Bài giảng Cơ sở khoa học vật liệu - Chương 2: Các khái niệm cơ bản về mạng tinh thể - Lê Văn Thăng

1CHƯƠNG 2
CÁC KHÁI NiỆM 
CƠ BẢN VỀ 
MẠNG TINH THỂ
22.1 Sự sắp xếp các nguyên tử trong chất rắn
• Tinh thể chất rắn được đặc trưng bởi sự sắp xếp các nguyên tử một cách đều đặn
và có chu kỳ.
• Nếu sự sắp xếp đều đặn này kéo dài trên một khoảng cách lớn, ta có tinh thể lý 
tưởng, hoặc đơn tinh thể. 
• Tinh thể lý tưởng ít gặp trong thực tế mà phải được chế tạo bằng phương pháp 
đặc biệt.
• Nếu các nguyên tử cũng sắp xếp đều đặn và có chu kỳ nhưng tinh thể có chứa 
một số lớn khuyết tật ta có tinh thể thực. Dạng này thường gặp trong thực tế.
• Tinh thể thực thường có cấu trúc đa tinh thể: được tạo thành từ một số lớn các vi 
tinh thể liên kết với nhau qua các vùng biên giới hạt.
2.2 Mạng tinh thể, ô cơ sở
2.2.1 Mạng tinh thể
• Mạng tinh thể là một tập hợp vô hạn các nút (nguyên tử, phân tử hoặc ion) sắp 
xếp theo một trật tự nhất định. 
• Mạng nhận được bằng cách tịnh tiến trong không gian ba vectơ không đồng 
phẳng. Các vec tơ này xác định phương và khoảng cách giữa các nút của mạng.
32.2.2 Đặc điểm mạng tinh thể
• Có sự lặp lại một cách chu kỳ của các nút theo phương bất kỳ trong không gian. 
 khoảng cách giữa các nút gần nhất sẽ giống nhau trên phương chứa hai nút và 
các phương khác song song với phương đó.
• Mỗi nút mạng đều được bao quanh bởi một số lượng bằng nhau của các nút gần 
nhất với khoảng cách như nhau.
42.2.3 Ô cơ sở
• Mạng có thể xem như được tạo thành bằng cách sắp xếp liên tiếp theo các cạnh a, 
b, c những hình khối giống nhau gọi là ô cơ sở 
• Cách sắp xếp các nút trong ô cơ sở là đại diện chung cho toàn mạng.
• Nguyên tắc chung để lựa chọn ô cơ sở là: 
– Tính đối xứng của ô cơ sở phải là tính đối xứng của tinh thể 
– Có thể tích ô nhỏ nhất hoặc các cạnh bên ngắn nhất
– Số cạnh bằng nhau và số góc bằng nhau của ô phải nhiều nhất
– Số góc vuông (nếu có) phải nhiều nhất
– Ô cơ sở đặc trưng bởi 3 vectơ và các góc giữa chúng c,b,a
 , ,
 b^a=, c^a= , c^b
 
|a|, |b|, |c|: hằng số mạng 
• Thường người ta chọn 3 trục x, y, z
định hướng theo các vectơ của ô
cơ sở. Điểm gốc O được qui ước đặt ở
mặt sau bên trái của hình
c ,b ,a
52.3 Các loại cấu trúc tinh thể
2.3.1 Các yếu tố đối xứng
• Yếu tố đối xứng đơn vị E
• Tâm đối xứng i
• Mặt đối xứng 
- v (chứa trục đối xứng chính)
- h (vuông góc với trục đối xứng chính) 
- d (chứa trục đối xứng chính nhưng nằm giữa hai trục C2 vuông góc với trục 
chính)
• Trục đối xứng Cn: Là 1 đường thẳng có trong hình mà khi quay hình quanh trục 
một góc với thì hình được lặp lại đều đặn. 
 là góc quay và n là số lần lặp lại trục bậc n: Cn.
6Phép đối xứng tâm i trong methane
Phép đối xứng đơn vị E trong methane
7Phép đối xứng mặt 
xy
xz
yz
8Quay 180o quanh trục y trong ethylene
Quay 180o quanh trục z trong ethylene
Quay 180o quanh trục x trong ethylene
9Trong hình lập phương có các yếu tố đối xứng sau:
• Yếu tố đối xứng đơn vị E
• Các trục đối xứng: 3C2, 3C4 (đường nối tâm các mặt đối nhau); 4C3, 4C6 (đường 
nối tâm các đỉnh đối nhau), 6C2 (đường nối tâm các cạnh đối nhau)
• Mặt đối xứng: 9 mặt đối xứng 
Hình lập phương có các thông số sau:
• 6 mặt bên
• Cạnh bên: dài a, số lượng 12
• Đường chéo mặt: dài , số lượng 12
• Đường chéo khối: dài , số lượng 4
2a
3a
10
2.3.2 Hệ tinh thể
– Tùy thuộc vào cách sắp xếp giữa ba vectơ mà có tất cả 7 hệ tinh thể 
– Từ 7 hệ tinh thể này, tùy cách phân bố các nút mà có 14 kiểu ô mạng Bravais.
c,b,a
STT Tên hệ Đặc trưng hình học Yếu tố 
đx 
tiêu 
biểu
Ô gốc Tâm 
đáy
Tâm 
khối
Tâm 
mặt
1 Triclinic
(Tam tà)
a b c   900 C1 x
2 Monoclinic
(Đơn tà)
a b c =  = 900  C2 x x
3 Rhombohedral
(Mặt thoi)
a = b = c =  =  900 C3 x
4 Tetragonal
(Chính phương)
a = b c =  =  = 900 C4 x x
5 Hexagonal
(Lục giác)
a = b c =  = 900, 
 = 1200
C6 x
6 Orthorhombic
(Tà phương)
a b c =  =  = 900 3C2 x x x x
7 Cubic
(Lập phương)
a = b = c =  =  = 900 4C3 x x x
11
12
2.4 Ký hiệu phương, mặt theo chỉ số Miller
2.4.1 Ký hiệu phương tinh thể [uvw]
Mọi đường thẳng song song đều có cách sắp xếp các nút giống nhau và được đại 
diện bằng ký hiệu phương tinh thể đi qua gốc trục và song song với phương cần 
xác định.
Cách tìm và ví dụ 
• Từ gốc trục tọa độ vẽ đường thẳng song song với phương cần xác định 
• Tìm tọa độ nút mạng gần gốc trục nhất trên đường thẳng đó. Nếu tọa độ nút 
mạng là (p, q, r) thì ký hiệu phương là [pqr]
• Nếu tọa độ là phân số thì qui đồng mẫu số. Tử số là u, v, w thì ký hiệu là [uvw]
• Nếu tọa độ có dấu âm thì trên đầu chỉ số tương ứng ghi dấu –
Hệ phương và ví dụ 
• [uvw] là ký hiệu của phương [uvw] và các phương khác song song với phương 
này. 
• Trong hệ đối xứng cao (lập phương), nhiều phương không song song, có ký hiệu 
khác nhau, nhưng lại có cách sắp xếp các nút giống nhau nên được coi là cùng nằm 
trong một hệ phương và ký hiệu .
• Các phương trong một hệ có các trị tuyệt đối uvw giống nhau và có thể hoán vị 
chỗ cho nhau.
13
14
2.4.2 Ký hiệu mặt tinh thể (hkl)
Các mặt song song đều có cách sắp xếp các nút giống nhau và được đại diện bằng 
ký hiệu một mặt gần gốc trục nhất (nằm trong ô cơ sở) trong số các mặt song song 
đó. Như vậy các mặt song song sẽ có ký hiệu giống nhau hoặc có thừa số chung.
Cách tìm và ví dụ 
• Tìm giao điểm mặt với 3 trục x, y, z. 
• Nếu mặt đi qua gốc trục, chọn mặt khác gần gốc trục nhất (nằm trong ô cơ sở) và 
song song với mặt đã cho. Tọa độ 3 giao điểm là (p,0,0) (0,q,0) (0,0,r).
• Lấy rồi qui đồng mẫu số. Tử số là h, k, l thì ký hiệu mặt là (hkl)
• Nếu tọa độ có dấu trừ thì đặt dấu – ở trên đầu chỉ số tương ứng 
Hệ mặt và ví dụ 
• (hkl) là ký hiệu của mặt (hkl) và các mặt phẳng khác song song với mặt phẳng 
này. 
• Ngoài ra do tính đối xứng cao nên nhiều mặt không song song, có ký hiệu khác 
nhau, nhưng có cùng cách sắp xếp các nút sẽ tạo thành hệ mặt; ký hiệu {hkl}. 
15
16
2.4.3 Ký hiệu trong hệ sáu phương
O1AC: (111)
O1AE:
 không cùng hệ
)121(
 Bravais bổ sung bằng 
cách dùng bốn trục x1, x2, 
x3, z với x1, x2, x3 nằm trên 
cùng mặt phẳng vuông góc 
với trục z và cách nhau 
120o.
17
Ký hiệu phương [uvwr]
p, q, r là tọa độ điểm trong hệ x, y, z thì u, v, w xác định theo:
r'r,
3
qp
'w,
3
pq2
'v,
3
qp2
'u 
Ví dụ: Tìm phương x1: A có tọa độ (1,0,0) trong hệ xyz 
 ,
3
1
3
10
'w ,
3
1
3
10.2
'v ,
3
2
3
01.2
'u 
]0112[0,1,1,20'rr 
z[0001] ]0211[x ]0121[x 32
Ký hiệu mặt (hkil)
(tìm như với ký hiệu của Miller), khi đó 
) 0110 ( BABA
) 1121( AEO ) 1211( ACO
11
11 cùng hệ
18
2.4.4 Khoảng cách mặt (interplanar spacing)
– Khoảng cách mặt là khoảng cách gần nhất giữa các mặt tinh thể song song,
– chính là khoảng cách từ gốc đến mặt nằm gần gốc trục nhất (hkl) và bằng 
đoạn thẳng vuông góc hạ từ gốc trục đến mặt (hkl)
222hkl
c
l
b
k
a
h
1
d
Trong hệ chính phương a = b
2
2
2
22
c
l
a
kh
1
d
Trong hệ lập phương a = b = c
222
lkh
a
d
19
2.4.5 Góc giữa hai phương cho trước
Giả sử có 2 phương L1 [u1v1w1], L2 [u2v2w2]. Tính góc giữa hai phương
3.4.6 Góc giữa phương và mặt tinh thể
Tìm góc giữa phương L [uvw] và mặt P (hkl)
22
i
22
i
22
ii
21
2
21
2
21
2
21
cwbvauN
)ww.cvv.buu.a(
N.N
1
cos
Đối với hệ lập phương )wwvvuu(
NN
1
cos 212121'
2
'
1
2
i
2
i
2
i
'
i wvuN 
)lwkvhu(
N.M
1
cos 
222222
2
2
2
2
2
2
cwbvauN
c
l
b
k
a
h
M
Đối với hệ lập phương
)lwkvhu(
'N'M
1
cos 222
222
wvu'N
lkh'M