Bài giảng Cở sở lý thuyết tập hợp và lôgic toán - Phạm Huy Thông

TRƯỜNG ĐẠI HỌC PHẠM VĂN ĐỒNG 
KHOA SƯ PHẠM TỰ NHIÊN 
BÀI GIẢNG 
CỞ SỞ LÝ THUYẾT TẬP HỢP VÀ 
LÔGIC TOÁN 
NGÀNH GIÁO DỤC TIỂU HỌC 
TRÌNH ĐỘ CAO ĐẲNG 
NĂM 2013 
 1 
TRƯỜNG ĐẠI HỌC PHẠM VĂN ĐỒNG 
KHOA SƯ PHẠM TỰ NHIÊN 
BÀI GIẢNG 
CỞ SỞ LÝ THUYẾT TẬP HỢP VÀ LÔGIC 
TOÁN 
NGÀNH GIÁO DỤC TIỂU HỌC 
TRÌNH ĐỘ CAO ĐẲNG 
 Giảng viên: Phạm Huy Thông 
NĂM 2013 
 2 
LỜI NÓI ĐẦU 
 “Cơ sở lý thuyết tập hợp và lôgic toán” là một học phần trong chương trình 
khung đào tạo giáo viên tiểu học trình độ cao đẳng, ban hành theo Quyết định số 
17/2004/QĐ – BGD & ĐT ngày 16/6/2004 của Bộ trưởng Bộ Giáo dục và Đào tạo. 
 Hiện nay, chưa có giáo trình nào biên soạn cho học phần này, chủ yếu là các tài 
liệu tham khảo hay tài liệu biên soạn cho Dự án phát triển giáo viên tiểu học của Bộ 
Giáo dục và Đào tạo. 
 Việc biên soạn bài giảng “Cơ sở lý thuyết tập hợp và lôgic toán”, giúp cho sinh 
viên ngành giáo dục tiểu học có thêm một tài liệu để học tập và nghiên cứu khi học 
tập học phần này và các học phần tiếp theo. 
 Học phần “Cơ sở lý thuyết tập hợp và lôgic toán” có thời lượng bằng 2 đơn vị tín 
chỉ gồm hai chương: 
 Chương 1: Cơ sở lý thuyết tập hợp. 
 Chương 2: Cơ sở lôgic toán. 
 Đây là lần đầu tiên chúng tôi biên soạn bài giảng này, chắc chắn sẽ không tránh 
khỏi những thiếu sót nhất định. Rất mong những ý kiến đóng góp của các thầy cô 
giáo và sinh viên trong nhà trường. 
 Xin chân thành cảm ơn. 
 TÁC GIẢ 
 3 
Chương 1 
CƠ SỞ LÝ THUYẾT TẬP HỢP 
Mục tiêu 
Kiến thức: Người học 
 − Hiểu các khái niệm về tập hợp, quan hệ, ánh xạ và biết xây dựng các ví dụ 
minh hoạ cho mỗi khái niệm đó. 
 − Nắm được định nghĩa của các phép toán trên tập hợp và ánh xạ. Phát biểu và 
chứng minh các tính chất của chúng. 
Kỹ năng : 
 Hình thành và rèn cho người học các kĩ năng: 
 − Thiết lập các phép toán trên tập hợp và ánh xạ; 
 − Vậndụng các kiến thức về tập hợp và ánh xạ trong toán học; 
 − Các quan hệ tương đương và thứ tự. 
Thái độ: 
 − Chủ động tìm tòi, phát hiện và khám phá các ứng dụng của lí tập hợp trong dạy 
và học toán. 
 4 
1.1. TẬP HỢP 
1.1.1. Khái niệm tập hợp 
1.1.1.1. Khái niệm 
 Tập hợp là một trong các khái niệm cơ bản của Toán học. Khái niệm tập hợp 
không được định nghĩa mà chỉ được mô tả qua các ví dụ: Tập hợp các học sinh của 
một lớp học, tập hợp các cầu thủ của một đội bóng, tập hợp các cuốn sách trên một 
giá sách, tập hợp các số tự nhiên,... 
 Các đối tượng cấu thành một tập hợp được gọi là các phần tử của tập hợp đó. 
Người ta thường kí hiệu các tập hợp bởi các chữ A, B, C, X, Y, Z,... và các phần tử 
của tập hợp bởi các chữ a, b c, x, y, z, ... 
 Nếu a là một phần tử của tập hợp A thì ta viết a A (đọc là a thuộc tập hợp A. 
 Nếu a không phải là một phần tử của tập hợp A thì ta viết a A (đọc là a không 
thuộc tập hợp A). 
1.1.1.2. Các cách xác định tập hợp 
 - Liệt kê tất cả các phần tử của tập hợp. 
 Ví dụ : A = { 1, 2, 3 } B = { a, b, c, d } 
 - Chỉ ra tính chất đặc trưng của các phần tử của tập hợp. 
 Ví dụ: C = { x / x là ước của 8 } 
1.1.1.3. Chú ý: 
 - Người ta biểu thị tập hợp A bằng một đường cong khép kín gọi là biểu đồ 
ven. 
 - Tập hợp có vô số các phần tử gọi là tập vô hạn 
 - Tập có hữu hạn phần tử gọi là tập hữu hạn 
 - Tập hợp không có phần tử nào gọi là tập rỗng, kí hiệu:  
 Ví dụ: Nghiệm của phương trình x2 + 2 = 0 là tập rỗng  
1.1.2. Tập con. Các tập hợp bằng nhau 
1.1.2.1. Tập hợp con 
 Tập hợp A được gọi là tập con của tập hợp X nếu mọi phần tử của A đều là phần 
tử của X. Kí hiệu: A  X hay X  A 
 Kí hiệu  gọi là dấu bao hàm. A  X gọi là một bao hàm thức. 
 Ví dụ : A = { a, b, c }  X = { a, b, c, d, e } 
 Nếu tập A không là tập con của tập X, ta kí hiệu: A  X 
1.1.2.2. Tập hợp bằng nhau 
 A 
 . a 
 . b 
 5 
 Hai tập hợp A và B được gọi là bằng nhau nếu mỗi phần tử của A là một phần tử 
của B và mỗi phần tử của B là một phần tử của A. Kí hiệu: A = B. 
 Ví dụ: Tập các nghiệm thực của phương trình x2 – 1 = 0 bằng tập hợp gồm hai số 
1 và – 1. 
1.1.2.3. Tính chất 
 Với các tập bất kì A, B, C ta có: 
(i)   A 
(ii) A  A 
(iii) Nếu A  B và B  C thì A  C 
(iv) Nếu A  B và B  A thì A = B 
(v) Nếu A B thì A  B hoặc B  A 
1.1.3. Tập hợp những tập hợp 
 Ví dụ: Trường trung học phổ thông Nguyễn Trãi có 5 lớp 10: 10A, 10B, 10C, 
10D và 10E. 
Ta xem lớp 10A, kí hiệu bởi A, là một tập hợp học sinh. Các phần tử của tập hợp 
này là những học sinh. Ta viết: A = {a1, a2, ..., am}. 
 Ta cũng có thể nói đến tập hợp E các lớp khối 10 của trường. Các phần tử của tập 
hợp này là các lớp khối 10 của trường. 
E = {A, B, C, D, E}. 
 Tập hợp các lớp khối 10 của trường là một tập hợp những tập hợp. 
1.1.4. Số tập con của một tập hợp hữu hạn 
 Ví dụ: A = {a, b, c}, kể cả tập con là  . 
 Tập hợp tất cả các tập con của A là: 
 P ({a, b, c}) = {{a, b, c}; {a, b}; {a, c}; {b, c}; {a}; {b}; {c};  }. 
 Vậy tập hợp A = {a, b, c} có cả thảy 8 tập con. 
 Cho tập A có n phần tử, khi đó số các tập con của A sẽ là 2n phần tử. Kí hiệu 
P(A) là tập các tập con của A. 
1.2. CÁC PHÉP TOÁN TRÊN CÁC TẬP HỢP 
1.2.1. Giao của các tập hợp 
1.2.1.1. Định nghĩa 
 Giao của hai tập hợp A và B kí hiệu A  B là tập hợp gồm các phần tử vừa 
thuộc A vừa thuộc B 
 x A B x A và x B 
 Từ định nghĩa ta suy ra: x A∩ B khi và chỉ khi x A và x B. Ta viết: 
x A∩ B x A và x B. 
1.2.1.2. Ví dụ: 
 (i) A = { x N / x bội của 4 }, B = { y N / y bội của 6} 
 thì A  B = { x N / x là bội của 12} 
 (ii) Cho tập hợp A = {x R : 2x − 1 < 0}. 
 Tìm A ∩ N (N là tập hợp các số tự nhiên). 
 6 
 Ta có: A = {x R : x < 
1
2 } 
 Do đó: A ∩ N = {0}. 
1.2.1.3. Tính chất 
Với các tập hợp bất kì A, B, C, ta có 
(i) A B = B A 
(ii) (A B)  C = A  ( B  C) 
(iii)   A =  
( iv) A  A = A 
1.2.2. Hợp của các tập hợp 
1.2.2.1. Định nghĩa 
 Hợp của hai tập hợp A và B, kí hiệu AB là tập hợp gồm các phần tử thuộc ít 
nhất một trong hai tập hợp đó. 
 x AB x A hoặc x B 
 Từ định nghĩa hợp hai tập hợp ta suy ra: x AB x A và x B 
1.2.2.2. Ví dụ: 
 (i) Nếu A = { a, b, c, d, e } B = { b, e, f, g} 
 thì AB = { a, b, c, d, e, f, g } 
 (ii) Hợp của tập hợp các số hữu tỉ và tập hợp các số vô tỉ là tập hợp các số thực. 
1.2.2.3. Tính chất: 
 Với các tập bất kì A, B, C 
(i) A  B = B  A 
(ii) (A  B )  C = A  ( B  C ) 
(iii)   A = A 
(iv) A  A = A 
1.2.3. Hiệu của hai tập hợp 
1.2.3.1. Định nghĩa 
 Hiệu của hai tập hợp A và B, kí hiệu A\B là tập hợp gồm các phần tử thuộc A mà 
không thuộc B. 
 Từ định nghĩa của A \ B suy ra: x A\B x A và x B 
1.2.3.2. Ví dụ: 
 A = { a, b, c, d, e,f}, B = { c, e, g, h, k } 
 ta có A\B = { a, b, d, f } 
1.2.3.3. Tính chất 
 Với các tập bất kì A, B, C, ta có 
( i) A \ B  A 
(ii) Nếu A  B và C  D thì A \ D  B \ C 
(iii) Nếu C  D thì A \ D  A\ C 
(iv) A  B A\B =  
 7 
1.2.4. Không gian. Phần bù của một tập hợp 
1.2.4.1.Trong lý thuyết tập hợp, các tập hợp được xét thường là con của một tập X 
cho trước. Khi đó ta gọi tập X là một không gian. 
1.2.4.2. Giả sử X là một không gian và A  X. Tập hợp X \ A được gọi là phần bù 
của A kí hiệu: CA hay CXA 
 x CA x A 
1.2.4.3.Tính chất 
(i) X  A = A 
(ii) X  A = X 
(iii) CX =  
(iv) C = X 
(v) C(CA) = A 
(vi) A  B CB  CA 
1.3. QUAN HỆ 
1.3.1. Tích đề các của các tập hợp 
1.3.1.1. Cặp thứ tự 
 Dãy gồm hai đối tượng a và b, được sắp theo thứ tự a đứng trước, b đứng sau gọi 
là một cặp thứ tự, kí hiệu là (a, b); a gọi là phần tử đứng trước, b là phần tử đứng 
sau. 
 Nếu a b thì (a, b) và (b, a) là hai cặp thứ tự khác nhau. 
 Hai cặp thứ tự (a, b) và (c, d) là bằng nhau khi và chỉ khi a = b và c = d. 
 Ví dụ: 
 Mỗi số phức là một cặp thứ tự (a, b) của hai số thực. Ta biết rằng hai số thực a và 
b khác nhau thì (a, b) và (b, a) là hai số phức khác nhau; Hai số phức (a, b) và (c, d) 
bằng nhau khi và chỉ khi chúng có phần thực bằng nhau và phần ảo bằng nhau, tức 
là a = c và b = d. 
1.3.1.2. Tích đềcác của hai tập hợp 
 Cho hai tập hợp X và Y . Tập hợp tất cả các cặp số thứ tự (a, b) với a X, b Y 
gọi là tích đêcác của hai tập hợp. Kí hiệu: X Y = { (a, b) / a X, b Y} 
 Nếu Y = X thì tập hợp X x X còn được kí hiệu là X2 . 
Như vậy, X2 = {(x, y) : x X, y X}. 
 Ví dụ: Cho X = { a, b } Y = { c ,d } 
 Ta có: X Y = { ( a, c), (a, d), (b, c), (b, d)} 
1.3.1.3. Mở rộng định nghĩa tích Đêcác cho một số hữu hạn tập hợp. 
 Cho m tập hợp X1, X2, , Xm. Khi đó tích đềcác của m tập hợp X1, X2, , Xm, 
kí hiệu: X1 X2  Xm = { (x1, x2, , xm)/ xi Xi } 
 Nếu X1 = X2 = ... = Xm= X thì tập hợp X1 x X2 x... x Xm được kí hiệu là Xm. 
 Như vậy X là tập hợp các dãy m phần tử (x1 , x2 , ..., xm), trong đó x1, ..., xm X. 
 8 
1.3.2. Định nghĩa quan hệ hai ngôi 
1.3.2.1. Định nghĩa: 
 Cho hai tập hợp X và Y. Tập con R của tích đềcác X Y gọi là một quan hệ hai 
ngôi trên X Y. 
 Nếu R là tập con của X X thì ta nói R là một quan hệ hai ngôi trên X. 
 Nếu R là một quan hệ hai ngôi trên X Y và (x, y) X Y thì ta viết xRy 
 Nếu (x, y) R thì ta nói x không có quan hệ R với y. Quan hệ hai ngôi thường 
được gọi tắt là quan hệ. 
1.3.2.2. Các ví dụ 
 (i) Cho X ={ 1, 2, 3, 4, 5, 6 }, A = { 1, 2}, B = { 1, 4 } Y = { A, B }. Gọi R là 
quan hệ “phần tử thuộc tập hợp” trên X Y. 
 Theo định nghĩa ta có R = { (1, A), (1, B), (2, A), (4, B)} 
 (ii) Cho tập hợp X = {2, 3, 5, 8, 15}. Hãy tìm quan hệ chia hết R trên X. 
Ta hiểu R là quan hệ hai ngôi trên X x X. 
 Theo định nghĩa quan hệ hai ngôi, ta có: 
 R = {(2, 2), (2, 8), (3, 3), (3, 15), (5, 5), (5, 15), (8, 8), (15, 15)}. 
1.3.3. Một số tính chất thường gặp của quan hệ hai ngôi 
1.3.3.1.Tính chất phản xạ 
 Quan hệ hai ngôi R trên X gọi là phản xạ nếu x X, ta có xRx 
 Ví dụ1: Quan hệ chia hết trên tập hợp số nguyên dương N* là phản xạ vì với mọi 
số nguyên dương x, x chia hết x. 
 Ví dụ 2: Quan hệ ≤ (nhỏ hơn hoặc bằng) trên tập hợp các số thực R là phản xạ vì 
với mọi x R, x ≤ x. 
1.3.3.2.Tính chất đối xứng 
 Quan hệ hai ngôi R trên X gọi là đối xứng nếu x, y X, xRy yRx 
 Ví dụ1: Giả sử X là một tập hợp khác rỗng. Tập hợp: R = {(x, x) : x X}  X2 
gọi là quan hệ đồng nhất trên X. 
 Như vậy, với mọi x, y X, x R y x = y. 
 Dễ thấy quan hệ đồng nhất trên X là đối xứng. 
 Ví dụ 2: Quan hệ “vuông góc với” trên tập hợp các đường thẳng của một mặt 
phẳng là đối xứng. 
1.3.3.3.Tính phản đối xứng 
 Quan hệ hai ngôi R trên X gọi là có tính chất đối xứng nếu x, y, z X, ta có 
xRy và yRx x = y. 
 Ví dụ1: Quan hệ “ ” trên tập các số thực R có tính chất phản đối xứng vì x, y 
 R, x y và y x thì x = y 
 Ví dụ 2: Quan hệ hai ngôi “vuông góc với” trên tập hợp các đường thẳng của một 
mặt phẳng không phải là một quan hệ phản đối xứng. 
1.3.3.4.Tính chất bắc cầu 
 9 
 Quan hệ hai ngôi R trên X gọi là có tính chất bắc cầu nếu x, y, z X, ta có xRy, 
yRz xRz 
Ví dụ 1: Quan hệ hai ngôi chia hết trên tập N có tính chất bắc cầu. 
Ví dụ 2:Quan hệ hai ngôi “<” trên tập hợp số thực R là bắc cầu. 
Ví dụ 3: Quan hệ hai ngôi “vuông góc với” trên tập hợp các đường thẳng của một 
mặt phẳng không phải là một quan hệ bắc cầu. 
1.4. QUAN HỆ TƯƠNG ĐƯƠNG 
1.4.1. Định nghĩa và ví dụ 
1.4.1.1. Định nghĩa: Quan hệ hai ngôi R trên tập hợp X gọi là quan hệ tương đương 
trên X nếu nó là phản xạ, đối xứng và bắc cầu, tức là: 
 a) Với mọi x X, x R x, 
 b) Với mọi x, y X, x R y y R x, 
 c) Với mọi x, y, z X, x R y và y R z x R z. 
 Quan hệ tương đương thường được kí hiệu là ~. Khi đó x R y được kí hiệu là 
 x ~ y đọc là x tương đương với y. 
1.4.1.2. Ví dụ 
 (i) Gọi ~ là quan hệ hai ngôi trên tập số thực R xác định bởi x ~ y x− y Z. 
Trong đó Z là tập hợp các số nguyên. 
 Quan hệ ~ là quan hệ tương đương trên R. 
 Thật vậy, với mọi x R, ta có x− x = 0 Z; do đó ~ là phản xạ. 
 Với mọi x, y R, nếu x ~ y thì x− y Z; do đó y − x = −(x− y) Z; Vậy ~ là 
đối xứng. 
 Cuối cùng, với mọi x, y, z R, nếu x ~ y và y ~ z, tức là x − y Z và y − z Z 
thì x − z = (x− y) + (y− z) Z; do đó ~ là bắc cầu. 
 (ii) Chia một số tự nhiên bất kì cho 3, số dư của phép chia là 0 hoặc 1 hoặc 2. 
 Quan hệ “có cùng số dư với... trong phép chia cho 3” trên tập số tự nhiên N hiển 
nhiên là phản xạ, đối xứng và bắc cầu. Do đó nó là một quan hệ tương đương trên 
N. 
1.4.3. Các lớp tương đương và tập thương 
1.4.3.1. Tập thương: Giả sử X  và ~ là một quan hệ tương đương trên X. Với 
mỗi x X, kí hiệu: x = { y X / x ~ y} 
Tập x gọi là lớp tương đương của quan hệ ~ trên X có phần tử đại diện là x. 
Tập hợp các lớp tương đương của quan hệ ~ trên X, kí hiệu X/~ gọi là tập thương. 
 Vậy X/~ = { x / x X } 
1.4.3.2. Tính chất của lớp tương đương 
 Định lý: Giả sử ~ là một quan hệ tương đương trên X khác rỗng. Khi đó: 
(i) x X, x x 
 10 
(ii) x1, x2 X, 1x = 2x x1 ~ x2 
(iii) x1, x2 X, 1x 2x thì 1x  2x =  
1.4.3.3. Ví dụ: 
 (i) Gọi ~ là quan hệ hai ngôi trên tập số thực R xác định bởi x~y x – y Z 
Ta có quan hệ ~ trên R chia tập Rthành các lớp tương đương. Ta thấy tất cả các số 
nguyên đều thuộc cùng một lớp tương đương. 
 (ii) Trong Ví dụ quan hệ “có cùng số dư với... trong phép chia cho 3” chia tập 
hợp N thành ba lớp tương đương: Mọi số tự nhiên chia hết cho 3 đều thuộc lớp. Mọi 
số tự nhiên có số dư là 1 trong phép chia cho 3 đều thuộc lớp. Mọi số tự nhiên có số 
dư là 2 trong phép chia cho 3 đều thuộc lớp . 
1.5. QUAN HỆ THỨ TỰ 
1.5.1. Định nghĩa 
 Quan hệ hai ngôi R trên tập hợp X được gọi là quan hệ thứ tự nếu nó là phản xạ, 
bắc cầu và phản đối xứng, tức là nếu R thoả mãn các điều kiện sau: 
 a) Với mọi x X, x R x, 
 b) Với mọi x, y, z X, (x R y và y R z) x R z, 
 c) Với mọi x, y X, (x R y và y R x) x = y. 
 Người ta thường kí hiệu quan hệ thứ tự là “≤”. Như vậy x R y được viết là x ≤ y, 
đọc là x nhỏ hơn hoặc bằng y, hay y lớn hơn hoặc bằng x. 
 Nếu ≤ là một quan hệ thứ tự trên tập hợp X thì cặp (X, ≤) gọi là một tập hợp sắp 
thứ tự. Người ta cũng gọi X là một tập hợp sắp thứ tự khi chỉ nói tới một quan hệ 
thứ tự nào đó trên X. 
1.5.2. Ví dụ 
 (i) Quan hệ “chia hết” trên tập số tự nhiên N* là một quan hệ thứ tự trên N*. 
vì: 
 Với mọi số nguyên dương n, ta có n / n (n chia hết n), 
 Với mọi m, n, k N*, (m / n và n / k) m / k, 
 Với mọi m, n N*, (m / n và n / m) m = n, 
 (ii) Cho tập hợp X ≠  và tập hợp Q những tập con của X (Q  P(X)), Q ≠  . 
 Quan hệ hai ngôi “chứa trong” trên Q là một quan hệ thứ tự vì: 
 Với mọi A Q, A A, 
 Với mọi A, B, C Q, (A  B và B C) A  C, 
 Với mọi A, B Q, (A  B và B  A) A = B. 
1.5.3. Quan hệ thứ tự nghiêm ngặt 
1.5.3.1. Định nghĩa: Quan hệ hai ngôi R trên X gọi là quan hệ thứ tự nghiêm ngặt 
nó thỏa mãn các điều kiện: 
(i) x X, không có xRx, tức là (x, x) R 
(ii) x, y, z X, xRy, yRz xRz. 
 11 
 Quan hệ thứ tự nghiêm ngặt thường được kí hiệu “<” 
1.5.3.2.Ví dụ: 
 Dễ dàng thấy rằng quan hệ hai ngôi “lớn hơn” (theo nghĩa thông thường) (>) trên 
tập hợp số thực R là một quan hệ thứ tự nghiêm ngặt. 
1.5.3.3. Định lí 1 
 Nếu là một quan hệ thứ tự trên tập hợp X thì quan hệ hai ngôi < trên X xác 
định bởi x < y khi và chỉ khi x ≤ y và x ≠ y, là một quan hệ thứ tự nghiêm ngặt trên 
X. 
1 ... ên n (hoặc n n0) 
Tức là ta phải chứng minh n N, T(n) (hoặc  n n0, T(n)) đúng 
 Ta tiến hành các bước sau: 
Bước 1: Chứng minh G(T(0)) = 1 (hoặc G(T(n0)) = 1) 
Bước 2: Giả sử G(T(k)) = 1. Ta chứng minh G(T(k + 1)) = 1 
 Từ đó rút ra kết luận: n N, T(n) (hoặc  n n0, T(n)) đúng 
 Ví dụ 1: Chứng minh rằng: Với mọi n 2 ta có 
 41 
 Vậy công thức trên đúng với n = k + 1 
 Từ đó suy ra công thức trên đúng với mọi n 2 
Ví dụ 2 : 
Cho n điểm trong mặt phẳng (n 2). Hỏi khi nối n điểm đó với nhau ta sẽ được bao 
nhiêu đoạn thẳng? 
Ta chứng minh số đoạn thẳng đếm được khi nối n điểm đó với nhau là: 
Với n = 2 nối hai điểm cho trước ta được một đoạn thẳng. Ta có: 
 Vậy công thức trên đúng với n = 2. 
Giả sử công thức trên đúng với n = k. Tức là khi nối k điểm cho trước trong mặt 
phẳng ta được 
đoạn thẳng. 
Giả sử trong mặt phẳng cho trước k + 1 điểm, khi nối k điểm đầu với nhau (theo giả 
thiết 
ở phần trên) ta được: 
 42 
đoạn thẳng. Bây giờ ta nối điểm thứ k + 1 với k điểm còn lại ta được thêm k + 1 
đoạn thẳng nữa. Vậy số đoạn thẳng đếm được khi nối k + 1 điểm đó với nhau là: 
 Vậy công thức trên đúng với n = k + 1. 
2.6. SUY LUẬN VÀ CHỨNG MINH TRONG DẠY HỌC TOÁN Ở 
TIỂU HỌC 
2.6.1. Suy luận và chứng minh trong dạy học mạch số học 
2.6.1.1. Suy luận quy nạp 
 Suy luận quy nạp được sử dụng thường xuyên và rộng rãi trong quá trình dạy 
hình thành các tính chất, quy tắc thực hành bốn phép tính, các dấu hiệu chia hết và 
trong giải toán số học 
 Ví dụ : 
 Khi dạy quy tắc so sánh các số tự nhiên trong phạm vi 10000 
 a) Thông qua các ví dụ 
 999 < 1000 
 10000 > 9999 
cho học sinh nhận xét rồi rút ra quy tắc: Trong hai số tự nhiên: 
 - Số nào ít chữ số hơn thì bé hơn, 
 - Số nào nhiều chữ số hơn thì lớn hơn. 
 b) Thông qua các ví dụ 
 9000 > 8999 
 6579 < 6580 
cho học sinh nhận xét rồi rút ra quy tắc: 
 - Nếu hai số có cùng số chữ số thì so sánh từng cặp chữ số ở cùng một hàng, kể 
từ trái sang phải, số nào có chữ số đầu tiên lớn hơn thì lớn hơn. 
 c) Thông qua các ví dụ: 
 2345 = 2345 
 469 = 469 
cho học sinh phân tích rồi rút ra kết luận: 
- Nếu hai số có cùng số chữ số và từng cặp chữ số ở cùng một hàng đều giống 
nhau thì hai số đó bằng nhau 
 Trong mỗi bước trên đây, chúng ta đã vận dụng suy luận quy nạp không hoàn 
toàn, trong đó tiền đề là các ví dụ được xét và kết luận là quy tắc so sánh được rút 
ra. 
2.6.1.2. Suy diễn 
 43 
 Phép suy diễn được sử dụng trong các tiết luyện tập: vận dụng một quy tắc đã 
được thiết lập để giải bài tập 
 Cấu trúc của các phép suy luận ở đây thường là: 
Tiền đề 1 : Là quy tắc hoặc tính chất,.... đã được thiết lập 
Tiền đề 2 : Một tình huống cụ thể phù hợp với quy tắc trên 
Kết luận : Vận dụng quy tắc trên để xử lí tình huống của bài toán 
 Ví dụ 1 : 
 Tính giá trị biểu thức bằng cách thuận tiện nhất 
 47 x 234 + 234 x 53 
= 234 x 47 + 234 x 53 
= 234 x (47 + 53) 
= 234 x 100 = 23400 
Ở đây ta đã hai lần áp dụng phép suy diễn: 
- Vận dụng tính chất giao hoán của phép nhân 
- Vận dụng quy tắc nhân một số với một tổng 
Ví dụ 2 : 
 Tìm x 
x : 25 + 12 = 60 
x : 25 = 60 - 12 
x : 25 = 48 
x = 48 x 25 
x = 1200 
Ở đây ta đã hai lần áp dụng phép suy diễn : 
 - Vận dụng quy tắc tìm một số hạng trong phép cộng 
 - Vận dụng quy tắc tìm số bị chia 
2.6.1.3. Phép tương tự 
 Phép tương tự được sử dụng thường xuyên trong dạy học mạch số học. Chẳng 
hạn: 
- Từ quy tắc cộng các số có hai chữ số, dùng phép tương tự ta xây dựng quy tắc 
cộng các số có ba, bốn và nhiều chữ số. 
Cũng tương tự đối với các phép tính 
- Từ quy tắc so sánh các số có bốn chữ số, dùng phép tương tự ta xây dựng quy 
tắc so sánh các số có nhiều chữ số 
 Từ quy tắc tìm số hạng trong phép cộng, dùng phép tương tự ta xây dựng quy tắc 
tìm thừa số trong phép nhân 
2.6.2. Suy luận và chứng minh trong dạy học mạch yếu tố hình học 
 Cũng tương tự mạch số học, trong dạy học các yếu tố hình học ta thường vận 
dụng các phép suy luận quy nạp (hoàn toàn và không hoàn toàn), suy diễn và phép 
tương tự. Dưới đây ta trình bày các phép suy luận này 
2.6.2.1. Suy luận quy nạp 
 Suy luận quy nạp được sử dụng rộng rãi trong quá trình dạy học xây dựng công 
thức tính chu vi, diện tích và thể tích các hình ở tiểu học. Trong giải toán có nội 
dung hình học đôi khi ta cũng sử dụng phép quy nạp 
 44 
 Ví dụ 1 : 
 Khi dạy xây dựng công thức tính chu vi hình chữ nhật, thông qua bài toán “Tính 
chu vi hình chữ nhật ABCD có chiều dài 4dm và chiều rộng 3dm”. Bằng cách quan 
sát trên hình vẽ và một số phép biến đổi, học sinh tính được chu vi hình chữ nhật là 
 (4 +3) x 2 = 14 (dm) 
 Từ đó rút ra quy tắc: Muốn tính chu vi hình chữ nhật, ta lấy chiều dài cộng với 
chiều rộng rồi nhân 2” P = (a + b) x 2 
 Ở đây ta sử dụng phép quy nạp không hoàn toàn 
 Tiền đề 1 : Hình chữ nhật có chiều dài bằng 4dm và chiều rộng 3dm thì có chu vi 
bằng (4 + 3) x 2 (= 14dm) 
 Kết luận: Hình chữ nhật có chiều dài a và chiều rộng b có chu vi là (a + b) x 2 
 Ví dụ 2 : 
 Khi dạy xây dựng công thức tính diện tích hình chữ nhật, thông qua bài toán 
“Tính diện tích hình chữ nhật ABCD có chiều dài 4 cm và chiều rộng 3cm”. 
Bằng cách quan sát và phân tích trên hình vẽ, học sinh tính được diện tích của hình 
chữ nhật bằng 12cm2. Từ nhận xét 12 = 4 x 3 
Từ đó rút ra quy tắc: “Muốn tính diện tích hình chữ nhật, ta lấy chiều dài nhân 
vớichiều rộng (với cùng một đơn vị đo) S = a x b 
 Ở đây ta sử dụng phép quy nạp không hoàn toàn 
 Tiền đề 1 : Hình chữ nhật có chiều dài 4 cm và chiều rộng 3cm thì có diện tích 
bằng: 4 x 3 (= 12 cm2) 
 Kết luận : Hình chữ nhật có chiều dài a và chiều rộng b thì có diện tích là a x b. 
 Ví dụ 3 : 
 Cho 9 điểm phân biệt. Khi nối tất cả các điểm với nhau ta được bao nhiêu đoạn 
thẳng ? 
 Ta nhận xét : 
 Khi có 2 điểm, nối lại ta sẽ được 1 đoạn thẳng : 1 = 0 + 1 
 Khi có 3 điểm, nối lại ta sẽ được 3 đoạn thẳng : 2 = 0 + 1 + 2 
Khi có 4 điểm, nối lại ta sẽ được 6 đoạn thẳng : 6 = 0 + 1 + 2 + 3 
 Vậy khi có n điểm, nối lại ta sẽ được số đoạn thẳng là : s = 0 + 1 + 2 +... +(n – 1) 
 s = nx(n – 1) : 2. 
áp dụng: Khi có 9 điểm, nối lại ta sẽ được số đoạn thẳng là: 9x(9 – 1) ; 2 = 36 (đoạn 
thẳng) 
 Nhận xét. ở đây ta đã hai lần sử dụng phép suy luận quy nạp không hoàn toàn : 
2.6.2.2. Suy diễn 
 Suy diễn được sử dụng rộng rãi trong quá trình giải các bài tập hình học. Chẳng 
hạn khi giải toán về tính chu vi và diện tích, thể tích các hình. 
Ví dụ : 
 Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài 35m, chiều rộng 20m. Tính chu vi 
mảnh đất đó. 
 Giải : Chu vi mảnh đất đó là 
 (35 + 20) x 2 = 110(m) 
 Đáp số : 110m 
 45 
 Ở đây ta đã dùng phép suy diễn : 
 Tiền đề 1: Hình chữ nhật có chiều dài bằng a, chiều rộng bằng b thì có chu vi 
bằng (a + b) x 2. 
 Tiền đề 2 : Mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài bằng 35m, chiều rộng bằng 20m. 
 Kết luận : Chu vi của mảnh đất đó bằng (35 + 20) x 2(m). 
BÀI TẬP CHƯƠNG 2 
2.1. MỆNH ĐỀ VÀ CÁC PHÉP TOÁN LÔGIC 
1. Đánh dấu x vào ô trống đặt sau câu là mệnh đề 
 a, Bạn An học năm thứ mấy? 
 b, 2 x 5 = 11 
 c, 23 là số nguyên tố 
 d, 17 có phải là số nguyên tố không? 
 e, Đội tuyển Việt Nam hôm nay đá hay quá! 
 f, Tổng các góc trong một tứ giác lồi bằng 3600 
 g, Hãy nêu một ví dụ về mệnh đề ! 
 46 
 h, ở Hà Nội sáng nay có mưa rào 
 i, Bạn nào có thể cho biết mệnh đề là gì? 
2. Viết giá trị chân lí của các mệnh đề sau vào ô trống 
 a, “3 không lớn hơn 7” 
 b, “Số hữu tỉ không phải là số vô tỉ” 
 c, “Hai đường chéo của hình thang có độ dài bằng nhau” 
 3. Thiết lập mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau 
 a, 5 x 7 = 35 
 b, 24 không chia hết cho 5 
 c, Hình vuông có bốn cạnh bằng nhau 
 d, Trời mưa 
 e, An cao hơn Thọ 
 f, 40 < 30 
 Sau đó tìm giá trị chân lí của chúng 
4. Tìm mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau 
 a,“15 lớn hơn hoặc bằng 20” 
 “15 không nhỏ hơn 20” 
 “Không phải 15 nhỏ hơn 20” 
 “Nói 15 nhỏ hơn 20 là không đúng” 
 b,“Hình bình hành không có hai đường chéo cắt nhau ở trung điểm của mỗi 
đường” 
 “Hai đường chéo của hình bình hành không cắt nhau ở trung điểm của mỗi 
đường” 
 “Không phải hai đường chéo của hình bình hành cắt nhau ở trung điểm của mỗi 
đường” 
 “Nói hai đường chéo của hình bình hành cắt nhau ở trung điểm của mỗi đường là 
không đúng” 
Sau đó tìm giá trị chân lí của chúng 
5. Cho các mệnh đề 
 a = “3 < 5” và b = “5 < 10” 
Hãy diễn đạt các mệnh đề sau thành lời 
 a, a b b, a b 
 c, a b d, a b 
6. Cho các mệnh đề 
 a = “Trời nắng” 
 và b = “Trời nóng” 
Viết dưới dạng kí hiệu các mệnh đề sau 
 a, “Trời vừa nắng lại vừa nóng” 
 b, “Trời không nắng nhưng nóng” 
 c, “Trời đã nắng lại nóng” 
 d, “Trời nắng nhưng đâu có nóng” 
 e, “Trời không nắng cũng chẳng nóng” 
7. Cho các mệnh đề 
 47 
 a = “30 là số tròn chục” 
 b = “30 chia hết cho 5” 
 c = “30 không chia hết cho 4” 
 Hãy viết dưới dạng kí hiệu các mệnh đề sau: 
 a, “30 là số tròn chục chia hết cho 5 nhưng không chia hết cho 4” 
 b, “30 là số tròn chục không chia hết cho cả 4 và 5” 
 c, “30 là số tròn chục không chia hết cho 5 mà chia hết cho 4” 
 Sau đó tìm giá trị chân lí của chúng 
8. Mệnh đề đúng ghi Đ, sai ghi S vào ô trống 
a, “3 nhỏ hơn hoặc bằng 3” 
b, “3 nhỏ hơn hoặc bằng 7” 
c, “7 nhỏ hơn hoặc bằng 3” 
d, “4 nhỏ hơn 2 hoặc 3” 
 e, “4 nhỏ hơn 2 hoặc nhỏ hơn 3” 
9. Cho các mệnh đề 
 a = “44 chia hết cho 2” 
 b = “44 chia hết cho 3” 
Hãy phát biểu thành lời các mệnh đề sau : 
 a, a b b, a b 
 c, a b d, a b 
 e, a b f, a b 
 g, a b h, a b 
Sau đó tìm giá trị chân lí của chúng 
10. Cho các mệnh đề 
 a = “42 chia hết cho 6” 
 b = “42 chia hết cho 2 và 3” 
 Hãy phát biểu thành lời các mệnh đề sau 
 a, a b b, a b 
 c, a b d, a b 
 e, b a f, b a 
 Sau đó tìm giá trị chân lí của chúng 
11. Cho biết 
 a, G ( a b ) = G ( a b ) = 1 và G ( a b ) = 0 
Tìm giá trị chân lí của mệnh đề a, b. 
 b, G ( a b ) = 1. Tìm G ( a b ) 
 c, G ( a b ) = 1. Tìm G ( a b ) 
12. Cho các mệnh đề 
 a = “Số tự nhiên a có tổng các chữ số chia hết cho 3” 
 b = “Số tự nhiên a chia hết cho 3” 
Hãy diễn đạt thành lời các mệnh đề sau 
 a, a b b, a b 
 c, a b d, a b 
 48 
14.Cho biết G( a b ) = 1, G( a b ) = 0 
 Tìm giá trị chân lí của b a ; a ; b 
4. Cho biết G( a b ) = 1. Có thể nói gì về giá trị chân lí của a b , 
a b , a b và b a 
2.2. CÔNG THỨC 
1.Lập bảng chân lí của các công thức sau: 
 a, p q (q r)  
 b, (p r) (p r)  
 c, 
 (p q) p q p q   
2. Chứng minh các đẳng thức (9) - (17). Sau đó minh hoạ bằng các ví dụ về vận 
dụng 
mỗi đẳng thức đó trong toán học. 
3. Thiết lập mệnh đề liên hợp của các mệnh đề sau : 
 a) Nếu một số chia hết cho 15 thì nó chia hết cho 5 . 
 b) Nếu một số chia hết cho 15 thì nó chia hết cho 3 và 5. 
 c) Nếu hai góc đối đỉnh thì chúng bằng nhau. 
 d) Nếu một tứ giác có hai đường chéo vuông góc với nhau thì nó là hình thoi. 
 Sau đó tìm giá trị chân lí của chúng. 
Đối với những mệnh đề đúng, hãy diễn đạt bằng ba cách khác nhau dưới dạng điều 
kiện cần (đủ). 
4. Hãy phát biểu các dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5 và 9 ở tiểu học dưới dạng mệnh 
đề kéo theo. Sau đó hãy thiết lập các mệnh đề liên hợp của chúng. 
5. Thiết lập định lí đảo của định lí sau : 
 a) Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật. 
 b) Nếu tích của hai thừa số chia hết cho 7 thì một trong hai thừa số đó phải chia 
hết cho 7. 
6. Chứng minh các công thức sau là công thức hằng đúng 
 a, p (p q) q  
 b, (p q) (p q) 
 c, p (p q) p  
2.3. QUY TẮC SUY LUẬN 
1. Chứng minh các quy tắc suy luận 1, 3, 6, 13, 16, 20. 
 Sau đó xây dựng các ví dụ về vận dụng mỗi quy tắc suy luận đó : 
Trong số học 
Trong hình học 
2.4. HÀM MỆNH ĐỀ 
 49 
1. Tìm miền đúng của các hàm mệnh đề xác định trên tập số tự nhiên 
 a) a chia hết cho 5 
 b) a chia cho 5 dư 4 
 c) a là số nguyên tố 
 d) a2 - 5a + 6 = 0 
2. Tìm miền đúng của các hàm mệnh đề xác định trên tập các số thực 
 a, x2 - 7 
 b, 3x2 - 7x - 10 = 0 
 c, sin2x + cos2x = 1 
 d, | x - 5 | < 6 
3. Hãy diễn đạt các mệnh đề sau bằng lời : 
 a)  x R  y R : x + y2 > 1 
 b)  x R  y R : x2 - y2 = 0 
 c) n N m N : n + m chia hết cho 3 
 d) n N  m N: là phân số tối giản 
 Sau đó hãy lập mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề đó 
4. Hãy chứng tỏ nhận định sau là sai “Mọi hình tứ giác có một đường tròn ngoại 
tiếp nó” 
5. Hãy chứng tỏ nhận định sau là sai : 
 a) Có một số tự nhiên mà mọi số chẵn đều nhỏ hơn nó 
 b) Mọi người đàn ông đều có một người đàn bà là vợ của người ấy 
 c) Mỗi tháng đều có ba ngày chủ nhật là ngày lẻ 
2.5. SUY LUẬN VÀ CHỨNG MINH 
1. Điền d vào ô trống, nếu là suy luận diễn dịch; q vào ô trống nếu là suy luận quy 
nạp và vào ô trống, nếu là suy luận tương tự. 
 a) Với mọi số tự nhiên a, b, c ta có: 
 a x (b + c) = a x b + a x c 
 áp dụng: 
 4 x (25 + 15) = 4 x 25 + 4 x 15 
 b) Ta có: 
Vậy a x (b + c) = a x b + a x c 
c) Từ hệ thức cos2 x + sin2 x = 1 ta đưa ra giả thuyết “tg2x + cotg2 x = 1” 
 d) Từ định lí trong hình học phẳng “Hai đường thẳng cùng vuông góc với đường 
thẳng thứ ba thì song song với nhau ta đưa ra giả thuyết trong hình học không gian. 
“Hai đường thẳng trong không gian vuông góc với đường thẳng thứ ba thì chúng 
song song với nhau” 
 50 
2. Chứng minh rằng tích của ba số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho 3. Cho biết 
chứng minh trên thuộc loại nào? 
3. Xây dựng ba ví dụ về chứng minh quy nạp toán học trong số học, đại số. 
4. Chứng minh rằng mỗi phép chia các số tự nhiên có không quá một thương. 
Cho biết chứng minh thuộc loại nào? 
2.6. SUY LUẬN VÀ CHỨNG MINH TRONG DẠY HỌC TOÁN Ở 
 TIỂU HỌC 
1. Xây dựng 2 ví dụ minh hoạ về vận dụng suy luận quy nạp, suy luận tương tự và 
suy diễn trong mỗi trường hợp sau : 
 - Dạy học các quy tắc thực hành 4 phép tính ; 
 - Dạy học quy tắc so sánh các số tự nhiên ; 
 - Tính giá trị biểu thức số. 
2. Xây dựng 2 ví dụ minh hoạ về vận dụng suy luận quy nạp, suy luận tương tự và 
suy diễn trong mỗi trường hợp sau : 
 - Trong dạy học hình thành các công thức tính chu vi của các hình ; 
- Dạy học hình thành công thức tính diện tích các hình ; 
- Dạy học hình thành công thức tính thể tích các hình ; 
- Dạy giải toán có nội dung hình học. 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
[1] Phan Hữu Chân – Nguyễn Tiến Tài, Tập hợp và lôgic. Số học, NXB Giáo dục, 
1998. 
[2] Trần Diên Hiển (chủ biên)- Nguyễn Xuân Liêm, Cơ sở lý thuyết tập hợp và 
lôgic toán, NXB Giáo dục, 2007. 
 51 
MỤC LỤC 
 Trang 
Lời nói đầu .. 2 
Chương 1: Cơ sở lý thuyết tập hợp . 3 
1.1. Tập hợp .. 4 
1.2. Các phép toán trên tập hợp  5 
1.3. Quan hệ . 7 
1.4. Quan hệ tương đương  9 
1.5. Quan hệ thứ tự  10 
1.6. Ánh xạ  12 
1.7. Đơn ánh, toàn ánh, song ánh và ánh xạ ngược .. 15 
 Bài tập chương 1. 17 
 52 
Chương 2: Cơ sở lôgic toán  23 
2.1. Mệnh đề và các phép toán lôgic  24 
2.2. Công thức .. 28 
2.3. Quy tắc suy luận  32 
2.4. Hàm mệnh đề. Mệnh đề tổng quát, tồn tại  34 
2.5. Suy luận và chứng minh  36 
2.6. Suy luận và chứng minh trong dạy học toán ở tiểu học  42 
 Bài tập chương 2  46 
Tài liệu tham khảo .. 51 
Mục lục  52