt động của hệ thống. Thí dụ, điện trở dây quấn của một động 
cơ điện thay đổi khi nhiệt độ tăng trong lúc vận hành. 
Một cách tổng quát, một hệ điều khiển tốt sẽ phải rất nhạy đối với sự biến đổi của các 
thông số này để có thể giữ vững đáp ứng ra. 
Xem lại hệ thống ở (H.1_9). Ta xem G như là một thông số có thể thay đổi. Độ nhạy 
toàn hệ thống được định nghĩa như sau: 
GG
MMS MG /
/
δ
δ= (1.3) 
 M: độ lợi toàn hệ thống. 
 Trong đó: δM chỉ sự thay đổi thêm của M 
 G.δM/M và δG/G chỉ phần trăm thay đổi của M và G. Ta có: 
GHM
G
G
MS MG +== 1
1
δ
δ (1.4) 
Hệ thức này chứng tỏ hàm độ nhạy có thể làm nhỏ tuỳ ý bằng cách tăng GH, miễn 
sao hệ thống vẫn giữ được sự ổn định. 
Trong một hệ vòng hở, độ lợi của nó sẽ đáp ứng kiểu một - đối - một đối với sự biến 
thiên của G. 
Một cách tổng quát, độ nhạy toàn hệ thống của một hệ hồi tiếp đối với những biến 
thiên của thông số thì tuỳ thuộc vào nơi của thông số đó. Người đọc có thể khai triển độ nhạy 
của hệ thống (H.1_9) theo sự biến thiên của H. 
 d) Hiệu quả hồi tiếp đối với nhiễu phá rối từ bên ngoài. 
Trong suốt thời gian hoạt động, các hệ thống điều khiển vật lý chịu sự phá rối của vài 
loại nhiễu từ bên ngoài. Thí dụ, nhiễu nhiệt (thermal noise) trong các mạch khuếch đại điện 
tử, nhiễu do tia lửa điện sinh từ chổi và cổ góp trong các động cơ điện  
Hiệu quả của hồi tiếp đối với nhiễu thì tuỳ thuộc nhiều vào nơi mà nhiễu tác động vào 
hệ thống. Không có kết luận tổng quát nào. Tuy nhiên, trong nhiều vị trí, hồi tiếp có thể giảm 
thiểu hậu quả của nhiễu. 
Xem hệ thống ở (H.1_11) 
Chương I Nhập Môn Trang I.8 
Cơ Sở Tự Động Học Phạm Văn Tấn 
Chương I Nhập Môn Trang I.9 
Ở đó e = r 
ệu trên nhiễu (signal to noise ratio) được định nghĩa: 
n (nhiểu) 
r + 
_ 
e + 
+ 
C 
G1 G2 
H 
Hình H.1 11 
 Ouput của hệ có thể được xác định bằng nguyên lý chồng chất (super position) 
- Nếu không có hồi tiếp, H = 0 thì output 
nGeGGC ... 221 += (1 - 5) 
Tỷ số tín hi
n
eG
nG
eGG
nhieudooutput
uhitíndooutput
N
S .e 1
2
21 === (1.6) 
ể tăng tỷ số S/N hiển nhiên là phải tăng G1 hoặc e/n. Sự thay đổi G2 không ảnh 
hưởng 
Nếu có hồi tiếp, output của hệ thống khi r và n tác động đồng thời sẽ là : 
Đ
đến tỷ số. 
- 
n
HGG
Gr
HGG
GGC
21
2
21
21
11 +++= (1.7) 
So sánh (1.5) và (1.7), ta thấy thành phần do nhiễu của (1.7) bị giảm bởi hệ số 1+ G-
1G2 H. 
Nhưng thành phần do tín hiệu vào cũng bị giảm cùng một lượng. 
Tỷ số S/N bây giờ là: 
n
rGNS 1
212
2121
H) GG(1n / G
 H) GGr /(1 GG/ =+
+= (1.8) 
à cũng bằng như khi không có hồi tiếp. Trong trường hợp này, hồi tiếp không có 
hiệu qu
V
ả trực tiếp đối với tỷ số S/N của hệ thống. Tuy nhiên , sự áp dụng hồi tiếp làm nảy ra 
khả năng làm tăng tỷ số S/N dưới vài điều kiện. Giả sử rằng suất G1 tăng đến G1’và r đến r’, 
các thông số khác không thay đổi , output do tín hiệu vào tác động riêng (một mình) thì cũng 
bằng như khi không có hồi tiếp. Nói cách khác ta có : 
Cơ Sở Tự Động Học Phạm Văn Tấn 
 rGG
HGG
rGGC
n 21
21
21
0 '1
'' =+== (1.9) 
Với sự tăng G1, G1’ output do nhiễu tác đông riêng một mình sẽ là: 
HGG
nGC
r
21
2
0 '1 +== (1.10) 
Nhỏ hơn so với khi G1 không tăng. Bây giờ tỷ số S/N sẽ la: 
 H) GG'1(
H) GG'(1n / G
r GG
211
 ... ng hở là các cực của hàm 
chuyển vòng kín. 
- Nếu K trở nên rất lớn, nghiệm của (7.1), nghiệm của (7.1) là nghiệm của đa thức 
N(S), đó là các zero của hàm chuyển vòng hở GH. 
Vậy khi K tăng từ 0 đến ∞, qũi tích của các cực vòng kín bắt đầu từ các cực vòng hở và 
tiến đến chấm dứt ở các zerocủa vòng hở. Vì lý do đó, ta quan tâm đến hàm chuyển vòng hở 
G(S).H(S) khi vẽ QTNS của các hệ vòng kín. 
Thí dụ 7.1: Xem hàm chuyển vòng hở của một hệ hồi tiếp đơn vị: 
S2S
)1S(K
D
KNGH 2 +
+== 
Với H=1, hàm chuyển vòng kín: 
)1S(KS2S
)1S(K
R
C
2 +++
+= 
Các cực vòng kín: 21 K4
11)K2(
2
1S +++−= 
2
2 K4
11)K2(
2
1S +−+−= 
- Khi K=0 ; S1=0 ; S2= -2 
 - Khi K=∞ ; S1= -1 ; S2= -∞ 
Qũi tích các nghiệm này được vẽ như là một hàm của K (với K > 0) 
 K=∞ K=1,5 K=0 K=∞ K=1,5 K=0 
 -∞ -3 -2 -1 0 
jω 
σ 
H. 7.1 
QTNS gồm hai nhánh: 
- Nhánh 1: di chuyển từ cực vòng hở tại gốc tọa độ (ứng với K=0) đến zero vòng hở 
tại -1 (ứng với K=∞). 
- Nhánh 2: di chuyển từ cực vòng hở tại -2 (ứng với K=0) đến zero vòng hở tại -∞ 
(ứng với K=∞). 
Cơ Sở Tự Động Học Phạm Văn Tấn 
 Chương VII Phương Pháp Quĩ Tích Nghiệm số Trang VII.4 
III. TIÊU CHUẨN VỀ GÓC PHA VÀ SUẤT 
Để một nhánh của QTNS đi ngang qua một điểm S1 trong mặt phẳng S, điều kiện cần là 
S1 phải là nghiệm của phương trình (7.1) với vài trị gia thực của K. 
D(S1) + KN(S1) = 0 (7.2) 
 Suy ra: (7.3) 1)S(D
)S(KN)S(H).S(G
1
1
11 −== 
Phương trình (7.3) chứng tỏ: 
- Suất: (7.4 K )S(N
)S(D1)S(H).S(G
1
1
11 =⇒= ) 
- Góc pha: arg G(S1).H(S1) = 1800 + 3600l ; l = 0, ±1, ±2 .. 
arg G(S1).H(S1) = (2l + 1)π rađ (7.5) 
⎩⎨
⎧
<π
>π+=
0K; rad 2l
0K ; rad )1l2(
)S(D
)S(N
arg
1
1 (7.6) 
Phương trình (7.4) gọi là tiêu chuẩn của suất và (7.6) gọi là tiêu chuẩn về góc để một 
điểm S1 nằm trên QTNS. 
Góc và suất của G(S).H(S) tại một điểm bất kỳ nào trong mặt phẳng S đều có thể xác 
định được bằng hình vẽ. Với cách ấy, có thể xây dựng QTNS theo phương pháp thử và sửa sai 
(Trial and error) nhiều điểm trên mặt phẳng S. 
 * Thí dụ 7.2: Xem hàm chuyển vòng hở của thí dụ 7.1, chứng tỏ S1=-0,5 là một điểm nằm 
trên QTNS, khi K=1.5 
1
)5.1(5.0
)5.0(5.1)S(GH 1 −=−= 
Vậy thỏa tiêu chẩn về suất và pha, nên S1 nằm trên QTNS. Ở H.7.1, điểm S1=-0.5 nằm 
trên QTNS, đó là một cực của vòng kín với K=1.5. 
• Thí dụ 7.3: Hàm chuyển vòng hở của hệ là ω=+= 2)2()( SS
KSGH . Tìm 
arg GH(j2) và )2j(GH . Trị giá nào của K làm j2 nằm trên QTNS? 
Cơ Sở Tự Động Học Phạm Văn Tấn 
 Chương VII Phương Pháp Quĩ Tích Nghiệm số Trang VII.5 
-2 -1 0 
jω 
σ 450 900
J2
J1
Hình 7.2 
2)22j(2j
K)2j(GH += 
arg GH(j2) = -900-450-450 = -1800 
16
K
)22(2
K
)2j(GH
2
== 
Để điểm j2 nằm trên QTNS, thì 1)2j(GH = khi đó K=16 
* Thí dụ7.4: Chứng tỏ điểm 3j1S1 +−= nằm trên QTNS. Cho 
))()((
)
4S2S1S
S +++=(
KGH với K > 0, và xác định trị K tại điểm đó. 
-4 -2 -1 
jω 
S1
j 3
0000
1
1 180306090
)3j3)(3j1(3j
1arg
)S(D
)S(N
arg −=−−−=++= 
Để thỏa tiêu chuẩn suất, 1)S(GH 1 = thì: 
σ 600 900300
Cơ Sở Tự Động Học Phạm Văn Tấn 
 Chương VII Phương Pháp Quĩ Tích Nghiệm số Trang VII.6 
( ) 1212.4.33j3)3j1(3j
)S(N
)S(D
K
1
1 ==++== 
 SỐ ĐƯỜNG QUĨ TÍCH: 
Số đường quĩ tích, hay là số nhánh QTNS, bằng với số cực của hàm chuyển vòng hở 
GH. 
• Thí dụ 7.4: Với 
)4S(S
)2S(K)S(GH
2 +
+= , QTNS sẽ có 3 nhánh. 
IV. QUĨ TÍCH TRÊN TRỤC THỰC 
 Nhánh của QTNS nằm trên trục thực của mặt phẳng S được xác định bằng cách đếm 
toàn bộ số cực hữu hạn và số zero của GH. 
1. Nếu K>0: Nhánh của QTNS trên trục thực nằm bên trái của một số lẻ các cực và 
zero. 
2. Nếu K<0: Nhánh của QTNS trên trục thực nằm bên trái của một số chẵn các cực và 
zero. 
Nếu không có điểm nào trên trục thực nằm bên trái một số lẻ các cực và zero, thì có 
nghĩa là không có phần nào của QTNS với K>0 nằm trên trục thực. Điều tương tự cũng đúng 
với K<0. 
* Thí dụ 7.5: Xem sơ đồ cực và zero của một hàm chuyển vòng hở GH như hình vẽ 
jω 
σ 
H. 7.3 
-4 -2 0 -1 
j 
-j 
- Phần đậm trên trục thực, từ 0 đến -2 và từ -4 đến -∞ là QTNS với K>0 
- Phần còn lại của trục thực, từ -4 đến -2 và từ -0 đến +∞ là QTNS với K<0 
Cơ Sở Tự Động Học Phạm Văn Tấn 
 Chương VII Phương Pháp Quĩ Tích Nghiệm số Trang VII.7 
V. CÁC ĐƯỜNG TIỆM CẬN . 
Với những khoãng xa gốc trong mặt phẳng s, các nhánh của QTNS tiếp cận với một tập 
hợp các đường thẳng tiệm cận (asymptote) 
Các đường tiệm cận này xuất phát từ một điểm trên trục thực của mặt phẳng s, và gọi là 
tâm tiệm cận σc. 
mn
zp
n
1i
m
1i
ii
c −
−
−=σ
∑ ∑
= =
 (7.6) 
 Trong đó : -pi là các cực ; -zI là các zero của GH. 
 n là số cực ; m là số zero . 
Góc tạo các đường tiệm cận và trục thực cho bởi : 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−
−
+
=β
mn
180)l2(
mn
180)1l2(
 (7.7) 
Với k > 0 
 l = 0 ,1, 2 , .. , n-m-1 
Đưa đến kết quả : số đường tiệm cận = n – m (7.8) 
 * Thí dụ 7–6 : Tâm tiệm cận của 
)4s(s
)2s(kGH 2 +
+= cho bởi : 
 1
2
24
c −=−−=σ 
 n – m =2 ⇒ có hai đường tiệm cận. Góc của cúng đối với trục trực là : 
 β = 90o ; β = 2700 ; k > 0 
 H. 7-4 
900
2700
jω
 -4 -1 
Cơ Sở Tự Động Học Phạm Văn Tấn 
 Chương VII Phương Pháp Quĩ Tích Nghiệm số Trang VII.8 
VI. ĐIỂM TÁCH (Break away point, saddle point). 
 Điểm tách σb là một điểm trên trục thực, tại đó hai hay nhiều nhánh QTNS đi khỏi 
(hoặc đến) trục thực. 
Điểm tách là nghiệm của phương trình : 
Hai nhánh rời khỏi trục thực Hai 
ế
jω jω 
σ σ σb σb
 ∑∑
== +σ
=+σ
m
1i ib
n
1i ib z
1
p
1
 (7.8) 
 Trong đó : - p i : các cực ; -zi : các zero 
 * Thí dụ 7-7 : Xác định điểm tách của : 
 )2s()1s(s
kGH ++= 
 Giải phương trình : 
 02
1
1
11
bbb
=+σ++σ+σ 
 ⇒ 3σb2 + 6σb + 2 = 0 . Phương trình có hai nghiệm : 
 σb1 = -0.423 ; k > 0 
 σb2 = -1,577 ; k < 0 
 jω 
σ 
 -2 -1 
σb 
VII. GÓC XUẤT PHÁT VÀ GÓC ĐẾN 
Cơ Sở Tự Động Học Phạm Văn Tấn 
 Chương VII Phương Pháp Quĩ Tích Nghiệm số Trang VII.9 
1). Góc xuất phát của QTNS từ một cực phức cho bởi : 
 θD = 1800 + arg GH’ (7.9) 
 Trong đó arg GH’ là góc pha của GH được tính tại cực phức, nhưng bỏ qua sự tham 
gia của cực này. 
* Thí dụ 7-8 : Xem hàm chuyễn vòng hở : 
 )j1s()j1s(
)2s(kGH −+++
+= , k > 0 
- Góc xuất phát của QTNS tại cực phức s = -1 +j tính như sau : 
arg GH’ = 450 – 900 = -450
θD = 1800 – 450 = 1350
1350
2250
900
450
-j
+j
-2 -1 
- Góc xuất phát của QTNS tại cực phức s = -1 -j tính như sau : 
arg GH’ = 3150 – 2700 = 450
θD = 1800 + 450 = 2250
H.7-7
2). Góc đến một zero phức của QTNS cho bởi : 
θA = 1800 - arg GH’’ (7.10) 
 Trong đó GH’’ là góc pha của GH được tính tại zero phúc đó, nhưng bỏ qua sự tham 
gia của zero này. 
* Thí dụ 7-9 : Xem : 
 )(
))((
1ss
jsjskGH +
−+= ; k > 0 
- Góc đến tại zero phức s = j tính như sau : 
arg GH’’ = 900 – 900 - 450= - 450
 θA = 1800 –(- 450 ) = 2250 
Cơ Sở Tự Động Học Phạm Văn Tấn 
 Chương VII Phương Pháp Quĩ Tích Nghiệm số Trang VII.10 
 -1 
900
450
 -j 
 j 
H.7-8 
VIII. PHƯƠNG PHÁP VẼ QTNS . 
 Để ve QTNS chính xác và dễ dàng, có thể theo các bước sau : 
- Xác định các nhánh nằm trên trục thực. 
- Tính tâm, góc tiệm cận. Vẽ các đường tiệm cận. 
- Xác định các góc xuất phát từ các cực phức và góc đến các zero phức ( nếu có). 
- Xác định điểm tách. 
- Vẽ các nhánh sao cho mỗi nhánh xuất phát tại 1 cực rồi chấm dứt tại một zero, hoặc 
tiến về ∞ dọc theo một đường tiệm cận. 
- Ap dụng tiêu chuẩn về góc pha cho các điểm nằm trên QTNS để hình vẽ được chính 
xác. 
- Tiêu chuẩn về suất dùng để xác định các trị giá của k dọc theo các nhánh. 
Vì các cực phức của hệ xuất hiện từng cặp phức liên hợp, nên QTNS thì đối xứng qua 
trục thực. Vậy chỉ cần vẽ nữa trên của QTNS. Tuy nhiên, cần nhớ là các cực phức và zero 
phức nữa dưới của QTNS cũng phải thỏa điều kiện về suất và góc pha. 
Thông thường, với chủ đích phân tích và thiết kế, một QTNS chính xác chỉ cần thiết ở 
một vài vùng của mặt phẳng s. Khi đó, tiêu chuẩn về góc và suất chỉ áp dụng cho những vùng 
này để có thể vẽ dạng chính xác của quĩ tích. 
 Thí dụ 7-10 : QTNS của hệ kín có hàm chuyễn vòng hở là : 
 )4s()2s(s
kGH ++= , k >0 
Được vẽ như sau : 
- Nhánh trên trục thực nằm từ 0 đến -2 và từ -4 đến -∞ 
- Tâm tiệm cận, được xác định bởi phương trình (7.6). 
 σc = - (2+4) /3 = -2 
Có 3 đường tiệm cận, định vị bằng các góc β được xác định bởi (7.7) : 
 β = 600 , 1800 và 3000
- Vì có hai nhánh cùng nằm trên trục thực giữa 0 và 2, nên có một điểm tách tồn tại 
trong đoạn này. Vị trí điểm tách xác định bởi : 
Cơ Sở Tự Động Học Phạm Văn Tấn 
 Chương VII Phương Pháp Quĩ Tích Nghiệm số Trang VII.11 
845.0
08123
0
4
1
2
11
b
b
2
b
bbb
−=σ
=+σ+σ
=+σ++σ+σ
- Tiêu chuẩn về góc và suất được áp dụng lên từng điểm lân cận của đường quĩ tích vẽ 
phỏng, để xác định vị trí chính xác của các nhánh trong phần phức của mặt phẳng s. 
H.7-9 
 k=48 k=15 k=0 
 -6 -5 -4 
σc
k=48 
k=20 
jω 
8j 
Hình 7.10 Vẽ QTNS cho thí dụ 7-10 trong trường hợp k < 0 
k=48 
k=20 
k=7 
k=7 
8j−
J2 
J1 
k=0 σ 
 k=0 k=7 k=15 σb
k=48 
k=20 
k=48 
k=20 
k=7 
k=7 -2 
600 σ 
jω 
-4 
H.7-10 
Cơ Sở Tự Động Học Phạm Văn Tấn 
 Chương VII Phương Pháp Quĩ Tích Nghiệm số Trang VII.12 
Cách vẽ cũng tương tự mhư trường hợp k>0. 
 σb = -3.115 ; 
 β = 00 ; 1200 ; 2400 
IX. HÀM CHUYỂN VÒNG KÍN VÀ ĐÁP ỨNG TRONG 
MIỀN THỜI GIAN 
 Hàm chuyển vòng kín C/R được xác định dễ dàng từ QTNS với một trị giá riêng của 
k. 
 Từ đó, ta có thể tìm được đáp ứng của hệ ở miền thời gian C(t) bằng cách lấy biến đổi 
laplace ngược C(s) 
 Xem hàm chuyển vòng kín C/R của một hệ hồi tiếp đơn vị : 
G
G
R
C
+= 1 (7.9) 
Hàm chuyển vòng hở là biểu thưc hữu tỷ 
)ps(.......)ps)(ps(
)zs(......)zs)(zs(k
)s(D
)s(NkG
n21
n21
+++
+++== (7.10) 
-zi là các zero ; -pi là các cực của G 
kND
kN
R
C
+= (7.11) 
Rõ ràng C/R và G có cùng zero, nhưng không cùng cực ( trừ khi k=0 ). 
)s)....(s)(s(
)zs)....(zs)(zs(k
R
C
n21
m21
α+α+α+
+++= (7.12) 
với là n cực vòng kín. Vị trí các cực này được xác định trực tiếp từ QTNS với vị 
trí giá riêng của độ lợi vòng hở k. 
iα−
Thí dụ 7.11: 
Xem hệ thống có hàm chuyển vòng hở là 
;
)1s(
)2s(kGH 2+
+= k>0 
QTNS được vẽ ở hình 7.11 
Vài trị giá của k được chỉ tại những điểm ký hiệu bằng một tam giác nhỏ. Đây là các 
cực vòng kín tương ứng với những trị riêng của k. 
Với k=2, các cực là j21 +−=α− và j22 −−=α− 
Cơ Sở Tự Động Học Phạm Văn Tấn 
 Chương VII Phương Pháp Quĩ Tích Nghiệm số Trang VII.13 
. k=4 
ωj 
H.7.11 
Vậy )j2s)(j2s(
)2s(2
R
C
−+++
+= 
 Khi hệ có hồi tiếp đơn vị: 
GH1
G
R
C
+= 
D
kGH = (7.13) 
X. NGƯỠNG ĐỘ LỢI VÀ NGƯỠNG PHA TỪ QTNS . 
• Ngưỡng độ lợi là hệ số mà trị thiết kế của k có thể nhận vào trước khi hệ vòng kín trở nên 
bất ổn. Nó có thể được xác định từ QTNS. 
Nếu QTNS không cắt trục ảo, ngưỡng là độ lợi của ∞. 
 Thí dụ 7.12: 
Xem hệ hình 7.12. Trị thiết kế của k là 8. Tại giao điểm của QTNS và trục ảo, k = 64. 
Vậy ngưỡng độ lợi là 64/8 = 8. 
k=2 
k=2 
-3 -2 -1 
k=1 
k=1 
 - - j1
 - j1
 α
 Trị của k tại giao điểm của QTNS với trục ảo 
Ngưỡng độ lợi = 
Trị thiết kế của k 
Cơ Sở Tự Động Học Phạm Văn Tấn 
 Chương VII Phương Pháp Quĩ Tích Nghiệm số Trang VII.14 
8 
(s + 2)3 
R + 
=
H.7.12 
j
1
j
2
-j1 
-j2 
-1 
j√12 
-2 
3 cực 
k=8 
k=8 
k=64 
k=64 
H.7.13 
• Ngưỡng pha của hệ cũng được xác định từ QTNS. Cần thiết phải tìm điểm jω1 trên trục 
ảo để cho 1)1j(GH =ω , với trị thiết kế của k 
 k)1j(N/)1j(D =ωω thiết kế 
 Thường cần đến phương pháp thử- và-sữa sai để định vi jω1. Vậy ngưỡng pha được 
tính từ argGH(jω) là: 
 ωPM =1800 +argGH(jω1) (7.15) 
 Thí dụ 7.13: 
 Xem hệ như hình 7.14. QTNS vẽ ở hình H.7.15. 
Điểm trên trục ảo là làm cho 2)41j(1j
24)1j(GH +ωω=ω = 1. 
1 
s(s + 2)2 
R + 
=
- 
=
24 C
H 7
với ω1 = 1.35 
Góc pha của GH(j1.35) là 129.60
Vậy ngưỡng pha là ωPM =1800 - 129.60 = 50.40 
• Lưu ý: 
Để xác định tần số và độ lợi tại giao điểm của trục ảo với QTNS, có thể dùng bảng Routh. 
 Ta đã biết rằng một hàng các zero trong hàng s1 của bảng Routh cho biết đa thức của 
một cặp nghiệm thoả phương trình hổ trợ : 
AS2 + B = 0 (7.16). 
Cơ Sở Tự Động Học Phạm Văn Tấn 
 Chương VII Phương Pháp Quĩ Tích Nghiệm số Trang VII.15 
Trong đó A, B là phần tử thứ nhất và thứ hai của hàng S2. 
Nếu A và B cùng dấu, nghiệm của phương trình (7.16) là ảo ( nằm trên trục jω ) 
Vậy nếu bảng Routh được viết cho hàm đặc trưng của hệ, các trị của k và ω ứng với 
giao điển QTNS và trục ảo có thể được xác định. 
Thí dụ : Xem hệ với GH như sau 2)2( += SS
kGH 
Phương trình đặc trưng vòng kín là: S3 + 4 S2 + 4S + k = 0. 
Bảng Routh: 
 Hàng S1 thì bằng không ứng với k=16. 
 Vậy phương trình hỗ trợ trở nên: 
 4 S2 + 16 = 0. 
 Vậy với k=16 phương trình đặc trưng 
 có các nghiệm 2js ±= và QTNS cắt 
 trục ảo tại j2 
S3 
S2 
S1 
S0 
1 4 
4 k 
(16-k)/4 
k 
BÀI TẬP CHƯƠNG VII 
VII.1: Xác định nhánh của QTNS nằm trên trục thực trong các trường hợp: 
a. ;
)j3s)(j3s)(1s(
)2s(kGH −++++
+= k>0 
b. ;
)2s()1s(s
kGH 2 ++= k>0 
VII.2: Tìm tâm, góc và vẽ các đường tiệm cận cho 
;
)4s)(j3s)(j3s)(1s(
)2s(kGH +−++++
+= k>0 
VII.3: Vẽ các đường tiệm cận khi k>0 và k<0 cho 
)j1s)(j1s)(2s(s
kGH −++++= 
VII.4: Tìm điểm tách cho 
)3j1s)(3j1s(
)2s(kGH −+++
+= 
Cơ Sở Tự Động Học Phạm Văn Tấn 
 Chương VII Phương Pháp Quĩ Tích Nghiệm số Trang VII.16 
VII.5: Xác định góc xuất phát và góc đến tại các cực và zero phức của hàm chuyển 
vòng hở. 
 ;
)j2s)(j2s(s
)j1s)(j1s(kGH −+
−+++= k>0 
VII.6: Vẽ QTNS cho 
 ;
)j2s)(j2s)(1s(
kGH ++−++= k>0 
VII.7: Vẽ QTNS cho 
 ;
)j3s)(j3s)(1s(
)2s(kGH −++++
+= k>0 
VII.8: Vẽ QTNS với k>0 và k<0 cho 
)4s)(3s)(1s(s
kGH +++= 
VII.9: Vẽ QTNS với k>0 cho hàm chuyển vòng hở trong các trường hợp sau: 
a) 
)8s)(6s(s
kGH ++= 
b) 
)9s(s
)1s(kGH 2 +
+= 
c) 
)10j10s)(10j10s)(14s(
)8s(kGH −++++
+= 
d) 
)9j15s)(9j15s)(10s)(5s(
kGH −+++++= 
VII.10: Xác định ngưỡng độ lợi và pha cho hệ thống với hàm chuyển vòng hở của bài 
tập 7.9d nếu độ lợi k được thiết kế là 20,000. 
*********************** 
Cơ sở tự động học Phạm Văn Tân 
THAM KHẢO 
1. BENJAMIN C. KUO. Automatic Control Systems. Prentice - Hall Company 
Ltd. 
2. BRUCE A. CHUBB. Modem Analytical and Desin of Instrument 
Servomechanism. Addison-Wesley publising company. 
3. GEORGE J.THALER & ROBERT G. BROWN. Analytical and Desin of 
Feedback Control System. Mc Graw-Hill Book Company. 
4. JOSEPH.J. DISTEFANO, ALLEN R. STUBBERUD & JVAN 
 J. WILLIAMS. Feedback Control System. Mc Graw-Hill Book Company. 
5. M. GOPAL. Digital control and stase variable methods. Mc Graw-Hill Book 
Company. 
6. RICHART C. DORF. Time Domain Analysis and Desin of Control System 
- Addison-Wesley publising company. 
7. Y.H.KU. Analysis and Control of Linear Systems. International Texbook 
Company. 
 Trang phụ lục 1 
Cơ sở tự động học Phạm Văn Tân 
PHỤ LỤC 
Những cặp biến đổi Laplace thường dùng 
trong việc phân tích các hệ tự động. 
 Trang phụ lục 1 
Cơ sở tự động học Phạm Văn Tân 
 Trang phụ lục 1